公式法解一元二次方程
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文档简介
22.2.3公式法解一元二次方程
一、素质教育目标
（一）知识储备点
理解并掌握一元二次方程的求根公式，正确、熟练地运用公式法解一元二次方程，了解b-4ac的值对一元二次方程根的意义．
（二）能力培养点
通过求根公式的推导，培养学生推理能力，运用公式法解一元二次方程，培养学生运用公式解决问题的能力，全面培养学生解方程的能力，使学生解方程的能力得到切实的提高．
（三）情感体验点
让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解，形成全面解决问题的积极情感，感受公式的对称美、简洁美，产生热爱数学的情感．
二、教学设想
1．重点：运用公式法解一元二次方程．
2．难点：正确确定系数和准确运用公式．
3．疑点：b-4ac<0时，一元二次方程的解．
4．课型与基本教学思路：新授课．本节课运用配方法解ax2+bx+c=0（a≠0），推导出一元二次方程的求根公式，并能运用求根公式解一元二次方程．
三、媒体平台
1．教具、学具准备：自制投影胶片
2．多媒体课件撷英：
【注意】 课件要根据实际需要进行适当修改．
四、课时安排
１课时
五、教学步骤
（一）教学流程
（1）用配方法解2x2-8x-9=0．
（2）你能用配方法解一般形式的一元二次方程吗？ax2+bx+c=0（a≠0）
2．课前热身
（1）什么是一元二次方程的一般形式？（2）配方法解一元二次方程的步骤是什么？
3．合作探究
（1）整体感知：学生先运用配方法解2x2-8x-9=0；
二次项系数化为1得x2-4x-=0；
移项x2-4x=；
配方x2-4x+22=+4；
（x-2）2=，x-2=或x-2=-；
解得x1=2+，x2=2-．
引导学生继续解ax2+bx+c=0（a≠0）；
二次项系数化为1得x2+x+=0；
移项x2+x=-；
配方x2+2·x·+（）2=（）2-
即（x+）2=．
（2）师生互动
互动1
师：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式中，要求b2-4ac≥0，那么b2-4ac<0时会怎样呢？
生：当b2-4ac<0时，没有意义，此时一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）无实数解．
明确 b2-4ac≥0是公式的一个重要组成部分，是求根公式成立的前提条件，这一点是解一元二次方程的一个隐藏条件．当b2-4ac<0时，此方程无解，也是判断一元二次方程无解的一个前提条件．因为a≠0，所以4a2>0，当b2-4ac≥0时，直接开平方得x+=±，所以x=-=即x=．教师概括出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式x=（b2-4ac≥0）．利用这个公式可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法．
互动2
P34例6解下列方程：
①2x2+x-6=0； ②x2+4x=2；
③5x2-4x-12=0； ④4x2+4x+10=1-8x．
明确 运用公式法解一元二次方程的步骤：（1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值；（2）求出b2-4ac的值；（3）若b2-4ac≥0，把a、b、c及b2-4ac的值代入一元二次方程的求根公式，求出方程的根；若b2-4ac<0，此时方程无解．
互动3
请同学们根据学习体会、小结一下解一元二次方程的几种方法，通常你是如何选择的？请同学们交流，教师鼓励发言．
明确 解一元二次方程一般有以下四种方法：直接开平方法、因式分解法、配方法、求根公式法．（1）当方程形如（x-a）2=b（b≥0）时，可用直接开平方法；（2）当方程左边可以直接简单因式分解时，可选用因式分解法；（3）配方法是一种重要的解法，尤其要熟悉配方法的整个过程，但解一般方程不选用这种解法；（4）公式法是一元二次方程最重要的、最常用的解法，任何一元二次方程都可以选用这种解法，我们有时也称它为万能公式．
4．达标反馈
选择题：
（1）用公式法解方程4x2+12x+3，得到 （A）
A．x= B．x= C．x= D．x=
（2）关于x的方程ax2+bx+c=0，已知a>0，b>0，c<0，则下列结论正确的是（B）
A．有两个正实数根 B．两根异号且正根绝对值大于负根绝对值
C．有两个负实数根 D．两根异号且负根绝对值大于正根绝对值
（3）关于x的一元二次方程k（x2-2x+1）-2x2+x=0有两个实数根，则k的取值范围是（C）
A．k>- B．k≥- C．k>-且k≠2 D．k≥-且k≠2
（2）解答题：
①用公式法解下列方程
⑴6x2-13x-5=0； ⑵x（x+8）=16；
⑶x2-4x=4； ⑷-x2-3x+6=0；
⑸x2=2（x+1）； ⑹0.009x2-3x+6=0；
⑺4y2-（+8）y+=0．
【答案】 ⑴，- ⑵±4-4 ⑶±＋ ⑷±-3 ⑸±+1
⑹ ⑺
②求关于x的一元二次方程m2-2m+m（x2+1）=x的二次项系数、一次项系数和常数项．
【答案】 m，-1，m2-m
③不解方程，判别下列方程的根的情况．
⑴2x2+3x-4=0； ⑵16y2+9=24y； ⑶5（x2+1）-7x=0．
【答案】 ⑴两不等实根 ⑵两等根 ⑶无实根
5．学习小结
（1）引导学生作知识总结：本节课通过配方法求解一般形式的一元二次方程的根，推出了一元二次方程的求根公式，并按照公式法的步骤解一元二次方程．
（2）教师扩展：（方法归纳）求根公式是一元二次方程的专用公式，只有在确定方程是一元二次方程时才能使用，同时，求根公式也适用于解任何一元二次方程，是常用而重要的一元二次方程的万能求根公式．
（二）拓展延伸
1．链接生活
链接一：通过本节课的学习我们知道，根据b2-4ac值的情况可以判别方程根的情况．当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的根；b2-4ac<0时，方程没有实数根．你能解决这样的问题吗？若关于x的方程x2+2（a+1）x+（a2+4a-5）=0有实数根，试求正整数a的值．
链接二：根据求根公式x=（b2-4ac≥0），请同学们计算方程的两根之和与两根之积，并根据你的计算结果计算下列各题．
（1）设x1、x2是方程3x2-2x-4=0的两根，不解方程，求下列各式的值：
①+；②+；③（x1-x2）2；④x13+x23．
（2）已知关于x的方程2x2-（4m-3）x+m2-2=0，根据下列条件，分别求出m的值：①两根互为相反数；②两根互为倒数；③有一根为零；④有一根为1．
2．巩固练习
（1）选择适当的方法解下列关于x的方程：
①（2x-）2=8； ②12x2+7x+1=0；
③x2-2x-1=0； ④4（2x+1）2-4（2x+1）+1=0；
⑤mx2-（3m2+2）x+6m=0（m≠0）．
【答案】 ①x1=，x2=- ②x1=-，x2=- ③x=± ④x=-
⑤x1=，x2=3m
（2）用公式法解下列方程．
①2x2-5x+2=0； ②x2-2x+=0；
③2mnx2+2m2x=n2x+mn（mn≠0）．
【答案】 ①x1=2，x2= ②x= ③x1=，x2=-
（3）求证：方程（x-a）（x-a-b）=1有两个实数根，其中一个大于a，另一个小于a．
【答案】 略
（4）已知关于x的方程2x2+7x+c=0有两个相等的实数根，求c和x的值．
【答案】 c=，x=-
（5）关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是什么？
【答案】 k>-1且k≠0
（6）不解方程，判别下列方程的根的情况．
①2x2+4x+35=0； ②4m（m-1）+1=0；
③0.2x2-5=x； ④4（y2+0.99）=2.4y；
⑤x2-=x； ⑥2t=（t2+）．
【答案】 ①无实根;②两等根; ③两不等实根;④无实根;⑤两不等实根;⑥两等根
7．求证：关于x的方程x2+（2k+1）x+k-1=0有两个不相等的实数根．
【答案】 证：△=（2k+1）2-4（k-1）=4k2+5>0，
所以原方程有两个不相等的实数根．
（三）板书设计
§22．2 一元二次方程的解法
3．公式法解一元二次方程
公式法：___________________ 例题讲解：___________
公式法的步骤：_____________ 学生练习：___________
注意事项：_________________
六、资料下载
已知方程的根怎样求一元二次方程中待定的字母系数及其他？
已知方程ax2+bx+c=0，变形为
x2+x+=0，变形为
（x+）2=
依求根公式得它的两根为
x1，x2＝
可见，一元二次方程的根是由它的系数确定的．
可以算出：x1+x2=-；x1·x2=（根与系数的关系）所以，我们可以利用根与系数的关系去求．
例1 已知方程5x2+（k-1）x-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值．
解法一 设方程的另一根为x1，那么根据根与系数的关系，得2x1=-，
∴x1=-，
又-＋2＝－，∴k-1=-5（-+2），
k-1=-7，k=-6，
答：方程的另一根是-，k的值是-6．
解法二 ∵2是方程5x2+（k-1）x-6=0的根．
∴5×22+（k-1）×2-6=0
k=-6
又设方程的另一个根是x2，则
2x2=-，x2=-，
答：方程的另一个根是-，k的值是-6．
例2 已知方程2x2-（m-1）x+m+1=0的两根满足关系式x1-x2=1，求参数m和两个根．
解 ∵x1-x2=1，
∴（x1-x2）2=1，
（x1+x2）2-4x1x2=1，
（）2－×4=1
整理，得
m2-10m-11=0，
（m-11）（m+1）=0，
∴m1=11，m2=-1，
当m1=11时，原方程为2x2-10x+12=0，
解得x1=2，x2=3，
当m2=-1时，原方程为2x2+2x=0，
解得x1=0，x2=-1．
例3 已知方程x2+3x+m=0的两根为x1、x2，m为何值时，3x1-x2=4．
解 ∵3x1-x2=4，
∴3（x1+x2）-4x2=4，
∵x1+x2=-3，
∴3×（-3）-4x2=4，
x2=-，
将x2=-代入原方程，得
（-）2＋3×（-）+m=0
m=－．
一、素质教育目标
（一）知识储备点
理解并掌握一元二次方程的求根公式，正确、熟练地运用公式法解一元二次方程，了解b-4ac的值对一元二次方程根的意义．
（二）能力培养点
通过求根公式的推导，培养学生推理能力，运用公式法解一元二次方程，培养学生运用公式解决问题的能力，全面培养学生解方程的能力，使学生解方程的能力得到切实的提高．
（三）情感体验点
让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解，形成全面解决问题的积极情感，感受公式的对称美、简洁美，产生热爱数学的情感．
二、教学设想
1．重点：运用公式法解一元二次方程．
2．难点：正确确定系数和准确运用公式．
3．疑点：b-4ac<0时，一元二次方程的解．
4．课型与基本教学思路：新授课．本节课运用配方法解ax2+bx+c=0（a≠0），推导出一元二次方程的求根公式，并能运用求根公式解一元二次方程．
三、媒体平台
1．教具、学具准备：自制投影胶片
2．多媒体课件撷英：
【注意】 课件要根据实际需要进行适当修改．
四、课时安排
１课时
五、教学步骤
（一）教学流程
（1）用配方法解2x2-8x-9=0．
（2）你能用配方法解一般形式的一元二次方程吗？ax2+bx+c=0（a≠0）
2．课前热身
（1）什么是一元二次方程的一般形式？（2）配方法解一元二次方程的步骤是什么？
3．合作探究
（1）整体感知：学生先运用配方法解2x2-8x-9=0；
二次项系数化为1得x2-4x-=0；
移项x2-4x=；
配方x2-4x+22=+4；
（x-2）2=，x-2=或x-2=-；
解得x1=2+，x2=2-．
引导学生继续解ax2+bx+c=0（a≠0）；
二次项系数化为1得x2+x+=0；
移项x2+x=-；
配方x2+2·x·+（）2=（）2-
即（x+）2=．
（2）师生互动
互动1
师：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式中，要求b2-4ac≥0，那么b2-4ac<0时会怎样呢？
生：当b2-4ac<0时，没有意义，此时一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）无实数解．
明确 b2-4ac≥0是公式的一个重要组成部分，是求根公式成立的前提条件，这一点是解一元二次方程的一个隐藏条件．当b2-4ac<0时，此方程无解，也是判断一元二次方程无解的一个前提条件．因为a≠0，所以4a2>0，当b2-4ac≥0时，直接开平方得x+=±，所以x=-=即x=．教师概括出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式x=（b2-4ac≥0）．利用这个公式可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法．
互动2
P34例6解下列方程：
①2x2+x-6=0； ②x2+4x=2；
③5x2-4x-12=0； ④4x2+4x+10=1-8x．
明确 运用公式法解一元二次方程的步骤：（1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值；（2）求出b2-4ac的值；（3）若b2-4ac≥0，把a、b、c及b2-4ac的值代入一元二次方程的求根公式，求出方程的根；若b2-4ac<0，此时方程无解．
互动3
请同学们根据学习体会、小结一下解一元二次方程的几种方法，通常你是如何选择的？请同学们交流，教师鼓励发言．
明确 解一元二次方程一般有以下四种方法：直接开平方法、因式分解法、配方法、求根公式法．（1）当方程形如（x-a）2=b（b≥0）时，可用直接开平方法；（2）当方程左边可以直接简单因式分解时，可选用因式分解法；（3）配方法是一种重要的解法，尤其要熟悉配方法的整个过程，但解一般方程不选用这种解法；（4）公式法是一元二次方程最重要的、最常用的解法，任何一元二次方程都可以选用这种解法，我们有时也称它为万能公式．
4．达标反馈
选择题：
（1）用公式法解方程4x2+12x+3，得到 （A）
A．x= B．x= C．x= D．x=
（2）关于x的方程ax2+bx+c=0，已知a>0，b>0，c<0，则下列结论正确的是（B）
A．有两个正实数根 B．两根异号且正根绝对值大于负根绝对值
C．有两个负实数根 D．两根异号且负根绝对值大于正根绝对值
（3）关于x的一元二次方程k（x2-2x+1）-2x2+x=0有两个实数根，则k的取值范围是（C）
A．k>- B．k≥- C．k>-且k≠2 D．k≥-且k≠2
（2）解答题：
①用公式法解下列方程
⑴6x2-13x-5=0； ⑵x（x+8）=16；
⑶x2-4x=4； ⑷-x2-3x+6=0；
⑸x2=2（x+1）； ⑹0.009x2-3x+6=0；
⑺4y2-（+8）y+=0．
【答案】 ⑴，- ⑵±4-4 ⑶±＋ ⑷±-3 ⑸±+1
⑹ ⑺
②求关于x的一元二次方程m2-2m+m（x2+1）=x的二次项系数、一次项系数和常数项．
【答案】 m，-1，m2-m
③不解方程，判别下列方程的根的情况．
⑴2x2+3x-4=0； ⑵16y2+9=24y； ⑶5（x2+1）-7x=0．
【答案】 ⑴两不等实根 ⑵两等根 ⑶无实根
5．学习小结
（1）引导学生作知识总结：本节课通过配方法求解一般形式的一元二次方程的根，推出了一元二次方程的求根公式，并按照公式法的步骤解一元二次方程．
（2）教师扩展：（方法归纳）求根公式是一元二次方程的专用公式，只有在确定方程是一元二次方程时才能使用，同时，求根公式也适用于解任何一元二次方程，是常用而重要的一元二次方程的万能求根公式．
（二）拓展延伸
1．链接生活
链接一：通过本节课的学习我们知道，根据b2-4ac值的情况可以判别方程根的情况．当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的根；b2-4ac<0时，方程没有实数根．你能解决这样的问题吗？若关于x的方程x2+2（a+1）x+（a2+4a-5）=0有实数根，试求正整数a的值．
链接二：根据求根公式x=（b2-4ac≥0），请同学们计算方程的两根之和与两根之积，并根据你的计算结果计算下列各题．
（1）设x1、x2是方程3x2-2x-4=0的两根，不解方程，求下列各式的值：
①+；②+；③（x1-x2）2；④x13+x23．
（2）已知关于x的方程2x2-（4m-3）x+m2-2=0，根据下列条件，分别求出m的值：①两根互为相反数；②两根互为倒数；③有一根为零；④有一根为1．
2．巩固练习
（1）选择适当的方法解下列关于x的方程：
①（2x-）2=8； ②12x2+7x+1=0；
③x2-2x-1=0； ④4（2x+1）2-4（2x+1）+1=0；
⑤mx2-（3m2+2）x+6m=0（m≠0）．
【答案】 ①x1=，x2=- ②x1=-，x2=- ③x=± ④x=-
⑤x1=，x2=3m
（2）用公式法解下列方程．
①2x2-5x+2=0； ②x2-2x+=0；
③2mnx2+2m2x=n2x+mn（mn≠0）．
【答案】 ①x1=2，x2= ②x= ③x1=，x2=-
（3）求证：方程（x-a）（x-a-b）=1有两个实数根，其中一个大于a，另一个小于a．
【答案】 略
（4）已知关于x的方程2x2+7x+c=0有两个相等的实数根，求c和x的值．
【答案】 c=，x=-
（5）关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是什么？
【答案】 k>-1且k≠0
（6）不解方程，判别下列方程的根的情况．
①2x2+4x+35=0； ②4m（m-1）+1=0；
③0.2x2-5=x； ④4（y2+0.99）=2.4y；
⑤x2-=x； ⑥2t=（t2+）．
【答案】 ①无实根;②两等根; ③两不等实根;④无实根;⑤两不等实根;⑥两等根
7．求证：关于x的方程x2+（2k+1）x+k-1=0有两个不相等的实数根．
【答案】 证：△=（2k+1）2-4（k-1）=4k2+5>0，
所以原方程有两个不相等的实数根．
（三）板书设计
§22．2 一元二次方程的解法
3．公式法解一元二次方程
公式法：___________________ 例题讲解：___________
公式法的步骤：_____________ 学生练习：___________
注意事项：_________________
六、资料下载
已知方程的根怎样求一元二次方程中待定的字母系数及其他？
已知方程ax2+bx+c=0，变形为
x2+x+=0，变形为
（x+）2=
依求根公式得它的两根为
x1，x2＝
可见，一元二次方程的根是由它的系数确定的．
可以算出：x1+x2=-；x1·x2=（根与系数的关系）所以，我们可以利用根与系数的关系去求．
例1 已知方程5x2+（k-1）x-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值．
解法一 设方程的另一根为x1，那么根据根与系数的关系，得2x1=-，
∴x1=-，
又-＋2＝－，∴k-1=-5（-+2），
k-1=-7，k=-6，
答：方程的另一根是-，k的值是-6．
解法二 ∵2是方程5x2+（k-1）x-6=0的根．
∴5×22+（k-1）×2-6=0
k=-6
又设方程的另一个根是x2，则
2x2=-，x2=-，
答：方程的另一个根是-，k的值是-6．
例2 已知方程2x2-（m-1）x+m+1=0的两根满足关系式x1-x2=1，求参数m和两个根．
解 ∵x1-x2=1，
∴（x1-x2）2=1，
（x1+x2）2-4x1x2=1，
（）2－×4=1
整理，得
m2-10m-11=0，
（m-11）（m+1）=0，
∴m1=11，m2=-1，
当m1=11时，原方程为2x2-10x+12=0，
解得x1=2，x2=3，
当m2=-1时，原方程为2x2+2x=0，
解得x1=0，x2=-1．
例3 已知方程x2+3x+m=0的两根为x1、x2，m为何值时，3x1-x2=4．
解 ∵3x1-x2=4，
∴3（x1+x2）-4x2=4，
∵x1+x2=-3，
∴3×（-3）-4x2=4，
x2=-，
将x2=-代入原方程，得
（-）2＋3×（-）+m=0
m=－．
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