人教版数学九年级数学上册21.2.1 配方法 第2课时课件(共44张PPT)

(共44张PPT)
第二十一章
一元二次方程
解一元二次方程（2）——配方法
学习目标
1.了解配方的概念.
2.掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.
(重点）
3.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.
（难点）
知识点导学
A.
用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解；如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解.
1.
（2019南通）用配方法解方程x2+8x+9=0，变形后的结果正确的是
（
）
A.
(x+4)2=－9
B.
(x+4)2=－7
C.
(x+4)2=25
D.
(x+4)2=7
D
2.
（2019齐齐哈尔）解方程：x2+6x=－7.
解：∵x2+6x=－7，
∴x2+6x+9=－7+9，
即(x+3)2=2，
则x+3=±
，∴x=－3±
，
即x1=－3+
，x2=－3－
．
典型例题
知识点1：解“a=1，b为偶数”型一元二次方程
【例1】用配方法解方程：x2－8x+7=0.
解：移项，得x2-8x=-7.配方，
得x2-8x+42=-7+42,
即(x-4)2=9.由此可得x-4=±3.
解得x1=7,x2=1.
变式训练
1.
用配方法解方程：x2+4x+3=0.
解：移项，得x2+4x=-3.
配方，得x2+4x+22=-3+22,
即(x+2)2=1.
由此可得x+2=±1.
解得x1=-1，x2=-3.
典型例题
知识点2：解“a=1，b为奇数”型一元二次方程
【例2】用配方法解方程：x2－3x+1=0.
解：移项，得x2-3x=-1.配方，
得x2-3x+
=-1+
,即
由此可得
解得x1=
，x2=
变式训练
2.
用配方法解方程：x2+5x+6=0.
解：移项，得x2+5x=-6.
配方，得x2+5x+
=-6+
,
即
由此可得x+
=±
.
解得x1=-2，x2=-3.
典型例题
知识点3：解“a≠1”型一元二次方程
【例3】用配方法解方程：2x2－4x－1=0.
解：移项，得2x2-4x=1.
二次项系数化为1，
得x2-2x=
.配方，得x2-2x+12=
+12,
即(x-1)2=
.
由此可得x-1=±
.解得x1=
，x2=
变式训练
3.
用配方法解方程：2x2+2x=1.
解：二次系数化为1，得x2+x=
.
配方，得x2+x+
=
+
.
即
由此可得x+
=±
解得x1=
，x2=
学习新课
复习引入
(1)
9x2=1
；
(2)
(x-2)2=2.
2.下列方程能用直接开平方法来解吗?
1.用直接开平方法解下列方程:
(1)
x2+6x+9
=5；
(2)x2+6x+4=0.
把两题转化成(x+n)2=p(p≥0)的
形式，再利用开平方
讲授新课
配方的方法
一
问题1.你还记得吗？填一填下列完全平方公式.
(1)
a2+2ab+b2=(
)2；
(2)
a2-2ab+b2=(
)2.
a+b
a-b
探究交流
问题2.填上适当的数或式,使下列各等式成立.
（1）x2+4x+
=
(
x
+
)2
（2）x2-6x+
=
(
x-
)2
（3）x2+8x+
=
(
x+
)2
（4）
x2-
x+
=
(
x-
)2
你发现了什么规律？
22
2
32
3
42
4
二次项系数为1的完全平方式：
常数项等于一次项系数一半的平方.
归纳总结
想一想：
x2+px+(
)2=(x+
)2
配方的方法
用配方法解方程
二
合作探究
怎样解方程:
x2+6x+4=0
(1)
问题1
方程(1)怎样变成（x+n)2=p的形式呢？
解：
x2+6x+4=0
x2+6x=-4
移项
x2+6x+9=-4+9
两边都加上9
二次项系数为1的完全平方式：
常数项等于一次项系数一半的平方.
方法归纳
在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是在二次项系数为1的前提下进行的.
问题2
为什么在方程x2+6x=-4的两边加上9？加其他数行吗？
不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能变成完成平方x2+2bx+b2的形式.
方程配方的方法：
要点归纳
像上面这样通过配成完全平方式来解一元二次方程，叫做配方法.
配方法的定义
配方法解方程的基本思路
把方程化为（x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解．
例1
解下列方程：
解：（1）移项，得
x2－8x=－1,
配方，得
x2－8x+42=－1+42
,
(
x－4)2=15
由此可得
即
配方，得
由此可得
二次项系数化为1，得
解：移项，得
2x2－3x=－1,
即
移项和二次项系数化为1这两个步骤能不能交换一下呢?
配方，得
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，上式都不成立，所以原方程无实数根．
解：移项，得
二次项系数化为1，得
为什么方程两边都加12？
即
思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要
注意些什么？
思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤.
移项时需注意改变符号.
①移项，二次项系数化为1；
②左边配成完全平方式；
③左边写成完全平方形式；
④降次；
⑤解一次方程.
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成
(x+n)2=p.
①当p>0时,则
,方程的两个根为
②当p=0时,则(x+n)2=0,x+n=0,开平方得方程的两个根为
x1=x2=-n.
③当p<0时,则方程(x+n)2=p无实数根.
规律总结
例2.试用配方法说明：不论k取何实数，多项式
k2－4k＋5
的值必定大于零.
解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1
=（k－2）2＋1
因为（k－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1.
所以k2－4k＋5的值必定大于零.
配方法的应用
二
例3.若a,b,c为△ABC的三边长，且
试判断△ABC的形状.
解：对原式配方，得
由代数式的性质可知
所以，△ABC为直角三角形.
1.
方程2x2
-
3m
-
x
+m2
+2=0有一根为x
=
0，则
m的值为（
）
A.
1
B.1
C.1或2
D.1或-2
2.应用配方法求最值.
(1)
2x2
-
4x+5的最小值；
(2)
-3x2
+
5x
+1的最大值.
练一练
C
解：原式
=
2(x
-
1)2
+3
当x
=1时有最小值3
解：原式=
-3(x
-
2)2
-
4
当x
=2时有最大值-4
归纳总结
配方法的应用
类别
解题策略
1.求最值或
证明代数式
的值为恒正
（或负）
对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2
＋n的形式后，(x+m)2≥0，n为常数，当a＞0时，可知其最小值；当a＜0时，可知其最大值.
2.完全平方式中的配方
如：已知x2－2mx＋16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=±4.
3.利用配方构成非负数和的形式
对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0,则a2＋(b－2)2=0,即a=0，b=2.
例4.读诗词解题：
（通过列方程，算出周瑜去世时的年龄.）
大江东去浪淘尽，
千古风流数人物。
而立之年督东吴，
早逝英年两位数。
十位恰小个位三，
个位平方与寿符。
哪位学子算得快，
多少年华属周瑜？
解：设个位数字为x，十位数字为(x-3)
x1=6,
x2=5
x2-11x=-30
x2-11x+5.52=-30+5.52
(x-5.5)2=0.25
x-5.5=0.5,或x-5.5=-0.5
x2=10(x-3)+x
∴这个两位数为36或25，
∴周瑜去世的年龄为36岁.
∵周瑜30岁还攻打过东吴，
1.解下列方程：
（1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12；
（3）4x2-6x-3=0；
（4）
3x2+6x-9=0.
解：x2+2x+2=0，
(x+1)2=-1.
此方程无解；
解：x2-4x-12=0，
(x-2)2=16.
x1=6,x2=-2；
解：x2+2x-3=0，
(x+1)2=4.
x1=-3,x2=1.
当堂练习
2.利用配方法证明：不论x取何值，代数式－x2－x－1的值总是负数，并求出它的最大值.
解：－x2－x－1=－(x2+x+
)+
－1
所以－x2－x－1的值必定小于零.
当
时，－x2－x－1有最大值
3.若
，求(xy)z
的值.
解：对原式配方，得
由代数式的性质可知
4.如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850m2，道路的宽应为多少？?
解：设道路的宽为xm,
根据题意得
（35-x)(26-x)=850，
整理得
x2-61x+60=0.
解得
x1=60（不合题意，舍去）,
x2=1.
答：道路的宽为1m.
5.已知a,b,c为△ABC的三边长，且
试判断△ABC的形状.
解：对原式配方，得
由代数式的性质可知
所以，△ABC为等边三角形.
课堂小结
配方法
定义
通过配成完全平方形式解一元二次方程的方法.
步骤
一移常数项；
二配方[配上
]；
三写成（x+n)2=p
(p
≥0);
四直接开平方法解方程.
特别提醒：
在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式.
应用
求代数式的最值或证明
A
组
1.
用配方法解方程x2－2x=1时，配方后所得的方程是
（
）
A.
(x+1)2=0
B.
(x－1)2=0
C.
(x+1)2=2
D.
(x－1)2=2
D
当堂检测
2.
把方程x2+3=4x配方得
（
）
A.
(x－2)2=7
B.
(x+2)2=21
C.
(x－2)2=1
D.
(x+2)2=2
C
3.
若一元二次方程x2+bx+5=0配方后为\
(x－4)2=k，则k的值为____________．
4.
若方程x2－2x－3=0可化为(x+m)2=k的形式，则m=____________．
11
－1
5.
用配方法解方程：x2－4x－3=0.
解：移项，得x2－4x=3，
∴x2－4x+4=3+4.
∴(x－2)2=7.
∴x－2=±
，
∴x1=2+
，x2=2－
.
6.
用配方法解方程：2x2+8x－5=0．
解：化简，得x2+4x=
.
∴x2+4x+4=
+4.
∴(x+2)2=
∴x+2=±
∴x1=
，x2=
B
组
7.
把方程x2+3x－1=0配方后可得方程
（
）
A
8.
用配方法解方程x2－
x－4=0，配方正确的是
（
）
A.
将原方程配方，得
=4
B.
将原方程配方，得
=4
C.
将原方程配方，得
D.
将原方程配方，得
D
9.
用配方法解方程：(x+1)(2x－3)=1．
解：整理，得2x2－x=4.
即x2－
x=2.
配方，得x2－
x+
=2+
，
C
组
10.
用配方法解一元二次方程x2+4x+c=0(c为常数）.
解：整理原方程，得x2+4x=－c.
配方，得x2+4x+4=4－c，
即(x+2)2=4－c.
当4－c>0时，x+2=±
，
即x1=－2+
，x2=－2－
；
当4－c=0时，x1=x2=－2；
当4－c<0时，方程无实数解．