学习目标
理解并掌握圆内接四边形的定义及性质.
能灵活运用圆内接四边形的性质解决相关问题.
圆周角定理:
一条弧所对的圆周角等于该弧它所对的圆心角的一半;
圆周角定理
复习回顾
圆周角定理的推论
同弧或等弧所对的圆周角相等.
A1
A2
A3
圆周角和直径的关系
半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于90°.
复习回顾
如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆.
圆内接多边形
知识精讲
如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,⊙O为四边形ABCD的外接圆.
探究性质
猜想:∠A与∠C, ∠B与∠D之间的关系为:
∠A+ ∠C=180?,
∠B+ ∠D=180?
思考:如何证明你的猜想呢?
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角,
∴∠A+∠C=180°,
同理∠B+∠D=180°.
推论:圆的内接四边形的对角互补.
知识精讲
C
O
D
B
A
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角,
∴∠A+∠C=180°,
同理∠B+∠D=180°,
E
延长BC到点E,有
∠BCD+∠DCE=180°.
∴∠A=∠DCE.
图中∠A与∠DCE的大小有何关系?
推论:圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.
知识精讲
1.四边形ABCD是⊙O的内接四边形,且∠A=110°,∠B=80°,则∠C= ,∠D= .
2.⊙O的内接四边形ABCD中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 ,则∠D= .
70?
100?
90?
针对练习
例1:如图,AB为⊙O的直径,CF⊥AB于E,交⊙O于D,AF交⊙O于G. 求证:∠FGD=∠ADC.
证明:∵四边形ACDG内接于⊙O,∴∠FGD=∠ACD.
又∵AB为⊙O的直径,CF⊥AB于E,∴AB垂直平分CD,
∴AC=AD,
∴∠ADC=∠ACD,
∴∠FGD=∠ADC.
【点睛】圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据.
典例解析
如图,在⊙O的内接四边形ABCD中,∠BOD=120°,那么∠BCD是( )
A.120° B.100°
C.80° D.60°
解析:∵∠BOD=120°,∴∠A=60°,∴∠C=180°-60°=120°,故选A.
A
针对练习
解:设∠A,∠B,∠C的度数分别对于2x,3x,6x,
例2 在圆内接四边形ABCD中, ∠A,∠B,∠C的度数之比是2︰3︰6.求这个四边形各角的度数.
∵四边形ABCD内接于圆,
∴ ∠A+ ∠C=∠B+∠D=180°,
∵2x+6x=180°,
∴ x=22.5°.
∴ ∠A=45°, ∠B=67.5°, ∠C =135°,
∠D=180°-67.5°=112.5°.
典例解析
1.判断
(1)同一个圆中等弧所对的圆周角相等 ( )
(2)相等的弦所对的圆周角也相等 ( )
(3)同弦所对的圆周角相等 ( )
√
×
×
达标检测
2.已知△ABC的三个顶点在⊙O上,∠BAC=50°,∠ABC=47°, 则
∠AOB= .
B
A
C
O
166°
3.如图,已知BD是⊙O的直径,⊙O的弦AC⊥BD于点E,若∠AOD=60°,则∠DBC的度数为( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
A
达标检测
4.如图,四边形ABCD内接于⊙O,如果∠BOD=130°,则∠BCD的度数是( )
A 115° B 130°
C 65° D 50°
5.如图,等边三角形ABC内接于⊙O,P是AC上的一点,则∠APC= .
A
B
C
D
O
A
B
C
P
C
120°
达标检测
6.如图,已知圆心角∠AOB=100°,则圆周角∠ACB= ,∠ADB= .
130°
50°
7.如图,△ABC的顶点A、B、C都在⊙O上,∠C=30 °,AB=2,则⊙O的半径是 .
C
A
B
O
解:连接OA、OB
∵∠C=30 ° ,∴∠AOB=60 °
又∵OA=OB ,∴△AOB是等边三角形
∴OA=OB=AB=2,即半径为2.
2
达标检测
A
O
B
C
∴∠ACB=2∠BAC
证明:
8. 如图,OA,OB,OC都是⊙O的半径,∠AOB=2∠BOC. 求证:∠ACB=2∠BAC.
∠AOB=2∠BOC,
达标检测
9.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E,
(1)BD与CD的大小有什么关系?为什么?
(2)求证: .
A
B
C
D
E
∵AB是圆的直径,点D在圆上,
∴∠ADB=90°,
∴AD⊥BC,
∵AB=AC, ∴BD=CD.
∵AD平分顶角∠BAC,即∠BAD=∠CAD,
(同圆或等圆中相等的圆周角所对弧相等).
解:BD=CD.理由是:连接AD,
达标检测
10.船在航行过程中,船长通过测定角数来确定是否遇到暗礁,如图,A、B表示灯塔,暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内,优弧AB上任一点C都是有触礁危险的临界点,∠ACB就是“危险角”,当船位于安全区域时,∠α与“危险角”有怎样的大小关系?
解:当船位于安全区域时,即船位于暗礁区域外(即⊙O外) ,与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”.
达标检测
小结梳理
如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆.
圆内接多边形
性质2:圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.
性质1:圆的内接四边形的对角互补.