课时分层作业(二) 集合的基本关系
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知集合A＝，则含有元素0的A的子集个数是( )
A．2 B．4 C．6 D．8
D [含有元素0的A的子集个数与集合的子集个数相等，故选D.]
2．已知＝，则实数m等于( )
A．2
B．－1
C．2或－1
D．4
C [由已知得，m2－m＝2，解得m＝2或－1，经检验符合题意．故选C.]
3.
下列各式：①1?，②∈，③?，④??，⑤＝，其中错误的个数是( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
B [只有①②错误，故选B.]
4．如果A＝，那么( )
A．0?A
B．∈A
C．?∈A
D．?A
[答案] D
5．已知a为给定的实数，那么集合M＝{x|x2－3x－a2＋2＝0，x∈R}的子集的个数为( )
A．1
B．2
C．4
D．不确定
C [因为Δ＝9－4＝4a2＋1>0，所以M有且仅有两个元素，所以M有4个子集．]
二、填空题
6．集合的子集的个数是________，真子集个数是________．
[答案] 8 7
7．已知A＝，B＝{x|x＝2(n－1)，n∈Z}，则集合A，B的关系是________．
[答案] 相等
8．已知集合?，则实数m的值是________．
4 [由已知，得m∈，且m≠3，所以m＝4.]
三、解答题
9．设集合A＝，B＝，且A?B，求a的值．
[解] 由A?B得，a2－a＋1∈A，
所以a2－a＋1＝3或a，解得a＝－1，1或2，
当a＝1时，集合A的元素不满足互异性，
故a＝－1或2.
10．已知集合A＝，B＝，且BA，求实数m的值．
[解] A＝，
当m＝0时，B＝?，满足BA；
当m≠0时，B＝，由BA得，－＝－3或2，解得m＝或－，
综上，实数m的值为0，或－.
11．集合的子集个数为( )
A．7 B．8 C．15 D．16
D [＝.故选D.]
12．已知集合A＝{x|
x2－3x
＋2＝0，x∈R}
,
B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A?C?B的集合C的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
D [A＝，B＝{x|0因为A?C?B，所以集合C必须含有元素1，2，且可能含有元素3，4，原题即求集合的子集个数，即有22＝4个．故选D.]
13．集合M＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，P＝{x|x＝3l＋1，l∈Z}，S＝{x|x＝6m＋1，m∈Z}之间的是( )
A．SPM
B．S＝PM
C．SP＝M
D．SP＝M
C [因为M＝{x|x＝3k－2，k∈－1)＋1，k∈Z}?P，
P＝{x|x＝3l＋1，l∈Z}＝{x|x＝3(l＋1)－2，l∈Z}?M，所以M＝P.
因为S＝＝{x|x＝3×2m＋1，m∈Z}?P，又4∈P，但4S，
所以SP.
综上，SP＝M.]
14．已知集合A＝{2，3}，B＝{x|mx－6＝0}，若B?A，则实数m的取值集合为＝________．
[当B为空集时，m＝0；当2∈B时，m＝3；当3∈B时，m＝2.]
15．已知＝，求q的值，
[解] 由元素的互异性，知d≠0，q≠±1，q≠0，a≠0，
又＝，
所以
，或
，
所以a＝2aq－aq2，或a＝2aq2－aq，即2q－q2＝1，或2q2－q＝1，
又因为q≠±1，所以q＝－.
故q的值为－.
11.2 集合的基本关系
学
习
目
标
核
心
素
养
1.理解集合的包含与相等的含义．(难点)2．能识别集合的子集、真子集，会判断集合间的关系．(难点、易混点)
1．通过对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的学习，培养数学抽象素养．2．借助子集、真子集的应用，培养逻辑推理素养．
1．Venn图
为了直观地表示集合间的关系，常用平面上封闭曲线的内部表示集合，称为Venn图．
2．子集
文字叙述
对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都属于集合B，即若a∈A，则a∈B，那么称集合A是集合B的子集．
符号表示
若a∈A?a∈B，则A?B．
图形表示
性质
(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A?A．
(2)空集是任何集合的子集，即??A．
(3)若A?B，B?C，则A?C．
思考1：符号“∈”与“?”有何不同？
提示：“∈”表示元素与集合的关系，而“?”表示集合与集合的关系．
3．集合相等
对于两个集合A与B，如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，那么称集合A与集合B相等，记作A＝B．
思考2：如何证明集合相等？
提示：证明这两个集合互为子集．
4．真子集
对于两个集合A与B，如果A?B，且A≠B，那么称集合A是集合B的真子集，记作AB.
1．设M＝，N＝，则下列关系正确的是( )
A．N∈M
B．NM
C．N?M
D．N?M
C [由1∈M，知N?M.]
2．已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则( )
A．A?B
B．C?B
C．D?C
D．A?D
B [根据四边形的定义和分类，可知选B.]
3．集合的子集有________个．
4 [集合的子集分别是?，，，.]
4．已知集合?，求实数a的值．
[解] (1)由已知，得16∈，所以a2＝16或a＋3＝16，解得a＝－4，4或13，
当a＝4时，a＋3＝7，集合的元素不满足互异性，
所以，实数a的值为－4，13.
集合间的关系的判断
【例1】 判断下列各组中集合间的关系．
(1)A＝，B＝{x|x是等边三角形}；
(2)A＝，B＝；
(3)A＝，B＝；
(4)A＝，B＝{xn＋1，n∈Z}．
[解] (1)因为等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形，故BA.
(2)A＝B.
(3)把集合A与B在数轴上表示出来，根据定义易得AB.
(4)A＝，B＝，又，所以AB.
判断两集合关系的常用方法
(1)化简集合，从元素的属性中寻找两集合间的关系；
(2)利用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．
提醒：在判断集合间的关系时，要注意数轴及Venn图的应用，它可以直观地帮助我们发现集合间的关系．
1．设A＝，B＝，C＝，判断它们之间的关系．
[解] 因为A＝＝{x|x＝2＋1，n∈Z}?B，B＝＝?A，
所以A＝B.
因为C＝＝{x|x＝2×2n－1，n∈Z}?A，又－3∈A，但－3C，所以CA.
综上，CA＝B.
子集个数问题
【例2】 已知M?，试写出满足条件的所有集合M.
[思路点拨] 先分析集合M中元素的特点，然后分类列举．
[解] 集合M含有元素1，2，且含有3，4，5中的至少一个元素，依据集合元素的个数分类列举如下：
含有3个元素：，，；
含有4个元素：，，；
含有5个元素：.
故满足条件的集合M共有上述7个集合．
1．解决此类问题，一般先分析集合元素的特征，然后按集合元素个数分类列举．
2．若一个集合有n个元素，则它有2n个子集；有2n－1个真子集．
2．已知集合B＝，A＝，
(1)写出集合A；
(2)判断B与A的关系．
[解] (1)集合B的子集分别是?，，，，所以A＝；
(2)BA.
集合间的关系的应用
[探究问题]
1．已知?，试求a，b满足的条件．
提示：a≤－1且b≥1.
2．已知?，试求a，b满足的条件．
提示：对集合是否为空集讨论，
当为空集，即a>b时，满足题意；
当非空时，－1≤a≤b≤1，
故a，b满足的条件是a>b或－1≤a≤b≤1.
【例3】 已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，且B?A，求实数m的取值范围．
[思路点拨] 将集合间的关系转化为元素间的关系，由于B可能为空集，故需分B＝?与B≠?两种情况讨论．
[解]
当B＝?时，有m＋1≥2m－1，得m≤2，
当B≠?时，有解得2＜m≤4.
综上得m≤4.
1．对于本例中的集合A，B，是否存在实数m使A?B?
[解]
若A?B，则
，该不等式组无解，故实数m不存在．
2．若将本例中的“A＝{x|－2≤x≤7}”改为“A＝”，其他条件不变，求实数m的取值范围．
[解] 当B＝?时，有m＋1≥2m－1，得m≤2，
当B≠?时，有或解得m≥6，综上得x≤2或m≥6.
1．对于B?A，在未指明B非空时，应分B＝?与B≠?两种情况讨论．
2.
对于B≠?这种情况，在确定参数的取值时，可借助数轴来完成，将两个集合在数轴上表示出来，分清实心点与空心圈，由集合之间的关系，列出关于参数的不等式，解不等式求出参数的取值范围．
1．在判断集合间的关系时，要注意数轴及Venn图的应用，它可以直观的帮助我们发现集合间的关系，这是数形结合思想的应用．
2．若一个集合有n个元素，则它的有2n个子集；有2n－1个真子集．
3．由集合间的关系求参数的取值范围时，要考虑空集是否符合题意．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)空集是任何集合的真子集．
( )
(2)任何一个集合不可能是其自身的真子集．
( )
(3)任何一个集合至少有两个子集．
( )
(4)若A不是B的子集，则A中至少存在一个元素不属于B.
( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
2．集合A＝真子集的个数是( )
A．3 B．4 C．7 D．8
C [因为A＝，所以其真子集的个数是23－1＝7.]
3．设x，y∈R，A＝，B＝，则集合A，B的关系是________．
[答案] BA
4．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．
(1)若AB，求实数a的取值范围；
(2)若B?A，求实数a的取值范围．
[解] (1)当AB时，a>2.
(2)当B?A时，1≤a≤2.
6
