4.3 一元二次不等式的应用
学
习
目
标
核
心
素
养
掌握一元二次不等式解法的实际应用．(重点、难点)
通过一元二次不等式解法的实际应用，培养数学建模素养．
1．分式不等式的解法
类型
同解不等式
>0(其中a，b，c，d为常数)
法一：，或；法二：>0.
≥0(其中a，b，c，d为常数)
法一：，或；法二：.
>k(其中a，b，c，d，k为常数)
先移项转化为>0，再求解
对于分式不等式的其他类型，可仿照上述方法求解．
思考：已知集合A＝，则集合?RA与相等吗？
提示： 不相等，?RA＝.
2．建立一元二次不等式模型的步骤
(1)阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关系．
(2)设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系).
(3)解不等式(或求函数的最值).
(4)回扣实际问题．
1．设全集I＝R，M＝{x|x2>4}，N＝{x|≥1}，如图，则图中阴影部分所表示的集合为( )
A．{x|x<2}
B．{x|－2
C．{x|－2≤x≤2}
D．{x|1D [图中阴影部分就是M的补集与N的交集，先化简集合M和N，通过运算可知应选D.]
2．不等式(x2－7x＋12)(x2＋x＋1)＞0的解集为( )
A．(－∞，－4)∪(－3，＋∞)
B．(－∞，3)∪(4，＋∞)
C．(－4，－3)
D．(3，4)
B [∵x2＋x＋1＝＋＞0恒成立．∴原不等式等价于x2－7x＋12＞0，
∴不等式的解集为{x|x＜3或x＞4}．]
3．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3000＋20x－0.1x2，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总体)的最低产量是( )
A．100台
B．120台
C．150台
D．180台
C [由题意知：利润为25x－＝0.1x2＋5x－3000，
由0.1x2＋5x－3000≥0，得x≥150或x≤－200(舍去)，故选C.]
4．一服装厂生产某种风衣，月产量x(件)与售价P(元/件)之间的关系为P＝160－2x，生产x件的成本总数R＝500＋30x(元)，假设生产的风衣当月全部售出．试问该厂的月产量为多少时，每月获得的利润不少于1
300
元？
[解] 设该厂月获得的利润为y元，则
y＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500(0＜x＜80).
由题意知y≥1
300，
所以－2x2＋130x－500≥1
300，解得20≤x≤45.
所以当月产量在20至45件(包括20和45)之间时，月获得的利润不少于1
300元．
分式不等式的解法
【例1】 解不等式≤3.
[思路点拨] 先移项并通分，再利用商的符号法则将其转化为整式不等式．
[解]
原不等式可化为－3≤0，即≤0，
∴≥0，
∴
解得x≥或x<0.
故原不等式的解集为{x|x≥或x<0}．
分式不等式一般解题步骤
(1)移项并通分，不等式右侧化为“0”；
(2)转化为同解的整式不等式；
(3)解整式不等式．
1．不等式≥0的解集是( )
A．[2，＋∞)
B．(－∞，1]∪(2，＋∞)
C．(－∞，1)
D．(－∞，1)∪[2，＋∞)
D [原不等式可化为
解得x≥2或x＜1，
故原不等式的解集为(－∞，1)∪[2，＋∞).]
不等式恒成立问题
[探究问题]
设y＝ax2＋bx＋c，x∈R，
1．若y>0恒成立，则y＝ax2＋bx＋c，x∈R的图象有什么特征？
提示：在x轴上方．
2．若y>0恒成立，则a，b，c需要满足什么条件？
提示：
或
.
3．由y＜0的解集是，你可以获得哪些结论？
提示：(1)a>0；(2)Δ＝b2－4ac>0；(3)x1＋x2＝－，x1x2＝等．
【例2】 若x2－x＋3<0对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围．
[思路点拨] 结合二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集间的关系，找出不等式恒成立的条件．
[解] 由题意可知当m＋1＝0，即m＝－1时，原不等式可化为2x－6<0，
解得x<3，不符合题意，应舍去．
当m＋1≠0时，
若x2－x＋3<0对任何实数x恒成立，则有
解得m<－.
综上所述，实数m的取值范围是.
1．若关于x的不等式x2－ax－a≤－3的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．
(－∞，－6]∪[2，＋∞) [x2－ax－a≤－3，即x2－ax－a＋3≤0.它的解集不是空集，则y＝x2－ax－a＋3的图象与x轴有交点，所以Δ＝(－a)2－4×1×(－a＋3)≥0，解得a≤－6或a≥2.
]
2．已知不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．
[解] 原不等式等价于(a＋2)x2＋4x＋a－1＞0对一切实数x恒成立，显然a＝－2时，解集不是R，因此a≠－2，
从而有
整理得所以
所以a＞2.
故a的取值范围是(2，＋∞).
一元二次不等式的实际应用
【例3】 某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．
(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；
(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．
[思路点拨]
原计划
降税后
价格(元/担)
200
200
税率
10%
%
收购量(万担)
a
a
收购总金额(万元)
200a
200·a
税收y(万元)
200a·10%
200·a%
[解] (1)降低税率后的税率为%，农产品的收购量为a万担，收购总金额为200a(1＋2x%).
依题意：y＝200a%＝a(100＋2x)(10－x)(0(2)原计划税收为200a·10%＝20a(万元).
依题意得：a≥20a×83.2%，
化简得，x2＋40x－84≤0，
∴－42≤x≤2.又∵0∴x的取值范围是.
1．解应用题的关键是通过仔细阅读，弄清题中的数量关系，提炼出数学模型，解之即可，但需要注意问题的“实际含义”．
2．列表法比较清晰地反映了各个量之间的关系，值得推广．
2．某种商品原来定价为每件p元，每月将卖出n件．假若定价上涨x成(x成即，0探求使售货金额比原来有所增加的x的取值范围．
[解] 依题意，涨价后的售货金额为npz＝p·n·，∴np
>
np.
∵n＞0，p＞0，y＝x，
∴＞1.
整理得x2－5x＜0，解得0＜x＜5.
又∵0＜x≤10，∴0＜x＜5.
故x的取值范围是{x|0＜x＜5}．
1．解分式不等式时．先将其化为右侧为零的形式，利用商的符号法则再将其化为整式不等式，通过解整式不等式来求解．
2．应用一元二次不等式解决实际问题的关键是把实际问题转化为数学模型，解不等式时，要注意变量的实际意义．
3．有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常有两种处理方法：
(1)将参变量分离，构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立关于参变量的不等式．
(2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数，并结合图象建立关于参变量的不等式求解．
解答本题的关键是根据题目条件，构建恰当的函数，将不等式问题转化为函数问题处理．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)不等式＞1的解集是{x|x＜1}．
( )
(2)若a＜0，则关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的有解集的充要条件是Δ＝b2－4ac≥0.
( )
(3)若关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0在R上恒成立，则.
( )
[答案] (1)× (2)√ (3)×
2．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，售价所在的范围应是( )
A．(90，100)
B．(90，110)
C．(100，110)
D．(80，100)
A [设每个涨价x元，则y表示涨价后的利润与原利润之差，则y＝(10＋x)(400－20x)－10×400＝－20x2＋200x.
要使商家利润有所增加，则必须使y>0，即x2－10x<0，
得03．不等式≤1的解集为________．
{x|－2≤x<1} [≤1?－1≤0?≤0??－2≤x<1.所以原不等式的解集是{x|－2≤x<1}．]
4．已知集合A＝，集合B＝{x|x2－(2m＋1)x＋m2＋m＜0}，
(1)求集合A、B；
(2)若B?A，求m的取值范围．
[解] (1)≤1?≤0?－2≤x＜2，即A＝{x|－2≤x＜2}，
x2－(2m＋1)x＋m2＋m＜0?(x－m)[x－(m＋1)]＜0?m＜x＜m＋1，
即B＝{x|m＜x＜m＋1}．
(2)B?A??－2≤m≤1.
8课时分层作业(十二) 一元二次不等式的应用
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( )
A．(－1，1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－2，2)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D [∵方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝m2－4＞0，
∴m＞2或m＜－2.]
2．已知集合M＝{－1，1}，N＝，则M∩N＝( )
A．{－1，0，1}
B．{0，1}
C．{－1，1}
D．{1}
D [不等式＜0，可化为(x＋1)(2x－3)＜0，解得－1＜x＜，又x∈Z，所以x可取0，1，即N＝{0，1}，所以M∩N＝{1}．]
3．若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)＜0}，B＝{x∈N
|x≤5}，则A∩B＝( )
A．{1，2，3}
B．{1，2}
C．{4，5}
D．{1，2，3，4，5}
B [由题意可得A＝，B＝{1，2，3，4，5}，所以，A∩B＝{1，2}．]
4．已知关于x的不等式ax－b＞0的解集是(－∞，－1)，则关于x的不等式＞0的解集是( )
A．{x|x＜－1或x＞2}
B．{x|－1＜x＜2}
C．{x|1＜x＜2}
D．{x|x＜1或x＞2}
C [由题意知，a＜0，且＝－1，
所以＞0，可化为(ax＋b)(x－2)＞0，即(x－1)(x－2)＜0，其解集为{x|1＜x＜2}．]
5．若ax2＋ax－1在R上恒小于0，则a的取值范围是( )
A．a≤0
B．a＜－4
C．－4＜a＜0
D．－4＜a≤0
D [当a＝0时，ax2＋ax－1＝－1＜0成立．
当a≠0时，则，即
解得－4＜a＜0，
综上可知：当－4＜a≤0时，ax2＋ax－1＜0在R上恒成立．]
二、填空题
6．不等式2＞的解集是________.
[不等式2＞，可化为＞0，解得x＜0或x＞.
]
7．关于x的不等式ax－b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式>0的解集是________．
(－∞，－1)∪(2，＋∞) [由ax－b>0的解集为(1，＋∞)，得>0?>0?x<－1或x>2.]
8．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝，则A∩B＝________．
{x|0＜x≤1} [A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤2}，A∩B＝{x|0＜x≤1}．]
三、解答题
9．解不等式：(1)<0；(2)≤1.
[解]
(1)由<0，得>0，
此不等式等价于(x－1)>0，
解得x<－或x>1，
∴原不等式的解集为.
(2)∵≤1，∴－1≤0.
∴≤0.
即≥0.
此不等式等价于(x－4)≥0，且x－≠0，解得x<或x≥4，
∴原不等式的解集为.
10．某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个，出厂价为60元/个，日销售量为1
000个，为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本．若每个蛋糕成本增加的百分率为x(0＜x＜1)，则每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为0.5x，同时预计日销售量增加的百分率为0.8x，为使日利润有所增加，求x的取值范围．
[解] 设增加成本后的日利润为y元．
y＝[60×(1＋0.5x)－40×(1＋x)]×1
000×(1＋0.8x)＝2
000(－4x2＋3x＋10)(0＜x＜1).
要保证日利润有所增加，则y＞(60－40)×1
000，且0＜x＜1，
即
解得0＜x＜.所以，为保证日利润有所增加，x的取值范围是.
11．若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝?，则实数a的取值范围是( )
A．(0，4)
B．[0，4)
C．(0，4]
D．[0，4]
D [当a＝0时，ax2－ax＋1<0无解，符合题意．
当a<0时，ax2－ax＋1<0解集不可能为空集．
当a＞0时，要使ax2－ax＋1<0解集为空集，
需解得0综上，a∈[0，4].]
12．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围是( )
A．(0，2)
B．(－2，1)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
D．(－1，2)
B [由题意知x⊙(x－2)＝x2＋x－2，
∴x2＋x－2<0，解得－213．(一题两空)设函数y＝2x2＋bx＋c，若不等式y＜0的解集是1＜x＜5，则y＝________；若对于任意1≤x≤3，不等式y＜2＋t有解，则实数t的取值范围为________．
2x2－12x＋10 t≥－10 [由题意知1和5是方程2x2＋bx＋c＝0的两个根，由根与系数的关系知，－＝6，＝5，解得b＝－12，c＝10，所以y＝2x2－12x＋10.
不等式y≤2＋t在1≤x≤3时有解，等价于2x2－12x＋8≤t在1≤x≤3时有解，只要t大于等于2x2－12x＋8的最小值即可，不妨设g＝2x2－12x＋8，1≤x≤3，则当x＝3时，g有最小值－10，所以t≥－10.]
14．若不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集为R，则实数a的取值范围是________．
－＜a≤1 [
①当a2－1≠0，即a≠±1时，
解之得－②当a2－1＝0，即a＝±1时，若a＝1，则原不等式为－1<0，恒成立．若a＝－1，则原不等式为2x－1<0，即x<，不符合题目要求，舍去．
综上所述，当－＜a≤1时，原不等式的解集为R.]
15．学校要在一块长为40米，宽为30米的矩形地面上进行绿化，四周种植花卉(花卉带的宽度相等)，中间设草坪(如图).要求草坪的面积不少于总面积的一半，求花卉带宽度的取值范围．
[解] 设花卉带的宽度为x米，则草坪的长和宽分别是(40－2x)米，(30－2x)米，
则
解得
∴0＜x≤5.这就是花卉带宽度的取值范围．
1