高一数学人教版必修二 8.3.1棱柱棱锥棱台的表面积和体积 课件（共29张PPT）

8.3.1棱柱棱锥棱台的表面积和体积
(1)矩形面积公式： __________。
(2)三角形面积公式：_________。
正三角形面积公式：_______。
(6)梯形面积公式： __________
复习引入
（一）柱体、锥体、台体的表面积
思考:面积是相对于平面图形而言的，体积是相对于空间几何体而言的.
面积:平面图形所占平面的大小
体积:几何体所占空间的大小
表面积：几何体表面面积的大小
复习引入
在初中已经学过了正方体的表面积，你知道正方体的展开图与其表面积的关系吗？
几何体表面积
展开图
平面图形面积
空间问题
平面问题
学习新知
几何体的侧面展开图
侧面展开图的构成
一组平行四边形
一组梯形
一组三角形
学习新知
怎样理解棱柱、棱锥、棱台的表面积？
一般地,多面体的表面积就是各个面的面积之和
表面积=侧面积+底面积
1.棱柱、棱锥、棱台的表面积
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D
分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成．四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍。
交BC于点D．
解：过点S作 ，
B
C
A
S
∵
例1．已知棱长为 ，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积 ．
因此，四面体S-ABC的表面积为
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【习练·破】
已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，则该四棱台的表面积为________.?
【解析】如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，过B1作B1F⊥BC，垂足为F，在Rt△B1FB中，
BF= ×(8-4)=2，B1B=8，
故B1F=
所以
×(8+4)×2 =12 ，
故四棱台的侧面积S侧=4×12 =48 ，
80+48
长方体体积：
正方体体积：
体积:几何体所占空间的大小
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(a,b,c分别是长方体的长、宽、高）
一般地，如果棱柱的底面积是S,高是h,那么这个棱柱的体积V棱柱=Sh.
棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离
关于体积有如下几个原理：
（1）相同的几何体的体积相等；
（2）一个几何体的体积等于它的各部分体积之和； （3）等底面积等高的两个同类几何体的体积相等； （4）体积相等的两个几何体叫做等积体.

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B
A
B1
C
C1
A1
B1
C
C1
A1
B
B1
C
A1
B
A
C
A1
学习新知
将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积有什么关系？它们与三棱柱的体积有什么关系？
推广到一般的棱锥，你猜想锥体的体积公式是什么？
高h
底面积S
如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么，棱柱的体积是棱锥的体积的3倍. 因此，一般地，如果棱锥的底面面积为S,高为h,那么该棱锥的体积
学习新知
棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离.
根据棱台定义，如何计算台体的体积？
设棱台的上、下底面面积分别为S′和S，高为h，那么台体的体积公式是什么？
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棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离
学习新知
学习新知
在棱台体体积公式中，若S′=S，S′=0，则公式分别变形为什么？
S′=S
S′=0
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典型例题
例2一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5m,公共面ABCD是边长为1m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少（精确到0.01m3)?
分析：漏斗由两个多面体组成，其容积就是两个多面体的体积和.
解：由题意知
V长方体ABCD-A'B'C'D'=1×1×0.5=0.5(m3),
V棱锥P-ABCD= ×1×1×0.5= (m3).
所以这个漏斗的容积V= 0.67(m3).
练习：已知有一正四棱台的上底边长为4cm，下底边长为8cm,高为3cm，
求其体积。
巩固练习
【例3】如图所示，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C-A′DD′，求棱锥C-A′DD′的体积与剩余部分的体积之比.
【思维·引】先求出棱锥的体积，再求得剩余部分的体积，最后求得体积之比.
1∶5
【内化·悟】
怎样求几何体的体积？
提示：求几何体的体积，关键是弄清该几何体是柱体，锥体还是台体，再分别选择公式求解.
【类题·通】
常见的求几何体体积的方法
(1)公式法：直接代入公式求解.
(2)等积法：如四面体的任何一个面都可以作为
底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可.
(3)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.
【习练·破】
如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥，则剩余部分的体积为________.?
S△ABD·A1A
= a3.
故剩余部分的体积V=
a3
角度1　等积变换法求体积
【例4】如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A-DED1的体积为________.?
【思维·引】把三棱锥A-DED1转换为三棱锥E-DD1A，底面为直角三角形DAD1，高为正方体的棱长.
【素养·探】
等积转换法是求锥体体积的常用方法，特别是当题目中某些点是不固定的点时，常用等积转换固定一个面，再进行求值.在解题过程中主要考查直观想象和数学运算的核心素养.
变式：如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，求三棱锥D1-EDF的体积.
角度2　等体积法求点到面的距离
【例5】如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求点A到平面A1BD的距离d.
【思维·引】先求出三棱锥A-BDA1的体积，再求出三角形BDA1的面积，再根据等体积法求点到平面的距离.
【解析】在三棱锥A1-ABD中，AA1⊥平面ABD，
AB=AD=AA1=a，A1B=BD=A1D= a，
因为
所以
所以d= a.所以点A到平面A1BD的距离为 a.
各面面积之和
小结：
展开图
棱柱、棱锥、棱台
棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱体积
棱锥体积
棱台体积
常见的求几何体体积的方法
(1)公式法：直接代入公式求解.
(2)等积法：如四面体的任何一个面都可以作为
底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可.
(3)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.
2、选做题：课时跟踪检测二十二
1、必做题：
完成学案导学P65——P67
8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积