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第4章几何图形初步4.1几何图形（简答题专练）
1．如图，从一个多边形的某一条边上的一点（不与端点重合）出发，分别连接这个点与其他所有顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形，由三角形、四边形、五边形为例，你能总结出什么规律？n边形呢？
?
2．某种产品形状是长方形，长为8cm，它的展开图如图：
（1）求长方体的体积；
（2）请为厂家设计一种包装纸箱，使每箱能装10件这种产品，要求没有空隙且要使该纸箱所用材料尽可能少（纸箱的表面积尽可能小）
3．如图是由7个相同的小立方体组成的几何体，
（1）请画出从正面看、从左面看、从上面看的平面图形．
（2）现量得小立方体的棱长为2cm，现要给该几何体表面涂色（不含底面），求涂上颜色部分的总面积．
4．（1）如图，一个正方体纸盒的棱长为厘米，将它的一些棱剪开展成一个平面图形，求这个平面图形的周长.
（2）如图，一个长方体纸盒的长、宽、高分别是厘米、厘米、厘米（）将它的一些棱剪开展成一个平面图形，求这个平面图形的最大周长，画出周长最大的平面图形.
5．如图所示，是用6个小正方体搭成的立体图形，请你从正面、左面、上面观察这个几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图．
6．如图是一个正方体的展开图，每个面内都标注了字母，请根据要求回答下列问题：
(1)如果面F在正方体的底部，那么哪一面会在上面？
(2)如果面B在前面，从左面看是面C，那么哪一面会在上面？
(3)如果从右面看到面D，面E在后面，那么哪一面会在上面？
7．如图，直角三角形ABC的两条直角边AB和BC分别长4厘米和3厘米，现在以斜边AC为轴旋转一周．求所形成的立体图形的体积．
8．如图，在平整地面上，若干个完全相同的棱长为10cm的小正方体堆成一个几何体．
（1）这个几何体由______个小正方体组成．
（2）如果在这个几何体的表面（不含底面）喷上黄色的漆，则在所有的小正方体中，有______个正方体只有一个面是黄色，有______个正方体只有两个面是黄色，有______个正方体只有三个面是黄色．
这个几何体喷漆的面积为______cm2．
9．小文想用一张长方形白铁皮做一个长方体无盖盒子，她采取了如下图所示的一个方案（阴影部分是被剪掉的材料，形状为四个相同的正方形）．
（1）这块白铁皮的总面积是多少？
（2）这个长方体盒子的表面积是多少？
（3）这个长方体盒子的体积是多少？
10．把图中图形绕虚线旋转一周，指出所得几何体与下面A～E中几何体的对应关系．
11．用若干个完全相同的小正方体搭成一个几何体，当从正面、上面看这个几何体时，得到的图形如图，问:在这个几何体中，小正方体的个数最多是多少？最少是多少？
12．一个正方体6个面分别写着1，2，3，4，5，6.根据下列摆放的三种情况，那么每个数对面上的数是几？
13．如下图，第二行的图形绕虚线旋转一周，便能形成第一行的某个几何体，用线连一连．
14．用小立方块搭成的几何体，主视图和俯视图如下，问：
（1）它最多要多少小立方块，最少要多少小立方块；
（2）画出最多、最少时的左视图．
15．小明和小彬观察同一个物体，从俯视图看都是一个等腰梯形，但小明所看到的主视图如图（1）所示，小彬看到的主视图如图（2）所示．你知道这是一个什么样的物体？小明和小彬分别是从哪个方向观察它的？
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第4章几何图形初步4.1几何图形（简答题专练）
1．如图，从一个多边形的某一条边上的一点（不与端点重合）出发，分别连接这个点与其他所有顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形，由三角形、四边形、五边形为例，你能总结出什么规律？n边形呢？
?
【答案】n边形被分为（n﹣1）个三角形．
【分析】分别列举出以三角形，四边形，五边形为例时图形中三角形的个数，再由此总结出规律.
【详解】由图中可以看出三角形被分为2个三角形；四边形被分为3个三角形，五边形被分为4个三角形，那么n边形被分为（n﹣1）个三角形．
【点睛】这是一个与图形相关的规律问题，基本的方法是，分别列举出几个图形中的三角形的个数，从三角形的个数的变化与图形的边数的变化中找出规律，从有限到无限，写出相应的代数式.
2．某种产品形状是长方形，长为8cm，它的展开图如图：
（1）求长方体的体积；
（2）请为厂家设计一种包装纸箱，使每箱能装10件这种产品，要求没有空隙且要使该纸箱所用材料尽可能少（纸箱的表面积尽可能小）
【答案】（1）长方形的体积为144cm3；（2）纸箱的表面积为792cm2
【分析】（1）设长方体的高为xcm，则长方形的宽为（12﹣2x）cm，根据长方体的展开图可见产品的一个宽+2个长+一个高=25，从而列出方程，求解得出长方体产品的长宽高，再根据长方体的体积计算方法即可算出答案；
（2）由于产品的长宽高是固定的，厂家设计一种包装纸箱，使每箱能装10件这种产品，要求没有空隙且要使该纸箱所用材料尽可能少，故在装这10件产品时，让产品重叠在一起的面积尽可能的大，从而得出设计的包装纸箱为15×12×8规格，再根据长方体的表面积计算方法即可算出答案.
【详解】（1）解：设长方体的高为x
cm，则长方形的宽为（12﹣2x）cm，根据题意可得：
12﹣2x+8+x+8=25，
解得：x=3，
所以长方体的高为3cm，宽为6cm，长为8cm，
长方形的体积为：8×6×3=144cm3；
（2）解：由要求没有空隙且要使该纸箱所用材料尽可能少（纸箱的表面积尽可能小），可知纸箱的装法有两种，即每层一个共10层或每层两个共5层，
①每层一个共10层：
（ⅰ）当3×6的面叠加在一起时，
表面积为2（3×6+3×80+6×80）=1476cm2,
（ⅱ）当3×8的面叠加在一起时，
表面积为2（3×8+3×60+8×60）=1368cm2,
（ⅲ）当6×8的面叠加在一起时，
表面积为2（30×8+30×6+8×6）=936cm2,
②每层两个共5层：
（ⅰ）当每一层的两个长方体的3×6的面叠加在一起时，且底层的长方体的3×8的面贴地面时，
表面积为2（3×16+3×30+16×30）=1236cm2,
（ⅱ）当每一层的两个长方体的3×6的面叠加在一起时，且底层的长方体的6×8的面贴地面时，
表面积为2（6×16+6×15+16×15）=852cm2,
（ⅲ）当每一层的两个长方体的3×8的面叠加在一起时，且底层的长方体的3×6的面贴地面时，
表面积为2（3×12+3×40+12×40）=1272cm2,
（ⅳ）当每一层的两个长方体的3×8的面叠加在一起时，且底层的长方体的8×6的面贴地面时，
表面积为2（12×8+8×15+12×15）=792cm2,
（ⅴ）当每一层的两个长方体的8×6的面叠加在一起时，且底层的长方体的8×3的面贴地面时，
表面积为2（6×8+6×30+8×30）=936cm2,
（ⅵ）当每一层的两个长方体的8×6的面叠加在一起时，且底层的长方体的6×3的面贴地面时，
表面积为2（6×6+6×40+6×40）=1032cm2,
所以当每一层的两个长方体的3×8的面叠加在一起时，且底层的长方体的8×6的面贴地面时，表面积最小，为792cm2，设计的包装纸箱为长为12cm，宽为8cm，高为15cm.
故答案为792cm2
【点睛】本题考查几何体的表面积，几何体的展开图.（1）根据展开图合理设未知数，找到等量关系列式计算.（2）关键是列出所有纸箱装法并计算表面积.
3．如图是由7个相同的小立方体组成的几何体，
（1）请画出从正面看、从左面看、从上面看的平面图形．
（2）现量得小立方体的棱长为2cm，现要给该几何体表面涂色（不含底面），求涂上颜色部分的总面积．
【答案】（1）图形见解析（2）92
【分析】（1）根据从正面、从左面、从上面看的面的个数和位置，画图即可；
（2）根据从各面看到的正方形的个数（即为需要涂色的面）求面积即可.
【详解】（1）如图所示：
；
（2）涂上颜色部分的总面积：2×2×（5×2+3×2+5+2）=92（平方厘米）．
答：涂上颜色部分的总面积是92平方厘米．
4．（1）如图，一个正方体纸盒的棱长为厘米，将它的一些棱剪开展成一个平面图形，求这个平面图形的周长.
（2）如图，一个长方体纸盒的长、宽、高分别是厘米、厘米、厘米（）将它的一些棱剪开展成一个平面图形，求这个平面图形的最大周长，画出周长最大的平面图形.
【答案】(1)56cm；（2）
【分析】（1）根据正方体展开图形有14条边，再求其周长；（2）根据，为使展开图面积最大，则应剪开，再求周长；
【详解】（1）正方体的展开图共有种，无论哪一种，其边都有条.
故cm
（2），为使展开图面积最大，则应剪开.
周长
所以，最大周长是.
剪开图如下图所示：
【点睛】正方体展开图所示情况有：
有四个面拼接在同一直线上，有6种形状，如图：
有三个面拼接在同一直线上，有4种形状，如图：
没有三个面或四个面在同一直线上，只有1种形状，如图：
共11种情况，但所有展开图都共有14条边。
5．如图所示，是用6个小正方体搭成的立体图形，请你从正面、左面、上面观察这个几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图．
【答案】画图见解析.
【分析】从正面看:共有3列,从左往右分别有1,2,1个小正方形;从左面看:共有2列,左面一列有2个,右边一列有2个小正方形;从上面看:共分3列,从左往右分别有1,2,1个小正方形.据此可画出图形.
【详解】如图所示．
【点睛】考查画三视图的知识;用到的知识点为:主视图,左视图,俯视图分别是从物体的正面,左面,上面看得到的图形.
6．如图是一个正方体的展开图，每个面内都标注了字母，请根据要求回答下列问题：
(1)如果面F在正方体的底部，那么哪一面会在上面？
(2)如果面B在前面，从左面看是面C，那么哪一面会在上面？
(3)如果从右面看到面D，面E在后面，那么哪一面会在上面？
【答案】(1)面B；
(2)面D；(3)面F.
【分析】根据题意可以将多面体的展开图动手折一下，观察每个面的对面，进行转动，再找到其对面．
【详解】将多面体的展开图再动手折一下，得到：A和D相对，B和F相对，C和E相对．
故（1）如果面F在正方体的底部，那么面B会在上面；
（2）如果面B在前面，从左面看是面C，那么面D会在上面；
（3）如果从右面看到面D，面E在后面，那么面F会在上面．
【点睛】本题考查了灵活运用正方体的相对面解答问题，立意新颖，是一道不错的题．
7．如图，直角三角形ABC的两条直角边AB和BC分别长4厘米和3厘米，现在以斜边AC为轴旋转一周．求所形成的立体图形的体积．
【答案】9.6π立方厘米
【分析】先根据勾股定理求出斜边为5厘米，再用“3×4÷5=2.4厘米”求出斜边上的高，绕斜边旋转一周后所得到的就是两个底面半径为2.4厘米，高的和为5厘米的圆锥体，由此利用圆锥的体积公式求得这两个圆锥的体积之和即可．
【详解】过B作BD⊥AC，
∵直角边AB和BC分别长4厘米和3厘米，
∴AC==5（厘米），
斜边上的高为“3×4÷5=2.4（厘米），
所形成的立体图形的体积：2.425
=9.6π（立方厘米）．
8．如图，在平整地面上，若干个完全相同的棱长为10cm的小正方体堆成一个几何体．
（1）这个几何体由______个小正方体组成．
（2）如果在这个几何体的表面（不含底面）喷上黄色的漆，则在所有的小正方体中，有______个正方体只有一个面是黄色，有______个正方体只有两个面是黄色，有______个正方体只有三个面是黄色．
这个几何体喷漆的面积为______cm2．
【答案】（1）10（2）1，2，3，3200
【分析】（1）根据几何体的形状，可得左列三排，第一排一层，第二排两层，后排三层，中间列两排，每排一层，右列一排，共一层，可得答案；
（2）根据几何体的形状，可得小正方体露出表面的个数；
（3）根据露出的小正方体的面数，可得几何体的表面积．
【详解】（1）由图可得：这个几何体由
10个小正方体组成．
（2）如果在这个几何体的表面喷上黄色的漆，则在所有的小正方体中，有
1个正方体只有一个面是黄色，有
2个正方体只有两个面是黄色，有
3个正方体只有三个面是黄色．
（3）露出表面的面一共有32个，则这个几何体喷漆的面积为3200cm2.
9．小文想用一张长方形白铁皮做一个长方体无盖盒子，她采取了如下图所示的一个方案（阴影部分是被剪掉的材料，形状为四个相同的正方形）．
（1）这块白铁皮的总面积是多少？
（2）这个长方体盒子的表面积是多少？
（3）这个长方体盒子的体积是多少？
【答案】（1）6a2b2；（2）5a2b2；（3）a3b3．
【分析】（1）结合图形确定长方形的长和宽，再根据矩形的面积公式列出算式，计算可得；
（2）长方形盒子的表面积=大长方形的面积-四个小正方形的面积，据此列出算式，再根据整式的混合运算顺序和运算法则计算可得；
（3）结合图形确定盒子的长、宽、高，根据题意公式列出算式，再进一步计算可得．
【详解】解：（1）这张白铁皮的面积为3ab（ab+2×ab）=3ab×2ab=6a2b2；
（2）这个长方体盒子的表面积是6a2b2-4×（ab）2=6a2b2-a2b2=5a2b2；
（3）这个长方体盒子的体积是（3ab-2×ab）?ab?ab=2ab?ab?ab=a3b3．
【点睛】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是结合图形列出面积、体积的代数式，并熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则．
10．把图中图形绕虚线旋转一周，指出所得几何体与下面A～E中几何体的对应关系．
【答案】（1）--B，（2）--
C，（3）--
D，（4）--A，（5）--E．
【分析】本题是一个平面图形绕中心对称轴旋转一周，根据面动成体的原理即可解．
【详解】（1）一个直角三角形，以直角三角形的一条直角边所在直线为对称轴旋转一周，因而得到一个圆锥B；
（2）一个三角形以较长一边为对称轴旋转一周，可得两个同底的圆锥C；
（3）一个长方形以长为对称轴旋转一周，可得圆柱D；
（4）一个半圆以直径为对称轴旋转一周，可得球体A；
（5）一个梯形以下底为对称轴旋转一周，可得E．
【点睛】此题考查学生立体图形的空间想象能力及分析问题，解决问题的能力．
11．用若干个完全相同的小正方体搭成一个几何体，当从正面、上面看这个几何体时，得到的图形如图，问:在这个几何体中，小正方体的个数最多是多少？最少是多少？
【答案】5,4
【分析】从正面看时，图形左列最多有2个小正方体，右列有1个正方体，将小正方体可能的个数分别标记在从上面看的图形上.
【详解】根据已知可得，在从上面看到的图形中，各位置上小正方体的个数最多时如图D1-3（1），各位置上小正方体的个数最少时如图D1-3(2).
由图（1）可知，这个几何体中有5个小正方体；由图（2）可知，这个几何体中有4个小正方体.即在这个几何体中，小正方体的个数最多是5，最少是4.
12．一个正方体6个面分别写着1，2，3，4，5，6.根据下列摆放的三种情况，那么每个数对面上的数是几？
【答案】1对4，2对5，3对6；或1对5，2对4，3对6.
【分析】根据正方体的特征知，相邻的面一定不是对面，所以面“1”与面“4”相对，面“2”与面“5”相对，“3”与面“6”相对；或面“1”与面“5”相对，面“2”与面“4”相对，“3”与面“6”相对．
【详解】根据正方体的特征知，相邻的面一定不是对面，所以面“1”与面“4”相对，面“2”与面“5”相对，“3”与面“6”相对；或面“1”与面“5”相对，面“2”与面“4”相对，“3”与面“6”相对．故答案为1对4，2对5，3对6；或1对5，2对4，3对6．
【点睛】正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
13．如下图，第二行的图形绕虚线旋转一周，便能形成第一行的某个几何体，用线连一连．
【答案】见解析
【分析】根据旋转的特点和各几何图形的特性判断即可．
【详解】如图所示：
14．用小立方块搭成的几何体，主视图和俯视图如下，问：
（1）它最多要多少小立方块，最少要多少小立方块；
（2）画出最多、最少时的左视图．
【答案】（1）最多为8个小立方块，最少为7个小立方块；（2）画图见解析.
【分析】由主视图可知这个几何体共有3列，由俯视图可得第一列正方体的个数为3，第二列最多为2+2=块，最少为2+1=3块，第三列只有1块，即可得出答案．
【详解】解：（1）最多为3+4+1=8个小立方块，最少为个3+3+1=7小立方块．
故答案为8；7．
（2）最多时的左视图是：
最少时的左视图为：
.
15．小明和小彬观察同一个物体，从俯视图看都是一个等腰梯形，但小明所看到的主视图如图（1）所示，小彬看到的主视图如图（2）所示．你知道这是一个什么样的物体？小明和小彬分别是从哪个方向观察它的？
【答案】见解析
【分析】根据题意，俯视图是一个等腰梯形，而（1）与（2）的形状是相同的，故可知道小明和小彬是从不同方向观察它的，且该几何体是底面为等腰梯形的四棱柱．
【详解】底面为等腰梯形的四棱柱（如图所示）．小明是从前面观察的，而小彬则是从后面观察的（答案不惟一）．
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