4.2 一元二次不等式及其解法
学
习
目
标
核
心
素
养
1.掌握图象法解一元二次不等式．(重点)2．能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题．(难点)
1.
通过一元二次不等式的学习，培养数学运算素养．2.
通过一元二次不等式的应用，培养逻辑推理素养．
1．一元二次不等式的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫作一元二次不等式．
2．一元二次不等式的解集
使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作一元二次不等式的解集．
3．一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的关系
如下表：
判别式Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0
(a＞0)的根
有两相异实根x1，x2(x1＜x2)
有两相等实根x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0
(a＞0)的解集
{x|x＞x2或x＜x1}
R
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
?
?
思考：1.关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R，a，b，c满足的条件是什么？
提示：
或
.
2．关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为?，a，b，c满足的条件是什么？
提示：
或
.
1．不等式x2－3x＋2＜0的解集为( )
A．(－∞，－2)∪(－1，＋∞)
B．(－2，－1)
C．(－∞，1)∪(2，＋∞)
D．(1，2)
D [∵(x－1)(x－2)＜0，∴1＜x＜2.
故原不等式的解集为(1，2).]
2．设集合S＝{x||x|<5}，T＝{x|x2＋4x－21<0}，则S∩T＝( )
A．{x|－7
B．{x|3C．{x|－5D．{x|－7C [S＝{x|－5∴S∩T＝{x|－53．不等式2x2－x－1＞0的解集是________．
∪ [∵2x2－x－1＝(x－1)(2x＋1)＞0，∴x＞1或x＜－.
故原不等式的解集为∪.]
4．不等式(a＋1)x2＋ax＋a>0对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．
[解] 当a＋1＝0，即a＝－1时，原不等式化为－x－1>0，得x<－1，不合题意；
当a＋1≠0时，由题意，
则??a>0.
故实数a的取值范围为(0，＋∞).
一元二次不等式的解法
角度一 二次项系数大于0
【例1】 解不等式3x2＋5x－2>0.
[思路点拨] 先解方程，得不等式解集的端点；再画图象，确定不等式解集的结构，是取“两边”还是取“中间”．
[解] 方程3x2＋5x－2＝0的两解是x1＝－2，x2＝.
函数y＝3x2＋5x－2的图象是开口向上的抛物线，与x轴有两个交点(－2，0)和(，0).观察图象(右图)可得，
不等式的解集为{x|x<－2，或x>}．
角度二 二次项系数小于0
【例2】 解不等式－2x2＋3x＋2≤0.
[思路点拨] 把二次项系数化为正是求解的关键．
[解] 原不等式化为2x2－3x－2≥0，∵2x2－3x－2＝0的两解为x1＝－，x2＝2，且a＝2>0，
∴不等式2x2－3x－2≥0的解集是{x|x≤－或x≥2}．即原不等式的解集是{x|x≤－或x≥2}．
一元二次不等式一般解题步骤
(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；
(2)计算对应方程的判别式，若判别式不小于零，求出相应的一元二次方程的根；
(3)画出对应函数的简图，由图象得出不等式的解集．
1．解不等式：x2>2x－1.
[解]
原不等式化为x2－2x＋1>0.
∵Δ＝0，
∴方程x2－2x＋1＝0有两相等实根x1＝x2＝1.
函数y＝x2－2x＋1的图象是开口向上的抛物线，如下图
观察图象可得，原不等式的解集为{x|x≠1}．
含参数的一元二次不等式的解法
【例3】 解关于x的不等式ax2＋2x＋1<0.
[思路点拨] 对二次项系数a分a>0，a＝0，a<0三种情况讨论，并且对a>0这种情况还需分Δ>0，Δ≤0讨论．
[解]
(1)当a＝0时，不等式的解集为，
(2)当a>0时，Δ＝4－4a，
①Δ>0即0不等式的解集为；
②Δ≤0即a≥1时，
不等式的解集为?.
(3)当a<0时，Δ＝4－4a>0，
不等式的解集为{x|x<或x>}．
解含参数的一元二次不等式时，应对系数中的参数进行讨论：
(1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图象的开口方向．
(2)讨论判别式的符号，即相应二次函数图象与x轴交点的个数．
(3)当Δ>0时，讨论相应一元二次方程两根的大小．
简记为“一a，二Δ，三两根大小”.
最后对系数中的参数进行完全分类，即将(－∞，＋∞)分成若干个区间，根据相应二次函数在各个区间的值，写出一元二次不等式的解集．
2．解关于x的不等式x2－ax－2a2<0
[解]
原不等式变形为(x－2a)(x＋a)<0.
①若a>0，则－a②若a<0，则2a③若a＝0，则原不等式即为x2<0，此时解集为?.
三个二次关系的应用
[探究问题]
已知ax2＋bx＋c>0的解集是
1．二次项系数a大于0，还是小于0?
提示：a＜0.
2．Δ＝b2－4ac与0有怎样的关系？
提示：Δ＝b2－4ac>0
3．x1＋x2与x1x2如何用系数a，b，c表示出来？
提示：x1＋x2＝－，x1x2＝.
【例4】 不等式ax2＋5x＋c＞0的解集为，则a，c的值为( )
A．a＝6，c＝1
B．a＝－6，c＝－1
C．a＝1，c＝1
D．a＝－1，c＝－6
[思路点拨] 利用一元二次不等式的解集的端点与相应的一元二次方程的根之间的关系求解．
B [由已知得
解得
]
1．若不等式ax2＋bx－2＜0的解集为，则ab＝( )
A．－28 B．－26 C．28 D．26
C [－2，是方程ax2＋bx－2＝0的两根，
∴
∴a＝4，b＝7.
∴ab＝28.]
2．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是
，则不等式x2－bx－a＜0的解集是( )
A．(2，3)
B．(－∞，2)∪(3，＋∞)
C．(，)
D．(－∞，)∪(，＋∞)
A [依题意，－
与－是方程ax2－bx－1＝0的两根，
则
即
又a＜0，不等式x2－bx－a＜0可化为x2－x－1＞0，即－x2＋x－1＞0，
解得2＜x＜3.]
这种题型是已知一元二次不等式的解集，根据三个“二次”之间的关系，由解集得到方程的根，运用根与系数的关系，将含有参数的不等式转化为不含参数的不等式，从而使问题得到求解．求解时，需要根据不等式解集的结构(“取两边”还是“取中间”)判断二次项系数的正负．
1．一元二次不等式的解法
(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：
①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)；
②求方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图；
③由图象得出不等式的解集．
(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．
当m若(x－m)(x－n)＜0，则可得{x|m＜x＜n}．
有口诀如下：大于取两边，小于取中间．
2．含参数的一元二次不等式的解法
在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑
(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a＞0，a＜0，a＝0.
(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0).
(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2.
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)关于x的不等式ax2＋bx＋c>0是一元二次不等式．
( )
(2)若a>0，则关于x的不等式ax2＋1≤0的解集是空集．
( )
(3)若关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集是R，则.
( )
[答案] (1)× (2)√ (3)×
2．设集合M＝{x|x2－x<0}，N＝{x|4－x2>0}，则( )
A．M∩N＝?
B．M∩N＝M
C．M∪N＝M
D．M∪N＝R
B [依题意M＝，N＝{x|－2∴M∪N＝N，∴M∩N＝M.
]
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
0
－4
－6
－6
－4
0
6
则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是________．
{x|x>3或x<－2} [法一：当x1＝－2，x2＝3时，y＝0，又根据所给数值，函数值随着x的增大，先减后增，故开口向上，故不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|x>3或x<－2}．
法二：由表中数据可求得a＝1，b＝－1，c＝－6，代入原不等式得x2－x－6>0，所以可解得解集为{x|x>3或x<－2}．]
4．已知集合A＝{x}，集合B＝{x}．若B?A，求实数p的取值范围．
[解] 由题可知A＝{x}．
①当B≠?时，即p＋1≤2p－1?p≥2.
由B?A，得－2≤p＋1，且2p－1≤5.
解得－3≤p≤3，∴2≤p≤3.
②当B＝?时，即p＋1>2p－1?p<2.
由①②得p≤3.
8课时分层作业(十一) 一元二次不等式及其解法
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是( )
A．
B．
C．
D．R
B [∵9x2＋6x＋1＝(3x＋1)2≥0，∴9x2＋6x＋1≤0的解集为.]
2．不等式x(2－x)＞3的解集是( )
A．{x|－1＜x＜3}
B．{x|－3＜x＜1}
C．{x|x＜－3或x＞1}
D．?
D [将不等式化为x2－2x＋3＜0，由于对应方程的判别式Δ＜0，所以不等式x(2－x)＞3的解集为?.]
3．若集合A＝，B＝{x∈N
|x≤5}，则A∩B＝( )
A．
B．
C．
D．
B [由题意可得A＝，B＝{1，2，3，4，5}，所以A∩B＝.]
4．若全集U＝R，集合A＝{x|x2＋3x－4<0}，B＝，则?U(A∩B)＝( )
A．
B．
C．
D．
D [由题意可得A＝{x|－4所以A∩B＝{x|－2所以?U(A∩B)＝]
5．若一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集是，则一元二次不等式cx2＋bx＋a>0的解集是( )
A．
B．
C．
D．
C [由题意得，a<0，－＝1，＝－2，所以cx2＋bx＋a>0可化为x2＋x＋1<0，即－2x2－x＋1<0，解得x＜－1或x＞.]
二、填空题
6．{x|－x2－x＋2>0}∩Z＝________.
{－1，0} [{x|－x2－x＋2>0}∩Z＝{x|－2]
7．当a<0时，关于x的不等式(x－5a)(x＋a)>0的解集是__________．
[∵a<0，∴5a<－a，
由(x－5a)(x＋a)>0得x<5a或x>－a.]
8．不等式ax2－bx＋c＞0的解集是，对于a、b、c有以下结论：①a＞0；②b＞0；③c＞0；④a＋b＋c＞0；⑤a－b＋c＞0.其中正确结论的序号是________．
③⑤ [由于ax2－bx＋c＞0的解集为，
可知a＜0，且－＋2＝，－×2＝，∴b＜0，c＞0.
又x＝－1时不等式不成立，∴a＋b＋c＞0不成立．
x＝1时，不等式成立，∴a－b＋c＞0成立．选③⑤.]
三、解答题
9．解不等式x2－3|x|＋2≤0.
[解]
原不等式等价于|x|2－3|x|＋2≤0，即1≤|x|≤2.
当x≥0时，1≤x≤2；
当x<0时，－2≤x≤－1.
所以原不等式的解集为{x|－2≤x≤－1或1≤x≤2}．
10．解关于x的不等式x2－2mx＋m＋1>0.
[解] 不等式对应方程的判别式Δ＝(－2m)2－4(m＋1)＝4(m2－m－1).
(1)当Δ>0，即m>或m<时，
由于方程x2－2mx＋m＋1＝0的根是x＝m±，
所以不等式的解集是{x|xm＋}；
(2)当Δ＝0，即m＝时，不等式的解集为{x|x∈R，且x≠m}；
(3)当Δ<0，即11．不等式<2的解集为( )
A．{x|x≠－2}
B．R
C．?
D．{x|x<－2或x>2}
A [∵x2＋x＋1>0恒成立，
∴原不等式?x2－2x－2<2x2＋2x＋2?x2＋4x＋4>0?(x＋2)2>0，
∴x≠－2.∴不等式的解集为{x|x≠－2}．]
12．不等式|x|(1－2x)>0的解集是( )
A．
B．(－∞，0)∪
C．
D．
B [原不等式可变形为，解得
0所以原不等式的解集为(－∞，0)∪(0，)，故选B.]
13．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2，3，a<0，那么ax2＋bx＋c>0的解集为( )
A．{x|x>3或x<－2}
B．{x|x>2或x<－3}
C．{x|－2D．{x|－3C [由题意知，－2＋3＝－，－2×3＝，∴b＝－a，c＝－6a，
∴ax2＋bx＋c＞0，即ax2－ax－6a>0，
∵a<0，∴x2－x－6<0，
∴(x－3)(x＋2)<0，∴－214．关于x的不等式组的整数解的集合为{－2}，则实数k的取值范围是________.
[－3，2) [∵－2是2x2＋(2k＋5)x＋5k＜0的解，
∴2(－2)2＋(2k＋5)(－2)＋5k＝k－2＜0.
∴k＜2，－k＞－2＞－，
∴2x2＋(2k＋5)x＋5k＝(x＋k)(2x＋5)＜0的解集为，
又x2－x－2＞0的解集为{x|x＜－1或x＞2}．
∴－2＜－k≤3，∴k的取值范围为[－3，2).]
15．已知不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}．
(1)求a、b的值；
(2)解关于x的不等式x2－b(a＋c)x＋4c>0.
[解] (1)由题意知，a>0且1，b是方程ax2－3x＋2＝0的根，
∴a＝1.又1·b＝，∴b＝2.
(2)不等式可化为x2－2(c＋1)x＋4c>0，即(x－2c)(x－2)>0，
当2c>2，即c>1时，不等式的解集为{x|x<2或x>2c}；
当2c＝2，即c＝1时，不等式的解集为{x|x≠2}；
当2c<2，即c<1时，不等式的解集为{x|x>2或x<2c}．
综上：
当c>1时，不等式的解集为{x|x<2或x>2c}；
当c＝1时，不等式的解集为{x|x≠2}；
当c<1时，不等式的解集为{x|x>2或x<2c}．
1