4.3.1 正比例函数的图象（知识清单+经典例题+夯实基础+提优特训+中考链接）

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北师大版八年级数学上册第四章一次函数
4.2
一次函数的图象
第1课时
一次函数的图象(1)正比例函数的图象
【知识清单】
一、函数的图象:
1．把一个函数的自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象.
2．画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线.
二、正比例函数的图象：
(1)正比例函数y=kx(k≠0)的图象是一条经过原点(0，0)的直线，因此画正比例函数图象时，只要再确定一个点，过这个点与原点画直线就可以了.
即要描出(0，0)和(1，k)即可.
(2)
画正比例函数图象时，如果自变量取值范围是全体实数，则要画成一条直线.
三、正比例函数的主要特征：
k的符号
函数图像
图像特征
函数性质
k>0
图像经过一、三象限.
y随x的增大而增大.
k<0
图像经过二、四象限.
y随x的增大而减小.
【经典例题】
【例题】1、在同一直角坐标系中，画出y=3x，y=3x的图象．
【考点】正比例函数的图象．
【分析】根据一次函数的图象是直线，而易得y=3x的图象过原点，且过点(1，3)，y=3x的图象过原点，且过点(1，3)，据此作图可得．
【解答】根据正比例函数的图象的直线特点，
只需要在直线上取两个特殊点就行了(两点确定一条直线)，
即列出(0，0)和(1，k)即可.
(1)列表：
y=3x
x
0
1
y
0
3
y=3x
x
0
1
y
0
3
(2)描点：(0，0)，(1，3)和(0，0)，(1，3)
(3)连线：如图所示即为所画的函数图.
【点评】本题考查正比例函数的图象的性质与作法，根据正比例函数的图象是直线，只需确定直线上两个特殊点即可．
【例题】2、(1)已知函数y=(m)x+m22的图象经过二、四象限，且过原点，则m=______．
(2)函数是正比例函数，则m=______，y随x的增大而______．
【考点】正比例函数图象的特征；正比例函数的性质；正比例函数的定义．
【分析】(1)由正比例函数的定义可得m22=0，且m≠0，解出m即得结果；
(2)根据正比例函数的定义可得出m215=1，且m4≠0，继而可得出m的值即可．
【解答】(1)由正比例函数的定义可得：m22=0，且m≠0，
解得：m=，
故答案为：；
(2)由正比例函数的定义可得：m215=1，且m4≠0，
则m=4，y=8x，
∴y随x的增大而减小．
【点评】本题考查了正比例函数的定义．解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数y=kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1.
【夯实基础】
1、正比例函数y=(π)x的图象大致为
(　　)
2、函数y=(82m)x+5n25是正比例函数且图象经过一、三象限的条件为
(
)
A．m≠4且n=5??
B．m
<4且n=5
C．m>4且n=5??
?D．m、n为任意实数
3、若点P(6，m)在正比例函数的图象上，则m=(
)
A．4
B．
4
C．
D．4．
4．已知函数y=(a3)x的函数值随x的增大而减小，那么a的取值范围是(　　)
A．a>3
B．a<3
C．a≥3
D．a≤3
5、正比例函数y=的图象经过点(4，
)和(8，
).
6、(1)已知一次函数y=(k2)x+(k+2)，若它的图象经过原点，则
，若y是值随x的增大
而增大，则k的取值范围是
.
(2)当m=
时，函数y=(3m5)x7m+15是正比例函数，此时函数值y随x的增大而
.
7、(1)在同一坐标系中，如图所示，一次函数y=k1x，y=k2x，y=k3x，y=k4x的图象分别为l1，l2，
l3，l4，则k1，k2，k3，k4的大小关系是
．
(2)在正比例函数y=3mx中，函数y的值随x的增大而增大，
则点A(3m，2m)所在的象限为
.
8、(1)若y=5mx(3m212)的图象经过原点，求m的值；
(2)已知正比例函数y=kx的图象经过点A(4，24)，
求这个函数的解析式．
9、在同一直角坐标系中，画出函数y=x，y=x，y=4x的图象，然后解答下列问题：
(1)根据图象比较它们有什么不同？
(2)比较哪一个函数图象与x轴正方向所成的锐角最大，由此你得到什么结论？
(3)预计哪个函数的函数值先到达50？
【提优特训】
10、例函数y=，y=，
y=3x的共同特点是(
)
A．图象位于同样的象限
B．y随x的增大而减小
C．y随x的增大而增大
D．图象都经过(0，0)
11、P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是正比例函数y=图象上的两点，下列判断中，正确的是
(　　)
A．y1>y2
B．y1C．当x1D．当x1y2
12、若代数式
有意义，则正比例函数y=kx的图象可能是(　　)
A．经过一、三象限
B．经过二、四象限
C．经过一、二、三象限
D．经过二、三、四象限
13、若正比例函数经过A(5，6
)和B(10，a)两点则a的值为(
)
A．12
B．12
C．
D．
14、已知正比例函数y=(k+3)x的图象经过二、四象限，则k的取值范围是?????
．
15、已知直线y=3kx7k+21(k≠0)，当k=
时，直线经过原点；当k=
时，
直线经过点(3，5)；当k=
时，直线与y轴交于(0，7)点.
16、(1)画出函数y=x的图象；
(2)判断点A
(，)，B
(2，2)，C
(a，a)
(a≠0)是否在函数y=x的图象上．
17、已知正比例函数y=(3m+15)x，求：
①m为何值时，函数图象经过一、三象限
②m为何值时，y随x的增大而减小
③m为何值时，点(2，6)在该函数图象上
18、已知正比例函数y=kx的图象经过点(5，20)．
(1)求这个函数的解析式；
(2)画出这个函数图象；
(3)判断点A
(2，8)、点B
(2.5，8)是否在这个函数图象上；
(4)图象上有两点C
(x1，y1)，D
(x2，y2)，如果x1【中考链接】
19、(2019?黄冈)
已知林茂的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是：林茂从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后再走回家．图中x表示时间，y表示林茂离家的距离．依据图中的信息，下列说法错误的是(　　)
A．体育场离林茂家2.5km
B．体育场离文具店1km
C．林茂从体育场出发到文具店的
平均速度是50m/min
D．林茂从文具店回家的平均速度
是60m/min
20、(2020?模拟)
(1)已知正比例函数的图象经过二、四象限，则a的值
为______．
(2)设若正比例函数y=ax的图象经过点P(a，)，且y的值随x的增大而减小，则a的值为
.
参考答案
1、C
2、B
3、A
4、B
5、3，
6
6、(1)
k=2、k>2
(2)
m=2
、减少
7、(1)k4
<
k1
<
k2
(2)第四象限
10、D
11、D
12、B
13、B
14、k
<3
15、k=3，k=8，
k=2
19、C
20、
(1)2
(2)
3
8、解：(1)根据题意，得3m212=0，
解得m=±2；
(2)将点A(4，24)代入y=kx得：
24=4k
解得k=6，
∴这个函数的解析式为y=6x.
9、在同一直角坐标系中，画出函数y=x，y=x，y=4x的图象，然后解答下列问题：
(1)根据图象比较它们有什么不同？
(2)比较哪一个函数图象与x轴正方向所成的锐角最大，由此你得到什么结论？
(3)预计哪个函数的函数值先到达50？
解：(1)列表
x
0
1
y
0
0.6
y=2x
x
0
1
y
0
2
y=4x
x
0
1
y
0
4
描点、连线，得到三个函数图象，如图所示：
(2)由以上三个函数的图象可知函数y=4x
与x轴正方向所成的锐角最大.
结论：由此可知正比例函数
y=kx(k>0)中，k越大图象与x轴正
方向所成的锐角越大．
(3)预计函数y=4x的函数值先到达50.
16、(1)画出函数y=x的图象；
(2)判断点A(，)，B(2，2)，C(a，a)(a≠0)是否在函数y=x的图象上．
解:
(1)∵函数y=x是正比例函数，
∴函数图象是经过原点的一条直线，
只需要取两个特殊点即可.
即(0，0)和(1，1)，
画图如图所示：
(2)把x=代入y=x=，所以A在图象上；
把x=2代入y=x=2，所以B不在图象上；
把x=a代入y=x=a，所以C在图象上．
17、已知正比例函数y=(3m+15)x，求：
①m为何值时，函数图象经过一、三象限
②m为何值时，y随x的增大而减小
③m为何值时，点(2，6)在该函数图象上
解：(1)∵函数图象经过一、三象，
∴3m+15>0，解得m>5；
(2)∵y随x的增大而减小，
∴3m+15<0，解得m＜5；
(3)∵点(2，6)在该函数图象上，
∴2(3m+15)=6，解得m=6
．
18、已知正比例函数y=kx的图象经过点(5，20)．
(1)求这个函数的解析式；
(2)画出这个函数图象；
(3)判断点A(2，8)、点B(2.5，8)是否在这个函数图象上；
(4)图象上有两点C(x1，y1)，D(x2，y2)，如果x1解：(1)将(5，20)代入y=kx，得20=5k，解得k=4，
故函数解析式为y=4x；
(2)?如图：函数过(0，0)，(1，4)；
(3)?分别将点A(2，8)、点B(2.5，8)
代入解析式得，y=4x=4×2=8；
y=4x=4×(2.5)=10≠8；
故点A在函数图象上，
点B不在函数图象上；
(4)由于k=4<0，故y随x的增大而减小，
可得y1>y2.
第18题图
第16题图
A
B
C
D
例题1图
第20题图
第9题图
第7(1)题图
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