1.3 集合的基本运算
第1课时 交集与并集
学
习
目
标
核
心
素
养
1．理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集．(重点、难点)2．能使用Venn图表达集合的关系与运算，体会图示对理解抽象概念的作用．(难点)
1．借助Venn图培养直观想象素养．2．通过并集与交集的运算，提升数学运算素养．
1．交集与并集的定义
交集
并集
文字叙述
由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合，叫作集合A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”．
由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫作集合A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”．
图示表示
符号表示
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}
思考1：在什么条件下，集合A∪B的元素个数等于集合A与B的元素个数之和？
提示：A∩B＝?.
2．交集与并集的运算性质
交集的运算性质
并集的运算性质
A∩B＝B∩A
A∪B＝B∪A
A∩A＝A
A∪A＝A
A∩?＝?
A∪?＝A
A?B?A∩B＝A
A?B?A∪B＝B
思考2：交集与并集的运算满足结合律吗？
提示：满足．
1.∩＝( )
A．
B．
C．
D．
[答案] D
2．设M＝，N＝，则M∩N＝________；M∪N＝________．
[答案]
3．若集合A＝，B＝则A∪B＝________．
[如图
所以A∪B＝.]
4．已知集合A＝{－4，2a－1，a2}，B＝{a－5，1－a，9}，且9∈(A∩B)，求a的值．
[解] ∵9∈(A∩B)，∴9∈B且9∈A，
∴2a－1＝9或a2＝9，解得a＝5或a＝±3.
当a＝3时，a－5＝1－a＝－2，集合B的元素不满足互异性，所以a＝5或a＝－3.
交集运算
【例1】 (1)∩{x|x是等边三角形}＝______．
(2)∩＝( )
A．
B．
C．
D．
(3)已知集合A＝，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B元素的个数为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
(1){x|x是等边三角形} (2)A (3)D [(1)因为?{x|x是等腰三角形}，
所以∩＝{x|x是等边三角形}．
(2)如图，
所以{x|－1≤x≤2}∩{x|0≤x≤4}＝.
(3)因为8＝3×2＋2；14＝3×4＋2，
所以A∩B＝.]
1．在进行集合的交集运算时，要根据交集的定义进行运算，尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时要用Venn图表示；集合元素是连续时用数轴表示，但要注意端点值的取舍．
2．恰当地使用交集的交换律与结合律，可简化运算过程．
1．(1)已知集合A＝，B＝，则A∩B＝( )
A．
B．
C．
D．
(2)设集合A＝，B＝，若A∩B≠?，则实数a的取值范围是( )
A．－1
B．a>2
C．a≥－1
D．a>－1
(1)A (2)D [(1)由交集的定义可知，A∩B＝.
(2)在数轴上表示两集合，
由上图可知，当a>－1时，A∩B≠?.]
并集运算
【例2】 (1)设集合A＝，B＝{x|x2－2x＝0}，则A∪B＝( )
A．
B．
C．
D．
(2)已知集合M＝，N＝，则M∪N＝( )
A．
B．
C．
D．
(3)已知集合A＝，B＝，且A∪B＝{1，4，x2}，则满足条件的实数x的个数为( )
A．1个
B．2个
C．3
个
D．4个
(1)D (2)A (3)A [(1)因为A＝，B＝{0，2}，所以A∪B＝{－2，0，2}．
(2)如图，在数轴上表示两集合，
所以M∪N＝.
(3)由A∪B＝，得x＝x2，又x≠1，所以x＝0.]
在进行集合的并集运算时
(1)若集合是用列举法表示的，可以直接用并集的定义求解，但要注意集合元素的互异性．
(2)若集合是连续的数集，可以借助数轴进行运算．
2．(1)已知集合A＝，B＝，则A∪B＝( )
A．
B．
C．
D．
(2)设集合A＝，B＝，则A∪B＝________．
[答案] (1)A (2)
集合的交与并的性质的应用
[探究问题]
设A与B是两个集合，
1．若A∩B＝A，则集合A与B有什么关系？
提示：A?B.
2．若A∪B＝A，则集合A与B有什么关系？
提示：A?B.
3．若A∩B＝A∪B，则集合A与B有什么关系？
提示：A＝B.
【例3】 设集合A＝，B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，试求k的取值范围．
[思路点拨]
[解] 由A∪B＝A，得A?B.
当B＝?，即k＋1>2k－1，k<2时，满足题意；
当B≠?时，要使A?B，只需
，解得2≤k≤.
综上，k的取值范围是k≤.
1．对于本例中的集合A，B，是否存在实数k，使A∩B＝A?
[解] 若A∩B＝A，则A?B.
所以
，该不等式组无解，故实数k不存在．
2．若将本例中的“A∪B＝A”改为“A∪B＝{x|－3[解] 由题意知，
，解得k＝3，
所以实数k的值是3.
已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的条件．解决这类问题要合理利用数轴、Venn图帮助分析．
提醒：
在涉及集合关系时，必须关注空集的存在，否则会因为遗漏空集使解题不完整．
1．对于交集、并集的定义，要注意“且”与“或”的理解，其中“或”与通常所说的“非此即彼”有本质性的区别，“x∈A或x∈B”包含下列三种情况：(1)x∈A，但xB，(2)x∈A，且x∈B；(3)xA，但x∈B.
2．在进行集合的运算时，要根据定义进行运算，恰当地使用交集与并集的运算律，可简化运算过程．
3．对于数集的运算，尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)A∩B?A∪B.
( )
(2)若A?B，则A∩B＝A.
( )
(3)集合A∪B的元素个数，就是集合A，B的元素个数之和．
( )
(4)若A∪B＝A∪C，则B＝C.
( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)×
2．已知集合A＝，B＝，C＝，则∪C＝( )
A．
B．
C．
D．
C [因为A∩B＝，所以∪C＝{1，3，7，8}．]
3．设集合A＝，B＝{(x，y)|x－y＝2}，则集合A∩B＝________．
[A∩B＝＝.]
4．已知集合A＝，B＝{x|x2＋qx＋r＝0}．且A∩B＝，A∪B＝{－2，1，5}，求p，q，r的值．
[解] 由A∩B＝，知－2∈A，
∴－p－2＝0，
解得p＝－1.
∴A＝＝，
又∵A∪B＝{－2，1，5}，
∴B＝，
∴
，解得
，
所以，p＝－1，q＝－3，r＝－10.
7课时分层作业(四) 全集与补集
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．设U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩(?UB)＝( )
A．{x|0≤x<1}
B．{x|0C．{x|x<0}
D．{x|x>1}
B [?UB＝{x|x≤1}，∴A∩(?UB)＝{x|02．如图所示，U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是( )
A．A∩(?UB)
B．B∩(?UA)
C．?U(A∩B)
D．?U(A∪B)
B [阴影部分表示A以外的部分与B的交集，故阴影部分表示的集合为B∩(?UA).故选B.]
3．设集合A＝{x∈N
|x≤6}，B＝{2，4}，则?AB等于( )
A．{2，4}
B．{0，1，3，5}
C．{1，3，5，6}
D．{x∈N
|x≤6}
C [因为A＝{x∈N
|x≤6}＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{2，4}，所以?AB＝{1，3，5，6}．故选C.]
4．设I为全集，S1、S2、S3是I的三个非空子集且S1∪S2∪S3＝I，则下面论断不正确的是( )
A．?IS1∩(S2∪S3)＝?
B．S1?(?IS2∩?1S3)
C．?IS1∩?IS2∩?IS3＝?
D．S1?(?IS2∪?IS3)
A [?IS1∩(S2∪S3)＝?IS1∩?IS1＝?IS1≠?，故A错．]
5．已知集合A＝{x|xA．{a|a≤1}
B．{a|a<1}
C．{a|a≥2}
D．{a|a>2}
C [?RB＝{x|x≤1或x≥2}，如图所示．
∵A∪(?RB)＝R，∴a≥2.]
二、填空题
6．已知全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，则
(?UA)∪B为________．
{0，2，4} [∵?UA＝{0，4}，∴(?UA)∪B＝{0，2，4}．]
7．已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x2 [∵A∪(?UA)＝U，
∴A＝{x|1≤x<2}．∴a＝2.]
8．设U＝{0，1，2，3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若?UA＝{1，2}，则实数m＝________．
－3 [∵?UA＝{1，2}，∴A＝{0，3}，
∴9＋3m＝0，∴m＝－3.]
三、解答题
9．已知A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x|m≤x＜1＋3m}．
(1)当m＝1时，求A∪B；
(2)若B??RA，求实数m的取值范围．
[解] (1)当m＝1时，B＝{x|1≤x＜4}，所以A∪B＝{x|－1＜x＜4}．
(2)?RA＝{x|x≤－1或x＞3}，
当B＝?，即m≥1＋3m，m≤－时，满足B??RA；
当B≠?时，由B??RA，得
或，解得m＞3，
综上所述，m的取值范围是.
10．我们知道，如果集合A?U，那么U的子集A的补集为?UA＝{x|x∈U，且xA}．类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A，且xB}叫作A与B的差集，记作A－B.例如，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{4，5，6，7，8}，则A－B＝{1，2，3}，B－A＝{4，6，7}．
据此，回答以下问题：
(1)若U是高一(1)班全体同学的集合，A是高一(1)班女同学组成的集合，求U－A及?UA；
(2)在下列各图中，分别用阴影表示集合A－B；
(3)如果A－B＝?，那么A与B之间具有怎样的关系？
[解] (1)U－A＝{x|x是高一(1)班的男生}，
?UA＝{x|x是高一(1)班的男生}．
(2)阴影部分如下图所示．
(3)若A－B＝?，则A?B.
11．已知M＝，N＝
，则∩N＝( )
A．
B．
C．∪
D．∪
D [?RM＝∪，在数轴上标出?RM，N的区域即可得出∩N.]
12．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，4，5，7}，B＝{3，4，5}，则(?UA)∪(?UB)等于( )
A．{1，6}
B．{4，5}
C．{2，3，4，5，7}
D．{1，2，3，6，7}
D [?UA＝{1，3，6}，?UB＝{1，2，6，7}，所以(?UA)∪(?UB)＝{1，2，3，6，7}．]
13．设U为全集，M，P，N是U的三个子集，则图中阴影部分表示的集合是( )
A．(M∩P)∩N
B．(M∩P)∪N
C．(M∩P)∩(?UN)
D．(M∩P)∪(?UN)
[答案]
C
14．已知全集U＝，则集合{x|x是锐角三角形}的补集为
________．
[由三角形的分类知，{x|x是锐角三角形}的补集是{x|x是直角三角形，或钝角三角形}．]
15．在1到100的自然数中有多少个能被2或3整除的数？有多少个能被2但不能被3整除的数？
[解] 设集合A为能被2整除的数组成的集合，集合B为能被3整除的数组成的集合，则A∪B为能被2或3整除的数组成的集合，A∩B为能被2和3(也即6)整除的数组成的集合．
显然集合A中元素的个数为50，集合B中元素的个数为33，集合A∩B中元素的个数为16，
可得集合A∪B中元素的个数为50＋33－16＝67.集合A∩(?UB)中元素的个数为50－16＝34.
4第2课时 全集与补集
学
习
目
标
核
心
素
养
1.了解全集的含义及符号表示．(易混点)2．理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定集合的补集．(重、难点)3．会用Venn图、数轴进行集合的运算．(重点)
1．通过补集的运算，培养数学运算素养．2．借助集合对实际生活中的对象进行判断归类，培养数学抽象素养．
1．全集
在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集，常用符号U表示．全集含有我们所要研究的这些集合．
思考1：在研究数集时，全集一定是实数集R?
提示：全集是一个相对概念，可以根据所研究问题的不同，选择不同的全集．比如，在研究素数时，可选择正整数集为全集．
2．补集
补集
文字语言
设U是全集，A是U的一个子集(即A?U)，则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作U中子集A的补集(或余集)，记作?UA
图形语言
符号语言
{x|x∈U，且xA}
性质
A∪＝U，A∩＝?，?U(?UA)＝A
思考2：?AC与?BC相等吗？为什么？
提示：不一定．依据补集的含义，符号?AC和?BC都表示集合C的补集，但是?AC表示集合C在全集A中的补集，而?BC表示集合C在全集B中的补集，由于集合A和B不一定相等，所以?AC与?BC不一定相等．因此，求集合的补集时，首先要明确全集，否则容易出错．
1．设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，则?UM＝( )
A．U
B．{1，3，5}
C．{3，5，6}
D．{2，4，6}
C [∵U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，∴?UM＝{3，5，6}．]
2．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，M＝{1，2}，N＝{2，5}，则如图所示，阴影部分表示的集合是( )
A．{3，4，5}
B．{1，3，4}
C．{1，2，5}
D．{3，4}
D [由图可知，阴影部分表示的集合是?U(M∪N).
∵M∪N＝{1，2，5}，又U＝{1，2，3，4，5}，∴?U(M∪N)＝{3，4}．]
3．若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，则?UA＝_____．
{x|0＜x＜1} [∵A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，∴?UA＝{x|0＜x＜1}．]
4．设全集U＝R，A＝{x|x<－1或x>1}，B＝{x|x－2≥0}，判断?UA与?UB之间的关系．
[解] 因为A＝{x|x<－1或x>1}，
所以?UA＝{x|－1≤x≤1}．
因为B＝{x|x－2≥0}，
所以?UB＝{x|x<2}，
所以?UA?UB.
补集运算
【例1】 已知全集U，A＝{x|23}，B＝{x|4≤x＜6}，求?UB.
[思路点拨] 利用A∪(?UA)＝U先求出全集U，然后求?UB.
[解] 因为A＝{x|23}，如数轴：
所以U＝A∪(?UA)＝{x|x>2}，
所以?UB＝{x|21．解答本题，依据A∪(?UA)＝U求全集U是关键环节．
2．求补集，
一是利用补集定义或性质；二是借助于Venn图或数轴来求解．
1．(1)已知集合A＝{x|x＜1}，则?RA＝( )
A．{x|x＞1}
B．x≥1
C．{x|x≥1}
D．?
(2)设集合A＝，B＝，则?AB＝( )
A．
B．
C．
D．
(1)C (2)C [(1)结合补集的定义，借助数轴知?RA＝{x|x≥1}．
(2)因为A＝，所以?AB＝.]
交、并、补的综合运算
【例2】 设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2[思路点拨] 先计算括号内的部分，再进行其它运算．
[解] 把全集R和集合A、B在数轴上表示如下：
由图知，A∪B＝{x|2∴?R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}，
∵?RA＝{x|x<3或x≥7}，
∴(?RA)∩B＝{x|2在进行集合的混合运算时
(1)对于集合的混合运算，要注意运算的顺序，如求(?UA)∩B时，应先求出?UA，再求交集；求?U(A∪B)时，可先求出A∪B，再求补集．
(2)若集合是离散的数集，可以借助Venn图进行运算；若集合是连续的数集，可以借助数轴进行运算．
2．(1)已知U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，3，5，7}，B＝{2，4，5}，则?U(A∪B)＝( )
A．{6，8}
B．{5，7}
C．{4，6，7}
D．{1，3，5，6，8}
(2)设集合A＝{x|1A．(1，4)
B．(3，4)
C．(1，3)
D．(1，2)∪(3，4)
(1)A (2)B [(1)∵A∪B＝{1，2，3，4，5，7}，∴?U(A∪B)＝{6，8}．
(2)∵?RB＝∪，∴A∩(?RB)＝(3，4).]
补集及补集思想的应用
[探究问题]
设A与B是全集U的两个子集，
1．若∩B＝?，则集合A与B有什么关系？
提示：A?B.
2．若∪B＝U，则集合A与B有什么关系？
提示：A?B.
3若?UA??UB，则集合A与B有什么关系？
提示：A?B.
【例3】 设全集U＝R，A＝，B＝{x|－2[思路点拨] 法一：
法二：
[解] 法一：?UA＝＝
∵∩B＝?，
∴－m≤－2，∴m≥2.
法二：A＝，
由∩B＝?，得A?B，
∴－m≤－2，∴m≥2.
1．若将本例中的“∩B＝?”改为“∩B＝B”，求实数m的值．
[解]
由已知得?UA＝，?UA?B，所以－m≥4，解得m≤－4.
2．若将本例中的“∩B＝?”改为“∪A＝R”，求实数m的值．
[解]
由已知得，A＝，A?B，所以－m≤－2，解得m≥2.
3．若将本例中的“∩B＝?”改为“∩B≠?”，求实数m的值．
[解]
由例3知，当∩B＝?时，m≥2，所以当∩B≠?时，m<2.
1．要注意下面五个关系式A∩B＝A、A∪B＝B、?UA??UB、A∩＝?、∪B＝U都与A?B等价．
2．对于一些难于从正面入手的问题，在解题时，可以从问题的反面入手，往往能化难为易，从而将问题解决．这就是“正难则反”的解题策略．该策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，则可先求?UA，再由?U＝A求A.
1．求一个集合的补集时，要明确全集，同一集合在不同全集下，得到的补集也是不同的．
2．在正向思维受阻时，改用逆向思维，这就是“正难则反”的解题策略，它是补集思想的应用．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)?QA＝?RB
.
( )
(2)?UU＝?，且?U?＝U.
( )
(3)若A?B，则?UA??UB.
( )
[答案] (1)× (2)√ (3)×
2．设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝( )
A．{2}
B．{1，2，4}
C．{1，2，4，6}
D．{x∈R|－1≤x≤5}
B [A∪B＝{1，2，4，6}，又C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝{1，2，4}．]
3．已知U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，4，5}，B＝{1，3，5，7}，则A∩(?UB)＝________，(?UA)∩(?UB)＝________．
{2，4} {6} [∵U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，4，5}，B＝{1，3，5，7}
∴?UA＝{1，3，6，7}，?UB＝{2，4，6}．
∴A∩(?UB)＝{2，4，5}∩{2，4，6}＝{2，4}，
(?UA)∩(?UB)＝{1，3，6，7}∩{2，4，6}＝{6}．]
4．设全集U＝R，M＝{x|3a[解] ?UP＝{x|x<－2或x>1}，
∵M??UP，∴分M＝?，M≠?两种情况讨论．
(1)M＝?时，应有3a≥2a＋5，∴a≥5，
(2)M≠?时，如图可得：
，或，
∴a≤－或≤a<5，
综上可知，
实数a的取值范围为{a|a≥或a≤－}．
7课时分层作业(三) 交集与并集
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．设集合A＝，B＝，则A∪B＝( )
A．
B．
C．
D．
D [根据并集的定义可知，A∪B＝，故选D.]
2．若集合A＝，B＝{x|x<－1或x>3}，则A∩B＝( )
A．
B．
C．
D．
A [根据交集的定义可知，A∩B＝，故选A.]
3．已知集合A＝，B＝，则图中阴影部分所表示的集合是( )
A．
B．
C．
D．
C [阴影部分所表示的集合是A∩B，又A∩B＝，故选C.]
4．已知集合A＝{1，3，}，B＝{1，m}
，A∪B＝A,
则m＝( )
A．0或
B．0或3
C．1或
D．1或3
B [由A∪B＝A，得A?B，所以m∈A，又m≠1，所以m＝3或，所以m＝0或3，故选B.]
5．设S＝，T＝，则( )
A．S∪T＝S
B．S∪T＝T
C．S∩T＝S
D．S∩T＝?
A [S＝＝{(x，y)|x>0且y>0，或x<0且y<0}，所以S∪T＝S.]
二、填空题
6．已知A＝，B＝，若A∩B＝，则A∪B＝________．
[由A∩B＝，得m＝3，
所以A∪B＝.]
7．已知A＝，B＝，则A∩B＝________．
[由已知，得B＝，所以A∩B＝.]
8．设集合A＝，B＝，C＝，则B∩C的元素个数为________．
24 [由已知，得B＝，C＝{，1，，2，…，}，
所以B∩C＝，
所以，B∩C的元素个数为24.]
三、解答题
9．设集合A＝，B＝.
(1)求A∩B；
(2)若集合C＝，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．
[解] (1)由题意得，B＝，
又A＝{x|－1≤x＜3}，如图．
∴A∩B＝{x|2≤x＜3}．
(2)由题意得，C＝，
又B∪C＝C，故B?C，∴－＜2，∴a＞－4.
∴实数a的取值范围为{a|a＞－4}．
10．已知集合A＝，B＝.
(1)若A∩B＝?，求实数m的取值范围；
(2)若A∪B＝B，求实数m的取值范围．
[解] (1)B＝，
由A∩B＝?，得m≤－2.
(2)由A∪B＝B，得A?B，所以m≥4.
11．已知集合A＝，且B＝，则A∩B不可能是( )
A．
B．
C．
D．
C [由于2∈A∩B，故选C.]
12．设S，T是两个非空集合，且ST，TS，若X＝S∩T，则S∪X＝( )
A．?
B．T
C．S
D．X
C [由X＝S∩T知，X?S，所以S∪X＝S.]
13．已知全集A＝，B＝，若A∩B＝B，则a的取值范围为( )
A．－B．a≤－
C．a≤－1
D．a>－
C [因为A∩B＝B?B?A，所以，当B＝?时，a≤－，符合题意；当B≠?时，
，
解得－＜a≤－1，
所以a的取值范围为a≤－1.]
14．已知集合A＝{x|5x－a≤0}，B＝{x|6x－b＞0}，a，b∈N，且A∩B∩N＝{2，3，4}，则整数对(a，b)的个数为
________.
30 [5x－a≤0?x≤；6x－b＞0?x＞.要使A∩B∩N＝{2，3，4}，则，
即.
所以整数对(a，b)个数共有30.
15．已知集合A＝，B＝，求A∩B与A∪B.
[解] 当a<－2时，A∩B＝，A∪B＝{x|x>a}；
当－2≤a<2时，A∩B＝，A∪B＝{x|x>－2}；
当a≥2时，A∩B＝?，A∪B＝{x|－2a}．
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