(共29张PPT)
1.1
探索勾股定理
（第1课时）
导入新知
同学们，在我们美丽的地球王国上，原始森林，参天古树带给我们神秘的遐想；绿树成荫，微风习习，给我们以美的享受.你知道吗？在古老的数学王国，有一种树木它很奇妙，生长速度大的惊人，它是什么呢？下面让我们带着这个疑问一同到数学王国去欣赏吧！
勾股树
1.通过数格子的方法探索勾股定理；学生理解勾股定理反映的是直角三角形三边之间的数量关系.
素养目标
2.在探索过程中，学生经历了“观察-猜想-归纳”的教学过程，将形与数密切联系起来.
3.学生初步运用勾股定理进行简单的计算和实际的应用.
在纸上画若干个直角边为整数的直角三角形，分别测量它们的三条边长，并填入下表.看看三边长的平方之间有怎样的关系？与同伴进行交流.
知识点
勾股定理的探索
做一做
探究新知
a
b
c
a2,b2,c2之间关系
问题1
你能发现下图中三个正方形面积之间有怎样的关系?
A
B
C
（图中每个小方格代表一个单位面积）
图1
探究新知
A
B
C
（图中每个小方格代表一个单位面积）
正方形A中含有
个小方格,即A的面积是
个单位面积.
同理:正方形B的面积是
个单位面积.
9
9
9
思考1
用什么办法能求出图1中A,
B的面积?
数格子
图1
探究新知
分割成若干个直角边为整数的三角形
（单位面积）
思考2
怎样求出C的面积?
A
B
C
（图中每个小方格代表一个单位面积）
图1
探究新知
练一练
通过对图1的学习，求出图2正方形A,B,C中面积各是多少?
A
B
C
A
B
C
（图中每个小方格代表一个单位面积）
图
1
图
2
探究新知
解：正方形A的面积是4个单位面积，正方形B的面积是4个单位面积，正方形C的面积是8个单位面积.
（1）观察图3、图4：
（2）填表（每个小正方形的面积为单位1）：
A的面积
B的面积
C的面积
图3
图4
4
9
16
9
？
？
图3
图4
做一做
探究新知
（3）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流.
图3
图4
探究新知
“补”
“割”
“拼”
分割为四个直角三角形和一个小正方形
补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积
将几个小块拼成一个正方形，如图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形
探究新知
（4）分析填表数据
图4
图3
探究新知
A的面积
B的面积
C的面积
图3
图4
4
9
16
9
13
25
结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
问题2
通过以上观察分析，你能发现三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？
探究新知
做一做
如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度，上面猜想的数量关系还成立吗？说明你的理由.
2.4
1.6
?
问题4
你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？
探究新知
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么
即
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
a
b
c
表示为：Rt△ABC中，∠C=90°,
则
.
在西方又称毕达哥拉斯定理
探究新知
勾
较短的直角边称为
，
股
较长的直角边称为
，
直角三角形中
弦
斜边称为
.
勾2
+
股2
=
弦2
股
勾
弦
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为"勾"，下半部分称为"股“.
趣味小常识
探究新知
素养考点
1
利用勾股定理求直角三角形的边长
方法点拨：已知直角三角形的两边求第三边,关键是先明确所求的边是直角边还是斜边,再应用勾股定理.
例1
如果直角三角形两直角边长分别为
BC=5厘米,AC=12厘米,求斜边AB的长度.
a
b
c
A
C
B
解：在Rt△ABC中根据勾股定理,
AC?+BC?=AB?，
AC=12，BC=5
所以12?+5?=AB?，
所以AB?=12?+5?=169，
所以AB=13厘米.
答：斜边AB的长度为13厘米.
探究新知
巩固练习
变式训练
求下列图形中未知边的长度：
所以x=8
.
解：由勾股定理得：
62+x2=102
,
所以x2=64
,
1.寻求图形面积之间的关系
素养考点
2
利用勾股定理求面积问题
方法点拨：以直角三角形三边为基础向外作正方形，等腰三角形或半圆，都能形成简单的勾股图，对于勾股图都有相同的结论，即S3=S1+S2（S3是以斜边为基础向外作的图形的面积，S1和S2分别是以直角边基础向外所作图形的面积.
例2
如图，以Rt△ABC的三边为边，分别向外作正方形，它们的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝16，则S1的值为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
探究新知
B
例3
如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，求△ABC的
面积．
方法点拨：当题目中没有直角三角形时，常作垂线（或作高）构造直角三角形，然后利用勾股定理求得线段的长，进而求面积.
2.求非直角三角形的面积
解：作AD⊥BC于D，
在等腰△ABC中，因为AB＝AC＝13，BC＝10，
所以BD＝CD＝5，
所以AD2＝AB2-BD2
＝132-52
＝144，AD=12
所以S△ABC＝
BC?AD＝
×10×12＝60．
探究新知
巩固练习
如图，△ABC中，∠ACB＝90°，以它的各边为边向外作三个正方形，面积分别为S1，S2，S3，已知S1＝6，S2＝8，则S3＝ ．
14
变式训练
连接中考
1.（2018·山东省中考真题）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
2.（2019?黔东南州）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为 ．
A
课堂检测
基础巩固题
A
B
C
D
1.判断题
（1）△ABC的两边AB=5,AC=12,则BC=13
(
)
（2）△ABC的a=6,b=8,则c=10
(
)
2.在△ABC中,
∠C=90°,AC=6,CB=8,则△ABC面积为_____,斜边为上的高为______.
?
?
24
4.8
基础巩固题
15
cm
17
cm
64
cm?
课堂检测
3.阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为
.
基础巩固题
4.求出图中直角三角形第三边的长度.
课堂检测
所以x=8
.
解：由勾股定理得：
152+x2=172
,
所以x2=64
,
所以x=13
.
解：由勾股定理得：
x2=
32
+42+152
,
所以x2=169
,
基础巩固题
5.已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.
求CD的长.
A
D
B
C
3
4
课堂检测
解：因为∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
所以AB2=AC2+BC2=25，即AB=5.
根据三角形面积公式，
AC×BC=
AB×CD.
所以CD=
.
能力提升题
如图所示，直角三边形三边上的半圆面积从小到大依次记为S1、S2、S3,则S1、S2、S3的关系是（
）
S1+S2=S3
B.
S12+S22=S32
C.
S1+S2>S3
D.
S1+S2A
课堂检测
拓广探索题
（2019·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校初二期末）如图，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第2个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第3个等腰Rt△ADE，…，依此类推，则第2018个等腰直角三角形的斜边长是___________．
课堂检测
勾股定理的探索
如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为
c
，那么a2+b2=c2
利用勾股定理进行计算
课堂小结(共35张PPT)
1.1
探索勾股定理
(第2课时)
1.上节课我们已经通过探索得到了勾股定理，请问勾股定理的内容是什么？
2.如何验证勾股定理呢
？
导入新知
据不完全统计，验证的方法有400多种，你想得到自己的方法吗？
1.掌握用面积法如何验证勾股定理，并能应用勾股定理解决一些实际问题．
2.经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想.
素养目标
问题思考
分别以直角三角形的三条边的长度为边长向外作正方形,你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗?你是如何做的?与同伴进行交流.
知识点
1
勾股定理的证明
探究新知
割
小明的证明思路如下图，想一想：小明是怎样对大正方形进行割补的？
你能将所有三角形和正方形的面积用a,b,c的关系式表示出来吗？
探究新知
A
B
C
D
补
a+b
大正方形ABCD的面积可以表示为：
或者___________
可得等式
方法一
探究新知
(a+b)2
你能用右图验证勾股定理吗？
验证了勾股定理
探究新知
=c2
S正方形C
所以a2+b2=c2
.
S正方形C
小正方形ABCD的面积可以表示为：
或者_______
可得等式
方法二
探究新知
c2
A
B
C
D
你能用右图验证勾股定理吗？
也验证了勾股定理
探究新知
=c2
S正方形ABCD
所以a2+b2=c2
.
=
S正方形ABCD
A
B
C
D
所以a2
+
b2
=
c2
方法三
c2
a
b
c
a2
b2
探究新知
a
b
c
①
②
③
④
⑤
所以c2
=
b2
+
a2
方法四
探究新知
毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.
探究新知
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
所以a2+b2+2ab=c2+2ab，
证明：因为S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,
S大正方形=4S直角三角形+
S小正方形
=4×
ab+c2
=c2+2ab，
探究新知
所以a2+b2=c2
.
a
a
b
b
c
c
美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.
如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2
+
b2
=
c2.
探究新知
所以a2+b2=c2
.
证明：
因为
a
b
c
A
B
C
D
E
F
O
意大利文艺复兴时代的著名画家达·芬奇的证法
探究新知
Ⅰ
Ⅱ
A
a
B
C
b
D
E
F
O
Ⅰ
Ⅱ
A′
B′
C′
D′
E′
F′
请同学们自己写一下证明过程，相信你能行的！
证明：
探究新知
所以a2+b2=c2
.
归纳总结
勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼图，补拼是要求无重叠，叠合是要求无空隙；而用面积法验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从而达到验证的目的．
探究新知
用四个边长均为a，b，c的直角三角板，拼成如图所示的图形，则下列结论中正确的是( )
A．c2＝a2＋b2
B．c2＝a2＋2ab＋b2
C．c2＝a2－2ab＋b2
D．c2＝(a＋b)2
A
巩固练习
例
我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察,发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪,测得汽车与他相距400m,10s后,汽车与他相距500m,你能帮小王计算敌方汽车的速度吗?
分析：
勾股定理的应用
知识点
2
探究新知
点A表示小王的位置
点C表示汽车开始位置
点B表示10s后汽车距小王500m
小王距离公路400m，所以∠C是直角
点A、B、C构成直角三角形
A
C
公路
400m
B
500m
例
即它行驶的速度为108
km/h.
总结：在实际问题中，可以根据问题中的条件构造直角三角形，从而利用勾股定理来解答.
解：
由勾股定理,可以得到AB2=BC2+AC2,
也就是5002=BC2+4002,所以BC=300.
敌方汽车10s行驶了300m,那么它1h行驶的距离为
300×6×60=108000(m),
探究新知
飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方4km处，过了20s，飞机距离这个男孩子头顶5km，飞机每小时飞行多少千米？
4km
20秒后
5km
A
B
C
巩固练习
在Rt△ABC中，BC2=AB2-AC2.
解：
因为AB=5，AC=4,
所以BC2=52-42.
所以BC2=9,所以BC=3，
因为
,
所以
.
答：飞机每小时飞行540km.
例
等腰三角形底边上的高为8cm，周长为32cm，求这个三角形的面积.
8
x
16-x
D
A
B
C
解：设这个三角形为ABC，高为AD，设BD为xcm，则AB为（16-x）cm，
由勾股定理得：x2+82=(16-x)2
即x2+64=256-32x+x2
所以x=6
素养考点
2
利用勾股定理解答面积问题
探究新知
方法点拨：利用勾股定理解答几何问题，经常用到设未知数列方程的思想
答：这个三角形的面积为48cm2.
S△ABC=
（cm2）
下列阴影部分是一个正方形，求此正方形的面积.
15厘米
17厘米
解：设正方形的边长为x厘米
,
则
x2=172-152
=64
答：正方形的面积是64平方厘米.
巩固练习
变式训练
议一议
判断图中三角形的三边是否满足a2+b2=c2.
锐角三角形：
a2+b2
＞
c2
钝角三角形：
a2+b2
＜
c2
直角三角形：
a2+b2=c2
提示：用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2.
探究新知
（2019?咸宁）勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是（ ）
A．
B．
C．
D．
连接中考
B
1．如图，一个长为2.5
m的梯子，一端放在离墙脚
1.5
m处，另一端靠墙，则梯子顶端距离墙脚( )
A．0.2
m
B．0.4
m
C．2
m
D．4
m
C
课堂检测
基础巩固题
2．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长度为( )
A．5
B．6
C．7
D．25
A
课堂检测
基础巩固题
3．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的
面积分别为3和4，则b的面积为( )
A．16
B．12
C．9
D．7
D
课堂检测
基础巩固题
4．两棵树之间的距离为8
m，两棵树的高度分别是8
m，2
m，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，这只小鸟至少要飞多少米？
思路：先根据题意画出图形，然后添加辅助线，构造直角三角形，再利用勾股定理解答．
课堂检测
基础巩固题
解：根据题意画出示意图，如图所示，
两棵树的高度分别为AB＝8
m，CD＝2
m，
两棵树之间的距离BD＝8
m，
过点C作CE⊥AB，垂足为E，连接AC.
则BE＝CD＝2
m，EC＝BD＝8
m，
AE＝AB－BE＝8－2＝6(m)．
在Rt△ACE中，由勾股定理，得AC2＝AE2＋EC2，
即AC2＝62＋82＝100，所以AC＝10
m.
答：这只小鸟至少要飞10
m．
课堂检测
基础巩固题
知识点
如图，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积S1＝
π，
S2
＝2π，试求出S3的面积.
课堂检测
能力提升题
解：如图，由圆的面积公式得
所以c2＝25，a2＝16.
根据勾股定理，得b2＝c2－a2＝9.
所以
能力提升题
课堂检测
一艘快艇以每小时12海里的速度离开A地，向西北方向航行，另一小船以每小时5海里的速度离开A地，同时出发向西南方向航行，求1小时后快艇与小船之间的距离.
思路提示：解题的关键是要能够根据题意，将实际问题抽象成数学问题（数形结合），运用所学新知识解决问题.或者说：画出图形，运用勾股定理.
拓广探索题
课堂检测
解：根据题意，如图，1小时后快艇在B处，小船在C处.且有AB=12海里，AC=5海里，∠BAC=900
A
C
B
由勾股定理，可以得到AB2+AC2=BC2
即122+52=BC2
所以BC=13
（海里）
答：
1小时后快艇与小船之间的距离为13海里.
拓广探索题
课堂检测
验证勾股
定理及应用
拼图验证
首先通过拼图找出面积之间的相等关系，再由面积之间的相等关系结合图形进行代数变形即可推导出勾股定理．
应用
拼出图形
写出图形面积的表达式
找出相等关系
课堂小结
步骤
恒等变形
导出勾股定理
思路
