课时分层作业(八) 基本不等式的简单应用
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．设s＝a＋b2＋1，t＝a＋2b，则s与t的大小关系是( )
A．s≥t
B．s>t
C．s≤t
D．s
A [∵
b2＋1≥2b.∴s≥t]
2．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是( )
A．a＝±1
B．a＝1
C．a＝－1
D．a＝0
B [由a2＋1＝2a，得a＝1，即a＝1时，等号成立．]
3．已知a>0，b>0，则下列不等式中错误的是( )
A．ab≤
B．ab≤
C．≥
D．≤
D [由基本不等式知A、C正确，由重要不等式知B正确，由
≥得，ab≤∴≥，故选D.]
4．下列各不等式：①a2＋1>2a；②|x＋|≥2；③≤2；④x2＋≥1，其中正确的个数是( )
A．3 B．2 C．1 D．0
B [仅②④正确．]
5．若0A．a＋b
B．2
C．a2＋b2
D．2ab
A [由0又2≤a＋b，2ab≤a2＋b2，
则最大的是a＋b.]
二、填空题
6．已知a>0，b>0，a＋2b＝2，则ab的最大值是________．
[因为a＋2b≥2.所以2≤2，所以ab≤，当且仅当a＝2b＝1时取等号．]
7．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为________．
x≤ [用两种方法求出第三年的产量分别为
A(1＋a)(1＋b)，A(1＋x)2，则有(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b).
∴1＋x＝≤＝1＋，
∴x≤.当且仅当a＝b时等号成立．]
8．设a，b为非零实数，给出不等式：
①≥ab；②≥；③≥；④＋≥2.
其中恒成立的不等式的序号是________．
①② [由重要不等式a2＋b2≥2ab可知，①正确；
＝≥＝＝，故②正确；
对于③，当a＝b＝－1时，不等式的左边为＝－1，右边为＝－，可知③不正确；
令a＝1，b＝－1可知④不正确．]
三、解答题
9．已知x，y，z是互不相等的正数，
求证：x＋，y＋，z＋中，至少有一个大于2.
[证明] ∵＋＋＝＋＋>2
＋2
＋2
＝6
∴x＋，y＋，z＋中，至少有一个大于2.
10．设a、b、c均为正数，求证＋＋≥a＋b＋c.
[证明]
∵a、b、c均是正数，∴，，均是正数，
∴＋≥2c，＋≥2a，＋≥2b，
三式相加得：
2≥2(a＋b＋c)，
∴＋＋≥a＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时取等号．
11．下列不等式一定成立的是( )
A．x＋≥2
B．≥2
C．＋≥2
D．≤
B [＝＋≥2，故选B.]
12．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( )
A．a2＋b2>2ab
B．a＋b≥2
C．＋>
D．＋≥2
D [当a＝b时，a2＋b2＝2ab，故A不成立；当a，b均小于零时，B，C不成立；由ab>0，得，均大于零，由基本不等式得＋≥2＝2.]
13．设x＞0，y＞0，x＋y＝1，则＋≤a恒成立的a的最小值是( )
A． B．
C．2 D．2
B [(＋)2＝1＋2≤1＋1＝2，当且仅当x＝y＝时，取等号，所以a≥，故选B.]
14．设a>0，b>0，称为a，b的调和平均数．如图，C为线段AB上的点，且AC＝a，CB＝b，O为AB中点，以AB为直径做半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D.连接OD，AD，BD.过点C作OD的垂线，垂足为E.则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段_____的长度是a，b的几何平均数，线段____的长度是a，b的调和平均数．
CD DE [在Rt△ADB中DC为高，则由射影定理可得CD2＝AC·CB，
故CD＝，即CD的长度为a，b的几何平均数，
将OC＝a－＝，CD＝，OD＝代入OD·CE＝OC·CD
可得CE＝
故OE＝＝，
所以ED＝OD－OE＝，
故DE的长度为a，b的调和平均数．]
15．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：
(1)＋≥4；(2)＋＋≥8.
[证明] (1)∵a>0，b>0，a＋b＝1，
∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4(当且仅当a＝b＝时等号成立)，
∴＋≥4，
∴原不等式成立．
(2)∵a>0，b>0，a＋b＝1，
∴＋＋＝＋＋＝4＋2(＋)≥4＋4
＝8(当且仅当a＝b＝时等号成立)，
∴＋＋≥8，
∴原不等式成立．
13.2 基本不等式
第1课时 基本不等式的简单应用
学
习
目
标
核
心
素
养
1.理解重要不等式的证明和基本不等式的证明过程．(重点)2．能利用重要不等式与基本不等式证明简单的不等式．(难点)
1．通过不等式的证明，培养逻辑推理素养．2．借助重要不等式与基本不等式的应用，提升数学运算素养．
1．两个不等式
不等式
条件
结论
等号成立的条件
重要不等式
a，b∈R
≥ab
当且仅当a＝b时
基本不等式
a≥0，b≥0
≥
当且仅当a＝b时
2.基本不等式的文字表述
称为a，b的算术平均值；称为a，b的几何平均值．
因此，基本不等式又称为均值不等式，可用文字表述为：两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值．
思考：不等式a＋≥2一定成立吗？为什么？
提示：不一定成立，例如当a＝－1时，a＋＝－2，不等式不成立，事实上，当a>0时，a＋≥2，当a<0时，a＋≤－2.
1．a，b是正数，则，，三个数的大小顺序是( )
A．≤≤
B．≤≤
C．≤≤
D．≤≤
C [≤＝≤.]
2．若0A． B．a2＋b2 C．2ab D．a
B [由<＝，得ab<，∴2ab<；
a2＋b2＝a2＋＝2＋>；
a<＝，故选B.]
3．若a＞0，b＞0且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是( )
A．＞
B．＋≤1
C．≥2
D．≤
D [取a＝1，b＝3知A，B，C均不正确，
又因为a2＋b2≥2ab?a2＋b2≥＝8?≤，故选D.]
4．已知a＞0，b＞0，c＞0，d＞0.求证：＋≥4.
[证明]
＋＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)≥2＋2＝4(当且仅当a＝b且c＝d时，取“＝”).
故＋≥4.
对基本不等式的理解
【例1】 在下列的结论中，正确的序号是________．
①当x>0时，x＋≥4.
②当x<0时，x＋≤－4.
③＋≥2.
④ab≤≤.
[思路点拨] 从重要不等式与基本不等式成立的的条件以及等号成立的条件考虑．
①②④ [当ab<0时，＋≤－2，故③错误；
当x<0时，x＋＝－≤－2＝－4，
当且仅当x＝－2时，取“＝”．故②正确；
又①④正确，故正确的是①②④.]
1．基本不等式≥(a≥0，b≥0)反映了两个非负数的和与积之间的关系．
2．对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：
(1)定理成立的条件是a、b都是非负数．
(2)等号成立的条件是a＝b.
1．若a＞0，b＞0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是________．(写出所有正确命题的编号).
①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2;
④a3＋b3≥3；⑤＋≥2
①③⑤ [对于命题①由2＝a＋b≥2，得ab≤1，命题①正确；
对于命题②令a＝b＝1时，不成立，所以命题②错误；
对于命题③a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝4－2ab≥2，命题③正确；
对于命题④令a＝b＝1时，不成立，所以命题④错误；
对于命题⑤＋＝＝≥2，命题⑤正确．
所以正确的结论为①③⑤.]
利用基本不等式比较大小
【例2】 已知a>b>c，则与的大小关系是________．
[思路点拨] 从＝入手．
≤ [
＝≥，当且仅当a－b＝b－c时，等号成立．]
1．若给定的代数式中既有“和式”又有“积式”，可考虑能否利用基本不等式来求解．
2．有时利用基本不等式并不能完全解决问题，这时可综合运用其他知识方法求解，比如不等式的性质等．
2．已知m＝a＋(a>2)，则( )
A．m>4
B．m<4
C．m≥4
D．m≤4
C [m＝(a－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝3时，取“＝”．]
利用基本不等式证明不等式
【例3】 已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋>9.
[思路点拨]
将“1”换成“a＋b＋c”，裂项构造基本不等式的形式，用基本不等式证明．
[解]
∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，
∴＋＋＝＋＋＝3＋＋＋＋＋＋
＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝3＋2＋2＋2＝9
当且仅当a＝b＝c时取等号，
∴＋＋>9.
1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用基本不等式创造了条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．
2．先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质，(注意限制条件)通过相加(乘)合成待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．
3．已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：>8.
[证明] ∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，
∴－1＝>0，－1＝>0，－1＝>0，
∴(－1)(－1)(－1)＝··≥＝8，
当且仅当a＝b＝c时取等号，
∴不等式成立．
即＞8.
1．应用基本不等式≥
解题时．要注意：
(1)a≥0，b≥0；
(2)当且仅当a＝b时，取等号．
2．基本不等式的变形
(1)ab≤()2常用来证明积ab与和a＋b有关联的不等式．
(2)ab≤常用来证明平方和与积有关联的不等式．
(3)()2≤常用来证明和与平方和有关联的不等式．
3．应用基本不等式证明不等式，其本质是应用基本不等式进行放缩．通过“凑”、“拆”、“和”等变形，使其满足基本不等式的使用条件是证明的关键．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)?a，b∈R，2ab≤a2＋b2.
( )
(2)当a≠0时，a＋一定不小于2.
( )
(3)ab≤.
( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√
2．当x>2时，＋≥6，该不等式等号成立的条件是( )
A．x＝3
B．x＝－3
C．x＝5
D．x＝－5
C [由基本不等式知，等号成立的条件是＝x－2>0，即x＝5.]
3.的最小值是________．
2 [＝＋≥2＝2，当且仅当＝，即a＝±时，取等号．]
4．已知x<0，求证：x＋≤－4.
[证明]
由x<0，得－x>0，
∴＋≥2＝4，
∴x＋＝－≤－4.
7第2课时 基本不等式的综合应用
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习
目
标
核
心
素
养
1.会用基本不等式求函数的最大(小)值问题．(重点)2．能利用基本不等式解决实际应用问题．(难点)
1．通过基本不等式求函数最值的应用，提升数学运算素养．2．借助基本不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养．
已知x、y都是正数，
(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值；
(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，x＋y取得最小值2.
上述命题可归纳为：和定积最大，积定和最小．
思考：(1)两个非负数的积为定值，它们的和一定可以用基本不等式求最小值吗？
(2)两个非负数的和为定值，它们的积一定可以用基本不等式求最大值吗？
提示：(1)不一定，例如a2＋2与，它们的积为定值，但等号取不到，因此不能用基本不等式求最小值．
(2)不一定，例如1＋a2与1－a2，它们的和为定值，但等号取不到，因此不能用基本不等式求最大值．
1．若a＞1，则a＋的最小值是( )
A．2 B．a C． D．3
D [∵a＞1，∴a－1＞0，∴a＋＝a－1＋＋1≥2
＋1＝3.当且仅当a－1＝，即a＝2时，等号成立．]
2．设x＞0，则y＝3－3x－的最大值是( )
A．3
B．－3
C．3－2
D．－1
C [∵x＞0，
∴y＝3－≤3－2＝3－2.当且仅当3x＝，且x＞0，即x＝时，等号成立．]
3．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．
5 [依题意得y1＝，y2＝x为仓库与车站的距离，
∴y1＋y2＝＋≥2＝8，当且仅当x＝5时取等号，所以仓库应建在离车站5千米处．]
4．当x<时，求函数y＝x＋的最大值．
[解] y＝(2x－3)＋＋
＝－＋，
∵当x<时，3－2x>0，
∴＋≥2＝4，当且仅当＝，即x＝－时取等号．
于是y≤－4＋＝－，故函数有最大值－.]
基本不等式求函数最值
【例1】 (1)设0(2)若x>4，求y＝＋x的最小值．
[思路点拨]
(1)3x＋＝8；(2)＋x＝＋＋4
.可利用基本不等式求解．
[解]
(1)∵0＜x＜2，∴0＜3x＜6，8－3x＞2＞0，
∴y＝≤＝＝4，
当且仅当3x＝8－3x，即x＝时，取等号．
∴当x＝时，y＝的最大值是4.
(2)当x＞4时，x－4＞0，
∴＋x＝＋(x－4)＋4≥2＋4＝2＋4，
当且仅当＝x－4，
即x＝4＋时，取等号；
∴当x＝4＋时，y＝＋x的最小值是2＋4.
1．应用基本不等式求最值必须满足三个条件，“一正、二定、三相等”．
2．应用基本不等式求最值时，“凑定值”是一个难点，常用技巧有“拆项”、“添项”、“常值代换”等．
1．求函数y＝(x>－1)的最小值.
[解]
令x＋1＝t>0，∴x＝t－1，
∴y＝＝＝t＋＋5≥2＋5＝9，
当且仅当t＝，即t＝2，x＝1时等号成立．
∴当x＝1时，函数y＝(x>－1)取得最小值9.
利用基本不等式求条件最值
【例2】 已知x>0，y>0，且x＋y＝1，求＋的最小值.
[思路点拨] 注意x＋y＝1的使用，构造出和利用基本不等式．
[解]
∵x＞0，y＞0，且x＋y＝1，
∴＋＝(x＋y)＝10＋＋≥10＋2
＝18.
当且仅当＝，即x＝2y时等号成立，
∴当x＝，y＝时，＋有最小值18.
1．本题在解答中要注意使＋取最小值时所对应a、b的值也要一并解出来．
2．解含有条件的最值问题，常结合要求最值的式子，采用“配”、“凑”、“常值代换”的方法，构造成基本不等式的形式，从而得出最值．
2．若x＞0，y＞0，且＋＝1，则x＋y的最小值是( )
A．3 B．6 C．9 D．12
C [x＋y＝(x＋y)·＝1＋＋＋4＝5＋＋≥5＋2＝5＋4＝9.
当且仅当
，
即
时等号成立，故x＋y的最小值为9.]
利用基本不等式解决实际问题
【例3】 从等腰直角三角形纸片ABC上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC＝2，∠A＝90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为________．
[设两个正方形边长分别为a，b，
则由题可得2a＋2b＝2，即a＋b＝1，S＝a2＋b2≥2×＝，当且仅当a＝b＝时取等号．]
利用基本不等式解决实际问题要遵循以下几点：
(1)在理解题意的基础上设变量，确定问题中量与量之间的关系，初步确定用怎样的函数模型；
(2)建立相应的函数解析式，将实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内，求出函数的最大值或最小值；
(4)回到实际问题中，检验并写出正确答案．
3．要设计一个矩形，现只知道它的对角线长度为10，则在所有满足条件的设计中，面积最大的一个矩形的面积为( )
A．50 B．25 C．50 D．100
A [设矩形的长和宽分别为x、y，则x2＋y2＝100.
于是S＝xy≤＝50，当且仅当x＝y时等号成立．]
运用基本不等式≥
求最值时．要注意：
(1)“拆”“拼”“凑”等变形技巧，使其满足基本不等式“正”“定”“等”的条件；
(2)连续使用基本不等式时，取等号的条件很严格，要求每次等号成立的条件都要满足．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若a＞1，则a＋的最小值是.
( )
(2)若a<0，则a＋的最小值是－2.
( )
(3)的最小值是2.
( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
2．若x2＋y2＝1(x、y∈R)，则x的最大值为( )
A．1 B． C． D．以上都不对
A [
x≤＝＝1，当且仅当x＝1，y＝0时取等号．]
3．设0A．(a－b)2
B．(a＋b)2
C．a2b2
D．a2
B [∵＋＝(1－x＋x)＝＋＋a2＋b2≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.当且仅当x＝时，取等号，∴选B.]
4．若x>0，则x＋的最小值是________．
2 [x＋≥2＝2，当且仅当x＝时，等号成立．]
5．已知0[解] 因为0所以y＝x＝×≤×＝，当且仅当2x＝，即x＝时等号成立．
所以函数y＝x的最大值为.
7课时分层作业(九) 基本不等式的综合应用
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．若x＋在x＝a时取最小值，则a等于( )
A．1＋ B．1＋ C．3 D．4
C [当x>2时，x－2＋＋2≥2＋2＝4，
当且仅当x－2＝，即x＝3时取等号，所以x＝3，即a＝3，选C.]
2．设x、y为正数，则的最小值为( )
A．6
B．9
C．12
D．15
B [＝5＋＋≥5＋2＝5＋4＝9.当且仅当y＝2x时，等号成立．]
3．已知x＋y＝1，x，y∈R＋，则t＝的最小值是( )
A．6
B．7
C．8
D．9
D [∵x＋y＝1，x＞0，y＞0，
∴xy≤，在x＝y＝时取等号．
∴＝＝＋1≥＋1＝9.故选D.]
4．要制作一个容积为4
m3，高为1
m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是
( )
A．80元
B．120元
C．160元
D．240元
C [设底面相邻两边的边长分别为x
m，y
m，总造价为T元，则xy·1＝4?xy＝4.
T＝4×20＋(2x＋2y)×1×10＝80＋20(x＋y)≥80＋20×2＝80＋20×4＝160(当且仅当x＝y时取等号).
故该容器的最低总造价是160元．]
5．当x＞2时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2]
B．(－∞，4]
C．[0，＋∞)
D．[2，4]
B [∵x＋≥a恒成立，
∴a必须小于或等于x＋的最小值．
∵x＞2，∴x－2＞0.
∴x＋＝(x－2)＋＋2≥4，当且仅当x＝3时取最小值4.
故选择B.]
二、填空题
6．设x，y，z均为正实数，满足x－2y＋3z＝0，则的最小值为________．
3 [由已知，得y＝，
所以＝＝(＋＋6)≥(2＋6)＝3.
当且仅当x＝y＝3z时，取得最小值3.]
7．已知正数x，y满足x＋2y＝1，则的最小值为________．
2＋4 [＝＝＋＋4≥2＋4.当且仅当x＝y时等号成立．]
8．若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________．
4 [∵a，b∈R，ab>0，
∴≥＝4ab＋≥2＝4，
当且仅当即时取得等号．
故的最小值为4.]
三、解答题
9．为了改善居民的居住条件，某城建公司承包了旧城拆建工程，按合同规定在4个月内完成．若提前完成，则每提前一天可获2
000元奖金，但要追加投入费用；若延期完成，则每延期一天将被罚款5
000元．追加投入的费用按以下关系计算：6x＋－118(千元)，其中x表示提前完工的天数，试问提前多少天，才能使公司获得最大附加效益？(附加效益＝所获奖金－追加费用)
[解] 设城建公司获得的附加效益为y千元，由题意得
y＝2x－＝118－
＝118－
＝130－
≤130－2
＝130－112＝18(千元)，
当且仅当4(x＋3)＝，即x＝11时取等号．
所以提前11天完工，能使公司获得最大附加效益．
10．当x>3时，求函数y＝的最小值．
[解]
∵x>3，∴x－3>0.
又y＝＝＝2(x－3)＋＋12≥2＋12＝24，
当且仅当2(x－3)＝，即x＝6时，上式等号成立．
所以，y＝的最小值为24.
11．若x，y，z均为正实数，则的最大值是( )
A． B． C．2 D．2
A [＝≤＝，当且仅当x＝z＝y时，等号成立．]
12．已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则的最大值为( )
A．9
B．16
C．25
D．36
C [≤＝＝25，当且仅当x＝y＝4时，等号成立．]
13．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( )
A．8
B．6
C．4
D．2
C [(x＋y)＝1＋a·＋＋a
≥a＋1＋2
＝a＋2＋1，
当且仅当a·＝时，等号成立，
所以()2＋2＋1≥9，∴≥2，则a≥4.
∴a的最小值为4.]
14．设a＞b＞c，n∈N＋，试求使不等式＋≥成立的n的最大值为________．
4 [∵a－c＞0，要使原不等式成立，
只需＋≥n成立．即＋≥n成立．
也就是2＋＋≥n成立．又＋≥2，
∴n≤4，∴n有最大值为4.]
15．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，
求(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．
[解]
(1)∵x>0，y>0，
∴xy＝2x＋8y≥2，即xy≥8，
∴≥8，即xy≥64.
当且仅当2x＝8y，即x＝16，y＝4时，“＝”成立．
∴xy的最小值为64.
(2)∵x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，
∴2x＋8y＝xy，即＋＝1.
∴x＋y＝(x＋y)·(＋)＝10＋＋≥10＋2＝18
当且仅当＝，
即x＝2y＝12时“＝”成立．
∴x＋y的最小值为18.
1