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第4章几何图形初步4.3角（简答题专练）
1．如图，已知∠AOB内部有三条射线，其中OE平分角∠BOC，OF平分∠AOC．
（1）如图1，若∠AOB=120°，∠AOC=30°，求∠EOF的度数？
（2）如图2，若∠AOB=α，求∠EOF的度数，（用含α的式子表示）
（3）若将题中的“平分”的条件改为“∠EOB=∠COB，∠COF=∠COA，且∠AOB=α，求∠EOF的度数．（用含α的式子表示）
2．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD．
（1）若∠AOC=68°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数．
（2）若OF平分∠COE，∠BOF=30°，求∠AOC的度数．
3．
已知∠AOB＝80°，过点O引条射线OC，使得∠AOC的度数是∠BOC度数的2倍小10度，求∠BOC的度数．
4．已知：如图，OB平分∠AOC，OD平分∠COE，∠AOD=120°，∠BOD=70°，求∠COE的度数．
5．如图所示，五条射线、、、、组成的图形中共有几个角（小于）？如果从点引出条射线（最大角为锐角），能有多少个角（小于）？你能找出规律吗？
6．如图，以直线
AB
上一点
O
为端点作射线
OC，使∠BOC=70°，将一个直角三角形的直角顶点放在点
O
处．（注：∠DOE=90°）
(1)如图①，若直角三角板
DOE
的一边
OD
放在射线
OB
上，则∠COE=
°；
(2)如图②，将直角三角板
DOE
绕点
O
逆时针方向转动到某个位置，若
OC
恰好平分∠BOE，求∠COD
的度数；
(3)如图③，将直角三角板
DOE
绕点
O
转动，如果
OD
始终在∠BOC
的内部，
试猜想∠BOD
和∠COE
有怎样的数量关系？并说明理由．
7．如图，直线、相交于点，平分，=90°，∠1=40°．求∠2和∠3的度数．
8．已知，∠AOB=∠COD=90°，射线OE，FO分别平分∠AOC和∠BOD．
（1）当OB和OC重合时，如图（1），求∠EOF的度数；
（2）当∠AOB绕点O逆时针旋转至图（2）的位置（0°＜∠BOC＜90°）时，求∠EOF的度数．
9．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠COF=90°，
（1）若∠BOE=70°，求∠AOF的度数；
（2）若∠BOD：∠BOE=1：2，求∠AOF的度数．
10．如图，已知AOB是一条直线，OC是∠AOD的平分线，OE
是∠BOD的平分线.
（1）若∠AOE=140°，求∠AOC的度数；
（2）若∠EOD
:∠COD=2
:
3，求∠COD的度数.
11．如图，已知OD平分∠AOB，射线OC在∠AOD内，∠BOC=2∠AOC，∠AOB=114°．求∠COD的度数．
12．如图，直线AB、CD相交于O点，∠AOC=80°，OE⊥AB，OF平分∠DOB，求∠EOF的度数．
13．如图，直线AB、CD相交于点O，过点O作两条射线OM、ON，且∠AOM＝∠CON＝90°
(1)若OC平分∠AOM，求∠AOD的度数．
(2)若∠1＝∠BOC，求∠AOC和∠MOD.
14．如图，直线EF，CD相交于点O，OA⊥OB，且OC平分∠AOF，
(1)若∠AOE＝40°，求∠BOD的度数；
(2)若∠AOE＝α，求∠BOD的度数；(用含α的代数式表示)
(3)从(1)(2)的结果中能看出∠AOE和∠BOD有何关系？
15．如图，已知O为直线AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，OM、ON分别是∠AOC、∠AOB的平分线，∠MON＝56°.
⑴
∠COD与∠AOB相等吗？请说明理由；
⑵
求∠BOC的度数；
⑶
求∠AOB与∠AOC的度数.
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第4章几何图形初步4.3角（简答题专练）
1．如图，已知∠AOB内部有三条射线，其中OE平分角∠BOC，OF平分∠AOC．
（1）如图1，若∠AOB=120°，∠AOC=30°，求∠EOF的度数？
（2）如图2，若∠AOB=α，求∠EOF的度数，（用含α的式子表示）
（3）若将题中的“平分”的条件改为“∠EOB=∠COB，∠COF=∠COA，且∠AOB=α，求∠EOF的度数．（用含α的式子表示）
【答案】(1)
45°;(2)
a;
(3)a．
【分析】(1)
首先求得∠BOC的度数,
然后根据角的平分线的定义和角的和差可得∠EOF=∠EOC+∠COF即可求解;
(2)
根据角的平分线的定义和角的和差可得∠EOF=∠EOC+∠COF=∠BOC+∠AOC=
(∠BOC+∠AOC),即可求解;
(3)
根据角的等分线的定义可得∠EOF=∠EOC+∠COF=∠BOC+.∠AOC=
(∠BOC+∠AOC)
=∠AOB,即可求解.
【详解】解：（1）∠BOC=∠AOB﹣∠AOC=90°﹣30°=60°，
∵OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，
∴∠EOC=∠BOC=×60°=30°，∠COF=∠AOC=×30°=15°，
∴∠EOF=∠EOC+∠COF=30°+15°=45°；
（2）∵OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，
∴∠EOC=∠BOC，∠COF=∠AOC，
∴∠EOF=∠EOC+∠COF=∠BOC+∠AOC=（∠BOC+∠AOC）=∠AOB=a；
（3）∵∠EOB=∠BOC，
∴∠EOC=∠BOC，
又∵∠COF=∠AOC，
∴∠EOF=∠EOC+∠COF=∠BOC+∠AOC=（∠BOC+∠AOC）=∠AOB=a．
【点睛】本题主要考查角的计算及角平分线的定义，注意运算的准确性.
2．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD．
（1）若∠AOC=68°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数．
（2）若OF平分∠COE，∠BOF=30°，求∠AOC的度数．
【答案】（1）56°；（2）80°．
【分析】(1)
根据对顶角相等和角平分线的定义计算即可;
(2)
设∠AOC=x,
根据对顶角相等和角平分线的定义用x表示出∠BOE和∠EOF,
根据题意列方程,
解方程即可.
【详解】（1）∵直线AB、CD相交于点O，
∴∠BOD=∠AOC=68°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE=∠BOD=34°，
∴∠EOF=∠DOF﹣∠DOE=56°；
（2）设∠AOC=x，则∠BOD=x，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE=∠DOE=x，
∵OF平分∠COE，
∴∠EOF=（180°﹣x），
由题意得，（180°﹣x）﹣x=30°，
解得，x=80°，
∴∠AOC=80°．
【点睛】本题主要考查对顶角、邻补角、角平分线的定义，注意列一元一次方程解题.
3．
已知∠AOB＝80°，过点O引条射线OC，使得∠AOC的度数是∠BOC度数的2倍小10度，求∠BOC的度数．
【答案】∠BOC的度数为30°或90°．
【分析】分OC在∠AOB的内部和外部两种情况进行讨论
【详解】
如图所示，设∠BOC＝α，
∴∠AOC＝2α﹣10°，
∵∠AOB＝80°，
∴∠AOC+∠BOC＝2α﹣10°+α＝80°，
∴α＝30°，
∴∠BOC＝30°；
如图所示，设∠BOC＝α，
∴∠AOC＝2α﹣10°，
∵∠AOB＝80°，
∴∠AOC﹣∠BOC＝2α﹣10°﹣α＝80，
∴α＝90°，
∴∠BOC＝90°，
综上所述，∠BOC的度数为30°或90°．
【点睛】对于没有图的几何题，考虑出所有情况是解题的关键，只考虑一种情况，没有考虑全面是学生们的常见错误.
4．已知：如图，OB平分∠AOC，OD平分∠COE，∠AOD=120°，∠BOD=70°，求∠COE的度数．
【答案】40°
【分析】先由∠AOD=120°、∠BOD=70°知∠AOB=50°，根据角平分线得出∠AOC=2∠AOB=100°，据此得∠COD=20°，继而由OD平分∠COE可得答案．
【详解】∵∠AOD=120°，∠BOD=70°，∴∠AOB=∠AOD﹣∠BOD=50°．
∵OB平分∠AOC，∴∠AOC=2∠AOB=100°，∴∠COD=∠AOD﹣∠AOC=20°．
∵OD平分∠COE，∴∠COE=2∠COE=40°．
【点睛】本题考查了角的计算，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质和角的和差计算．
5．如图所示，五条射线、、、、组成的图形中共有几个角（小于）？如果从点引出条射线（最大角为锐角），能有多少个角（小于）？你能找出规律吗？
【答案】个，如果引出条射线，有个角；从一点引出条射线，则共有个角．
【分析】由题意找出以OA为始边的角的个数，然后找出相邻的边为始边的角的个数相加即可，按照五条射线角的个数的计算方法即可得到答案．
【详解】引出条射线时，以为始边的角有个，以为始边的角有个，以为始边的角有个，
以为始边的角有个，故当有条射线时共有角：个；
如果引出条射线，有个角；
规律：从一点引出条射线，则共有个角．
【点睛】本题考查了角的个数的计算方法，在数角的个数时，能按一定的顺序计算，理清顺序，发现规律是解题的关键．
6．如图，以直线
AB
上一点
O
为端点作射线
OC，使∠BOC=70°，将一个直角三角形的直角顶点放在点
O
处．（注：∠DOE=90°）
(1)如图①，若直角三角板
DOE
的一边
OD
放在射线
OB
上，则∠COE=
°；
(2)如图②，将直角三角板
DOE
绕点
O
逆时针方向转动到某个位置，若
OC
恰好平分∠BOE，求∠COD
的度数；
(3)如图③，将直角三角板
DOE
绕点
O
转动，如果
OD
始终在∠BOC
的内部，
试猜想∠BOD
和∠COE
有怎样的数量关系？并说明理由．
【答案】（1）20；（2）20
?；（3）∠COE﹣∠BOD=20°．
【分析】（1）根据图形得出∠COE=∠DOE-∠BOC，代入求出即可；（2）根据角平分线定义求出∠EOB=2∠BOC=140°，代入∠BOD=∠BOE-∠DOE，求出∠BOD，代入∠COD=∠BOC-∠BOD求出即可；（3）根据图形得出∠BOD+∠COD=∠BOC=70°，∠COE+∠COD=∠DOE=90°，相减即可求出答案．
【详解】（1）如图①，∠COE=∠DOE﹣∠BOC=90°﹣70°=20°；
（2）如图②，∵OC平分∠EOB，∠BOC=70°，
∴∠EOB=2∠BOC=140°，
∵∠DOE=90°，
∴∠BOD=∠BOE﹣∠DOE=50°，
∵∠BOC=70°，
∴∠COD=∠BOC﹣∠BOD=20°；
（3）∠COE﹣∠BOD=20°，
理由是：如图③，∵∠BOD+∠COD=∠BOC=70°，∠COE+∠COD=∠DOE=90°，
∴（∠COE+∠COD）﹣（∠BOD+∠COD）
=∠COE+∠COD﹣∠BOD﹣∠COD
=∠COE﹣∠BOD
=90°﹣70°
=20°，
即∠COE﹣∠BOD=20°．
【点睛】本题考查了角的综合计算，能根据图形和已知条件求出各个角之间的关系是解此题的关键．
7．如图，直线、相交于点，平分，=90°，∠1=40°．求∠2和∠3的度数．
【答案】∠2=65°，∠3=50°．
【分析】首先根据平角以及∠FOC和∠1的度数求出∠3的度数，然后根据∠3的度数求出∠AOD的度数，根据角平分线的性质求出∠2的度数．
【详解】∵AB为直线，
∴∠3+∠FOC+∠1=180°．
∵∠FOC=90°，∠1=40°，
∴∠3=180°－90°－40°=50°．
∵∠3与∠AOD互补，
∴
∠AOD=180°－∠3=130°．
∵OE平分∠AOD，
∴
∠2=∠AOD=65°．
【点睛】
考点：角平分线的性质、角度的计算．
8．已知，∠AOB=∠COD=90°，射线OE，FO分别平分∠AOC和∠BOD．
（1）当OB和OC重合时，如图（1），求∠EOF的度数；
（2）当∠AOB绕点O逆时针旋转至图（2）的位置（0°＜∠BOC＜90°）时，求∠EOF的度数．
【答案】（1）90°；（2）90°.
【分析】（1）根据角平分线的定义和平角的定义求解；（2）根据角平分线的定义和角的和差关系求解；
【详解】解：（1）当OB和OC重合时，∠AOD=∠AOC+∠BOD=180°，
又∵射线OE，FO分别平分∠AOC和∠BOD，
∴∠COE=∠AOC，∠BOF=∠BOD，
∴∠EOF=∠COF+∠BOF=（∠AOC+∠BOD）=×180°=90°；
（2）∵∠AOB=∠COD=90°，∠COE=∠AOC，∠BOF=∠BOD，
∴∠EOF=∠COE+∠BOF﹣∠BOC
=∠AOC+∠BOD﹣∠BOC
=（∠AOC+∠BOD）﹣∠BOC
=（∠AOB+∠BOC+∠COD+∠BOC）﹣∠BOC
=（180°+2∠BOC）﹣∠BOC
=90°+∠BOC﹣∠BOC
=90°．
9．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠COF=90°，
（1）若∠BOE=70°，求∠AOF的度数；
（2）若∠BOD：∠BOE=1：2，求∠AOF的度数．
【答案】（1）∠AOF
=50°，（2）∠AOF=54°．
【分析】（1）根据角平分线的定义求出的度数，根据邻补角的性质求出的度数，根据余角的概念计算即可；
（2）根据角平分线的定义和邻补角的性质计算即可．
【详解】(1)∵OE平分∠BOC,
∴
∴
又
∴
(2)∵∠BOD:∠BOE=1:2，OE平分∠BOC，
∴∠BOD:∠BOE:∠EOC=1:2:2，
∴
∴
又∵
∴
10．如图，已知AOB是一条直线，OC是∠AOD的平分线，OE
是∠BOD的平分线.
（1）若∠AOE=140°，求∠AOC的度数；
（2）若∠EOD
:∠COD=2
:
3，求∠COD的度数.
【答案】（1）50°（2）54°
【分析】（1）根据角平分线的性质，由角的和差关系求解即可；
（2）根据比例关系，设出未知数，然后根据和为90°，列方程求解即可.
【详解】（1）OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线，
∠DOE=∠BOD，∠COD=∠AOD，
∠AOB=180°，
∠COE=∠DOE+∠COD=∠BOD+∠AOD=∠AOB=90°，
∠AOC=∠AOE-∠EOC=140°-90°=50°．
（2）∠COE=90°，∠EOD
:∠COD=2
:
3，
设∠EOD=2x°，∠COD=3x°，2x+3x=90，
x=18，
∠COD=54°．
11．如图，已知OD平分∠AOB，射线OC在∠AOD内，∠BOC=2∠AOC，∠AOB=114°．求∠COD的度数．
【答案】19°．
【分析】根据OD平分∠AOB，射线OC在∠AOD内，∠BOC=2∠AOC，∠AOB=114°，可以求得∠AOC、∠AOD的度数，从而可以求得∠COD的度数．
【详解】∵OD平分∠AOB，∠AOB=114°，
∴∠AOD=∠BOD==57°．
∵∠BOC=2∠AOC，∠AOB=114°，
∴∠AOC=．
∴∠COD=∠AOD﹣∠AOC=57°﹣38°=19°．
12．如图，直线AB、CD相交于O点，∠AOC=80°，OE⊥AB，OF平分∠DOB，求∠EOF的度数．
【答案】50°
【分析】根据对顶角相等得到∠BOD=∠AOC=80°，根据角平分线的性质得到根据垂线的性质有∠BOE=90°，根据即可求解.
【详解】解：∵∠AOC=80°，
∴∠BOD=∠AOC=80°，
∵OF平分∠DOB，
∴
∵OE⊥AB，
∴∠BOE=90°，
∴
【点睛】考查对顶角的性质，垂线的性质，角平分线的性质，比较基础.
13．如图，直线AB、CD相交于点O，过点O作两条射线OM、ON，且∠AOM＝∠CON＝90°
(1)若OC平分∠AOM，求∠AOD的度数．
(2)若∠1＝∠BOC，求∠AOC和∠MOD.
【答案】(1)
135°；(2)
∠AOC＝60°
；∠MOD＝150°.
【分析】（1）根据OC平分∠AOM，易得∠1=∠AOC=45°，再由平角可求出∠AOD的度数
（2）由题目中给出的∠1＝∠BOC和∠AOM=90°，可求出∠1的度数，进而再求出∠AOC和∠MOD的度数.
【详解】(1)∠AOM＝∠CON＝90°，OC平分∠AOM
∴∠1＝∠AOC＝45°
∴∠AOD＝180°－∠AOC＝180°－45°＝135°；
(2)∵∠AOM＝90°
∴∠BOM＝180°－90°＝90°
∵∠1＝∠BOC
∴∠1＝∠BOM＝30°
∴∠AOC＝90°－30°＝60°，∠MOD＝180°－30°＝150°.
故答案是：（1）∠AOD=135°；（2）
∠AOC＝60°
；∠MOD＝150°.
【点睛】本题主要考察角度的计算，合理分析角度之间的关系是解题的关键.
14．如图，直线EF，CD相交于点O，OA⊥OB，且OC平分∠AOF，
(1)若∠AOE＝40°，求∠BOD的度数；
(2)若∠AOE＝α，求∠BOD的度数；(用含α的代数式表示)
(3)从(1)(2)的结果中能看出∠AOE和∠BOD有何关系？
【答案】（1）20°；（2）α；（3）∠AOE=2∠BOD．
【分析】（1）先求出∠AOF，根据角平分线定义求出∠FOC，根据对顶角相等求出∠EOD=∠FOC，求出∠BOE，即可得出答案；
（2）先求出∠AOF，根据角平分线定义求出∠FOC，根据对顶角相等求出∠EOD=∠FOC，求出∠BOE，即可得出答案；
（3）由（1）（2）即可得出答案．
【详解】（1）∵∠AOE+∠AOF=180°（互为补角），∠AOE=40°，∴∠AOF=140°；
又∵OC平分∠AOF，∴∠FOC=∠AOF=70°，∴∠EOD=∠FOC=70°（对顶角相等）；
而∠BOE=∠AOB﹣∠AOE=50°，∴∠BOD=∠EOD﹣∠BOE=20°；
（2）∵∠AOE+∠AOF=180°（互为补角），∠AOE=α，∴∠AOF=180°﹣α；
又∵OC平分∠AOF，∴∠FOC=∠AOF=90°﹣α，∴∠EOD=∠FOC=90°﹣α（对顶角相等）；
而∠BOE=∠AOB﹣∠AOE=90°﹣α，∴∠BOD=∠EOD﹣∠BOE=α；
（3）从（1）（2）的结果中能看出∠AOE=2∠BOD．
【点睛】本题考查了邻补角、对顶角、角平分线定义等知识点，求出∠BOE和∠EOD的度数是解答此题的关键．
15．如图，已知O为直线AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，OM、ON分别是∠AOC、∠AOB的平分线，∠MON＝56°.
⑴
∠COD与∠AOB相等吗？请说明理由；
⑵
求∠BOC的度数；
⑶
求∠AOB与∠AOC的度数.
【答案】（1）∠COD＝∠AOB.理由见解析；（2）∠BOC＝112°；（3）∠AOC＝146°.
【分析】(1)根据题意可得∠AOC+∠AOB＝180°,
∠AOC+∠COD＝180°,可以根据同角的补角相等得到∠COD＝∠AOB;
（2）根据OM、ON分别是∠AOC、∠AOB的平分线可得∠AOM＝∠COM，∠AON＝∠BON，再利用教的和差可得∠BOC＝2
∠MON；
(3)由（1）得∠COD＝∠AOB,
再根据∠AOB+∠BOC+∠COD＝180°可求出∠AOB的度数，然后根据平角的定义即可得到∠AOC.
【详解】解：⑴∠COD＝∠AOB.理由如下：
如图
∵点O在直线AD上
∴∠AOC+∠COD＝180°
又∵∠AOC与∠AOB互补
∴∠AOC+∠AOB＝180°
∴∠COD＝∠AOB
⑵∵
OM、ON分别是∠AOC、∠AOB的平分线
∴∠AOM＝∠COM，∠AON＝∠BON
∴∠BOC＝∠BOM+∠COM＝∠BOM+∠AOM＝（∠MON－∠BON）+（∠MON+∠AON）＝2
∠MON＝112°
⑶由⑴得：∠COD＝∠AOB
∵
∠AOB+∠BOC+∠COD＝180°
∴
∠AOB＝（180°－∠BOC）＝（180°－112°）=34°
∴
∠AOC＝180°－∠AOB＝180°－34°＝146°.
【点睛】此题主要考查了与角平分线有关的计算，根据图形，理清角之间的数量关系关系是解答本题的关键．
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