2.2 全称量词与存在量词
学
习
目
标
核
心
素
养
1．通过实例理解全称量词与存在量词的意义．(重点)2．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(重点、易混点)3．能判断全称量词命题与存在量词命题的真假．(重点、难点)
1．通过对含量词的命题的否定，培养逻辑推理素养．2．借助含量词的命题的应用，培养数学运算素养．
1．全称量词与全称量词命题
(1)全称量词：在命题中，诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词，用符号“?”表示．读作“对任意的”
(2)全称量词命题：在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题．
思考1：“相似三角形是全等三角形”是否是全称量词命题？
提示： 该命题是全称量词命题，只不过省略了全称量词．
2．存在量词与存在量词命题
(1)存在量词：在命题中，诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词，用符号“?”表示，读作“存在”．
(2)存在量词命题：在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题．
思考2：“不等式x2－1<0有解”是全称量词命题还是存在量词命题？用符号表示该命题。
提示：是存在量词命题，可表示为“?x∈R，x2－1<0”．
3．全称量词命题与存在量词命题的否定
命题p
命题p的否定
?x∈M，p
?x∈M，x不具有性质p(x)
?x∈M，p
?x∈M，x不具有性质p(x)
思考3：含有一个量词的命题和它的否定一定是一真一假吗？
提示：一定是一真一假．
1．下列命题中是全称量词命题的个数( )
①任意一自然数都是正整数 ②有些菱形是正方形 ③三角形内角和是180°
A．0 B．1 C．2 D．3
[答案] C
2．下列四个命题中的真命题是( )
A．?x0∈Z，1<4x0<3
B．?x0∈Z，2x0－1＝0
C．?x∈R，x2－1＝0
D．?x∈R，x2＋1>0
D [?x∈R，x2≥0?x2＋1≥1>0.]
3．命题“?x∈R，x2≥0”的否定是________．
[答案] ?x∈R，x2<0
4．写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)?x∈R，x不是5x－12＝0的根；
(2)有些质数是奇数；
(3)?x∈R，|x|＞0.
[解] (1)?x0∈R，使x0是5x－12＝0的根，真命题．
(2)每一个质数都不是奇数，假命题．
(3)?x∈R，|x|≤0，假命题．
全称量词命题与存在量词命题的判断
【例1】 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假．
(1)对任意实数x，都有x2＋2>0.
(2)存在x0∈R，使2x0＋1＝3.
(3)至少有一个自然数小于0.
(4)对每一个无理数x，x2也是无理数．
[思路点拨] 根据命题中出现的量词或者隐含的量词判断命题类型．
[解] (1)是全称量词命题，真命题；
(2)是存在量词命题，真命题；
(3)是存在量词命题，假命题；
(4)是全称量词命题，假命题．
1．判断一个命题是全称量词命题，还是存在量词命题，主要看命题中是否含有全称量词，或者存在量词，有些全称量词命题虽然不含全称量词，但是可以根据命题的意义去判断．
2．存在量词命题真假的判断
要判断存在量词命题“存在x∈M，p”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使得p成立即可；如果在集合M中，使得p成立的x不存在，那么这个存在量词命题就是假命题．
1．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假．
(1)任意一个二次函数的图象都与y轴相交；
(2)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被3整除；
(3)所有的素数都是奇数；
(4)三角形都有外接圆．
[解] (1)是全称量词命题，真命题．
(2)是存在量词命题，真命题．
(3)是全称量词命题，假命题．
(4)是全称量词命题，真命题．
含有一个量词的命题的否定
【例2】 (1)命题“?x≥0，x3＋x≥0”的否定是( )
A．?x<0，x3
＋
x<
0
B．?x<0，x3＋
x≥0
C．?x≥0，x3＋
x<
0
D．?x≥0，x3＋
x<
0
(2)命题“存在x∈Z，x2＋2x＋m≤0”的否定是( )
A．存在x∈Z，x2＋2x＋m>0
B．不存在x∈Z，x2＋2x＋m>0
C．对任意x∈Z，x2＋2x＋m≤0
D．对任意x∈Z，x2＋2x＋m>0
[思路点拨] 从以下两点考虑：
(1)分清是全称量词命题还是存在量词命题．
(2)改变量词并且否定结论．
[答案] (1)C (2)D
含有一个量词的命题的否定
(1)首先找到命题中的量词与结论，然后把全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．
(2)对于省略量词的命题，通常省略的是全称量词，先补上相应的量词，再进行否定．
2．写出下列命题的否定并判断其真假：
(1)若x>0，则x2>0；
(2)矩形的对角线相等；
(3)若集合A是集合B的真子集，则存在x∈B，使得xA；
(4)至少有一个实数x，使x2＋
1
＝
0.
[解] (1)存在x>0，使得x2≤0
，为假命题．
(2)存在一个矩形，它的对角线不等，为假命题．
(3)若集合A是集合B的真子集，则对任意x∈B，都有x∈A，为假命题．
(4)对任意x∈R，都有x2＋1≠0，为真命题．
全称量词命题与存在量词命题的应用
【例3】 已知?x∈R，x2＋2x＋1≥m，求实数m的取值范围．
[思路点拨] 将其转化为函数的最值问题来求解．
[解] 令y＝x2＋2x＋1，x∈R，则y＝，x∈R，所以其最小值为0.
要使?x∈R，x2＋2x＋1≥m，只需m≤0，
所以，实数m的取值范围是m≤0.
1．将例3中的条件“?x∈R，都有x2＋2x＋1≥m”改为“?x∈R，使得x2＋2x＋1≤m”，求实数m的取值范围．
[解] 令y＝x2＋2x＋1，x∈R，
则y＝，x∈R，所以其最小值为0.
要使?x∈R，x2＋2x＋1≤m，只需m≥0，
所以，实数m的取值范围是m≥0.
2．已知命题“存在x∈R，使得2x2＋(a－1)x＋≤0”是假命题，求实数a的取值范围．
[解] 由已知得，命题“对任意x∈R，2x2＋(a－1)x＋＞0”是真命题，
所以Δ＝(a－1)2－4＜0，
解得－1＜a＜3.
求解含有量词的命题中的参数取值范围的策略
1.对于全称量词命题“?x∈M，y>a(或y
2.对于存在量词命题“?x∈M，y>a(或y1．判断一个命题是全称量词命题，还是存在量词命题，主要看命题中含有哪种量词，如果命题中省略了量词，通常省略的是全称量词．
2．要判断全称量词命题“任意x∈M，p”是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p不成立，那么这个全称命题就是假命题；要判断存在量词命题“存在x∈M，p”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使得p成立即可；如果在集合M中，使得p成立的x不存在，那么这个存在量词命题就是假命题．
3．含有一个量词的命题的否定的模式是固定的，把全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，并把结论否定．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)“正方形都是矩形”是全称量词命题．
( )
(2)“?x∈R，x＋≥2”是真命题．
( )
(3)若“?x∈M，具有性质p(x)”是真命题，则“?x∈M，不具有性质p(x)”是假命题．
( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√
2．“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( )
A．不存在x∈R，使x3－x2＋1≤0
B．存在x∈R，使x3－x2＋1≤0
C．存在x∈R，使x3－x2＋1＞0
D．对任意的x∈R，都有x3－x2＋1>0
[答案] C
3．给出四个命题：①偶数都能被2整除；②实数的绝对值大于0；③存在一个实数x，使x＋≤－2；④对顶角相等，其中既是全称量词命题又是假命题的是________．
[答案] ②
4．若“?x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求实数m的取值范围．
[解] 由已知，得“?x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，
所以Δ＝22－4m<0，解得，m>1，
所以，实数m的取值范围是m＞1.
7课时分层作业(六) 全称量词与存在量词
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．下列命题中是存在量词命题的是( )
A．平行四边形的对边相等
B．同位角相等
C．任何实数都存在相反数
D．存在实数没有倒数
[答案]
D
2．将命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称量词命题为( )
A．对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立
B．存在x，y∈R，使x2＋y2≥2xy成立
C．对任意x＞0，y＞0，都有x2＋y2≥2xy成立
D．存在x＜0，y＜0，使x2＋y2≤2xy成立
A [本题中的命题仅保留了结论，省略了条件“任意实数x，y”，改成全称命题为：对任意实数x，y，都有x2＋y2≥2xy成立．]
3.
已知命题p：?n∈N，2n＞1000，则p的否定为( )
A．?n∈N，2n≤1000
B．?n∈N，2n＞1000
C．?n∈N，2n≤1000
D．?n∈N，2n＜1000
A [存在量词命题的否定是全称量词命题，“＞”的否定是“≤”，故选A.]
4．设x∈Z，A是奇数集，B是偶数集，则“?x∈A，2x∈B”的否定是( )
A．?x∈A，2xB
B．?xA，2xB
C．?xA，2x∈B
D．?x∈A，2xB
[答案] D
5．下列命题中的假命题是( )
A．?x∈R，x3≤0
B．?x∈R，<0
C．?x∈R，x2≥0
D．?x∈R，>0
D [当x＝－1时，＝0，故选D.]
二、填空题
6．将“方程x2＋1＝0无实根”改写成含有一个量词的命题的形式，可以写成________．
[答案] ?x∈R，x2＋1≠0
7．“对任意x∈R，若y>0，则x2＋y>0”的否定是________．
[答案] 存在x∈R，若y>0，则x2＋y≤0
8．对于命题：①任意x∈N，都有x2>0；②任意x∈Q，都有x2∈Q；③存在x∈Z，x2>1；④存在x，y∈R，使|x|＋|y|>0，其中是全称量词命题并且是真命题的是________．(填序号)
② [只有①②是全称量词命题，当x＝0时，x2＝0，所以①是假命题．]
三、解答题
9．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假．
(1)所有的实数a、b，方程ax＋b＝0恰有惟一解．
(2)存在实数x，使＝.
[解]
(1)该命题是全称量词命题．
当a＝0，b＝0时方程有无数解，故该命题为假命题．
(2)该命题是存在量词命题．
∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，
∴≤<.
故该命题是假命题．
10．已知命题“对任意x∈R，x2－5x＋a＞0”的否定为假命题，求实数a的取值范围．
[解] 由“对任意x∈R，x2－5x＋a＞0”的否定为假命题，可知命题“对任意x∈R，x2－5x＋a＞0”必为真命题，即不等式x2－5x＋a＞0对任意实数x恒成立．
设y＝x2－5x＋a，则其图象恒在x轴的上方．
故Δ＝25－4×a＜0，解得a＞，即实数a的取值范围为a＞.
11．下列全称量词命题中真命题的个数是( )
①末位是零的整数，可被5整除
②角平分线上任意一点到这个角的两边的距离相等
③?x∈Z，2x2＋1是奇数
A．0 B．1 C．2 D．3
[答案] D
12．命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是( )
A．所有不能被2整除的数都是偶数
B．所有能被2整除的数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的数是偶数
D．存在一个能被2整除的数不是偶数
D [把全称量词改为存在量词，并把结果否定．]
13．命题：“对任意k>0，方程x2＋x－k＝0有实根”的否定是( )
A．对任意k≤0，方程x2＋x－k＝0有实根
B．对任意k≤0，方程x2＋x－k＝0无实根
C．存在k>0，使方程x2＋x－k＝0无实根
D．存在k>0，使方程x2＋x－k＝0有实根
C [“对任意k>0，方程x2＋x－k＝0有实根”的否定是“存在k>0，使方程x2＋x－k＝0无实根”，故选C.]
14．若“?x∈R，x2＋3x＋m＝0”是真命题，则实数m的取值范围是________．
m≤ [由已知，得Δ＝32－4m≥0，解得，m≤，
所以，实数m的取值范围是m≤.]
15．已知“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，求实数a的取值范围．
[解] 根据题意得，ax2－2ax－3≤0恒成立，
当a＝0时，－3≤0成立；
当a≠0时，，解得－3≤a<0，
故－3≤a≤0.
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