§3 不等式
3.1 不等式的性质
学
习
目
标
核
心
素
养
1.掌握实数大小的比较方法．(重点)2．掌握不等式的性质．(重点)3．能利用不等式的性质对不等式进行简单的变形．(重点、难点)
1．通过实数大小的比较及不等式性质的证明，培养逻辑推理素养．2．借助不等式性质的应用，提升数学运算素养．
1．实数a，b大小的比较
设a，b∈R，则
(1)a>b?a－b＞0；(2)a＝b?a－b＝0;_(3)a
2．不等式的基本性质
性质
性质内容
注意
传递性
a＞b，且b＞c?a＞c
?
可加性
a＞b?a＋c＞b＋c
?
可乘性
a>b，且c>0?ac＞bc
c的符号
a>b，且c<0?ac＜bc
加法法则
a>b，且c>d?a＋c＞b＋d
?
乘法法则
如果a>b>0，c>d>0?ac＞bd＞0；如果a＞b＞0，c＜d＜0?ac＜bd＜0
?
思考：若ab≠0，则a>b?<成立吗？
提示：当a，b同号时成立，异号时不成立．
1．若a>b，c>d，则下列不等关系中不一定成立的是( )
A．a－b>d－c
B．a＋d>b＋c
C．a－c>b－c
D．a－c[答案] B
2．与a>b等价的不等式是( )
A．>
B．a2>b2
C．>1
D．a3>b3
D [可以用赋值法，令a＝－1，b＝－2，可知选项A、B、C错误，故选D.]
3．已知a<0，－1a＜ab2＜ab [因为－1＜b＜0，所以1＞b2＞b，又因为a＜0，所以a＜ab2＜ab.]
4．已知a≠b，试比较a2＋b2与2ab的大小．
[解] 因为a2＋b2－2ab＝，
又a≠b，
所以>0，即a2－ab＋b2－ab>0.
所以a2＋b2>2ab.
作差法比较两实数大小
【例1】 已知－，D＝，试比较A，B，C，D的大小．
[思路点拨] 先通过赋值估计A、B、C、D的大小，再用作差比较法比较．
[解]
注意到－这时A＝，B＝，C＝，D＝，
由此猜测：C>A>B>D.
下面再来证明这个结论：
C－A＝－(1＋a2)＝
＝.
∵1＋a>0，－a>0，＋>0，∴C>A.
∵A－B＝(1＋a2)－(1－a2)＝2a2>0，
∴A>B.
B－D＝1－a2－＝
＝.
∵－∴1－a>0，－<－<0，
∴B>D.
综上：C>A>B>D.
1．要比较多个式子的大小，为避免盲目性，可通过赋值估计各式的大小关系，再用作差比较法比较．
2．作差比较法中关键的一步是对差变形，常见的变形有通分、分解、配方等，变形的目的是有利于判断差的符号．
1．设m∈R，x∈R，比较x2－x＋1与－2m2－2mx的大小．
[解] ∵(x2－x＋1)－(－2m2－2mx)＝x2＋(2m－1)x＋(2m2＋1)
＝x2＋(2m－1)x＋＋2m2＋1－
＝＋m2＋m＋
＝＋＋－
＝＋＋≥>0，
∴x2－x＋1>－2m2－2mx.
对不等式性质的理解
【例2】 下面的推理过程?ac＞bd?＞，其中错误之处的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
[思路点拨] 考虑不等式性质成立的条件．
D [①a>b推不出ac>bc，②c>d推不出bc>bd，③ac>bd推不出>.]
1．应用不等式的性质解题时，要注意不等式的性质成立的条件，否则，会出现错误．
2．不等式的性质是对不等式变形的依据，根据变形的需要，合理选择不等式的性质．
2．下列命题中，真命题有( )
①若a>b>0，则<；
②若a>b，则c－2a③若a>b，e>f，则f－ac④若a>b，则<.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
B [只有①②为真命题，故选B.]
不等式的性质的应用
[探究问题]
1在解一元一次不等式时，其中“移项”与“系数化为1”的依据分别是什么？
提示：不等式的可加性与可乘性．
2．要证明A>C，只需证明A>B，且B>C，这种证明不等式的方法叫作放缩法，放缩法的依据是什么？
提示：不等式的传递性
【例3】 已知12＜a＜60，15＜b＜36，求a－b，的取值范围．
[思路点拨] 欲求a－b与的取值范围，应先求－b与的取值范围，再进一步求a－b，的取值范围．
[解] ∵15＜b＜36，∴－36＜－b＜－15.
又12＜a＜60，
∴12－36＜a－b＜60－15.
∴－24＜a－b＜45.
又＜＜，∴＜＜.
∴＜＜4.
1．在例3的条件下，求a－b的取值范围．
[解]
∵12＜a＜60，15＜b＜36，
∴6∴－62．若将本例中的条件改为“2≤a－b≤4，1≤a＋b≤2”，求2a－b的取值范围．
[解]
设2a－b＝m(a－b)＋n(a＋b)，
即2a－b＝(m＋n)a＋(n－m)b.
于是，解得
∴2a－b＝＋.
又∵2≤a－b≤4，1≤a＋b≤2，
∴≤＋≤7.
即≤2a－b≤7.
求代数式的范围时，先用已知的代数式表示目标式，再利用“若等式恒成立，则等式两边对应项系数相等”求出待定系数的取值，最后利用不等式的性质求出目标式的范围．
1．要比较多个式子的大小，为避免盲目性，可通过赋值估计各式的大小关系，再用作差比较法比较．
2．不等式的性质是对不等式变形的依据，在应用不等式的性质时，一定要注意其前提条件．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)不等式
x≥2
的含义是指x不小于2.
( )
(2)若
a>b，则ac>bc.
( )
(3)当n∈N
时，若a>b，则an>bn.
( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．设P＝3x2－x＋1，Q＝2x2＋x则( )
A．P≥Q
B．P≤Q
C．P>Q
D．PA [因为P－Q＝x2－2x＋1＝≥0，所以P≥Q.]
3．已知A＝a2＋b2－4a＋2b＋5，则A与0的大小关系是________．
A≥0 [A＝a2＋b2－4a＋2b＋5＝＋≥0.]
4．若x＜y＜0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小．
[解] (x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝－2xy(x－y).
∵x＜y＜0，∴xy＞0，x－y＜0，
∴－2xy(x－y)＞0，
∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y).
7课时分层作业(七) 不等式的性质
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．限速40
km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40
km/h，写成不等式就是( )
A．v<40
B．v≤40
C．v>40
D．v≥40
B [不超过即小于或等于．]
2．已知a>b>c>0，若P＝，Q＝，则( )
A．P≥Q
B．P≤Q
C．P>Q
D．PD [由a>b>c>0，得a－c>b－c>0，①
>>0，②
两式相乘得，>.则P3．已知－1<α<0，1<β<2，则－β的范围为( )
A．
B．
C．(－1，0)
D．(－1，1)
A [－<<0，－2<－β<－1，
同向不等式相加，得－<－β<－1.]
4．若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“b＜”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
D [∵0＜ab＜1，∴a，b同号．
当a，b同正时，由0＜ab＜1易得b＜；
当a，b同负时，由0＜ab＜1易得b＞.
因此0＜ab＜1b＜；
反过来，由b＜得，b－＜0，即＜0，
即或
因此b＜0＜ab＜1.
综上知“0＜ab＜1”是“b＜”的既不充分也不必要条件．]
5．已知a>2，b>2，则有( )
A．ab≥a＋b
B．ab≤a＋b
C．ab>a＋b
D．abC [ab－(a＋b)＝ab－(a＋b)＋1－1＝(a－1)(b－1)－1，
又由a>2，b>2，得(a－1)(b－1)>1，
因此，ab>a＋b.]
二、填空题
6．b克糖水中有a克糖(b＞a＞0)，若再加入m克糖(m＞0)，则糖水更甜了，试根据这个事实写出一个不等式________．
[答案]
>
7．已知1＜a＜2，3＜b＜5，则的取值范围是________．
＜＜ [∵3＜b＜5，
∴＜＜.又1＜a＜2，
∴＜＜.]
8．设a＝2－，b＝－2，c＝5－2，则a，b，c之间的大小关系为________．
c>b>a [a＝2－＝－<0，b＝－a>0，c＝－>0，
由b－c＝3－7＝－<0，得b所以c>b>a.]
三、解答题
9．已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac[证明] ∵a>b，c>0，
∴ac>bc.∴－bc>－ac.又∵e>f，
∴e－bc>f－ac.即f－ac10．已知a、b、c是实数，试比较a2＋b2＋c2与ab＋bc＋ca的大小．
[解] ∵a2＋b2＋c2－(ab＋bc＋ca)＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0，
当且仅当a＝b＝c时取等号，
∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
11．若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是( )
A．＜
B．a2＞b2
C．＞
D．a|c|＞b|c|
C [法一：(特殊值法)
令a＝1，b＝－2，c＝0，代入A，B，C，D中，可知A，B，D均错．故选C.
法二：(直接法)
∵a＞b，c2＋1＞0，∴＞.故选C.]
12．若a>b>0，则下列不等式中一定成立的是( )
A．a＋>b＋
B．a－>b－
C．>
D．>
A [由已知a>b>0及不等式的基本性质易得a＋>b＋，故选A.]
13．若a，b为实数，则ab(a－b)<0成立的一个充要条件是( )
A．0<<
B．0<<
C．<
D．<
D [ab(a－b)<0?<0，即－<0?<.]
14．若x＞y，a＞b，则在①a－x＞b－y；②a＋x＞b＋y；③ax＞by；④x－b＞y－a；⑤＞这五个式子中，恒成立的不等式的序号是________．
②④ [若x＞y，a＞b，则－x＜－y，∴a－y＞b－x.
若x＞y,
a＞b，则－b＞－a，∴x－b＞y－a，
若x＞y，a＞b，则推不出ax＞by.
若x＞y，a＞b，推不出＞.
综上，①③⑤错误，②④正确．]
15．有三个实数m、a、b(a≠b)，如果在a2(m－b)＋m2b中，把a和b互换，所得的代数式的值比原式的值小，那么关系式a＜m＜b是否可能成立？请说明你的理由．
[解] 不妨设P＝a2(m－b)＋m2b，Q＝b2(m－a)＋m2a.
由题意知Q＜P，即Q－P＜0.
∴b2(m－a)＋m2a－a2(m－b)－m2b＜0，
(a－b)m2＋(b2－a2)m＋ab(a－b)＜0.
∴(a－b)(m－a)(m－b)＜0.(
)
若a＜m＜b成立，则a＜b，
这时不等式(
)的解为m＞b或m＜a，矛盾．
故a＜m＜b不可能成立．
1