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第4章几何图形初步4.2直线、射线、线段（简答题专练）
1．（1）如图1，已知线段AB，点C分线段AB为5∶7，点D分线段AB为5∶11，若AB＝96cm，求线段CD的长．
（2）如图2，已知线段AB上有C、D两点，AC＝BC，AD＝BD，CD＝14cm，求线段AB的长．
【答案】(1)10cm;(2)72cm
【分析】(1)
用AB表示出AC、AD,然后根据CD=AC-AD求解即可．
(2)
由AC＝BC,AD＝BD,可得
AC＝AB,AD＝AB,继而可得:AD－AC＝AB,即CD＝AB,由CD＝14,可得14＝AB.
【详解】解：（1）∵点C分线段AB为5∶7,点D分线段AB为5∶11,
∴AC＝AB,AD＝AB,
∴AC－AD＝AB,即CD＝AB,
又∵AB＝96,
∴CD＝（cm）,
（2）∵AC＝BC,AD＝BD,
∴AC＝AB,AD＝AB,
∴AD－AC＝AB,即CD＝AB,
又∵CD＝14,
∴14＝AB,
即AB＝（cm）.
【点睛】本题考查了比较线段的和差倍分关系,解决本题的关键是要画出线段图,根据线段图列出方程进行求解.
2．如图，线段AB=8，点C是线段AB的中点，点D是线段BC的中点．
（1）求线段AD的长；
（2）若在线段AB上有一点E，CE=BC，求AE的长．
【答案】（1）AD=
6；（2）AE的长为3或5．
【分析】（1）根据AD=AC+CD，只要求出AC、CD即可解决问题；
（2）根据AE=AC-EC，只要求出CE即可解决问题．
【详解】解：（1）∵AB=8，C是AB的中点，
∴AC=BC=4，
∵D是BC的中点，
∴CD=BC=2，
∴AD=AC+CD=6；
（2）∵BC=4，CE=BC，
∴CE=×4=1，
当E在C的左边时，AE=AC-CE=4-1=3；
当E在C的右边时，AE=AC+CE=4+1=5．
∴AE的长为3或5．
【点睛】本题考查两点间距离、线段的和差定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
3．如图所示，已知线段AB=6cm，C是AB的中点，点D在AC上，且CD=2AD，E是BC的中点，求线段DE的长．
【答案】3.5cm
【分析】根据线段中点的性质，可得AC的长、BC的长，BE的长，根据线段的和差，可得AD的长，再根据线段的和差，可得答案．
【详解】∵AB=6cm，C是AB中点，
∴AC=BC=AB=3cm，
又∵AB=6cm，
∴AC=BC==3cm
，
∵E是BC中点，
∴CE=BC=1.5cm，
∵CD=2AD
AD+DC=AC，
∴AD+2AD=AC=3AD，
∴AD=1cm,CD=2cm，
∴DE=CD+CE=
2+1.5=3.5cm.
【点睛】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差，利用线段的和差得出AD的长是解题关键．
4．如图所示，长度为12cm的线段AB的中点为点M，点C将线段MB分成，求线段AC的长度.
【答案】8cm
【分析】设MC=xcm，由MC：CB=1：2得到CB=2xcm，则MB=3x，根据M点是线段AB的中点，AB=12cm，得到AM=MBAB12=3x，可求出x的值，又AC=AM+MC=4x，即可得到AC的长．
【详解】设MC=xcm，则CB=2xcm，
∴MB=3x．
∵M点是线段AB的中点，AB=12cm，
∴AM=MBAB12=3x，
∴x=2，而AC=AM+MC，
∴AC=3x+x=4x=4×2=8（cm）．
故线段AC的长度为8㎝．
【点睛】本题考查了两点间的距离：两点的连线段的长叫两点间的距离．也考查了方程思想的运用．
5．如图，直线1上有A，B两点，AB=12cm，点O是线段AB上的一点，OA=2OB．
（1）OA=______cm，OB=______cm；
（2）若点C是线段AB上一点（点C不与点AB重合），且满足AC=CO+CB，求CO的长；
（3）若动点P，Q分别从A，B同时出发，向右运动，点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s．设运动时间为t（s），当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动．求当t为何值时，2OP-OQ=4（cm）；
【答案】（1）8，4；（2）CO的长是；（3）当t为1.6s或8s时，2OP-OQ=4．
【分析】（1）由于AB=12cm，点O是线段AB上的一点，OA=2OB，则OA+OB=3OB=AB=12cm，依此即可求解；
（2）根据图形可知，点C是线段AO上的一点，可设C点所表示的实数为x，分两种情况：①点C在线段OA上时，则x＜0，②点C在线段OB上时，则x＞0，根据AC=CO+CB，列出方程求解即可；
（3）分0≤t＜4；4≤t≤12两种情况讨论求解即可．
【详解】解：（1）∵AB=12cm，OA=2OB，
∴OA+OB=3OB=AB=12cm，解得OB=4cm，
OA=2OB=8cm．
故答案为8，4；
（2）设O点表示的数是0，C点所表示的实数为x，
分两种情况：①点C在线段OA上时，则x＜0，
∵AC=CO+CB，
∴8+x=-x+4-x，
3x=-4，
x=；
②点C在线段OB上时，则x＞0，
∵AC=CO+CB，
∴8+x=4，
x=-4（不符合题意，舍）．
故CO的长是；
（3）当0≤t＜4时，依题意有
2（8-2t）-（4+t）=4，
解得t=1.6；
当4≤t≤12时，依题意有
2（2t-8）-（4+t）=4，
解得t=8．
故当t为1.6s或8s时，2OP-OQ=4．
【点睛】本题考查了数轴上两点的距离、数轴上点的表示、一元一次方程的应用，比较复杂，要认真理清题意，并注意数轴上的点，原点左边表示负数，右边表示正数，在数轴上，两点的距离等于任意两点表示的数的差的绝对值．
6．如图，线段AB＝15cm，点P从点A出发以每秒1cm的速度在射线AB上向点B方向运动；点Q从点B出发，先向点A方向运动，当与点P重合后立即改变方向与点P同向而行且速度始终为每秒2cm，设运动时间为t秒．
（1）若点P点Q同时出发，且当点P与点Q重合时，求t的值．
（2）若点P点Q同时出发，在P与Q相遇前，若点P是线段AQ的三等分点时，求t的值．
（3）若点P点Q同时出发，Q点与P点相遇后仍然继续往A点的方向运动到A点后再返回，求整个运动过程中PQ为6cm时t的值
．
【答案】（1）t=5(秒）；（2）t=3或t=30/7；（3）当PQ=6cm时，t=3或t=7或t=9或t=21
【分析】（1）根据相遇时，两点共同走了15cm列方程解答即可；
（2）分两种情况列方程求解即可：①当AP=
AQ时，②当AP=
AQ时；
（3）分四种情况列方程求解即可：①相遇前PQ=6，②相遇后Q未到达A点前PQ=6，③相遇后Q到达A后返回未追上P时PQ=6，④相遇后Q到达A后返回追上P时PQ=6.
【详解】解:
（1）∵t+2t=15
，
则t=5(秒）；
（2）①当AP=
AQ时，即t=
(15-2t)，
∴t=3；
②当AP=
AQ时，即t=
(15-2t)，
∴t=，
即当P点是AQ的三等分点时t=3或t=；
（3）①相遇前PQ=6，即15-t-2t=6，
∴t=3
②相遇后Q未到达A点前PQ=6，即t+2t=15+6
∴t=7，
③相遇后Q到达A后返回未追上P时PQ=6，即2t-15+6=t，
∴t=9，
④相遇后Q到达A后返回追上P时PQ=6，即2t-15-t=6，
∴t=21，
综上所述当PQ=6cm时，t=3或t=7或t=9或t=21.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，以及分类讨论的数学解题思想，解答本题的关键是正确分类求解.
7．如图，是线段的中点，是线段的中点．
（）如果，，求的长．
（）如果，，求线段的长．
【答案】（1）7cm（2）14cm.
【分析】（1）根据中点的定义可求MC，NC，再相加即可求解；
（2）根据中点的定义可求AC，BC，再相加即可求解.
【详解】解：（1）如图：MC=8÷2=4（cm）
NC=6÷2=3（cm），
MN=MC+NC=4+3=7（cm）.
答：MN的长是7cm.
（2）AC=5×2=10（cm），BC=2×2=4（cm），AB=AC+BC=10+4=14（cm）.
答：线段AB的长是14cm.
【点睛】本题主要考查学生对两点间距离的理解和掌握，对中点定义的应用是解答本题的关键.
8．如图，河边有
A,B
两个村庄，现准备在河边建一个水厂，建在何处才能使费用最省？（要
求：画出图形，在图上标出要建设的水厂点
P)
【答案】答案见解析
【分析】根据两点之间线段最短解答．
【详解】作A关于直线l的对称点A′，连结A′B，交直线l于点P，则点P就是所求的点．
【点睛】本题考查了作图﹣﹣应用与设计作图．两点之间线段最短在解决实际问题中的灵活应用是考查重点．
9．如图，已知数轴上有三点A，B，C，它们表示的数分别为a，b，c，且，点C表示的数是20．
（1）若，求a，b的值；
（2）在（1）的条件下，动点P，Q分别从A，C两点同时出发向左运动，同时动点R从B点出发向右运动，点P，R，Q的速度分别为8个单位长度/秒、4个单位长度/秒、2个单位长度/秒，点M为线段PR的中点，点N为线段RQ的中点，在点R，Q相遇前多少秒时恰好满足？
【答案】（1）a的值为-40，b的值为-10；（2）在点R，Q相遇前2.5秒时恰好满足MR=4RN.
【分析】（1）根据BC=30，可得c-b=b-a=30，再根据点C对应的数是20，即可得出点A对应的数以及点B对应的数；
（2）假设x秒Q在R右边时，恰好满足MR=4RN，据此得出方程，求出x的值即可.
【详解】解：（1）如图1，∵BC=30，
∴c-b=b-a=30，
∵C点对应20，
∴A点对应的数为：20-60=-40，B点对应的数为：20-30=-10，
∴a的值为-40，b的值为-10；
（2）如图2，由（1）可得AB=BC=30，
设x秒时，Q在R右边时，恰好满足MR=4RN，
∵MR=（8x+4x+30），RN=（30-4x-2x），
∴当MR=4RN时，
（8x+4x+30）=4×（30-4x-2x），
解得：x=2.5，
∴运动2.5秒时恰好满足MR=4RN，
，5-2.5=2.5，
∴在点R，Q相遇前2.5秒时恰好满足.
故答案为（1）a的值为-40，b的值为-10；（2）在点R，Q相遇前2.5秒时恰好满足MR=4RN.
【点睛】本题考查两点间的距离以及一元一次方程的应用，根据已知画出示意图，得出各线段之间的等量关系并列出方程是解题关键．解题时注意方程思想的运用．
10．如图，线段AC=6，线段BC=15，点M是AC的中点，在CB上取一点N，使得CN：NB=1：2，求MN的长．
解：∵M是AC的中点，AC=6，
∴MC=______（填线段名称）=______，
又因为CN：NB=1：2，BC=15，
∴CN=______（填线段名称）=______．
∴MN=______（填线段名称）+______（填线段名称）=8
∴MN的长为8．
【答案】AC
3
BC
5
MC
CN
【分析】因为点M是AC的中点，则有MC=AM=AC，又因为CN：NB=1：2，则有CN=BC，根据MN=MC+CN即可求解．
【详解】解：∵M是AC的中点，AC=6，
∴MC=AC=3，
又因为CN：NB=1：2，BC=15，
∴CN=BC=5．
∴MN=MC+CN=8
∴MN的长为8．
故答案为AC；3；BC；5；MC；CN．
【点睛】本题考查线段和差，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键．
11．如图，点C为线段AB的中点，点E为线段AB上的点，点D为线段AE的中点。
（1）若线段AB=a，CE=b，且，求a，b的值；
（2）在（1）的条件下，求线段CD的长.
【答案】（1）a=15，b=4.5；（2）1.5.
【分析】（1）由，根据非负数的性质即可推出a、b的值；
（2）根据（1）所推出的结论，即可推出AB和CE的长度，根据C为线段AB的中点AC=7.5，然后由AE=AC+CE，即可推出AE的长度，由D为AE的中点，即可推出DE的长度，再根据线段的和差关系可求出CD的长度．
【详解】(1)∵，
∴=0,=0，
∵a、b均为非负数，
∴a=15，b=4.5，
（2）∵点C为线段AB的中点，AB=15，
∴，
∵CE=4.5，
∴AE=AC+CE=12，
∵点D为线段AE的中点，
∴DE=AE=6，
∴CD=DE?CE=6?4.5=1.5.
【点睛】本题考查非负数的性质：绝对值，非负数的性质：平方和线段的和差.能通过非负数的性质求出a，b的值是解决（1）的关键；（2）能利用线段的和差，用已知线段去表示所求线段是解决此题的关键.
12．如图，B是线段AD上一动点，沿A→D→A以
2
cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，AD＝10
cm，设点B的运动时间为t秒(0≤t≤10)．
(1)当t＝2时，
①AB＝____cm；
②求线段CD的长度；
(2)用含t的代数式表示运动过程中AB的长；
(3)在运动过程中，若AB的中点为E，则EC的长是否变化？若不变，求出EC的长；若发生变化，请说明理由．
【答案】(1)①4cm；②3cm；(2)
AB＝(20－2t)cm；(3)不变，5cm．
【分析】（1）①根据AB=2t即可得出结论；
②先求出BD的长，再根据C是线段BD的中点即可得出CD的长；
（2）分类讨论,当
0≤t≤5时和5（3）直接根据中点公式即可得出结论．
【详解】解：(1)①当t＝2时，AB＝2t＝2×2＝4(cm)；
②∵AD＝10
cm，AB＝4
cm，
∴BD＝10－4＝6(cm).
∵C是线段BD的中点，
∴CD＝BD＝×6＝3(cm).
(2)∵B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2
m/s的速度往返运动，
∴0≤t≤5时，AB＝2t
cm；
5(3)不变.
∵AB的中点为E，C是线段BD的中点，
∴EC＝
(AB＋BD)＝AD＝×10＝5(cm).
【点睛】本题考查了两点间的距离，根据已知得出各线段之间的等量关系是解题关键．
13．如图，把一根绳子对折成线段AB，从点P处把绳子剪断，已知AP：BP＝2：3，若剪断后的各段绳子中最长的一段为60
cm，求绳子的原长．
【答案】(1)150cm
(2)绳子的原长为150cm或100cm
【分析】分点A和点B是对折点两种情况分别进行讨论，即可得出答案.
【详解】(1)当点A是绳子的对折点时，将绳子展开，如图①所示，
因为AP：BP＝2：3，剪断后的各段绳子中最长的一段为60
cm，
所以2AP＝60
cm，所以AP＝30
cm，
所以BP＝45
cm，
所以绳子的原长为2AB＝2(AP＋BP)＝2×(30＋45)＝150(cm)；
(2)当点B是绳子的对折点时，将绳子展开，如图②所示，
因为AP：BP＝2：3，剪断后的各段绳子中最长的一段为60
cm，
所以2BP＝60
cm，所以BP＝30
cm，
所以AP＝20
cm，
所以绳子的原长为2AB＝2(AP＋BP)＝2×(20＋30)＝100(cm).
综上，绳子的原长为150
cm或100
cm..
【点睛】此题考查线段中点、线段和差知识以及分类讨论思想，熟练掌握分类讨论思想是解题关键.
14．如图，已知线段AB和CD的公共部分BD＝AB＝CD，线段AB、CD的中点E、F之间距离是10cm，求AB，CD的长．
【答案】AB＝12
cm，CD＝16
cm.
【分析】先设BD=xcm，由题意得AB=3xcm，CD=4xcm，AC=6xcm，再根据中点的定义，用含x的式子表示出AE=1.5xcm和CF=2xcm，再根据EF=AC-AE-CF=2.5xcm，且E、F之间距离是EF=10cm，所以2.5x=10，解方程求得x的值，即可求AB，CD的长．
【详解】解：设BD=xcm，则AB=3xcm，CD=4xcm，AC=6xcm．
∵点E、点F分别为AB、CD的中点，
∴AE=AB=1.5xcm，CF=CD=2xcm．
∴EF=AC－AE－CF=2.5xcm．
∵EF=10cm，
∴2.5x=10，解得：x=4．
∴AB=12cm，CD=16cm．
【点睛】本题考查了线段中点的性质，设好未知数，用含x的式子表示出各线段的长度是解题关键.
15．如图，B是线段AD上一动点，沿A→D→A的路线以2
cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，AD＝10
cm，设点B的运动时间为t
s(0≤t≤10)．
(1)当t＝2时，求线段AB和线段CD的长度．
(2)用含t的代数式表示运动过程中AB的长．
(3)在运动过程中，若AB的中点为E，则EC的长是否变化？若不变，求出EC的长；若发生变化，请说明理由．
【答案】(1)AB＝4cm CD＝3cm(2)AB＝(3)不变，EC＝5cm
【分析】（1）①根据AB=2t即可得出结论；
②先求出BD的长，再根据C是线段BD的中点即可得出CD的长；
（2）根据AB=2t即可得出结论；
（3）直接根据中点公式即可得出结论．
【详解】（1）当t=2时，①AB=
4
cm．
②解：∵
又∵，
∴
∵点C是线段BD的中点
∴
（2）①当时，此时点B从A向D移动：
②当时，此时点B从D向A移动：
（3）①当时，此时点B从A向D移动：
∵点E是AB的中点，
∴
∵，
∴
∵点C是BD的中点
∴
又∵
∴
②当时，此时点B从D向A移动：
∵点E是AB的中点，
∴
∵，
∴
∵点C是BD的中点
∴
又∵
∴
综上所述：在运动过程中EC的长保持不变，恒等于5．
【点睛】本题考查了两点间的距离，根据已知得出各线段之间的等量关系是解题关键．
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第4章几何图形初步4.2直线、射线、线段（简答题专练）
1．（1）如图1，已知线段AB，点C分线段AB为5∶7，点D分线段AB为5∶11，若AB＝96cm，求线段CD的长．
（2）如图2，已知线段AB上有C、D两点，AC＝BC，AD＝BD，CD＝14cm，求线段AB的长．
2．如图，线段AB=8，点C是线段AB的中点，点D是线段BC的中点．
（1）求线段AD的长；
（2）若在线段AB上有一点E，CE=BC，求AE的长．
3．如图所示，已知线段AB=6cm，C是AB的中点，点D在AC上，且CD=2AD，E是BC的中点，求线段DE的长．
4．如图所示，长度为12cm的线段AB的中点为点M，点C将线段MB分成，求线段AC的长度.
5．如图，直线1上有A，B两点，AB=12cm，点O是线段AB上的一点，OA=2OB．
（1）OA=______cm，OB=______cm；
（2）若点C是线段AB上一点（点C不与点AB重合），且满足AC=CO+CB，求CO的长；
（3）若动点P，Q分别从A，B同时出发，向右运动，点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s．设运动时间为t（s），当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动．求当t为何值时，2OP-OQ=4（cm）；
6．如图，线段AB＝15cm，点P从点A出发以每秒1cm的速度在射线AB上向点B方向运动；点Q从点B出发，先向点A方向运动，当与点P重合后立即改变方向与点P同向而行且速度始终为每秒2cm，设运动时间为t秒．
（1）若点P点Q同时出发，且当点P与点Q重合时，求t的值．
（2）若点P点Q同时出发，在P与Q相遇前，若点P是线段AQ的三等分点时，求t的值．
（3）若点P点Q同时出发，Q点与P点相遇后仍然继续往A点的方向运动到A点后再返回，求整个运动过程中PQ为6cm时t的值
．
7．如图，是线段的中点，是线段的中点．
（）如果，，求的长．
（）如果，，求线段的长．
8．如图，河边有
A,B
两个村庄，现准备在河边建一个水厂，建在何处才能使费用最省？（要
求：画出图形，在图上标出要建设的水厂点
P)
9．如图，已知数轴上有三点A，B，C，它们表示的数分别为a，b，c，且，点C表示的数是20．
（1）若，求a，b的值；
（2）在（1）的条件下，动点P，Q分别从A，C两点同时出发向左运动，同时动点R从B点出发向右运动，点P，R，Q的速度分别为8个单位长度/秒、4个单位长度/秒、2个单位长度/秒，点M为线段PR的中点，点N为线段RQ的中点，在点R，Q相遇前多少秒时恰好满足？
10．如图，线段AC=6，线段BC=15，点M是AC的中点，在CB上取一点N，使得CN：NB=1：2，求MN的长．
解：∵M是AC的中点，AC=6，
∴MC=______（填线段名称）=______，
又因为CN：NB=1：2，BC=15，
∴CN=______（填线段名称）=______．
∴MN=______（填线段名称）+______（填线段名称）=8
∴MN的长为8．
11．如图，点C为线段AB的中点，点E为线段AB上的点，点D为线段AE的中点。
（1）若线段AB=a，CE=b，且，求a，b的值；
（2）在（1）的条件下，求线段CD的长.
12．如图，B是线段AD上一动点，沿A→D→A以
2
cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，AD＝10
cm，设点B的运动时间为t秒(0≤t≤10)．
(1)当t＝2时，
①AB＝____cm；
②求线段CD的长度；
(2)用含t的代数式表示运动过程中AB的长；
(3)在运动过程中，若AB的中点为E，则EC的长是否变化？若不变，求出EC的长；若发生变化，请说明理由．
13．如图，把一根绳子对折成线段AB，从点P处把绳子剪断，已知AP：BP＝2：3，若剪断后的各段绳子中最长的一段为60
cm，求绳子的原长．
14．如图，已知线段AB和CD的公共部分BD＝AB＝CD，线段AB、CD的中点E、F之间距离是10cm，求AB，CD的长．
15．如图，B是线段AD上一动点，沿A→D→A的路线以2
cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，AD＝10
cm，设点B的运动时间为t
s(0≤t≤10)．
(1)当t＝2时，求线段AB和线段CD的长度．
(2)用含t的代数式表示运动过程中AB的长．
(3)在运动过程中，若AB的中点为E，则EC的长是否变化？若不变，求出EC的长；若发生变化，请说明理由．
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