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第4章几何图形初步4.2直线、射线、线段（中考真题专练）
一、单选题
1．（2013·湖北武汉中考真题）两条直线最多有1个交点，三条直线最多有3个交点，四条直线最多有6个交点，…那么六条直线最多有(???
)
A．21个交点
B．18个交点
C．15个交点
D．10个交点
2．（2014·山东济宁中考真题）把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程.用几何知识解释其道理正确的是（
）
A．两点确定一条直线
B．垂线段最短
C．两点之间线段最短
D．三角形两边之和大于第三边
3．（2010·江苏徐州中考真题）“把弯曲的公路改直，就能缩短路程”，其中蕴含的数学道理是
（
）
A．两点确定一条直线
B．直线比曲线短
C．两点之间直线最短
D．两点之间线段最短
4．（2017·贵州黔南中考真题）如图，建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，其运用到的数学原理是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．过一点有且只有一条直线和已知直线平行
5．（2017·湖北十堰中考真题）如图，已知圆柱的底面直径BC=，高AB=3，小虫在圆柱表面爬行，从C点爬到A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程为（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2020·四川凉山中考真题）点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段，则线段BD的长为（
）
A．10cm
B．8cm
C．8cm或10cm
D．2cm或4cm
二、填空题
7．（2017·广西桂林中考真题）如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AD的中点，若CD=1，则AB=________________．
8．（2012·山东菏泽中考真题）已知线段AB=8cm，在直线AB上画线段BC，使它等于3cm，则线段AC=______cm．
9．（2018·四川甘孜中考真题）直线上依次有A，B，C，D四个点，AD=7，AB=2，若AB，BC，CD可构成以BC为腰的等腰三角形，则BC的长为_____．
10．（2014·江苏徐州中考真题）点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为﹣3、1，若BC=2，则AC等于_____．
11．（2011·安徽中考真题）如图，点C是线段AB上的点，点D是线段BC的中点，若AB=12，AC=8，则CD=
．
12．（2014·四川达州中考真题）《庄子．天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是：一根一尺的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完，如图．
由图易得：=_____．
三、解答题
13．（2017·江苏徐州中考真题）如图，将边长为的正三角形纸片按如下顺序进行两次折叠，展开后，得折痕（如图①），点为其交点.
（1）探求与的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，若分别为上的动点.
①当的长度取得最小值时，求的长度；
②如图③，若点在线段上，，则的最小值=
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第4章几何图形初步4.2直线、射线、线段（中考真题专练）
一、单选题
1．（2013·湖北武汉中考真题）两条直线最多有1个交点，三条直线最多有3个交点，四条直线最多有6个交点，…那么六条直线最多有(???
)
A．21个交点
B．18个交点
C．15个交点
D．10个交点
【答案】C
【分析】试题分析：由题意两条直线最多有个交点，三条直线最多有个交点，四条直线最多有个交点，根据这个规律即可求得结果.
【详解】由题意得六条直线最多有个交点，故选C.
考点：找规律-图形的变化
点评：解答此类问题的关键是根据所给图形的特征得到规律，再把这个规律应用于解题.
2．（2014·山东济宁中考真题）把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程.用几何知识解释其道理正确的是（
）
A．两点确定一条直线
B．垂线段最短
C．两点之间线段最短
D．三角形两边之和大于第三边
【答案】C
【分析】根据数学常识，连接两点的所有线中，线段最短，即两点之间线段最短解答．
【详解】根据线段的性质：两点之间线段最短可得：把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程，其道理用几何的知识解释应是两点之间线段最短．
故选C.
3．（2010·江苏徐州中考真题）“把弯曲的公路改直，就能缩短路程”，其中蕴含的数学道理是
（
）
A．两点确定一条直线
B．直线比曲线短
C．两点之间直线最短
D．两点之间线段最短
【答案】D
【分析】线段的性质：两点之间线段最短．两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．
故选D
4．（2017·贵州黔南中考真题）如图，建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，其运用到的数学原理是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．过一点有且只有一条直线和已知直线平行
【答案】B
【详解】解：建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这种做法运用到的数学原理是：两点确定一条直线．故选B．
5．（2017·湖北十堰中考真题）如图，已知圆柱的底面直径BC=，高AB=3，小虫在圆柱表面爬行，从C点爬到A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解．
把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点A、C的最短距离为线段AC的长．在RT△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD为底面半圆弧长，AD=3，所以AC=3，∴从C点爬到A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程为2AC=6，
故选D．
考点：最短路径问题
6．（2020·四川凉山中考真题）点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段，则线段BD的长为（
）
A．10cm
B．8cm
C．8cm或10cm
D．2cm或4cm
【答案】C
【分析】根据题意作图，由线段之间的关系即可求解．
【详解】如图，∵点C是线段AB的中点，
∴AC=BC=AB=6cm
当AD=AC=4cm时，CD=AC-AD=2cm
∴BD=BC+CD=6+2=8cm；
当AD=AC=2cm时，CD=AC-AD=4cm
∴BD=BC+CD=6+4=10cm；
故选C．
【点睛】此题主要考查线段之间的关系，解题的关键是熟知线段的和差关系．
二、填空题
7．（2017·广西桂林中考真题）如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AD的中点，若CD=1，则AB=________________．
【答案】4
【详解】∵点C是线段AD的中点，若CD=1，
∴AD=1×2=2，
∵点D是线段AB的中点，
∴AB=2×2=4，
故答案为4.
8．（2012·山东菏泽中考真题）已知线段AB=8cm，在直线AB上画线段BC，使它等于3cm，则线段AC=______cm．
【答案】5或11
【分析】由于C点的位置不能确定，故要分两种情况考虑AC的长，注意不要漏解．
【详解】由于C点的位置不确定，故要分两种情况讨论：
当C点在B点右侧时，如图所示：
AC=AB+BC=8+3=11cm；
当C点在B点左侧时，如图所示：
AC=AB﹣BC=8﹣3=5cm；
所以线段AC等于11cm或5cm.
9．（2018·四川甘孜中考真题）直线上依次有A，B，C，D四个点，AD=7，AB=2，若AB，BC，CD可构成以BC为腰的等腰三角形，则BC的长为_____．
【答案】2或2.5
【分析】由AB，BC，CD可构成以BC为腰的等腰三角形，分BC=AB或BC=CD两种情况结合已知条件进行求解即可得.
【详解】解：如图
∵AB=2，AD=7，
∴BD=BC+CD=AD-AB=5，
∵AB，BC，CD可构成以BC为腰的等腰三角形，
∴BC=AB或BC=CD，
∴BC=2或BC=2.5，
故答案为2或2.5.
【点睛】本题考查了线段的和差，等腰三角形的概念，关键是根据等腰三角形的腰相等分两种情况进行讨论.
10．（2014·江苏徐州中考真题）点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为﹣3、1，若BC=2，则AC等于_____．
【答案】2或6．
【分析】要求学生分情况讨论A，B，C三点的位置关系，即点C在线段AB内，点C在线段AB外．
【详解】解：此题画图时会出现两种情况，即点C在线段AB内，点C在线段AB外，所以要分两种情况计算．
点A、B表示的数分别为﹣3、1，
AB=4．
第一种情况：在AB外，
AC=4+2=6；
第二种情况：在AB内，
AC=4﹣2=2．
故选D．
考点：两点间的距离；数轴．
11．（2011·安徽中考真题）如图，点C是线段AB上的点，点D是线段BC的中点，若AB=12，AC=8，则CD=
．
【答案】2
【分析】根据AB=12，AC=8，求出BC的长，再根据点D是线段BC的中点，得出CD=BD即可得出答案．
【详解】解：∵AB=12，AC=8，
∴BC=4，
∵点C是线段AB上的点，点D是线段BC的中点，
∴CD=BD=2，
故答案为2．
考点：两点间的距离．
12．（2014·四川达州中考真题）《庄子．天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是：一根一尺的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完，如图．
由图易得：=_____．
【答案】
【分析】一根木棍，第一次取其一半，得=1－；
第二次取其一半，得=1－（）；
第三次取其一半，得=1－（）；
……
第n次取其一半，得=1－（），
所以=1－.
故答案为1－.
三、解答题
13．（2017·江苏徐州中考真题）如图，将边长为的正三角形纸片按如下顺序进行两次折叠，展开后，得折痕（如图①），点为其交点.
（1）探求与的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，若分别为上的动点.
①当的长度取得最小值时，求的长度；
②如图③，若点在线段上，，则的最小值=
.
【答案】（1）AO=2OD，理由见解析；（2）①；②.
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°，得到AO=OB，根据直角三角形的性质即可得到结论；
（2）如图②，作点D关于BE的对称点D′，过D′作D′N⊥BC于N交BE于P，则此时PN+PD的长度取得最小值，根据线段垂直平分线的想知道的BD=BD′，推出△BDD′是等边三角形，得到BN=BD=，于是得到结论；
（3）如图③，作Q关于BC的对称点Q′，作D关于BE的对称点D′，连接Q′D′，即为QN+NP+PD的最小值．根据轴对称的定义得到∠Q′BN=∠QBN=30°，∠QBQ′=60°，得到△BQQ′为等边三角形，△BDD′为等边三角形，解直角三角形即可得到结论．
【详解】（1）AO=2OD，
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°，
∴AO=OB，
∵BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴∠BDO=90°，
∴OB=2OD，
∴OA=2OD；
（2）如图②，作点D关于BE的对称点D′，过D′作D′N⊥BC于N交BE于P，
则此时PN+PD的长度取得最小值，
∵BE垂直平分DD′，
∴BD=BD′，
∵∠ABC=60°，
∴△BDD′是等边三角形，
∴BN=BD=，
∵∠PBN=30°，
∴，
∴PB=；
（3）如图③，作Q关于BC的对称点Q′，作D关于BE的对称点D′，
连接Q′D′，即为QN+NP+PD的最小值．
根据轴对称的定义可知：∠Q′BN=∠QBN=30°，∠QBQ′=60°，
∴△BQQ′为等边三角形，△BDD′为等边三角形，
∴∠D′BQ′=90°，
∴在Rt△D′BQ′中，
D′Q′=．
∴QN+NP+PD的最小值=，
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