人教版九年级数学上册 21.3实际问题与一元二次方程（几何图形与一元二次方程问题）课件(共27张PPT)

(共27张PPT)
第二十一章
一元二次方程
21.3
实际问题与一元二次方程
第三课时
【学习目标】
1.掌握根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程．
2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．
3.掌握列一元二次方程解有关设计图形问题的应用题
复习：列方程解应用题有哪些步骤
对于这些步骤，应通过解各种类型的问题，才能深刻体会与真正掌握列方程解应用题。
上一节，我们学习了解决“平均增长(下降)率问题”，现在，我们要学习解决“面积、体积问题。
【学习探究】
复习
1．直角三角形的面积公式是什么？
一般三角形的面积公式是什么呢？
2．正方形的面积公式是什么呢？
长方形的面积公式又是什么？
3．梯形的面积公式是什么？
4．菱形的面积公式是什么？
5．平行四边形的面积公式是什么？
6．圆的面积公式是什么？
问题
请某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形土地上修建三条等宽的通道，使其中两条与AB平行，另外两条与AD平行，其余部分种花草，要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道宽应该设计为多少？设通道宽为xm，则由题意列的方程为_____________________.
C
B
D
A
(30-2x)(20-x)=6×78
几何图形与一元二次方程
探究3
要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21cm正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度？（精确到0.1cm）
27cm
21cm
例题
分析:这本书的长宽之比
：
正中央的矩形长宽之比
：
，上下边衬与左右边衬之比
：
.
9
7
9
7
27cm
21cm
设中央长方形的长和宽分别为9a和7a由
此得到上下边衬宽度之比为：
9
7
27cm
21cm
解:设上下边衬的9xcm，左右边衬宽为7xcm依题意得
解方程得
故上下边衬的宽度为:
故左右边衬的宽度为:
方程的哪个根合乎实际意义?
为什么?
答：上下边衬的宽度为:1.8cm,左右边衬的宽度为:1.4cm.
试一试
如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？
解:设正中央的矩形两边别为9xcm，7xcm。依题意得
27cm
21cm
解得
故上下边衬的宽度为:
故左右边衬的宽度为:
（1）主要集中在几何图形的面积问题,
这类问题的面积公式是等量关系.
如果图形不规则应割或补成规则图形,找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程;
（2）与直角三角形有关的问题：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是这类问题的等量关系，即用勾股定理列方程.
方法点拨
采条
采条
解：设横条幅的宽为x米，竖条幅的宽为3x米，由题可知
图1
图2
（舍去）
3米
2米
答：横条幅的宽为
米，竖条幅的宽为
米.
我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）.
方法点拨
例2.
学校为了美化校园环境，在一块长40米、宽20米的长方形空地上计划新建一块长9米、宽7米的长方形花圃.
（1）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多1平方米，请你给出你认为合适的三种不同的方案.
（2）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积能否增加2平方米？如果能，请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由.
解:
(1)
方案1：长为
米，宽为7米;
方案2：长为16米，宽为4米;
方案3：长=宽=8米;
注：本题方案有无数种
（2）在长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃面积不能增加2平方米.
由题意得长方形长与宽的和为16米.设长方形花圃的长为x米，则宽为（16-x）米.
x(16-x)=63+2，
即x2-16x+65=0，
∴此方程无解.
∴在周长不变的情况下，长方形花圃的面积不能增加2平方米
例3.
如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽AB为x米，面积为S米2，
（1）求S与x的函数关系式;（2）如果要围成面积为45米2的花圃，AB的长是多少米？
【解析】(1)设宽AB为x米，
则BC为(24-3x)米，这时面积
S=x(24-3x)=-3x2+24x
(2)由条件-3x2+24x=45
化为：x2-8x+15=0解得x1=5，x2=3
∵0＜24-3x≤10得14/3≤x＜8
∴x2不合题意，AB=5，即花圃的宽AB为5米
例4．某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．
（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？
（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？
分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为xm，则上口宽为x+2，渠底为x+0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建模．
解：（1）设渠深为xm
则渠底为（x+0.4）m，上口宽为（x+2）m
依题意，得：
整理，得：5x2+6x-8=0
解得：x1=0.8m，x2=-2（不合题意,舍去）
∴上口宽为2.8m，渠底为1.2m．
答：渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和1.2m；
需要25天才能挖完渠道．
当堂练习
1.
在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（
）
A．x2+130x-1400=0
B．x2+65x-350=0
C．x2-130x-1400=0
D．x2-65x-350=0
80cm
x
x
x
x
50cm
B
2.
某农场要建一个长方形的养鸡场,养鸡场的一边靠墙(墙长25m),另
外三边用木栏围成,木栏长40m.
(1)
养鸡场的面积能达到180m2吗?
如果能,请给出设计方案;如果不能,请
说明理由.
25m
180m2
解:设养鸡场的长为xm,根据题意得:
即
x2
-
40x
+
360=0.
解方程,得
x1
=
x2=
(舍去),
答：鸡场的为（
）m满足条件.
x
3.
如图1，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540平方米，求道路的宽.
解：设道路宽为x米，由平移得到图2，则宽为(20-x)米，长为（32-x)米，列方程得
（20-x)(32-x)=540，
整理得
x2-52x+100=0，
解得
x1=50(舍去），x2=2.
答：道路宽为2米.
图1
图2
课堂小结
几何图形与一元二次方程问题
几何图形
常见几何图形面积是等量关系.
类
型
课本封面问题
彩条宽度问题
常采用图形平移能聚零为整方便列方程
【课后练习】
1．在一个边长为12.75
cm的正方形纸板内，割去一个边长为7.25
cm的正方形，剩下部分的面积等于(
)
A．100
cm2
B．105
cm2
C．108
cm2
D．110
cm2
2．有两块木板，第一块长是宽的2倍，第二块的长比第一块的长少2m，宽是第一块宽的3倍，已知第二块木板的面积比第一块大108m2，这两块木板的长和宽分别是（
）．
A．第一块木板长18m，宽9m，第二块木板长16m，宽27m
B．第一块木板长12m，宽6m，第二块木板长10m，宽18m
C．第一块木板长9m，宽4.5m，第二块木板长7m，宽13.5m
D．以上都不对
3．一个菱形的水池，它的两条对角线的差为2米，水池的边长为5米，则这个菱形的面积是(　　)
A．48米2
B．32米2
C．24米2
D．16米2
4．从正方形的木板上锯掉一块宽2cm的长方形木条，剩下的部分的面积是48cm2，则这块长方形木板原来的面积是(　　)
A．81cm2
B．81cm2或64cm2
C．64cm2
D．96cm2
5．一条长64m的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形，若两个正方形的面积的和等于160m2，则这两个正方形的边长是(　　)
A．6m和8m
B．4m和10m
C．4m和12m
D．6m和10m
【课后练习】答案
1．D
2．B
3．C
4．C
5．C
【课后练习】
1．用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的长方形．设长方形的长为xcm，则可列方程为（
）
A．x（20+x）=64
B．x（20﹣x）=64
C．x（40+x）=64
D．x（40﹣x）=64
2．直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为（
）．
A．
B．5
C．
D．7
3．绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为米，根据题意，可列方程为（
）．
4．餐桌桌面是长为160cm，宽为100cm的长方形，妈妈准备设计一块桌布，面积是桌面的2倍，且使四周垂下的边等宽．若设垂下的桌布宽为xcm，则所列方程为（
）
A．（160+x）（100+x）=160×100×2
B．(160+2x)(
100+2x)
=160×100×2
C．（160+x）（100+x）=160×100
D．2(160x+100x)=160×100
5．将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300，则原铁皮的边长为（
）
A．10cm
B．13cm
C．14cm
D．16cm
6．一个三角形的两边长分别为5和3，第三边的边长是方程(x－2)(x－4)＝0的根，则这个三角形的面积是(　　)
A．6
B．3
C．4
D．12
7．三角形两边长分别为4和6,第三边是方程x2-8x+12=0的解,则这个三角形的周长是(　　)
A．12
B．16
C．12或16
D．不能确定
8．方程(x-2)(x-4)=0
的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为
（???????
）
A．6????????????????????????????????????????
B．8????????????????????????????????????????
C．10????????????????????????????????????????
D．8或10
9．三角形的两边长分别为4和6，第三边长是方程x2－7x＋12＝0的解，则第三边的长为(　　)
A．3
B．4
C．3或4
D．无法确定
10．如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是（　　）
A．7m
B．8m
C．9m
D．10m
11．已知一等腰三角形的底边长和腰长分别是方程x2﹣3x=4（x﹣3）的两个实数根，则该等腰三角形的周长是_____．
12．一块矩形菜地的面积是120m2，如果它的长减少2cm，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是_______m．
13．用一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在四个角上各截去一个边长为xcm的小正方形，然后做成底面积为1500cm?的没有盖的长方体盒子，为了求出x，根据题意列方程并整理后得________．
14．一个长方形的长比宽多4cm，面积为60cm2，则它的周长为______cm.
15．利用旧墙为一边，再用长13m的篱笆围成一个面积为20m?的长方形场地，则长方形场地的长和宽分别是______.（旧墙长为7m）
【课后练习】答案
1．B
2．B
3．B
4．B
5．D
6．A
7．B
8．C
9．B
10．A
11．10或11
12．12.
13．
14．32
15．5m，4m