人教版数学九年级上册 21.2.1 第1课时 直接开平方法课件(共37张PPT)

(共37张PPT)
第二十一章
一元二次方程
解一元二次方程（1）——直接开平方法
学习目标
1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.
(难点）
2.运用开平方法解形如x2=p或（x+n)2=p
(p≥0)的方程.
(重点）
知识点导学
A.
形如x2=p（p≥0）的一元二次方程，由直接开平方可得x=±
1.
解方程：4x2－10=0.
B.
形如（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程，由直接开平方可得mx+n=±
解：∵4x2－10=0，
∴x2=52，
∴x=±
2.
解方程：(x－3)2=4．
解：∵(x－3)2=4，
∴x－3=±2，
∴x=5或x=1.
典型例题
知识点1：解形如x2=p（p≥0）的一元二次方程
【例1】用直接开平方法解下列方程：
（1）x2=25；
解:∵x=±
,
∴x1=5，
x2=-5.
（2）x2-16=0.
解：∵x2-16=0,
∴x2=16,
∴x=±
,
∴x1=4，x2=-4.
变式训练
1.
用直接开平方法解下列方程：
（1）x2=12；
解:∵x=±
,
∴x1=2
，x2=－2
.
（2）45-y2=0.
解：∵45-y2=0,
∴y2=45,∴y=±
,
∴y1=3
，
y2=－3
.
知识点2：解形如ax2=p(p≥0)的一元二次方程
典型例题
【例2】用直接开平方法解下列方程：
（1）4x2=1；
解:∵4x2=1,∴x2=
,
∴x=±
,
∴x1=
，x2=－
.
（2）9x2-4=0.
解：∵9x2-4=0,
∴9x2=4,∴x2=
,
∴x=±
,
∴x1=
，x2=－
.
变式训练
2.
用直接开平方法解下列方程：
（1）25x2=49；
解:∵25x2=49,
∴x2=
,∴x=±
,
∴x1=
，x2=－
.
（2）6x2-9=0.
解：∵6x2-9=0,
∴6x2=9,
∴x2=
,∴x=±
,
∴x1=
，
x2=－
.
典型例题
知识点3：解形如（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程
【例3】用直接开平方法解下列方程:
（1）（2019安徽）(x－1)2=4;
解：两边直接开平方得x－1=±2，∴x－1=2或x－1=－2，解得x1=3，x2=－1．
（2）(x－3)2－9=0．
解：移项得(x－3)2=9，开平方得x－3=±3，
则x－3=3或x－3=－3，解得x1=6，x2=0．
变式训练
3.
用直接开平方法解下列方程:
（1）3(x+1)2=27;
解：∵3(x+1)2=27，
∴(x+1)2=9，
∴x+1=±3,
∴x=－4或x=2．
（2）2(3x－2)2－18=0．
解：∵2(3x－2)2－18=0，
∴(3x－2)2=9，
∴3x－2=±3，
∴x=
或x=－
.
1.如果
x2=a,则x叫做a的
.
新课学习
复习引入
平方根
2.如果
x2=a(a
≥0),则x=
.
3.如果
x2=64
,则x=
.
±8
4.任何数都可以作为被开方数吗？
负数不可以作为被开方数.
讲授新课
直接开平方法
一
问题：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
解：设正方体的棱长为x
dm，则一个正方体的表面积为6x2dm2，可列出方程
10×6x2=1500，
由此可得
x2=25
开平方得
即x1=5，x2=－5.
因棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dm．
x=±5，
试一试：
解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.
(1)
x2=4
(2)
x2=0
(3)
x2+1=0
解:根据平方根的意义，得
x1=2,
x2=-2.
解:根据平方根的意义，得
x1=x2=0.
解:根据平方根的意义，得
x2=-1,
因为负数没有平方根，所以原方程无解.
(2)当p=0
时，方程(I)有两个相等的实数根
=0；
(3)当p<0
时,因为任何实数x，都有x2≥0
，所以方程(I)无实数根.
探究归纳
一般的，对于可化为方程
x2
=
p,
(I)
(1)当p>0
时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等
的实数根
，
；
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.
归纳
例1
利用直接开平方法解下列方程:
(1)
x2=6；
(2)
x2－900=0.
解：
（1）
x2=6，
直接开平方，得
（2）移项，得
x2=900.
直接开平方，得
x=±30，
∴x1=30,
x2=－30.
典例精析
在解方程(I)时，由方程x2=25得x=±5.由此想到:
（x+3)2=5
，
②
得
对照上面方法，你认为怎样解方程（x+3）2=5
探究交流
于是，方程（x+3）2=5的两个根为
上面的解法中
，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了.
解题归纳
例2
解下列方程：
⑴
（x＋1）2=
2
；
解析：第1小题中只要将（x＋1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解.
即x1=-1+
，x2=-1-
解：（1）∵x+1是2的平方根，
∴x+1=
解析：第2小题先将－4移到方程的右边，再同第1小题一样地解.
例2
解下列方程：
（2）（x－1）2－4
=
0；
即x1=3，x2=-1.
解：（2）移项，得（x-1）2=4.
∵x-1是4的平方根，
∴x-1=±2.
∴
x1=
，
x2=
(3)
12（3－2x）2－3
=
0.
解析：第3小题先将－3移到方程的右边，再两边都除以12，再同第1小题一样地去解，然后两边都除以-2即可.
解：(3)移项，得12（3-2x）2=3，
两边都除以12，得（3-2x）2=0.25.
∵3-2x是0.25的平方根，
∴3-2x=±0.5.
即3-2x=0.5,3-2x=-0.5
解：
方程的两根为
解：
方程的两根为
例3
解下列方程：
1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？
如果一个一元二次方程具有x2=p或（x＋n）2=
p（p≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解.
2.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明.
探讨交流
当堂练习
(C)
4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)=
±3,
x1=
;
x2=
(D)
(2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5,
x1=
1;x2=-4
1.下列解方程的过程中，正确的是（
）
(A)
x2=-2,解方程，得x=±
(B)
(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4
D
(1)方程x2=0.25的根是
.
(2)方程2x2=18的根是
.
(3)方程(2x-1)2=9的根是
.
3.
解下列方程：
(1)x2-81＝0；
(2)2x2＝50；
(3)(x＋1)2=4
.
x1=0.5,x2=-0.5
x1＝3,x2＝-3
x1＝2,x2＝－1
2.填空:
解：x1＝9,
x2＝－9；
解：x1＝5,
x2＝－5；
解：x1＝1,
x2＝－3.
4.（请你当小老师）下面是李昆同学解答的一道一元二次方程的具体过程，你认为他解的对吗?如果有错，指出具体位置并帮他改正.
①
②
③
④
解：
解：不对，从开始错，应改为
解方程:
挑战自我
解：
方程的两根为
课堂小结
直接开平方法
概念
步骤
基本思路
利用平方根的定义求方程的根的方法
关键要把方程化成
x2=p(p
≥0)或(x+n)2=p
(p
≥0).
一元二次方程
两个一元一次方程
降次
直接开平方法
A
组
1.
方程x2=4的解是
（
）
A.
x1=4，x2=－4
B.
x1=x2=2
C.
x1=2，x2=－2
D.
x1=1，x2=4
C
当堂检测
2.
方程(x－1)2=0的解是
（
）
A.
x1=1，x2=－1
B.
x1=x2=1
C.
x1=x2=－1
D.
x1=1，x2=－2
B
3.
方程2x2=6的根是
（
）
A.
和－
B.
0和3
C.
3和－3
D.
4.
方程3x2=1的解为
（
）
A.
±
B.
±
C.
D.
±
A
D
5.
一元二次方程
(x+7)2=2的根是______________
________________．
6.
方程8(x+1)2=27的解为___________________
__________________．
x1=-7+
，
x2=－7-
x1=－1+
，
x2=－1－
B
组
7.
方程25x2=10x－1的解是
（
）
A.
x=±
B.
x=
C.
x1=x2=
D.
x=
C
8.
如果方程(x－5)2=m－7可以用直接开平方求解，那么m的取值范围是____________．
m≥7
9.
解方程：
（1）2x2=200；
解：∵2x2=200，
∴x2=100.
∴x1=10，x2=－10.
（2）3(x+2)2-81=0.
解：∵3(x+2)2-81=0，
∴3(x+2)2=81.
∴(x+2)2=27.
∴x+2=±3
.
∴x1=－2+3
,x2=-2-3
．
C
组
10.
若一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是m+1与2m－4，求
的值．
解：∵方程ax2=b的两个根分别是m+1与2m－4，
∴m+1+2m－4=0.
解得m=1.
即原方程的根是2与－2，
∴
=4．