1.1.1 探究勾股定理课件(共30张PPT)

2020年秋北师大版八年级上册
第一章
勾股定理
1.1 探究勾股定理（一）
一、情景导入
（1）你相信世界上有外星人吗？
数学家曾建议用勾股定理作为与“外星人”联系的信号.
（2）使用什么语言跟外星人沟通呢？
（3）2002年世界数学家大会在我国北京召开，下图是本届数学家大会的会标：
赵爽弦图，它与勾股定理有关
如图，从电线杆离地面8m处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6m，那么需要多长的钢索？
8m
6m
?
勾股定理研究的是：
直角三角形中三边的数量关系
一、情景导入
(1) 在纸上作出一个直角三角形，测量三条边的长度，看看三边长的平方之间有什么样的关系？
两直角边的平方和等于斜边的平方
猜想：三边长的平方之间的关系
测量法
二、探究新知
探究活动一：
a
b
c
探究活动二：
A
B
C
A
B
C
（图中每个小方格代表一个单位面积）
图1
图2
A的面积
SA
B的面积
SB
C的面积
SC
图1
图2
填表：
9
9
？
怎样计算正方形C的面积呢？
4
4
？
下面直角三角形（等腰直角三角形）三边的平方分别是多少，它们满足上面所猜想的数量关系？
数格子法
图1
图2
图1
SC= ×3×4×4=18
图2
SC= ×2×2×4=8
怎样计算正方形C的面积呢？
下面直角三角形（等腰直角三角形）三边的平方分别是多少，它们满足上面所猜想的数量关系？
A
B
C
A
B
C
（图中每个小方格代表一个单位面积）
图1
图2
A的面积
SA
B的面积
SB
C的面积
SC
图1
图2
填表：
9
9
4
4
18
数量关系 ：SA+SB=SC
8
探究活动三：
填表：
A的面积
B的面积
C的面积
左图
右图
16
？
9
怎样计算正方形C的面积呢？
1
9
？
下面直角三角形（一般的直角三角形）三边的平方分别是多少，它们满足上面所猜想的数量关系？
图1
图2
图1 （“割”法）
SC=6×4+1=25
图2（“补”法）
SC=16-1.5×4=10
怎样计算正方形C的面积呢？
填表：
A的面积
SA
B的面积
SB
C的面积
SC
左图
右图
16
9
1
9
25
10
数量关系 ：SA+SB=SC
下面直角三角形（一般的直角三角形）三边的平方分别是多少，它们满足上面所猜想的数量关系？
“割”
“补”
“拼”
方法一：
方法二：
方法三：
分割为四个直角三角形和一个小正方形
补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积
将几个小块拼成一个正方形，如图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形
计算正方形C面积的方法：
通过上面的活动，我们发现：
∴a2+b2=c2
A
B
a
c
b
∵SA=a2，
SB=b2，
SC=c2
∵SA+SB=SC
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
C
勾股定理
几何语言：
∵在Rt △ABC， ∠C=90°（前提）
∴a2+b2=c2 （c为斜边）
a
b
c
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么
勾股定理
勾
股
弦
我国古代把直角三角形中，
较短的直角边称为勾，
较长的直角边称为股，
斜边称为弦
“勾股定理”因此而得名.
在西方又称毕达哥拉斯定理
判断：
1.若△ABC的三条边分别为a，b，c，
则a?+b?=c? ( )
2.若△ABC的a=6，b=8，则c=10 ( )
3.若a，b，c 分别是△ABC的三条边的长，∠A=90°，则b?+c?=a? （ ）
?
?
√
巩固理解定理
前提是直角三角形，关键是找准斜边
例1：求出下列直角三角形中的未知边的长度
5
y
13
x
6
8
12
z
4
3
三、典例精析
例2.求下列图中字母所表示的正方形的面积
=625
225
400
A
225
81
B
=144
例3：若直角三角形两直角边长分别为 BC=5cm， AC=12cm，求斜边AB的长度.
A
C
B
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理,
∴AB?=AC?+BC?
=12?+5?
=144+25
=169=132
∴AB=13cm
答：斜边AB的长度为13厘米
，
.
.
.
三、典例精析
例4.在直角△ABC中，∠ ACB=90°，AB=17cm，AC=15cm，求直角△ABC的面积
三、典例精析
15 cm
17 cm
A
B
C
解：∵ ∠ACB=90°，AC=15，AB=17，
∴ BC?=AB?-AC?=172-152=64
即AB=8 cm
∴SRt△ABC = AC×BC
= cm2
1.阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积
为 . .
15 cm
17 cm
64 cm?
四、课堂检测
2. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=16，AB=20，以AC为直径作半圆，则此半圆的周长为_________. （结果保留π）
6π
3.在△ABC中，若∠B=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且a=7，b=25，则c的长为
四、课堂检测
24
4. 如图，已知一根长8 m的竹竿在离地3 m处断裂，竹竿顶部抵着地面，此时，顶部距底部有_______m.
4
5.已知一个直角三角形的两条边分别为3和4，则第三条边长的平方为
四、课堂检测
25或7
6.已知一个直角三角形的三边的平方和为1800cm?，则斜边长为
30 cm
7. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=15，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积之和为 （　　）
A. 225 B. 200 C. 250 D. 150
A
四、课堂检测
8.一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙上(如图),这时梯脚与墙的距离是多少?
A
B
C
解：在Rt△ABC中,由勾股定理,得：
BC2=AB2-AC2
=2.52-2.42
=0.49，
∴BC=0.7.
四、课堂检测
9.在直角△ABC 中，∠ ACB=90°， AC=3，BC=4， CD⊥AB交AB于点D， 求CD的长.
A
D
B
C
3
4
解：∵ ∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴ AB?=AC?+BC?=25，
即AB=5.
根据三角形面积公式，
∴ AC×BC = AB×CD.
∴ CD= .
四、课堂检测
10.如图，在四边形ABCD中，∠ B= ∠ D= 90°， AB=20，BC=15， CD=7，求四边形ABCD 的面积.
四、课堂检测
解：连接AC
∵ ∠B=90°， AB=20，BC=15 ，
∴ AC?=AB?+BC?=202+152=252，
即AC=25.
∵ ∠B=90°，
∴AD2 = AC?- CD2 = 252 – 72 = 242
∴ AD=24
∴S四边形ABCD = 15×20÷2+7×24÷2= 234
11.小明的妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机.小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了.你能解释这是为什么吗？
我们通常所说的29英寸或74厘米的电视机，是指其荧屏对角线的长度
所以售货员没错
又因为荧屏对角线大约为74厘米
四、课堂检测
勾股定理
几何语言：
∵在Rt △ABC， ∠C=90°（前提）
∴a2+b2=c2 （c为斜边）
a
b
c
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么
五、课堂小结
六、布置作业
课本P4 习题1.1 第1，2，3，4题
拓展作业：
如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积
A
B
C
谢谢聆听