2019-2020学年江西省新余市高一下学期期末数学试卷（文科） （word解析版）

2019-2020学年江西省新余市高一第二学期期末数学试卷（文科）
一、选择题（共12小题）.
1．已知集合A＝{x|x2﹣3x＜0}，B＝{x|y＝ln（x﹣2）}，则A∩B＝（　　）
A．（2，+∞） B．（2，3） C．（3，+∞） D．（﹣∞，2）
2．若角α的终边过点P（2cos60°，sin45°），则sinα＝（　　）
A．﹣ B． C． D．
3．下列四个函数中，以π为最小周期，且在区间（）上为减函数的是（　　）
A．y＝sin2x B．y＝2|cosx| C．y＝cos D．y＝tan（﹣x）
4．《张丘建算经》中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织5尺布，一月（按30天计）共织390尺布，则从第2天起每天比前一天多织（　　）尺布．
A． B． C． D．
5．D是△ABC的边BC上的一点，且BD＝BC，设＝，＝，则等于（　　）
A．（﹣） B．（﹣） C．（2+） D．（2﹣）
6．数列{an}的通项公式是an＝（n∈N*），若前n项的和为，则项数为（　　）
A．12 B．11 C．10 D．9
7．设变量x，y满足约束条件，则z＝x﹣y的最大值为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．已知函数f（x）＝sin（2x﹣），g（x）＝sinx，要得到函数y＝f（x）的图象，只需将函数y＝g（x）的图象上的所有点（　　）
A．横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得到
B．横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位得到
C．横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位得到
D．横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位得到
9．已知a＝sin17°cos45°+cos17°sin45°，b＝2cos213°﹣1，，则有（　　）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b
10．函数y＝Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象如图所示，则函数表达式为（　　）
A．y＝﹣4sin（） B．y＝4sin（）
C．y＝﹣4sin（） D．y＝4sin（）
11．已知α，β是函数f（x）＝sinx+cosx﹣在[0，2π）上的两个零点，则cos（）＝（　　）
A．﹣ B． C． D．0
12．已知函数f（x）＝sin（ωx+）﹣cos（ωx+）（ω＞0）在区间[﹣，]上单调，且在区间[0，2π]内恰好取得一次最大值2，则ω的取值范围是（　　）
A．（0，] B．[，] C．（0，] D．[，]
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分．请将正确答案填在答题卷相应位置．）
13．用弧度制表示所有与75°终边相同的角的集合是　 　．
14．若x＞1，则x+的最小值是　 　．
15．将函数f（x）＝2sin（2x+）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到g（x）的图象．若g（x1）g（x2）＝9，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则2x1﹣x2的最大值为　 　．
16．O为坐标原点，已知向量＝（1，5），＝（4，2），＝（6，8），x，y为非负实数且0≤x+y≤1，＝x+y，则||的最小值为　 　．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知{an}为等差数列，且a3＝6，a6＝0．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）若等比数列{bn}满足b1＝3，b2＝a4+a5，求{bn}的前n项和公式．
18．已知向量、的夹角为，且，．
（1）求的值；
（2）求与的夹角的余弦．
19．已知．
（1）化简f（α）；
（2）若，且α是第二象限角，求的值．
20．已知函数的最小正周期为π．
（1）求f（x）的单调增区间和对称轴；
（2）若x∈，求f（x）的最大值和最小值．
21．已知x∈[0，]，设向量＝（sinx，cosx），＝（，）．
（1）若∥，求x的值；
（2）若＝，求sin（x﹣）的值．
22．已知x0，x0+是函数f（x）＝cos2（ωx﹣）﹣sin2ωx（ω＞0）的两个相邻的零点．
（1）求f（）的值；
（2）若对任意，都有f（x）﹣m≤0，求实数m的取值范围．
（3）若关于x的方程在上有两个不同的解，求实数m的取值范围．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．已知集合A＝{x|x2﹣3x＜0}，B＝{x|y＝ln（x﹣2）}，则A∩B＝（　　）
A．（2，+∞） B．（2，3） C．（3，+∞） D．（﹣∞，2）
解：∵集合A＝{x|x2﹣3x＜0}＝{x|0＜x＜3}，
B＝{x|y＝ln（x﹣2）}＝{x|x＞2}．
∴A∩B＝{x|2＜x＜3}．＝（2，3）．
故选：B．
2．若角α的终边过点P（2cos60°，sin45°），则sinα＝（　　）
A．﹣ B． C． D．
解：因为角α的终边过点P（2cos60°，sin45°），可得P（1，1），
所以sinα＝＝．
故选：C．
3．下列四个函数中，以π为最小周期，且在区间（）上为减函数的是（　　）
A．y＝sin2x B．y＝2|cosx| C．y＝cos D．y＝tan（﹣x）
解：在A中，y＝sin2x的最小正周期是π，
在区间（）上先减后增；
在B中，y＝2|cosx|的最小周期是π，
在区间（）上为增函数；
在C中，y＝cos的最小正周期是4π，
在区间（）上为减函数；
在D中，y＝tan（﹣x）的最小正周期是π，
在区间（）上为减函数．
故选：D．
4．《张丘建算经》中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织5尺布，一月（按30天计）共织390尺布，则从第2天起每天比前一天多织（　　）尺布．
A． B． C． D．
解：由题可知，是等差数列，
首项是5，公差为d，前30项和为390．
根据等差数列前n项和公式，
有390＝30×5+d，解得d＝．故选：B．
5．D是△ABC的边BC上的一点，且BD＝BC，设＝，＝，则等于（　　）
A．（﹣） B．（﹣） C．（2+） D．（2﹣）
解：由向量的运算法则可得＝+
＝+＝+（﹣）
＝+＝+
＝
故选：C．
6．数列{an}的通项公式是an＝（n∈N*），若前n项的和为，则项数为（　　）
A．12 B．11 C．10 D．9
解：an＝，（n∈N*）
，前n项的和Sn＝（）+（）+…（）＝1﹣＝
当Sn＝时解得n＝10
故选：C．
7．设变量x，y满足约束条件，则z＝x﹣y的最大值为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
解：由变量x，y满足约束条件
作出可行域如图，
联立，解得A（3，﹣3），
化目标函数z＝x﹣y为y＝x﹣z．
由图可知，当直线y＝x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最小，
z有最大值为6．
故选：C．
8．已知函数f（x）＝sin（2x﹣），g（x）＝sinx，要得到函数y＝f（x）的图象，只需将函数y＝g（x）的图象上的所有点（　　）
A．横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得到
B．横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位得到
C．横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位得到
D．横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位得到
解：只需将函数y＝g（x）＝sinx的图象上的所有点横坐标缩短为原来的，可得y＝sin2x的图象；
再向右平移个单位，即可得到y＝sin（2x﹣）的图象，
故选：B．
9．已知a＝sin17°cos45°+cos17°sin45°，b＝2cos213°﹣1，，则有（　　）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b
解：化简得：a＝sin17°cos45°+cos17°sin45°＝sin（17°+45°）＝sin62°，
b＝2cos213°﹣1＝cos26°＝cos（90°﹣64°）＝sin64°，
c＝＝sin60°，
∵正弦函数在[0，90°]为增函数，
∴sin60°＜sin62°＜sin64°，即c＜a＜b．
故选：D．
10．函数y＝Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象如图所示，则函数表达式为（　　）
A．y＝﹣4sin（） B．y＝4sin（）
C．y＝﹣4sin（） D．y＝4sin（）
解：由图象得A＝±4，＝8，∴T＝16，∵ω＞0，∴ω＝＝，
①若A＞0时，y＝4sin（x+φ），
当x＝6时，φ＝2kπ，φ＝2kπ﹣，k∈Z；
又|φ|＜，∴φ∈?；
②若A＜0时，y＝﹣4sin（x+φ），
当x＝﹣2时，φ＝2kπ，φ＝2kπ+，k∈z；
又|φ|＜，∴φ＝．
综合①②该函数解析式为y＝﹣4sin（）．
故选：A．
11．已知α，β是函数f（x）＝sinx+cosx﹣在[0，2π）上的两个零点，则cos（）＝（　　）
A．﹣ B． C． D．0
解：令f（x）＝0，得sinx+cosx＝．
令g（x）＝sinx+cosx，即g（x）＝，
则α，β即为g（x）与直线y＝在[0，2π）上交点的横坐标，
由图象可知，．
∴cos（）＝．
故选：C．
12．已知函数f（x）＝sin（ωx+）﹣cos（ωx+）（ω＞0）在区间[﹣，]上单调，且在区间[0，2π]内恰好取得一次最大值2，则ω的取值范围是（　　）
A．（0，] B．[，] C．（0，] D．[，]
解：函数f（x）＝sin（ωx+）﹣cos（ωx+）＝2sinωx；
在区间[﹣，]上单调，
可得
即T，即；
且，
解得：，
∵ω＞0，
当k＝0时，可得：≥ω＞0，
∴在区间[0，2π]内恰好取得一次最大值2，f（x）＝2sinωx图象过原点，
∴，
解得：；
综上可得：≥ω，
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分．请将正确答案填在答题卷相应位置．）
13．用弧度制表示所有与75°终边相同的角的集合是　{α|α＝π+2kπ，k∈Z}　．
解：因为180°＝π，
可得75°＝，
与角相同的角为：α＝+2kπ，k∈Z．
可得所有与75°终边相同的角的集合是{α|α＝+2kπ，k∈Z}．
故答案为：{α|α＝+2kπ，k∈Z}．
14．若x＞1，则x+的最小值是　3　．
解：∵x＞1，
∴x+＝x﹣1++1+1＝3，
当且仅当x﹣1＝即x＝2时取等号，
∴x＝2时x+取得最小值3，
故答案为：3．
15．将函数f（x）＝2sin（2x+）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到g（x）的图象．若g（x1）g（x2）＝9，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则2x1﹣x2的最大值为　　．
解：将函数f（x）＝2sin（2x+）的图象向左平移个单位，可得y＝2sin（2x+）的图象，
再向上平移1个单位，得到g（x）＝2sin（2x+）+1 的图象．
若g（x1）g（x2）＝9，则g（x1）＝g（x2）＝3．
∵x1，x2∈[﹣2π，2π]，∴2x1+，2x2+∈[﹣，]，
要使2x1﹣x2最大，则2x1+最大，2x2+ 最小．
则当2x1+＝ 最大，2x2+＝﹣ 最小时，即x1＝，x2＝﹣ 时，
2x1﹣x2取得最小值为 ．
16．O为坐标原点，已知向量＝（1，5），＝（4，2），＝（6，8），x，y为非负实数且0≤x+y≤1，＝x+y，则||的最小值为　　．
解：＝（1，5），＝（4，2），＝（6，8），
又x，y为非负实数且0≤x+y≤1，＝x+y，
所以D表示的区域为△ABC及内部的点，当OD⊥AB时||取得最小值，
因为AB所在的直线方程为y﹣5＝（x﹣1）＝﹣（x﹣1）即x+y﹣6＝0，
则||取得最小值为＝3．
故答案为：3
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知{an}为等差数列，且a3＝6，a6＝0．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）若等比数列{bn}满足b1＝3，b2＝a4+a5，求{bn}的前n项和公式．
解：（Ⅰ）∵{an}为等差数列，且a3＝6，a6＝0．
∴，
解得d＝﹣2，a1＝10，
∴an＝10+（n﹣1）×（﹣2）＝﹣2n+12．
（Ⅱ）∵等比数列{bn}满足b1＝3，
b2＝a4+a5＝（﹣8+12）+（﹣10+12）＝6，
∴q＝＝2，
∴{bn}的前n项和公式为：
Sn＝＝3×2n﹣3．
18．已知向量、的夹角为，且，．
（1）求的值；
（2）求与的夹角的余弦．
解：（1）∵，
∴；
（2）∵，
∴＝．
19．已知．
（1）化简f（α）；
（2）若，且α是第二象限角，求的值．
解：（1）；
（2），
又∵α为第二象限角，∴，
∴，，
∴．
20．已知函数的最小正周期为π．
（1）求f（x）的单调增区间和对称轴；
（2）若x∈，求f（x）的最大值和最小值．
解：（1）由题意知，解得ω＝2，
所以，
令（k∈Z），
解得（k∈Z），
故函数的单调递增区间为（k∈Z）．
令，
解得，
所以f（x）的对称轴为．
（2）∵，
∴．
所以x∈时，．
21．已知x∈[0，]，设向量＝（sinx，cosx），＝（，）．
（1）若∥，求x的值；
（2）若＝，求sin（x﹣）的值．
解：（1）∵∥，
∴，即．
又，
∴．
（2）∵，
∴，即．
令，则，且，
又，故，
∴．
所以
＝．
22．已知x0，x0+是函数f（x）＝cos2（ωx﹣）﹣sin2ωx（ω＞0）的两个相邻的零点．
（1）求f（）的值；
（2）若对任意，都有f（x）﹣m≤0，求实数m的取值范围．
（3）若关于x的方程在上有两个不同的解，求实数m的取值范围．
解：（1）f（x）＝﹣
＝[cos（2ωx﹣）+cos2ωx
＝[（cos2ωx+sin2ωx）+cos2ωx]
＝（sin2ωx+cos2ωx）
＝（sin2ωx+cos2ωx）
＝sin（2ωx+）．
由题意可知，f（x）的最小正周期T＝π，
∴＝π，又∵ω＞0，∴ω＝1，
∴f（x）＝sin（2x+），
∴f（）＝sin（2×+）＝sin＝；
（2）由f（x）﹣m≤0得，f（x）≤m，∴m≥f（x）max，
∵﹣≤x≤0，∴﹣≤2x+≤，∴﹣1≤sin（2x+）≤，
∴﹣≤sin（2x+）≤，即f（x）max＝，
∴所以；
（3）原方程可化为
即，
由，，
x＝0时，y＝2sin＝，y的最大值为2，
∴要使方程在x∈[0，]上有两个不同的解，
即≤m+1＜2，即﹣1≤m＜1，
所以．