2020_2021学年新教材高中数学第六章统计3用样本估计总体分布课件北师大版必修第一册(共40张PPT)

(共40张PPT)
3.1　从频数到频率　
3.2　频率分布直方图
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知识点拨
我国是世界上严重缺水的国家之一,城市缺水问题较为突出.某市政府为了节约生活用水,计划在本市试行居民生活用水定额管理,即确定一个居民月用水量标准a,用水量不超过a的部分按平价收费,超出a的部分按议价收费.如果希望85%以上的居民的日常生活不受影响,那么标准a定为多少比较合理?你认为较为合理地确定出这个标准,需要做哪些工作?
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知识点拨
一、频率分布表与频率分布直方图
1.基本概念
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知识点拨
2.频率分布表和频率分布直方图的意义
从一个总体得到一个包含大量数据的样本时,我们很难从一个个数据中直接看出样本所含的信息.如果把这些数据整理成频率分布表或频率分布直方图,就可以比较清楚地看出样本数据的频率分布,从而估计总体的分布情况.用样本估计总体,是研究统计问题的一个基本思想方法,而对于总体分布,我们总是用样本频率分布对它进行估计.
3.频率分布表与频率分布直方图的制作步骤
(1)频率分布是指从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度,来表示数据分布的规律.
(2)一般用频率分布直方图反映样本的频率分布.
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知识点拨
(3)画频率分布直方图的一般步骤为:
第一步,求极差.
第二步,确定组距和组数.为了方便起见,组距的选择应力求“取整”,极差、组距、组数有如下关系:
([x]表示不大于x的最大整数)
第三步,分组.通常对组内数值所在区间取左闭右开区间,最后一组取闭区间.
第四步,列频率分布表.统计各组数据的频数,计算频率,填入表格中,完成频率分布表.
第五步,依据频率分布表画频率分布直方图.画图时,以横轴表示样本数据,纵轴(小长方形的高)表示频率与组距的比值.
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名师点析频率分布直方图的特征
总体分布情况可以通过样本频率分布情况来估计,样本频率分布是总体分布的一种近似表示,频率分布表和频率分布直方图有以下特征:(1)从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势.(2)从频率分布直方图得不出原始的数据内容,把数据表示成直方图后,原有的具体数据信息就被抹掉了.(3)频率分布表和频率分布直方图由样本决定,因此它们会随样本的变化而变化.(4)若固定分组数,随着样本容量的增加,频率分布表中各个频率会稳定在某一个值的附近,从而频率分布直方图中的各个小长方形的高度也会稳定在特定的值上.
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微拓展
绘制频率分布直方图应注意什么问题?
提示:①各组频率的和等于1,因此各个小长方形面积的总和等于1.②频率分布直方图比频率分布表更直观、形象地反映了样本的分布规律.③在直角坐标平面内画频率分布直方图时,横轴上是样本
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知识点拨
④同样一组数据,如果组距不同,横轴、纵轴单位长度不同,得到的频率分布直方图的形状也会不同,不同的形状给人们的印象也不同,这种印象有时会影响我们对总体的判断.⑤同一个总体,由于抽样的随机性,因此随机抽取另外一个同样容量的样本,所形成的样本频率分布直方图一般会与前一个样本频率分布直方图有所不同,但它们都可以用来估计总体的分布.而随着样本容量的增加,频率分布表中各个频率会稳定在某个值的附近,从而频率分布直方图中的各个矩形的高度也会稳定在特定的值上.
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微思考
频率分布表与频率分布直方图各有什么特点?
提示:频率分布表反映具体数据在各个不同区间的取值频率,但不直观,数据的总体态势不明显.频率分布直方图能直观地表明数据分布的形状态势,但失去了原始数据.
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二、频率折线图
在频率分布直方图中,按照分组原则,再在左边和右边各加一个区间,从所加的左边区间的中点开始,用线段依次连接各个矩形的顶端中点,直至右边所加区间的中点,就可以得到一条折线,我们称之为频率折线图.
名师点析频率折线图的优点是它反映了数据的变化趋势,随着样本容量的不断增加,分组的不断加密,频率折线就会越来越光滑,最终形成一条光滑的曲线.
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微拓展
总体密度曲线的特征.
提示:(1)在样本频率分布直方图中,随着样本容量的增加,作图时所分的组数增加,组距减小,相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线,统计学中称这条光滑曲线为总体密度曲线,如图所示.
(2)总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值的百分比,它能给我们提供更加精细的信息,图中阴影部分的面积,就是总体在区间(a,b)内取值的百分比.
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探究二
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频数与频率的有关计算
例1已知一个容量是40的样本,把它分成六组,第一组到第四组的频数分别是5,6,7,10,第五组的频率是0.2,那么第六组的频数是　　　　,频率是　　　　.?
答案:4　0.1　
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反思感悟频数与频率的求解策略
对于频数与频率的问题,首先要明确几个等量关系,即各组的频数之和等于样本容量,各组的频率之和为1,频率=
.在解题过程中,要明确频数、频率以及样本容量之间的关系,弄清已知、未知,选择合适的公式进行解题.
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变式训练1一个容量为20的样本数据,分组后组距与频数如下表:
则样本数据在区间(0,50)上的频率为　　　　.?
答案:0.7　
解析:区间(0,50)包括四部分的数据,在这四部分上的数据的频数和是2+3+4+5=14,样本容量为20,所以样本数据在区间(0,50)上的频
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画频率分布直方图、折线图
例2某省为了了解和掌握2020年高考考生的实际答卷情况,随机地取出了100名考生的数学成绩,数据如下:(单位:分)
135981021109912111096100103
1259711711311092102109104112
1051248713197102123104104128
10912311110310592114108104102
12912697100115111106117104109
1118911012180120121104108118
12999909912112310711191100
991011169710210810195107101
1021081179911810611997126108
12311998121101113102103104108
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(1)列出频率分布表;
(2)画出频率分布直方图和折线图;
(3)估计该省考生数学成绩在[100,120)分之间的比例.
分析先求极差.根据极差与数据个数确定组距、组数,然后按频率分布直方图的画法绘制图形.
(1)频率分布表如下:
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(2)根据频率分布表中的有关信息画出频率分布直方图及折线图,如图所示.
(3)从频率分布表中可知,这100名考生的数学成绩在[100,120)分之间的频率为0.24+0.15+0.12+0.09=0.60,据此估计该省考生数学成绩在[100,120)分之间的比例为60%.(0.60=60%)
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反思感悟组距和组数的确定没有固定的标准,将数据分组时,组数力求合适,使数据的分布规律能较清楚地呈现出来,组数太多或太少都会影响对数据分布情况的了解,若样本容量不超过120个时,按照数据的多少常分为5组~12组,一般样本容量越大,所分组数越多.
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延伸探究本例条件不变,制成频率分布直方图时分组如下,[80,85),[85,90),[90,95),[95,100),[100,105),[105,110),[110,115),[115,120),[120,125),[125,130),[130,135].若90分或90分以上为及格,请计算该省考生数学成绩的及格率.
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解:列出频率分布表如下
由表可得,及格(即90分或90分以上)的频率为0.04+0.14+0.24+
0.15+0.12+0.09+0.11+0.06+0.02=0.97.故及格率为97%.
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频率分布直方图的应用
例3某校在5月份开展了科技月活动.在活动中某班举行了小制作评比,规定作品上交的时间为5月1日到31日,逾期不得参加评比.评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计,绘制了频率分布直方图(如图).已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1,第三组的频数为12,请解答下列问题:
(1)本次活动共有多少件作品参加评比?
(2)哪组上交的作品数最多,有多少件?
(3)经过评比,第四组和第六组分别有10
件、2件作品获奖,问这两组哪组获奖率
较高?
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分析(1)根据条件:从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1,第三组的频数为12,计算参加评比的作品总数;(2)根据频率分布直方图判断哪组上交的作品最多,再由本组的频率计算频数;(3)先分别由第四组和第六组的频率计算该组的频数,再计算获奖率.
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解:(1)设从左到右各长方形的高分别为2x,3x,4x,6x,4x,x.设参加评比的作品总数为a件,
满足(2x+3x+4x+6x+4x+x)×5=1.解得a=60(件).
(2)由频率分布直方图可以看出第四组上交的作品数量最多,共有6×x×5×a=18(件).
(3)第四组和第六组上交的作品数分别为:18件,x×5×a=3(件),则它
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反思感悟1.频率分布直方图的性质
相应各组的频率.这样,频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小;
(2)在频率分布直方图中,各小矩形的面积之和等于1;
2.频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性,由抽样的代表性利用样本在某一范围内的频率,可近似地估计总体在这一范围内取值的可能性.
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变式训练2为了了解高一学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试,将所得数据整理后,画出频率分布直方图如图所示,图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3,第二小组频数为12.
(1)第二小组的频率是多少?样本容量是多少?
(2)若次数在110或110以上为达标,试估计该校全体高一学生的达标率是多少?
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解:(1)由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小,因此第二小组的频率为
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利用频率分布直方图进行计算
典例
某班50名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13秒与19秒之间,将测试结果按如下方式分成六组:[13,14),[14,15),[15,16),
[16,17),[17,18),[18,19].如图所示的是按上述分组方法得到的频率分布直方图.设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x,成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y,则x和y分别为(　　)
A.0.9,35
B.0.9,45
C.0.1,35
D.0.1,45
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答案:A
解析:从频率分布直方图可以看出
x=1-(0.06+0.04)=0.9,y=50×(0.36+0.34)=35.
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1.一个容量为20的样本数据,分组及各组的频数如下
则样本在区间[20,60)上的频率是(　　)
A.0.5
B.0.6
C.
0.7
D.
0.8
答案:D　
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2.一个容量为32的样本,已知某组数据的频率为0.125,则该组数据的频数为(　　)
A.2
B.
4
C.
6
D.
8
答案:B　
解析:0.125×32=4.
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3.如图所示是一容量为100的样本的频率分布直方图,则由图中的数据可知,样本落在[15,20]内的频数为(　　)
A.20
B.
30
C.
40
D.
50
答案:B　
解析:样本数据落在[15,20]内的频数为:100×[1-5×(0.04+0.10)]
=30.
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4.从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:cm)数据绘制成频率分布直方图如图所示.由图中数据可知a=　　　　.若要从身高在[120,130),[130,140),[140,150]三组内的学生中,用分层随机抽样的方法选取18人参加一项活动,则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数为　　　　.?
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答案:0.030　3　
解析:∵0.005×10+0.035×10+a×10+0.020×10+0.010×10=1,
∴a=0.030,设身高在[120,130),[130,140),[140,150]三组的分别有x,y,z人.
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5.公交车的数量太多容易造成资源的浪费,太少又难以满足乘客的需求.为此,公交公司在某站台随机调查了80名乘客,他们的候车时间如下所示(单位:min):
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(1)将数据进行适当的分组,并画出相应的频率分布直方图和频率折线图;
(2)候车时间不低于15分钟比例是多少?你能为公交公司提出什么建议?
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解:(1)该数据中最大值为34,最小值为1,两者之差为33,故取组距为5,分为7组.
探究一
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频率分布直方图如下图所示:
频率折线图如下图所示:
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(2)候车时间不低于15分钟的百分比为0.275+0.125+0.100+0.037
5=0.537
5=53.75%,
公交公司可以适当增加公交车的数量.