§4 一元二次函数与一元二次不等式
4.1 一元二次函数
学
习
目
标
核
心
素
养
1．掌握一元二次函数的图象和性质．(重点)2．体会用平移的方法研究一元二次函数的图象，并能迁移到对其他函数的图象的研究之中．(难点、易混点)
1．通过一元二次函数的图象学习，培养直观想象素养．2．借助一元二次函数性质的应用，培养逻辑推理素养．
1．一元二次函数的三种形式
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)；
(3)两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)；
思考1：如何把二次函数的一般式化成顶点式？
提示：y＝ax2＋bx＋c＝a＋c＝a[x2＋2××x＋()2－()2]＋c
＝a＋c＝a－＋c＝a(x＋)2＋
2．一元二次函数的图象
二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左、右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上、下平移，而且“k正上移，k负下移”．
思考2：(1)能否仅通过平移函数y＝x2的图象得到y＝的图象？
(2)二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的参数a对其图象的开口大小与方向有什么影响？
提示：
(1)不能，平移只改变图象的位置，不改变其形状，而二者形状不同．
(2)当a>0时，图象开口向上，a值越大，开口越小；
当a<0时，图象开口向下，a值越大，开口越大．
3．一元二次函数的性质
解析式
y＝ax2＋bx＋c
y＝ax2＋bx＋c
图象
定义域
R
值域
最值
ymin＝
ymax＝
增减性
在上递减在上递增
在上递增在上递减
对称性
关于直线x＝－对称
1．二次函数y＝x2的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到的新图象的二次函数是( )
A．y＝x2＋2
B．y＝2x2
C．y＝x2
D．y＝x2－2
[答案] B
2．将二次函数的图象向下、向右各平移2个单位长度得到图象的解析式为y＝－x2，则原二次函数的解析式是( )
A．y＝－(x－2)2＋2
B．y＝－(x＋2)2＋2
C．y＝－(x＋2)2－2
D．y＝－(x－2)2－2
B [将函数y＝－x2的图象进行逆变换，即将y＝－x2的图象向左平移2个单位，可得y＝－(x＋2)2的图象，然后再将其向上平移2个单位可得y＝－(x＋2)2＋2的图象，即原函数的图象．]
3．将函数y＝2(x＋1)2－2向________平移________个单位，再向________平移________个单位可得到函数y＝2x2的图象．
右 1 上 2 [通过y＝2x2→y＝2(x＋1)2－2反向分析，也可借助顶点分析．]
4．对于二次函数y＝－x2＋4x＋3，
(1)指出图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
(2)说明其图象是由y＝－x2的图象经过怎样的平移得来．
[解] (1)∵y＝－(x－2)2＋7，∴函数图像开口向下；对称轴为直线x＝2；顶点坐标为(2，7)；
(2)先将y＝－x2的图象向右平移2个单位，然后再向上平移7个单位，即可得到y＝－x2＋4x＋3的图象．
二次函数的图象及应用
【例1】 在同一坐标系中作出下列函数的图象．
(1)y＝x2；(2)y＝x2－2；(3)y＝2x2－4x.
并分析如何把y＝x2的图象变换成y＝2x2－4x的图象．
[解] 列表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
y＝x2
9
4
1
0
1
4
9
y＝x2－2
7
2
－1
－2
－1
2
7
y＝2x2－4x
30
16
6
0
－2
0
6
描点、连线即得相应函数的图象，如图所示．
由图象可知由y＝x2到y＝2x2－4x的变化过程如下．
法一：先把y＝x2的图象向右平移1个单位长度得到y＝(x－1)2的图象，然后把y＝(x－1)2的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到y＝2(x－1)2的图象，最后把y＝2(x－1)2的图象向下平移2个单位长度便可得到y＝2x2－4x的图象．
法二：先把y＝x2的图象向下平移1个单位长度得到y＝x2－1的图象，然后再把y＝x2－1的图象向右平移1个单位长度得到y＝(x－1)2－1的图象，最后把y＝(x－1)2－1的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，便可得到y＝2(x－1)2－2，即y＝2x2－4x的图象．
任意二次函数y＝ax2＋bx＋c都可转化为y＝a(x＋h)2＋k的形式，都可由y＝ax2图象经过适当的平移得到，具体平移方法，如图所示：
上述平移规律为：“h正左移，h负右移”；“k正上移，k负下移”．
1．如何把y＝2x2－4x的图象变换成y＝x2的图象？
[解] ∵y＝2x2－4x＝2(x－1)2－2，
故可先把y＝2x2－4x的图象向上平移2个单位长度得到y＝2(x－1)2的图象，
然后再把y＝2(x－1)2的图象向左平移1个单位长度，得到y＝2x2的图象，
最后把y＝2x2的图象纵坐标变为原来的，便可得到y＝x2的图象．
二次函数的性质及应用
【例2】 已知二次函数y＝3x2－2x－1.
(1)求其顶点坐标；
(2)判断其在区间上是增加的还是减小的；
(3)当x取何值时，y＝0.
[思路点拨]
通过配方，将其化成顶点式来求解．
[解] (1)配方得y＝3x2－2x－1＝3－，
所以其顶点坐标为.
(2)由于该函数在区间上是减小的，且?，所以该函数在区间上也是减小的．
(3)y＝0，即3x2－2x－1＝0，解得x＝1或－，
所以，当x＝1或－时，y＝0.
二次函数的性质可以通过图象直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图象、利用数形结合的思想方法来解决问题．
2．已知二次函数y＝－3x2－4x＋6.
(1)求其顶点坐标；
(2)判断其在区间(－2，－1)上是增加的还是减小的；
(3)若当x＝时，y＝0，则当x＝－时，y的值是多少？
[解] (1)配方得y＝－3x2－4x＋6＝－3＋，
所以其顶点坐标为.
(2)由于该函数在区间上是增加的，又(－2，－1)?，所以该函数在区间(－2，－1)上是增加的．
(3)由对称性知，y＝0.
求二次函数的解析式
【例3】 已知某二次函数的最大值为2，图象的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点(3，－1)，求二次函数的解析式．
[思路点拨] 由题目中所给出的条件：最大值及顶点位置，可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a.
[解] ∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，
∴顶点的纵坐标为2.又顶点在直线y＝x＋1上，
所以，2＝x＋1，∴x＝1.
∴顶点坐标是(1，2).
设该二次函数的解析式为y＝a(x－1)2＋2(a<0)，
∵二次函数的图象经过点(3，－1)，
∴－1＝a(3－1)2＋2，解得a＝－.
∴二次函数的解析式为y＝－(x－1)2＋2.
确定二次函数的解析式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的解析式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择．二次函数的解析式可设成如下三种形式：
①给出三点坐标可利用一般式来求；
②给出两点，且其中一点为顶点时可利用顶点式来求；
③给出三点，其中两点为与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)时可利用交点式来求．
3．已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．
[解] 设该二次函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0).
由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得
解得
a＝－2，b＝12，c＝－8.
所以，所求的二次函数为y＝－2x2＋12x－8.
1．确定二次函数的解析式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的解析式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择．
2．对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，要掌握下列数形之间的对应关系：
(1)a的正负决定了抛物线的开口方向；a的绝对值决定了抛物线的开口大小；
(2)顶点决定了抛物线的位置；
(3)判别式Δ＝b2－4ac相对于0的大小决定了抛物线与x轴是否相交．
这是我们用数形结合思想求解二次函数问题的切入点．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)y＝ax2＋bx＋c是二次函数．
( )
(2)函数y＝ax2＋bx＋c的图象一定与y轴相交．
( )
(3)二次函数y＝2x2与y＝－2x2的图象开口大小相同，开口方向相反．
( )
(4)把函数y＝x2图象上的每一点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到函数y＝2x2的图象．
( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．函数y＝－(x－1)2＋4的图象的顶点坐标是( )
A．(－1，4)
B．(－1，－4)
C．(1，－4)
D．(1，4)
[答案] D
3．已知某二次函数的图象与x轴交于A(－2，0)，B(1，0)，且过点C(2，4)，则该二次函数的表达式为_______．
[答案] y＝x2＋x－2
4．求二次函数y＝－3x2－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(或最小值)，并指出当x取何值时，y随x的增大而增大(或减小)？并画出该函数的图象．
[解] ∵y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2＋4，
∴函数图象的开口向下；对称轴是直线x＝－1；顶点坐标为(－1，4)；
当x＝－1时，函数y取最大值y＝4；
当x＜－1时，y随着x的增大而增大；
当x＞－1时，y随着x的增大而减小；
采用描点法画图，选顶点A(－1，4)，与x轴交于点B(，0)和C(－，0)，与y轴的交点为D(0，1)，过这五点画出图象如图所示．
8课时分层作业(十) 一元二次函数
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．如何平移抛物线y＝2x2可得到抛物线y＝2(x－4)2－1( )
A．向左平移4个单位，再向上平移1个单位
B．向左平移4个单位，再向下平移1个单位
C．向右平移4个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移4个单位，再向下平移1个单位
D [要得到y＝2(x－4)2－1的图象，只需将y＝2x2的图象向右平移4个单位，再向下平移1个单位．]
2．二次函数y＝a2x2－4x＋1有最小值－1，则a的值为( )
A． B．－ C．± D．±2
C [由题意＝－1，∴a2＝2，∴a＝±.]
3．函数y＝4－x(x－2)的顶点坐标和对称轴方程分别是( )
A．(2，4)，x＝2
B．(1，5)，x＝1
C．(5，1)，x＝1
D．(1，5)，x＝5
B [y＝4－x(x－2)＝－x2＋2x＋4＝－(x－1)2＋5，
∴函数f(x)的图象的顶点坐标为(1，5)，对称轴方程为x＝1.]
4．设abc＞0，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是 ( )
A B C D
D [由A、C、D知，c＜0，
∵abc＞0，∴ab＜0，
∴对称轴x＝－＞0，知A、C错；D符合要求，由B知c＞0，∴ab＞0，∴x＝－＜0，B错误．]
5．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆).若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )
A．45.606万元
B．45.56万元
C．45.6万元
D．45.51万元
C [设公司获得的利润为y，在甲地销售了x辆，则在乙地销售了(15－x)辆．
则y＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30(0≤x≤15，x∈N)，
此二次函数的对称轴为x＝10.2，
∴当x＝10时，y有最大值为45.6(万元).]
二、填空题
6．函数y＝－x2＋4x＋6的最大值是________．
10 [y＝－x2＋4x＋6＝－＋10
当x＝2时，y取得最大值10.]
7．二次函数y＝－x2＋2x＋1的图象与x轴两交点之间的距离为________．
4 [设二次函数y＝－x2＋2x＋1的图象与x轴两交点的坐标分别为，，
则x1＋x2＝2，x1x2＝－1，
所以＝＝＝4.]
8．若y＝x2＋(a＋2)x＋3，x∈[a，b]的图象关于直线x＝1对称，则b＝________．
6 [由题意知a＋2＝－2，即a＝－4，
又1－a＝b－1得b＝6.]
三、解答题
9．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴相交于点A(－3，0)，对称轴为x＝－1，顶点M到x轴的距离为2，求此函数的解析式．
[解] 法一 将A(－3，0)，代入函数y＝ax2＋bx＋c中，
有9a－3b＋c＝0，
①
由对称轴为x＝－1，得－＝－1，
②
顶点M到x轴的距离为|a－b＋c－0|＝2，
③
联立①②③解得或
所以此函数的解析式为y＝x2＋x－或y＝－x2－x＋.
法二：因为二次函数图象的对称轴是x＝－1，又顶点M到x轴的距离为2，所以顶点的坐标为(－1，2)或(－1，－2)，
故可得二次函数的解析式为y＝a(x＋1)2＋2或y＝a(x＋1)2－2.
因为图象过点A(－3，0)，
所以0＝a(－3＋1)2＋2或0＝a(－3＋1)2－2，解得a＝－或a＝.
故所求二次函数的解析式为y＝－(x＋1)2＋2＝－x2－x＋或y＝(x＋1)2－2＝x2＋x－.
法三：因为二次函数图象的对称轴为x＝－1，
又图象过点A(－3，0)，所以点A关于对称轴的对称点A′(1，0)也在图象上，
所以可得二次函数的解析式为y＝a(x＋3)(x－1).
由题意得顶点坐标为(－1，2)或(－1，－2)，
分别代入上式，解得a＝－或a＝.
故所求二次函数的解析式为y＝－(x＋3)(x－1)＝－x2－x＋或y＝(x＋3)(x－1)＝x2＋x－.
10．将二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，便得到函数y＝x2－2x＋1的图象，求a，b与c.
[解] ∵函数y＝x2－2x＋1可变形为y＝(x－1)2，
∴抛物线y＝x2－2x＋1的顶点坐标为(1，0).
根据题意把此抛物线反向平移，得到抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象，即把抛物线y＝x2－2x＋1向下平移3个单位，再向右平移2个单位就可得到抛物线y＝ax2＋bx＋c，此时顶点(1，0)平移至(3，－3)处．
∴抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是(3，－3).即y＝(x－3)2－3＝x2－6x＋6，所以a＝1，b＝－6，c＝6.
11．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a＞b＞c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是( )
A B C D
D [∵a＞b＞c且a＋b＋c＝0，∴a＞0，c＜0，
∴y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，且不过原点．]
12．设b＞0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象为下列之一，则a的值为( )
① ② ③ ④
A．1
B．－1
C．
D．
B [由第一个图与第二个图中与x轴的两个交点为对称点，则两根之和为0.又已知x1＋x2＝－≠0，故可排除．由第三个图与第四个图知，一根为0，另一根为正数，即x1＋x2＝－＞0，又b＞0，故a＜0，图象开口向下，应为第三个图．由图象过原点(0，0)，即a2－1＝0，解得a＝－1或a＝1(舍).]
13．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y＝bx2＋ax＋c(b≠0)的图象可能是下图中的( )
A B C D
[答案] D
14．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论正确的序号是________．
①abc>0，②a＋b＋c＝2，③b2－4ac<0，④b<2a
②④ [当x＝0时，y＝c<0；
由－1<－<0，a>0，得0当x＝1时，y＝a＋b＋c＝2；
因为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个交点，所以Δ＝b2－4ac>0.]
15．已知二次函数当x＝4时有最小值－3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式．
[解] 法一：设二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由已知条件，可得抛物线的顶点坐标为(4，－3)，且过(1，0)与(7，0)两点，
将三个点的坐标代入，得
解得
∴所求二次函数解析式为y＝x2－x＋.
法二：∵抛物线与x轴的两个交点坐标是(1，0)与(7，0)，
∴设二次函数的解析式为y＝a(x－1)·(x－7)，把顶点(4，－3)代入，得－3＝a(4－1)(4－7)，解得a＝.
∴二次函数解析式为y＝(x－1)(x－7)，即y＝x2－x＋.
法三：∵抛物线的顶点坐标为(4，－3)，且过点(1，0)，
∴设二次函数解析式为y＝a(x－4)2－3.
将(1，0)代入，得0＝a(1－4)2－3，解得a＝.
∴二次函数的解析式为y＝(x－4)2－3，即y＝x2－x＋.
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