22.2.1 直接开平方法和因式分解法

22.２ 一元二次方程的解法
22.2.1 直接开平方法和因式分解法
一、素质教育目标
（一）知识储备点
理解并掌握一元二次方程的直接开平方法、因式分解法，并能正确熟练地运用直接开平方法、因式分解法解一元二次方程．
（二）能力培养点
通过两种方法解简单的一元二次方程，初步培养学生解方程的能力，培养学生观察、类比、转化的思维能力．
（三）情感体验点
通过平方根的理论，因式分解的理论求一元二次方程的解，使学生建立旧知与新知的联系，由已有的知识形成新的数学方法，激发学生的学习兴趣，让学生形成勤奋学习的积极情感，为以后学习打下良好的基础．通过解方程的教学，了解“未知”可以转化为“已知”的思想．
二、教学设想
1．重点：用直接开平方法、因式分解法解一元二次方程．
2．难点：用直接开平方法、因式分解法解一元二次方程．
3．疑点：十字相乘法的运用．
4．课型与基本教学思路：新授课．本节课利用平方根定义直接开平方求一元二次方程的解，利用因式分解法解一元二次方程，让学生观察、比较选择适当的方法．
三、媒体平台
1．教具、学具准备：自制投影胶片．
2．多媒体课件撷英．
【注意】 课件要根据实际需要进行适当修改．
四、课时安排
１课时
五、教学步骤
（一）教学流程
1．情境导入
交流合作，解下列方程，并说明你所用的方法：
（1）x2=4； （2）x2-1=0．
2．课前热身
（1）什么叫一元二次方程？（2）什么是一元二次方程的一般形式？（3）什么叫一个数的平方根？（4）因式分解的方法有哪几种？
3．合作探究
（1）整体感知：学生对于第（1）个方程，有这样的解法：
方程x2=4，意味着x是4的平方根，所以x=±，即x=±2，教师概括：这种利用平方根的定义直接开平方的方法叫做直接开平方法．
学生对于第（2）个方程，有这样的解法：
将方程左边用平方差公式分解因式得：（x+1）（x-1）=0，必有x+1=0或x-1=0，分别解这两个一元一次方程得：x1=1；x2=-1．教师概括：这种运用因式分解求解的方法叫因式分解法．
（2）四边互动
互动1
师：方程x=4用因式分解法如何来解？
生：变形后可化为：（x+2）（x-2）=0，则有x+2=0或x-2=0，故x=2或x=-2．
明确 直接开平方法一般都可以通过移项，运用平方差公式、因式分解法解这个一元二次方程．
互动2
我们知道方程x2=4可以用因式分解法解，那么方程x2-1=0能否用直接开平方来解呢？要用直接开平方来解，首先应将它化成什么形式？让学生自己动手，说明原因，并将以下两个方程x2-2=0，16x2-25=0分别用两种方法解出来．教师引导并表扬，接着提出：方程3x2+2x=0，x2=3x是否都能用这两种方法来解？
明确 一般直接开平方法可以用因式分解法来解一元二次方程，但我们不能将所有用因式分解法的都用直接开平方法来解．比如：3x2+2x=0只能用因式分解法，得x（3x+2）=0，所以x=0或3x+2=0，原方程的解是x1=0，x2=-．x2=3x也只能用因式分解法，移项得x2-3x=0，x（x-3）=0，所以x=0或x-3=0，原方程的解是x1=0，x2=3．
互动3
教材P30练习2：小明在解x2=3x时，将方程两边同除以x得x=3，这样的做法对吗？为什么？
明确 这种做法不对，因为方程两边同时整除了整式x，这样方程会失根，失去x=0这个根，因此，这题只能用因式分解法来解这个一元二次方程．
互动4
教材P30例3：解方程（x+1）2-4=0．
师：这个方程能否用其他方法来解？
生：可以用因式分解法，得（x+1+2）（x+1-2）=0，（x+3）（x-1）=0，所以x+3=0或x-1=0，原方程的解为x1=-3，x2=1．
师：同学们可以将方程（2-x）2-9=0变形为 （2-x+3）（2-x-3）=0 ，有 （x-5）（x+1）=0 ，所以原方程的解为x1= -1 ，x2= 5 ．
明确 这两个方程都可以转化为（ ）2＝a的形式，从而用直接开平方法来解，将（x+1）、（2-x）看成一个整体，培养学生的整体观念．
4．达标反馈
（1）选择题：
①方程2x2=1的解为 （B）
A．x=± B．x=± C．x= D．x=
②方程2x2-0.15=0的解为 （D）
A．x= B．x=-
C．x1=0.27，x2=-0.27 D．x1=，x2=-
③方程x2=a的实数根的个数是 （D）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
④方程（x+2）2-3=0的根是 （D）
A．x1=2+ B．x1=2+，x2=-2+
C．x1=-2-，x2=2+ D．x1=-2+，x2=-2-
⑤对于形如（x+m）2=n的方程，它的解的正确表达式为 （C）
A．都可以用直接开平方法求解，且x=±
B．当n≥0时，x=m±
C．当n≥0时，x=±-m
D．当n≥0时，x=±
⑥方程（2-3x）+（3x-2）2=0的解是 （B）
A．x1=，x2=-1 B．x1=，x2=1
C．x1=，x2= D．x1=x2=
⑦设（x+y）（x+2+y）-15=0，则x+y的值为 （B）
A．-3或5 B．-5或3 C．3 D．-5
（2）填空题：
①若8x2-16=0，则x的值是 ± ．
②若方程（x-a）2+b=0有解，则b的取值范围是 b≤0 ．
③方程2（x-3）2=72的解为 x1=-3，x2=9 ．
④方程（x-2）2=（x-2）的根是 x1=2，x2=3 ．
⑤（盐城市，1998）方程（x+3）（x+1）=6x+4的解是 x1=1-，x2=1+ ．
⑥方程（2x+1）2+3（2x+x）+2=0的解是 x1=- ，x2=-3 ．
（3）解答题：
①用因式分解法解下列方程：
⑴（x+2）2=2x=4； ⑵4（x-3）2-x（x-3）=0；
⑶10x2-11x-6=0； ⑷9（x-2）2=4（x+1）2．
【答案】 ⑴x1=0，x2=-2 ⑵x1=3，x2=4 ⑶x1=-，x2= ⑷x1=，x2=8
②用直接开平方法解下列方程：
⑴x2=8； ⑵3x2=0； ⑶4（1-x）2-9=0； ⑷4x2-256=0； ⑸（x-1）2=；
⑹2x2-5=0； ⑺16x2-25=0； ⑻x2+4=0．
【答案】 ⑴x=±2 ⑵x=0 ⑶-， ⑷x=±8 ⑸x1=-2，x2=4 ⑹x=± ⑺x=± ⑻无解
5．学习小结
（1）引导学生作知识总结：本节课运用平方根理论求一元二次方程的解，用因式分解法求一元二次方程的解，充分运用直接开平方法、因式分解法灵活解一些简单的一元二次方程．
（2）教师扩展：（方法归纳）直接开平方法一般是利用x2=a的形式，通过求平方根来解，而因式分解法一般化成一般形式，将左边的因式运用因式分解分成两个因式的积，运用ab=0时a=0或b=0来解这两个一元一次方程．
（二）拓展延伸
1．链接生活
链接一：不完全的一元二次方程的解法：在不完全的一元二次方程中，一次项与常数项至少缺一项．即b与c至少一个等于零，这类方程从形式与解法上比一般一元二次方程要简单，因此要研究这类方程最简捷的解法，从规律上看有两种方法：一是因式分解法，二是直接开平方法．
链接二：你可以用我们今天所学的知识来解下列方程吗？
（1）x3-2x2=0； （2）4x3-x=0； （3）x3-2x2-3x=0； （4）x4-5x2+6=0．
你能总结一下解一元二次方程的数学思想吗？（降次化为一元一次方程为解）
2．巩固练习
（1）用因式分解法解下列方程
①x3-（x-1）3=1； ②（x-3）（x+1）=5；
③14（x-4）2+9（x-4）-65=0； ④3（-x）2-5（x-）-2=0．
【答案】 ①x1=0，x2=1 ②x1=-2，x2=4 ③x1= ，x2= ④x1=，x2=
（2）选择适当的方法解下列关于x的方程：
①（2x-）2=8； ②12x2+7x+1=0；
③（x-）=5x（-x）； ④4（2x+1）2-4（2x+1）+1=0．
【答案】 ①-，； ②x1=-，x2=- ③x1=，x2=0 ④x= -
（3）若6y2-5xy+x2=0，求证x=2y或者x=3y．
【答案】 6y2=5xy+x=（2y-x）（3y-x）=0，∴2y-x=0或3y-x=0 即x=2y或x=3y．
（4）用直接开平方解下列方程：
①x2-64=0； ②5y2=；
③（x-2）2=15； ④（2x-3）2=9（x+4）2．
【答案】 ①x=±8 ②y=± ③x1=-3，x=2=7 ④x1=-，x2=-15
（5）下面解方程（x-2）（x+3）=6的解法对不对？为什么？
解法1：原方程即
（x-2）（x+3）=1×6，
x-2=1或x+3=6，
∴x1=3，x2=3．
解法2：原方程可变形为
x2+x-12=0，
（x+4）（x-3）=0，
∴x+4=0，∴x=-4
（6）解下列关于x的方程：
①x2+3xy-4y2=0； ②2x2+5xy-3y2=0
【答案】 ①x1=-4y，x2=y ②x1=，x2=-3y
（三）板书设计
§22．2 一元二次方程的解法
2．一元二次方程的解法
直接开平方法：____________ 例题讲解：_________
因式分解法：______________ 学生练习：_________
注意事项：________________
六、资料下载
数学史上的一则“冤案”
人类很早就掌握了一元二次方程的解法，但是对一元三次方程的研究，则是进展缓慢．古代中国、希腊和印度等地的数学家，都曾努力研究过一元三次方程，但是他们所发明的几种解法，都仅仅能够解决特殊形式的三次方程，对一般形式的三次方程就不适用了．
在16世纪的欧洲，随着数学的发展，一元三次方程也有了固定的求解方法．在很多数学文献上，把三次方程的求根公式称为“卡尔丹诺公式”，这显然是为了纪念世界上第一位发表一元三次方程求根公式的意大利数学家卡尔丹诺．那么，一元三次方程的通式解，是不是卡尔丹诺首先发现的呢？历史事实并不是这样．
数学史上最早发现一元三次方程通式解的人，是16世纪意大利的另一位数学家尼柯洛．冯塔纳（Niccolo Fontana）．冯塔纳出身贫赛，少年丧父，家中也没有条件供他念书，但是他通过艰苦的努力，终于自学成才，成为16世纪意大利最有成就的学者之一．由于冯塔纳患有“口吃症”，所以当时的人们昵称他为“塔尔塔里亚”（Tartaglia），也就是意大利语中“结巴”的意思．后来的很多数学书中，都直接用“塔尔塔里亚”来称呼冯塔纳．
经过多年的探索和研究，冯塔纳利用十分巧妙的方法，找到了一元三次方程一般形式的求根方法．这个成就，使他在几次公开的数学较量中大获全胜，从此名扬欧洲．但是冯塔纳不愿意将他的这个重要发现公之于世．
当时的另一位意大利数学家兼医生卡尔丹诺，对冯塔纳的发现非常感兴趣．他几次诚恳地登门请教，希望获得冯塔纳的求根公式．可是冯塔纳始终守口如瓶，滴水不漏．虽然卡尔丹诺屡次受挫，但他极为执著，软磨硬泡地向冯塔纳“挖秘诀”．后来，冯塔纳终于用一种隐晦得如同咒语般的语言，把三次方程的解法“透露”给了卡尔丹诺．冯塔纳认为卡尔丹诺很难破解他的“咒语”，可是卡尔丹诺的悟性太棒了，他通过解三次方程的对比实践，很快就彻底破译了冯塔纳的秘密．
卡尔丹诺把冯塔纳的三次方程求根公式，写进了自己的学术著作《大法》中，但并未提到冯塔纳的名字．随着《大法》在欧洲的出版发行，人们才了解到三次方程的一般求解方法．由于第一个发表三次方程求根公式的人确实是卡尔丹诺，因此后人就把这种求解方法称为“卡尔丹诺公式”．
卡尔丹诺剽窃他人的学术成果，并且据为己有，这一行为在人类数学史上留下了不甚光彩的一页．这个结果，对于付出艰辛劳动的冯塔纳当然是不公平的．但是，冯塔纳坚持不公开他的研究成果，也不能算是正确的做法，起码对于人类科学的发展而言，是一种不负责任的态度．