§2 常用逻辑用语
2.1 必要条件与充分条件
学
习
目
标
核
心
素
养
1.结合具体实例，理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．(重点、难点)2．会求(判断)某些问题的必要条件、充分条件与充要条件．(重点)
1．通过必要条件、充分条件的判断，提升逻辑推理素养．2．借助必要条件、充分条件的应用，培养数学运算素养．
1．命题
(1)命题的定义：可以判断真假，用文字或符号表述的陈述句．
(2)命题的两种形式：“若p，则q”和“p是q”．
(3)“?”的意义：当命题“若p，则q”是真命题时，就说由条件p推出结论q，记作p?q.
思考1：命题可以是疑问句吗？
提示：不可以，疑问句不涉及真假，更无法判断真假．
2．必要条件与充分条件
命题真假
“若p，则q”是真命题
“若p，则q”是假命题
推出关系
p?q
pq
条件关系
p是q的充分条件q是p的必要条件
p不是q的充分条件q不是p的必要条件
思考2：(1)“p是q的充分条件”与“q是p的必要条件”所表示的推出关系是否相同？
(2)以下五种表述形式：①p?q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？
提示：(1)相同，都是p?q (2)等价
3．充要条件
(1)一般地，如果有p?q，且q?p，就记作p?q.此时，我们说，p是q的充分且必要条件，简称充要条件．
(2)若p?q，但qp，则称p是q的充分不必要条件．
(3)若q?p，但pq，则称p是q的必要不充分条件．
(4)若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．
思考3：如果一个命题及其逆命题均成立，那么原命题中的条件是结论的充要条件吗？
提示：是．
1．下列语句是命题的是( )
A．正方形是矩形
B．作直线AB
C．x是整数
D．明天会下雨吗
A [D不是陈述句，B、C无法判断真假．]
2．“同位角相等”是“两直线平行”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] C
3．使x>1成立的一个充分条件是( )
A．x>0
B．x<0
C．x>2
D．x<2
C [只有x>2?x>1，其他选项均不能推出x>1.]
4．如图所示的电路图中，“闭合开关A”是“灯泡B亮”的什么条件？
[解] 如图(1)，闭合开关A或者闭合开关C都可能使灯泡B亮．反之，若要灯泡B亮，不一定非要闭合开关A.因此“闭合开关A”是“灯泡B亮”的充分不必要条件．
如图(2)，闭合开关A而不闭合开关C，灯泡B不亮．反之，若要灯泡B亮，则开关A必须闭合，说明“闭合开关A”是“灯泡B亮”的必要不充分条件．
如图(3)，闭合开关A可使灯泡B亮，而灯泡B亮，开关A一定是闭合的，因此“闭合开关A”是“灯泡B亮”的充要条件．
如图(4)，闭合开关A但不闭合开关C，灯泡B不亮．反之，灯泡B亮也可不必闭合开关A，只要闭合开关C即可，说明“闭合开关A”是“灯泡B亮”的既不充分又不必要条件．
必要条件、充分条件的判断
【例1】 指出下列各题中p是q的什么条件．
(1)p：x＝1，q：x2＝1；
(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；
(3)p：a>b，q：ac>bc.
[思路点拨] 求解本题需注意以下两点：
(1)分清条件和结论；
(2)准确判断命题“若p，则q”及其逆命题的真假．
[解] (1)x＝1?x2＝1，但x2＝1x＝1，故p是q的充分不必要条件．
(2)两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等?两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件．
(3)a＞bac＞bc，ac＞bca＞b，故p是q的既不充分也不必要条件．
用定义判断必要条件、充分条件要注意
(1)分清条件与结论；
(2)既要考虑由条件能否推出结论，即充分性；也要考虑由结论能否推出条件，即必要性．
1．指出下列各题中p是q的什么条件
(1)在△ABC中，p：AB＝AC，q：∠B＝∠C；
(2)p：x＝2，q：x>1；
(3)p：a>b，q：>1.
[解] (1)由等腰三角形的性质定理与判定定理知，p是q的充要条件．
(2)x＝2?x>1，但x>1x＝2，故p是q的充分不必要条件．
(3)当b<0时，由a>b，可得<1，由>1，可得a
必要条件、充分条件的应用
[探究问题]
记集合A＝，B＝，
1．若A?B，则p是q的什么条件？A?B呢？
提示：若A?B，则p是q的充分条件．若A?B，则p是q的必要条件．
2．若p是q的充分条件，则集合A与B有何关系？p是q的必要条件呢？
提示：若p是q的充分条件，则A?B.若p是q的必要条件，则A?B.
【例2】 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
[思路点拨] 从以下两点考虑：
(1)从集合角度认识条件与结论的关系；
(2)由集合之间的包含关系，寻找m满足的条件．
[解] 由p是q的充分不必要条件，得集合{x|－2≤x≤10}是集合{x|1－m≤x≤1＋m}的真子集，
所以
，或
，
解得m≥9.
所以实数m的取值范围是m≥9.
1．把本例中的“p是q的充分不必要条件”改为“p是q的必要不充分条件”，其他条件不变，试求实数m的取值范围．
[解] 由p是q的必要不充分条件，得集合是集合{x|－2≤x≤10}的真子集，
当＝?，即m<0时，符合题意；
当≠?，即m≥0时，
可得
，或
，
解得0≤m≤3.
综上得，实数m的取值范围是m≤3.
2．本例中，是否存在实数m，使p是q的充要条件，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
[解] 若p是q的充要条件，
则＝，
即
，
由于该方程组无解，所以实数m不存在．
利用必要条件与充分条件求参数的取值范围
(1)化简p与q；
(2)把p与q之间的关系转化为相应集合之间的关系；
(3)利用集合之间的关系建立不等式；
(4)解不等式求参数的取值范围．
充要条件的探求与证明
【例3】 求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是<0.
[思路点拨] 从“充分性：条件?结论”与“必要性：结论?条件”两个方面证明．
[证明] ①必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以两根之积小于零，即<0.
②充分性：由<0，得ac<0，所以Δ＝b2－4ac>0，所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，设这两个实根分别为x1，x2，由一元二次方程根与系数的关系得x1x2＝<0，
所以两根异号．
综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是<0.
1.数学概念的定义通常是充要条件的形式，既是概念的判断依据，又给出了概念的性质．
2.证明命题条件成立的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性).
提醒：证明时，要分清条件与结论．
2．求证：关于x的方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0有一根为1的充要条件是a＋b＋c＋d＝0.
[证明] 充分性：∵a＋b＋c＋d＝0，
∴a×13＋b×12＋c×1＋d＝0成立，
故x＝1是方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0的一个根．
必要性：关于x的方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0有一个根为1，∴a＋b＋c＋d＝0，综上所述，关于x的方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0有一根为1的充要条件是a＋b＋c＋d＝0.
1．必要条件与充分条件的判断方法
(1)定义法：通过判断原命题与其逆命题的真假来判断．这是基本方法．
(2)集合法：利用条件与结论对应的集合之间的关系来判断，这种方法有一定的局限性．
2．必要条件与充分条件的应用
利用必要条件与充分条件可以使问题得到转化，有助于找到解题思路．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．
( )
(2)q不是p的必要条件时，pq.
( )
(3)若q是p必要条件，则当q成立时，p也成立．
( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
2．下列选项中，p是q的充要条件的是( )
A．p：3x＋2>5，q：－2x－3>－5
B．p：a>2，b<2，q：a>b
C．p:
四边形的对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形
D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有唯一解
D [若a≠0，则方程ax＝1有唯一解x＝；若方程ax＝1有唯一解，则a≠0.选项A、B、C可举反例排除．]
3．在判断定理中，条件是结论的________条件．
[答案] 充分
4．已知p：x－3<0是q：2x－3[解] 由x－3<0，得x<3；由2x－3因为p是q的充分不必要条件，所以集合真包含于集合，
所以3<，解得m>3.
8课时分层作业(五) 必要条件与充分条件
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．“x>0”是“x≠0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
A [若x>0，则x≠0.
若x≠0，则x＞0或x＜0，
所以x>0是x≠0的充分不必要条件，
故选A.]
2．设集合M＝，N＝，则“a＝1”是“N?M”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
A [当a＝1时，N＝{1}?M，满足充分性；而当N＝{a2}?M时，可得a＝1或a＝－1或a＝或a＝－，不满足必要性，故选A.]
3.
“＝”是“x＝y”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
B [若x＝－y＝1，则＝.但x≠y
若x＝y，则＝，
所以＝是x＝y的必要不充分条件，故选B.]
4．下列条件中，是“x2<4”的必要不充分条件的是( )
A．1B．－2C．0D．－2≤x≤2
D [由x2<4，得－25．若a∈R，则“a<1”是“>1”成立的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [由>1，得01”的必要不充分条件，故选B.]
二、填空题
6．在△ABC中，“∠B＝∠C”是“△ABC是等腰三角形”的________条件．
[答案] 充分不必要
7．若“1－x<0”是“x>a”的充分条件，则实数a的取值范围是________．
a≤1 [由题意得，?，故a≤1.]
8．在下列四个结论中，正确的是________．(填上你认为正确的所有序号)
①“x≠0”是“x＋|x|＞0”的必要不充分条件；
②已知a，b∈R，则“|a＋b|＝|a|＋|b|”的充要条件是ab＞0；
③“a≠0，Δ＝b2－4ac＜0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0无实数根”的充要条件；
④“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件．
①③ [对于①，当x<0时，x＋＝0，且当x＋|x|＞0时，x＞0，可推出x≠0，故①对；
对于②，当ab＝0时，＝＋，故②错；
对于④，当x＝－1时，x2＝1，故④错；
只有①③正确．]
三、解答题
9．是否存在实数m，使2x＋m<0是x2>1的充分条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
[解] 由x2>1，得x>1或x<－1，
要使2x＋m<0是x2>1的充分条件，
只需?，
即只需－≤－1，解得m≥2
所以，存在实数m≥2，使2x＋m<0是x2>1的充分条件．
10．求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件是m≥2.
[证明] (1)充分性：因为m≥2，所以Δ＝m2－4≥0，
方程x2＋mx＋1＝0有实根，设两个实根为x1，x2，
由根与系数的关系知x1x2＝1>0，
所以x1、x2同号；
又因为x1＋x2＝－m≤－2，
所以x1、x2同为负根．
(2)必要性：因为x2＋mx＋1＝0的两个实根x1、x2均为负，且x1x2＝1，
所以m－2＝－(x1＋x2)－2＝－(x1＋)－2＝－
eq
\f(x＋2x1＋1,x1)＝－≥0，
所以m≥2，
综合(1)，(2)知命题得证．
11．已知U是全集，p：A∪B＝U，q：?UA＝B.则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [当A∩B≠?时，?UA≠B，即A∪B＝U?UA＝B，且?UA＝B?A∪B＝U，所以p是q的必要不充分条件．]
12．设a，b∈R,
则
“(a－b)a2<0”是“aA．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [若(a－b)a2<0，则a－b<0，即a若0＝a所以(a－b)a2<0是a13．如果对于任意实数x，＜x＞表示不小于x的最小整数，例如＜1.1＞＝2，＜－1.1＞＝－1，那么“|x－y|＜1”是“＜x＞＝＜y＞”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [∵＜x＞＝＜y＞?|x－y|＜1，而取x＝1.9，y＝2.1时，|x－y|＜1，但＜x＞＝2≠＜y＞＝3.
故选B.]
14．已知集合A＝{x|x>5}，集合B＝{x|x>a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．
a<5 [由题意得，A是B的真子集，故a<5.]
15．求证：方程x2＋ax＋1＝0(x∈R)的两实根的平方和大于3的必要条件是|a|>，这个条件是其充分条件吗？为什么？
[证明] ∵方程x2＋ax＋1＝0(a∈R)有两实根，
则Δ＝a2－4≥0，∴a≤－2或a≥2.
设方程x2＋ax＋1＝0的两实根分别为x1、x2，
则，x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝a2－2≥3.
∴|a|≥>.
∴方程x2＋ax＋1＝0(a∈R)的两实根的平方和大于3的必要条件是|a|>；
但a＝2时，x＋x＝2≤3.因此这个条件不是其充分条件．
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