课时分层作业(一) 集合的概念与表示
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．下列给出的对象中，不能构成集合的是( )
A．有手机的人
B．2019年高考中的数学难题
C．所有有理数
D．所有小于π的实数
B [“难题”所描述的对象没有确定性，故选B.]
2．已知集合A＝{x∈N|－≤x≤}，则必有( )
A．－1∈A
B．0∈A
C．∈A
D．3∈A
B [由于x∈N，故满足－≤x≤的数只有3个，即A＝{0，1，2}，于是0∈A，故选B.]
3．若a∈R，但aQ，则a可以是( )
A．3.14
B．－5
C．
D．
D [由题意知，a是无理数，故选D.]
4．已知集合S＝中的三个元素是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
D [由集合元素的互异性，知a，b，c互不相等．所以△ABC一定不是等腰三角形，故选D.]
5．下列四个集合中，不同于另外三个集合的是( )
A．
B．
C．
D．
B [的元素是x＝2，故选B.]
二、填空题
6．能被2整除的所有正整数的集合，用描述法可表示为________．
[答案]
7．集合，用列举法可表示为________．
[由题意得，x－1是6的正约数，又6的正约数分别是1，2，3，6，所以x的值分别是2，3，4，7.]
8．已知集合A＝，若4∈A，则实数a的值为_______．
－2 [因为4∈A，所以a2＝4或a＋2＝4，解得a＝±2，但当a＝2时，a2＝a＋2，集合A的元素不具有互异性，所以a＝－2.]
三、解答题
9．已知A＝，B＝，
(1)用列举法表示集合B；
(2)试求集合B中所有元素之和．
[解] (1)
ba
0
1
2
0
0
0
0
1
0
1
2
2
0
2
4
由上表可知B＝.
(2)集合B中所有元素之和为6.
10．已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，3∈A，求m的值．
[解] 由3∈A，得m＋2＝3或2m2＋m＝3.
当m＋2＝3，即m＝1时，2m2＋m＝3，此时集合A中有重复元素3，所以m＝1不合乎题意，舍去；
当2m2＋m＝3时，解得m＝－或m＝1(舍去)，此时当m＝－时，m＋2＝≠3合乎题意．所以m＝－.
11．已知M＝，2∈M，则下列判断正确的是( )
A．1∈M
B．0∈M
C．－1∈M
D．－2∈M
C [由2∈M，得22－2＋m＝0，解得m＝－2，
所以M＝＝，所以－1∈M.]
12．给出下列四个命题：
(1)很小的实数可以构成集合；
(2)集合{y|y＝x2－1}与集合{(x，y)|y＝x2－1}是同一个集合；
(3)1，，，，0.5这些数字组成的集合有5个元素；
(4)集合{(x，y)|xy≤0，x，y∈R}是指第二象限或第四象限内的点的集合．
以上命题中正确命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
[答案] A
13．集合的元素个数为( )
A．6
B．7
C．8
D．9
D [＝.故选D.]
14．集合可用列举法表示为________．
[由－2≤x≤2，x∈Z得，x＝±2，±1或0，当x＝±2时，y＝5，当x＝±1时，y＝2，当x＝0时，y＝1，所以该集合可用列举法表示为.]
15．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1).
求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
(2)集合A不可能是单元素集．
[证明] (1)若a∈A，则∈A.
又∵2∈A，∴＝－1∈A.
∵－1∈A，∴＝∈A.
∵∈A，∴＝2∈A.
∴A中必还有另外两个元素，且为－1，.
(2)若A为单元素集，则a＝，
即a2－a＋1＝0，方程无解．
∴a≠，∴集合A不可能是单元素集．
1§1 集合
1.1 集合的概念与表示
学
习
目
标
核
心
素
养
1．通过实例了解集合的含义．(难点)2．掌握集合中元素的特性．(重点)3．体会元素与集合的“属于”关系．(重点、易混点)4．初步掌握集合的两种表示方法－列举法、描述法，感受集合语言的意义与作用．(重点、难点)5．在具体情境中，了解空集的含义．(难点)
1．通过概念集合的学习，逐步形成数学抽象素养．2．借助集合元素互异性的应用，培养逻辑推理素养．
1．集合的相关概念
(1)集合的概念：一般地，我们把指定的某些对象的全体称为集合．
(2)元素：集合中的每个对象叫作这个集合的元素．
(3)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
思考1：(1)某班的所有“高个子”同学能否构成一个集合？
(2)某班身高高于175
cm的所有男生能否构成一个集合？
提示：(1)不能构成一个集合，因为“高个子”没有明确的标准．
(2)能构成一个集合，因为标准确定．
2．元素与集合的关系
(1)元素与集合的关系
元素与集合的关系
文字表示
属于
不属于
符号表示
∈
(2)常用数集及表示符号
名称
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
正实数集
符号
N
N＋或N
Z
Q
R
R＋
3.集合的表示方法
(1)列举法：一般地，把集合中的所有元素一一列举出来，写在花括号内，这种表示集合的方法叫作列举法．
(2)描述法：通过描述元素满足的条件表示集合的方法叫作描述法．一般的形式为{x|p(x}，其中x为元素，p(x)为元素满足的条件．
思考2：偶数集中的元素有什么共同特征？如何用描述法表示？
提示：其共同特征是能被2整除，可以表示为
或.
4．集合的分类
集合
5．数集的区间表示
设a，b是两个实数，且a
含义
名称
区间表示
数轴表示
闭区间
开区间
左开右闭区间
左闭右开区间
R
无界区间
左闭右无界区间
右闭左无界区间
左开右无界区间
右开左无界区间
“∞”读作“无穷大∞”，它不是一个数，仅表示书写端是无边界的，可以无限制的增大或减小．
1．下列给出的对象中，能构成集合的是( )
A．一切很大的数
B．好心人
C．营养丰富的食品
D．所有有理数
D [“很大”、“好心”、“丰富”等词所描述的对象没有确定性，故选D.]
2．由英文单词“book”中的所有字母构成的集合中元素的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
C [由集合元素的互异性可知，该集合中共有“b”、“o”、“k”三个元素，故选C.]
3．用“∈”或“”填空
________N,
－2________Z，________Q，0________N，π________R.
[答案] ，∈，，∈，∈
4．已知集合A＝，
(1)求实数a的取值集合；
(2)若4∈A，求实数a的值．
[解] (1)由集合元素的互异性可知，a＋1≠3，解得a≠2，
所以，实数a的取值集合是.
(2)因为4∈A，所以a＋1＝4，解得a＝3，
所以，a＝3.
集合的基本概念
【例1】 下列给出的对象中，能构成集合的是( )
①小于0的所有实数 ②与0非常接近的实数 ③中国著名的高等院校 ④中国双一流的高等院校
A．①③
B．②④
C．①④
D．③④
[思路点拨] 根据所描述的对象是否有确定性来判断．
C [“非常接近”“著名”等词所描述的对象没有确定性，故选C.]
判断所描述的对象能否构成集合的方法
判断所描述的对象能否构成集合，关键看所描述的对象是否具有确定性，如果具有确定性，就可以组成集合；否则，就不能组成集合．在集合元素的三个特性中，元素的确定性是其本质属性．
1．判断下列说法是否正确，并说明理由．
(1)所有素数能组成一个集合．
(2)数轴上的一些点能组成一个集合．
(3)集合有三个元素．
(4)集合有且仅有一个元素．
[解] (1)正确，素数具有确定性．
(2)不正确，“一些点”的标准不明确．
(3)不正确，由于“1”是该方程二重根，且集合的元素具有互异性，所以该集合有且仅有两个元素．
(4)不正确，当a＝0时，＝?.
集合的表示法
【例2】 (1)用列举法表示下列集合：
①不大于7的所有非负偶数组成的集合；
②方程2x2－x－1＝0的所有实数解组成的集合；
③一次函数y＝x＋3与y＝2x的图象的交点组成的集合．
(2)用描述法表示下列集合：
①不等式2x－3>0的解集；
②平面直角坐标系中第二象限内的所有点组成的集合；
③被3除余1的所有整数组成的集合．
[解](1)①不大于7的所有非负偶数分别是0，2，4，6，所以该集合可用列举法表示为.
②方程2x2－x－1＝0的实数解分别是－，1，所以该集合可用列举法表示为.
③由
，得
，
所以，一次函数y＝x＋3与y＝2x的图象的交点为，
所以，一次函数y＝x＋3与y＝2x的图象的交点组成的集合为.
(2)①.
②.
③.
1．列举法表示集合的一般形式为，其中ai，i＝1，2，…，n为集合的元素．
2．描述法表示集合的一般形式为，其中x为集合的元素，p为元素满足的条件．
提醒：在用列举法表示集合时，不能用或来表示实数集R.
2．用适当的方法表示下列集合．
(1)所有奇数组成的集合；
(2)不大于10的所有素数组成的集合；
(3)平面直角坐标系中的所有点组成的集合；
(4)满足－1<2x－1≤3的x的取值集合．
[解] (1).
(2)不大于10的所有素数分别是2，3，5，7，所以该集合可用列举法表示为.
(3).
(4)由－1<2x－1≤3，得0元素与集合的关系
【例3】 已知集合A＝，且－3∈A，求a的值．
[思路点拨] →→
[解]由－3∈A，得a－2＝－3或2a2＋5a＝－3.
(1)若a－2＝－3，则a＝－1，
当a＝－1时，2a2＋5a＝－3，不满足集合元素的互异性，
∴a＝－1不符合题意．
(2)若2a2＋5a＝－3，则a＝－1或－.
当a＝－时，a－2＝－，符合题意；
当a＝－1时，由(1)知，不符合题意．
综上可知，实数a的值为－.
1．求解此类题时．应注意检验集合元素是否满足互异性．
2．判断元素与集合的关系的方法
如果集合是用列举法给出的，可直接判断该元素是否在已知集合中出现即可；如果集合是用描述法给出的，则(1)判断该元素是否具有已知集合中元素所具有的特征；(2)将该集合转化为列举法表示，再判断．
3．(1)下列所给关系正确的个数是( )
①π∈R，②Q，③0N
，④∈.
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)已知A＝，且当a∈A时，6－a∈A，则a的取值集合是( )
A．
B．
C．
D．
(3)设A＝，则－7________A，3________A
(1)D (2)D (3)∈ [(1)①②③④都正确，故选D.
(2)对a的可能取值逐个检验，a＝2时，6－a＝4∈A；a＝4时，6－a＝2∈A；a＝6时，6－a＝0A，所以a的取值集合是.
(3)由4n＋1＝－7，得n＝－2，即－7＝4×＋1，所以－7∈A；由4n＋1＝3，得n＝，由于Z，所以3A.]
1．判断所描述的对象能否构成集合，关键看所描述的对象是否具有确定性，如果具有确定性，就可以组成集合；否则，就不能组成集合．
2．求解与字母有关的集合问题时，应注意检验集合元素是否满足互异性，要有分类讨论意识．
3．表示一个集合可以用列举法，也可以用描述法，一般地，有限集用列举法，此种方法突出元素本身；无限集用描述法，此种方法强调元素的属性．在选择表示方法时，要根据需要进行选择．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)接近0的数可以组成一个集合．
( )
(2)与是同一个集合．
( )
(3)方程组的解集可以表示为.
( )
[答案] (1)× (2)√ (3)×
2．已知A＝，则有( )
A．3∈A
B．1∈A
C．0∈A
D．－1A
C [因为0<1，所以0∈A.]
3．若1，则实数a的取值范围是________．
4．设集合A＝，若4∈A，试用列举法表示集合A.
[解] 由4∈A，得42－3×4＋a＝0，
解得a＝－4，
所以A＝＝.
8