1-1集合（1-1.1~1-1.3示范教案+备课资料）
文档属性
| 名称 | 1-1集合（1-1.1~1-1.3示范教案+备课资料） |
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| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 435.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2011-08-11 00:00:00 | ||
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文档简介
本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
模块纵览
————课标要求————
1.知识与技能
认识和理解集合、映射、函数、幂函数、指数函数、对数函数等概念，认识和理解它们的有关性质和运算.具有一定的把函数应用于实际的能力.
2.过程与方法
通过背景的给出，通过经历、体验和实践探索过程的展现，通过数学思想方法的渗透，让学生体会过程的重要，并在过程中学习知识，同时领会一定的数学思想和方法.
3.情感、态度与价值观
教育的根本目的是育人.通过对本模块内容的教学，使学生在学习和运用知识的过程中提高对数学学习的兴趣，并在初中函数的学习基础上，对数学有更深刻的感受，提高说理、批判和质疑精神，形成锲而不舍追求真理的科学态度和习惯，树立良好的情感态度和价值观.
————内容概述————
本模块共三章：第一章集合与函数概念；第二章基本初等函数(Ⅰ)；第三章函数的应用.
本模块为了用集合与对应的语言刻画函数概念，先在第一章给出集合的有关概念、表示、关系和运算等；然后从函数实例出发深化函数概念及其表示，并研究映射概念；进而又给出了函数的性质：单调性、最值、奇偶性，这也是对函数的深化；接下来再回到特殊的函数——几个基本初等函数，继续认识函数，本模块重点涉及了指数函数、对数函数、幂函数；最后专门给出了函数在数学和实际中的一些应用实例，使函数的价值得到体现，也是进一步巩固函数的概念，更加强了数学应用.
概括地说，本模块的核心内容是“函数”.函数是描述现实世界最重要、最常用的数学模型，是贯穿整个高中数学的纽带，是学生进一步学习的准备，是未来公民的必需，因此，整个模块以函数作为中心，以函数思想作为指导思想.
本模块无论是数还是形都用函数观点来研究，研究它们的变化及其规律.对方程的认识和研究，也是从函数出发，把它与两个函数相结合，把它的解看成两个函数图象的交点的横坐标.这里把函数作为整体来认识，方程则被看成是包含于函数的局部.
————教学建议————
教师对数学应该有自己深入的想法，只有教师深入了才能有教学的浅出；教师，对于教学也应该有自己的想法，唯其有自己的想法，才能发挥自己的特长，教出具有独到想法的学生.
1.抓住核心，重点突破
由于函数是本模块的重点和核心，因此教师要重视函数的教学，向学生贯彻函数的数学思想，逐步让学生掌握学会函数，更会用函数的思想去解决数学和实际问题.函数概念的教学要从实际背景和定义两个方面帮助学生理解函数的本质，教学中可引导学生联系生活常识，尝试列举具体函数，构建函数的一般定义.要注意：①构成函数的要素和相同函数的含义，②函数的三种表示法的联系、区别与适用性，③分段函数的意义，④映射的概念和判断.教学中应强调对函数概念本质的理解，在求函数定义域、值域时，要控制难度.
2.用课本教，而非教课本
《普通高中数学课程标准》是在《基础教育课程改革纲要(试行)》的指导下编写的，是数学学科教育目标的具体化，体现数学学科对学生最起码的要求，是编制高考大纲的依据，是数学教学和培养学生数学素质的主要依据，具有指导性.《普通高中数学课程标准》的目标是包含“双基”在内的三维发展目标：知识与技能，过程与方法，情感、态度与价值观.在这种教学过程中，课本仅仅是一种学习工具，是课程标准的具体化，课本内容仅仅是帮助学生实现三维发展目标的一种载体，并不要求学生将课本内容全部掌握.由于高中数学课本版本的多样化，高考数学只能依据高中数学课程标准而不是某个版本的课本来命题.因此在处理新课标课本时，首先要考虑高中数学课程标准的培养目标和具体要求.就课本来说，版本不同，对课程标准的理解就有不同，其处理的方式也就不同，因此，在教学中，要深入钻研课程标准、课本、学生，找准三者的连接点.这样在新课程改革的形势下，课本仅仅是教学的素材，在教学过程中，以课本为依托，把课本当作指导教学的素材和蓝本，创造性地使用、改造课本，最终突破课本，即变“教课本”为“用课本教”，树立“用课本教”的课本观.同时这也要求提醒学生，不要把课本看得过于神圣.
3.把学生当成学习的主人
独立自主地思考是学习数学的需要，但是合作交流更不能少.在课堂上，教师尽量不要大包大揽，以先知先觉出现，把结论告诉学生，而是推出判断，引导学生独立思考，并在此基础上进行合作和交流，努力实现师生的互动，这是课标的要求也是时代发展的必然.
4.强调应用，突出提出、分析和解决问题的能力
数学是美的，这正是数学使人兴趣盎然、乐此不疲之处.数学的美，有两个方面：一是其中的思维之美，内在的逻辑和运用逻辑的机智，外在的形式，莫不充满着思维之美；另一方面则是它的作用，它在方方面面的应用.新课标要求强化数学应用，在应用中，应该特别重视实践能力和创造能力的培养；在教学中，要重视动手和一题多解的能力.
第一章 集合与函数概念
————本章教材分析————
通过本章的学习，使学生会使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，并能在自然语言、图形语言、集合语言之间进行转换，体会用集合语言表达数学内容的简洁性、准确性，帮助学生学会用集合语言描述数学对象，发展学生运用数学语言进行交流的能力.通过本章的学习，使学生不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还会用集合与对应的语言刻画函数，为后续学习奠定基础.函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，强调结合实际问题，使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法，从而发展学生对变量数学的认识，培养学生的抽象概括能力，增强学生应用数学的意识.
课本力求紧密结合学生的生活经验和已有数学知识，通过列举丰富的实例，强调从实例出发，让学生对集合和函数概念有充分的感性认知基础，再用集合与对应语言抽象出函数概念.课本突出了集合和函数概念的背景教学，这样比较符合学生的认识规律.教学中要高度重视数学概念的背景教学.课本尽量创设使学生运用集合语言和数学符号进行表达和交流的情境和机会，并注意运用Venn图表达集合的关系及运算，用图象表示函数，帮助学生借助直观图示认识抽象概念.课本在例题、习题的教学中注重运用集合和函数的观点研究、处理数学问题，这一观点，一直贯穿到以后的数学学习中.在例题和习题的编排中，渗透了分类讨论思想，让学生体会到分类讨论思想在生活中和数学中的广泛运用，这是学生在初中阶段所缺少的.函数的表示是本章的主要内容之一，课本重视采用不同的表示法(列表法、图象法、分析法)，目的是丰富学生对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念.在教学中，既要充分发挥图象的直观作用，又要适当地引导学生从代数的角度研究图象，使学生深刻体会数形结合这一重要数学方法.课本将函数推广到了映射，体现了由特殊到一般的思维规律，有利于学生对函数概念学习的连续性.
在教学中，要坚持循序渐进，逐步渗透数形结合、分类讨论这方面的训练.对函数的三要素着重从函数的实质上要求理解，而对定义域、值域的繁难计算，特别是人为的过于技巧化的训练不作提倡，要准确把握这方面的要求，防止拔高教学.重视函数与信息技术整合的要求，通过电脑绘制简单函数动态图象，使学生初步感受到信息技术在函数学习中的重要作用.为了体现课本的选择性，在练习题安排上加大了弹性，教师应根据学生实际情况，合理地取舍.
本章教学时间约需13课时，具体分配如下(仅供参考)：
1.1.1 集合的含义与表示 约1课时
1.1.2 集合间的基本关系 约1课时
1.1.3 集合的基本运算 约2课时
1.2.1 函数的概念 约2课时
1.2.1 函数的表示法 约3课时
1.3.1 单调性与最大 约2课时
1.3.2 奇偶性 约1课时
本章复习 约1课时
1.1 集合
1.1.1 集合的含义与表示
整体设计
教学分析
集合论是现代数学的一个重要的基础.在高中数学中，集合的初步知识与其他内容有着密切的联系，是学习、掌握和使用数学语言的基础.课本从学生熟悉的集合(自然数的集合、有理数的集合等)出发，结合实例给出元素、集合的含义，课本注重体现逻辑思考的方法，如抽象、概括等.
值得注意的问题：由于本小节的新概念、新符号较多，建议教学时先引导学生阅读课本，然后进行交流，让学生在阅读与交流中理解概念并熟悉新符号的使用.在信息技术条件较好的学校，可以利用网络平台让学生交流学习概念后的认识；也可以由教师给出问题，让学生读后回答问题，再由教师给出评价.这样做的目的是培养学生主动学习的习惯，提高阅读与理解、合作与交流的能力.在处理集合问题时，根据需要，及时提示学生运用集合语言进行表述.
三维目标
1.通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，能选择集合不同的语言形式描述具体的问题，提高语言转换和抽象概括能力，树立用集合语言表示数学内容的意识.
2.了解集合元素的确定性、互异性、无序性，掌握常用数集及其专用符号，并能够用其解决有关问题，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的应用意识.
重点难点
教学重点：集合的基本概念与表示方法.
教学难点：选择恰当的方法表示一些简单的集合.
课时安排
1课时
设计方案（一）
教学过程
导入新课
思路1.军训前学校通知：8月15日8点，高一年级学生到操场集合进行军训.试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？
在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定(是高一而不是高二、高三)对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合.
思路2.首先教师提出问题：在初中，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗 引导学生回忆、举例和互相交流自己举的例子.与此同时，教师对学生的活动给予评价.接着教师指出：那么，集合的含义是什么呢 这就是我们这一堂课所要学习的内容.
推进新课
★☆新知探究☆★
提出问题
①请我们班的全体女生起立！接下来问：“咱班的所有女生能不能构成一个集合啊？”
②下面请班上身高在1.75以上的男生起立！他们能不能构成一个集合啊？
③其实，生活中有很多东西能构成集合，比如新华字典里所有的汉字可以构成一个集合等等.那么，大家能不能再举出一些生活中的实际例子呢 请你给出集合的含义.
④如果用A表示高一(3)班全体学生组成的集合，用a表示高一(3)班的一位同学，b是高一(4)班的一位同学，那么a、b与集合A分别有什么关系 由此看见元素与集合之间有什么关系？
⑤世界上最高的山能不能构成一个集合？
⑥世界上的高山能不能构成一个集合？
⑦问题⑥说明集合中的元素具有什么性质？
⑧由实数1、2、3、1组成的集合有几个元素？
⑨问题⑧说明集合中的元素具有什么性质？
⑩由实数1、2、3组成的集合记为M，由实数3、1、2组成的集合记为N，这两个集合中的元素相同吗？这说明集合中的元素具有什么性质？由此类比实数相等，你发现集合有什么结论？
讨论结果：
①能.
②能.
③我们把研究的对象统称为“元素”，那么把一些元素组成的总体叫“集合”.
④a是集合A的元素，b不是集合A的元素.学生得出元素与集合的关系有两种：属于和不属于.
⑤能，是珠穆朗玛峰.
⑥不能.
⑦确定性.给定的集合，它的元素必须是明确的，即任何一个元素要么在这个集合中，要么不在这个集合中，这就是集合的确定性.
⑧3个.
⑨互异性.一个给定集合的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的，这就是集合的互异性.
⑩集合M和N相同.这说明集合中的元素具有无序性，即集合中的元素是没有顺序的.可以发现：如果两个集合中的元素完全相同，那么这两个集合是相等的.
提出问题
阅读课本P3中：数学中一些常用的数集及其记法.快速写出常见数集的记号.
活动：先让学生阅读课本，教师指定学生展示结果.学生写出常用数集的记号后，教师强调：通常情况下，大写的英文字母N、Z、Q、R不能再表示其他的集合，这是专用集合表示符号，类似于110、119等专用电话号码一样.以后，我们会经常用到这些常见的数集，要求熟练掌握.
讨论结果：
常见数集的专用符号.
N：非负整数集(或自然数集)(全体非负整数的集合)；
N*或N+：正整数集(非负整数集N内排除0的集合)；
Z：整数集(全体整数的集合)；
Q：有理数集(全体有理数的集合)；
R：实数集(全体实数的集合).
提出问题
①前面所说的集合是如何表示的？
②阅读课本中的相关内容，并思考：除字母表示法和自然语言之外，还能用什么方法表示集合？
③集合共有几种表示法
活动：①学生回顾所学的集合并作出总结.教师提示可以用字母或自然语言来表示.
②教师可以举例帮助引导：
例如，24的所有正约数构成的集合，把24的所有正约数写在大括号“{}”内，即写出为{1，2，3，4，6，8，12，24}的形式，这种表示集合的方法是列举法.注意：大括号不能缺失；有些集合所含元素个数较多，元素又呈现出一定的规律，在不至于发生误解的情况下，亦可用列举法表示，如：从1到100的所有整数组成的集合：{1，2，3，…，100}，自然数集N：{0，1，2，3，4，…，n，…}；区分a与{a}：{a}表示一个集合，该集合只有一个元素，a表示这个集合的一个元素；用列举法表示集合时不必考虑元素的前后次序；相同的元素不能出现两次.
又例如，不等式x－3>2的解集，这个集合中的元素有无数个，不适合用列举法表示.可以表示为{x∈R|x－3>2}或{x|x－3>2}，这种表示集合的方法是描述法.
③让学生思考总结已经学习了的集合表示法.
讨论结果：
①方法一(字母表示法)：大写的英文字母表示集合，例如常见的数集N、Q，所有的正方形组成的集合记为A等等；
方法二(自然语言)：用文字语言来描述出的集合，例如“所有的正方形”组成的集合等等.
②列举法：把集合中的全部元素一一列举出来，并用大括号“{}”括起来表示集合，这种表示集合的方法叫做列举法；
描述法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.注：在不致混淆的情况下，也可以简写成列举法的形式，只是去掉竖线和元素代表符号，例如：所有直角三角形的集合可以表示为{x|x是直角三角形}，也可以写成{直角三角形}.
③表示一个集合共有四种方法：字母表示法、自然语言、列举法、描述法.
应用示例
思路1
1.下列各组对象不能组成集合的是( )
A.大于6的所有整数 B.高中数学的所有难题
C.被3除余2的所有整数 D.函数y＝图象上所有的点
活动：学生先思考、讨论集合元素的性质，教师指导学生此类选择题要逐项判断.判断一组对象能否构成集合，关键是看是否满足集合元素的确定性.
在选项A、C、D中的元素符合集合的确定性；而选项B中，难题没有标准，不符合集合元素的确定性，不能构成集合.
答案：B
☆☆变式训练☆☆
1.下列条件能形成集合的是( )
A.充分小的负数全体 B.爱好足球的人
C.中国的富翁 D.某公司的全体员工
答案：D
2.2007浙江宁波高三第一次“十校联考”，理1
在数集{2x，x2－x}中，实数x的取值范围是.
分析：实数x的取值满足集合元素的互异性，则2x≠x2－x，解得x≠0且x≠3，∴实数x的取值范围是{x|x<0或03}.
答案：{x|x<0或03}
点评：本题主要考查集合的含义和元素的性质.当所指的对象非常明确时就能构成集合，若元素不明确，没有判断的标准就不能构成集合.
2.用列举法表示下列集合：
(1)小于10的所有自然数组成的集合；
(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合；
(3)由1~20以内的所有质数组成的集合.
活动：学生先思考或讨论列举法的形式，展示解答过程.当学生出现错误时，教师及时加以纠正.利用相关的知识先明确集合中的元素，再把元素写入大括号“{}”内，并用逗号隔开.所给的集合均是用自然语言给出的.
提示学生注意以下方面：
(1)自然数中包含零；
(2)解一元二次方程有公式法和分解因式法，方程x2＝x的根是x＝0，x＝1；
(3)除去1和本身外没有其他约数的正整数是质数，1~20以内的所有质数是2、3、5、7、11、13、17、19.
解：(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}.
(2)设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，那么A＝{0，1}.
(3)设由1~20以内的所有质数组成的集合为C，那么C＝{2，3，5，7，11，13，17，19}.
点评：本题主要考查集合表示法中的列举法.通过本题可以体会利用集合表示数学内容的简洁性和严谨性，以后我们尽量用集合来表示数学内容.
如果一个集合是有限集，并且元素的个数较少时，通常选择列举法表示，其特点是非常显明地表示出了集合中的元素，是常用的表示法；
列举法表示集合的步骤：(1)用字母表示集合；(2)明确集合中的元素；(3)把集合中所有元素写在大括号“{}”内，并写成A＝{……}的形式.
☆☆变式训练☆☆
用列举法表示下列集合：
(1)所有绝对值等于8的数的集合A；
(2)所有绝对值小于8的整数的集合B.
答案：(1)A＝{－8，8}；
(2)B＝{－7，－6，－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5，6，7}.
3.试分别用列举法和描述法表示下列集合：
(1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合；
(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.
活动：先让学生回顾列举法表示集合的步骤，思考描述法的形式，再找学生到黑板上书写.当学生出现错误时，教师指导学生书写过程.用描述法表示集合时，要用数学符号表示集合元素的特征.大于10小于20的所有整数用数学符号可以表示为10用描述法表示集合时，用一个小写英文字母表示集合中的元素，作为集合中元素的代表符号，找到集合中元素的共同特征，并把共同特征用数学符号来表达，然后写在大括号“{}”内，在大括号内先写上集合中元素的代表符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
在(1)中利用条件中现有元素代表符号x，集合中元素的共同特征就是满足方程x2－2＝0.
在(2)的条件中没有元素代表符号，故要先设出，用一个小写英文字母表示即可；集合中元素的共同特征有两个：一是大于10小于20(用不等式表示)，二是整数(用元素与集合的关系符号“∈”来表示).
解：(1)设方程x2－2＝0的实根为x，它满足条件x2－2＝0，因此，用描述法表示为A＝{x∈R|x2－2＝0}.
方程x2－2＝0的两个实数根为，，因此，用列举法表示为A＝{，}.
(2)设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z，且10大于10小于20的整数有11，12，13，14，15，16，17，18，19，因此，用列举法表示为B＝{11，12，13，14，15，16，17，18，19}.
描述法表示集合的步骤：(1)用字母分别表示集合和元素；(2)用数学符号表达集合元素的共同特征；(3)在大括号内先写上集合中元素的代表符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.并写成A＝{…|…}的形式.描述法适合表示有无数个元素的集合.
注意：当集合中的元素个数较少时，通常用列举法表示，否则用描述法表示.
思路2
1.(1)A＝{1，3}，判断元素3，5和集合A的关系，并用符号表示.
(2)所有素质好的人能否表示为集合
(3)A＝{2，2，4}表示是否准确
(4)A＝{太平洋，大西洋}，B＝{大西洋，太平洋}是否表示同一集合
活动：如果学生没有解题思路，让学生思考以下知识：
(1)元素与集合的关系及其符号表示；
(2)集合元素的性质；
(3)两个集合相同的定义.
解：(1)根据元素与集合的关系有两种：属于(∈)和不属于()，知3属于集合A，即3∈A，5不属于集合A，即5A.
(2)由于素质好的人标准不可量化，不符合集合元素的确定性，故A不能表示为集合.
(3)表示不准确，不符合集合元素的互异性，应表示为A＝{2，4}.
(4)因其元素相同，A与B表示同一集合.
☆☆变式训练☆☆
1.数集{3，x，x2－2x}中，实数x满足什么条件
解：集合元素的特征说明{3，x，x2－2x}中元素应满足
即也就是即满足x≠－1，0，3.
2.方程ax2+5x+c＝0的解集是{，}，则a＝________，c＝_______.
分析：方程ax2+5x+c＝0的解集是{，}，那么、是方程的两根，
即有得那么a＝－6，c＝－1.
答案：6 －1
3.集合A中的元素由关于x的方程kx2－3x+2＝0的解构成，其中k∈R，若A中仅有一个元素，求k的值.
解：由于A中元素是关于x的方程kx2－3x+2＝0(k∈R)的解，
若k＝0，则x＝，知A中有一个元素，符合题设；
若k≠0，则方程为一元二次方程，
当Δ＝9－8k＝0即k＝时，kx2－3x+2＝0有两相等的实数根，此时A中有一个元素.
综上所述k＝0或k＝.
4.2006山东高考，理1定义集合运算：A⊙B＝{z|z＝xy(x+y)，x∈A，y∈B}，设集合A＝{0，1}，B＝{2，3}，则集合A⊙B的所有元素之和为…( )
A.0 B.6 C.12 D.18
分析：∵x∈A，∴x＝0或x＝1.
当x＝0，y∈B时，总有z＝0；
当x＝1时，
若x＝1，y＝2时，有z＝6；当x＝1，y＝3时，有z＝12.
综上所得，集合A⊙B的所有元素之和为0+6+12＝18.
答案：D
注意：①判断元素与此集合的关系时，用列举法表示的集合，只需观察这个元素是否在集合中即可.用符号∈，?表示，注意这两个符号的左边写元素，右边写集合，不能互换它们的位置，否则没有意义.
②如果有明确的标准来判断元素在集合中，那么这些元素就能构成集合，否则不能构成集合.
③用列举法表示的集合，直接观察它们的元素是否完全相同，如果完全相同，那么这两个集合就相等，否则不相等.
2.用列举法表示下列集合：
(1)小于5的正奇数组成的集合；
(2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合；
(3)方程x2－9＝0的解组成的集合；
(4){15以内的质数}；
(5){x|∈Z，x∈Z}.
活动：教师指导学生思考列举法的书写格式，并讨论各个集合中的元素.明确各个集合中的元素，写在大括号内即可.
提示学生注意：
(2)中满足条件的数按从小到大排列时，从第二个数起，每个数比前一个数大3；
(4)中除去1和本身外没有其他的约数的正整数是质数；
(5)中3－x是6的约数，6的约数有±1，±2，±3，±6.
解：(1)满足题设条件小于5的正奇数有1、3，故用列举法表示为{1，3}；
(2)能被3整除且大于4小于15的自然数有6、9、12，故用列举法表示为{6，9，12}；
(3)方程x2－9＝0的解为－3、3，故用列举法表示为{－3，3}；
(4)15以内的质数有2、3、5、7、11、13，故该集合用列举法表示为{2，3，5，7，11，13}；
(5)满足∈Z的x有3－x＝±1、±2、±3、±6，解之，得x＝2、4、1、5、0、6、－3、9，故用列举法表示为{2，4，1，5，0，6，－3，9}.
☆☆变式训练☆☆
用列举法表示下列集合：
(1)x2－4的一次因式组成的集合；
(2){y|y＝－x2－2x+3，x∈R，y∈N}；
(3)方程x2+6x+9＝0的解集；
(4){20以内的质数}；
(5){(x，y)|x2+y2＝1，x∈Z，y∈Z}；
(6){大于0小于3的整数}；
(7){x∈R|x2+5x－14＝0}；
(8){(x，y)|x∈N且1≤x<4，y－2x＝0}；
(9){(x，y)|x+y＝6，x∈N，y∈N}.
思路分析：用列举法表示集合的关键是找出集合中的所有元素，要注意不重不漏，不计次序地用“，”隔开放在大括号内.
解：(1)因x2－4＝(x－2)(x+2)，故符合题意的集合为{x－2，x+2}；
(2)y＝－x2－2x+3＝－(x+1)2+4，即y≤4.又y∈N，∴y＝0、1、2、3、4，故{y|y＝－x2－2x+3，x∈R，y∈N}＝{0，1，2，3，4}；
(3)由x2+6x+9＝0得x1＝x2＝－3，∴方程x2+6x+9＝0的解集为{－3}；
(4){20以内的质数}＝{2，3，5，7，11，13，17，19}；
(5)因x∈Z，y∈Z，则x＝－1、0、1时，y＝0、1、－1，那么{(x，y)|x2+y2＝1，x∈Z，y∈Z}＝{(－1，0)，(0，1)，(0，－1)，(1，0)}；
(6){大于0小于3的整数}＝{1，2}；
(7)因x2+5x－14＝0的解为x1＝－7，x2＝2，则{x∈R|x2+5x－14＝0}＝{－7，2}；
(8)当x∈N且1≤x<4时，x＝1、2、3，此时y＝2x，即y＝2、4、6，那么{(x，y)|x∈N且1≤x<4，y－2x＝0}＝{(1，2)，(2，4)，(3，6)}；
(9){(x，y)|x+y＝6，x∈N，y∈N}＝{(0，6)(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，(6，0)}.
点评：本题主要考查集合的列举法表示.列举法适用于元素个数有限个并且较少的集合.用列举法表示集合：先明确集合中的元素，再把元素写在大括号内并用逗号隔开，相同的元素写成一个.
3.用描述法分别表示下列集合：
(1)二次函数y＝x2图象上的点组成的集合；
(2)数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合；
(3)不等式x－7<3的解集.
活动：让学生思考用描述法的形式如何表示平面直角坐标系中的点？如何表示数轴上的点？如何表示不等式的解？学生板书，教师在其他学生中间巡视，及时帮助思维遇到障碍的同学.必要时，教师可提示学生：
(1)集合中的元素是点，它是坐标平面内的点，集合元素代表符号用有序实数对(x，y)来表示，其特征是满足y＝x2；
(2)集合中元素是点，而数轴上的点可以用其坐标表示，其坐标是一个实数，集合元素代表符号用x来表示，其特征是对应的实数绝对值大于6；
(3)集合中的元素是实数，集合元素代表符号用x来表示，把不等式化为x解：(1)二次函数y＝x2上的点(x，y)的坐标满足y＝x2，则二次函数y＝x2图象上的点组成的集合表示为{(x，y)|y＝x2}；
(2)数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合等于绝对值大于6的实数组成的集合，则数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合表示为{x∈R||x|>6}；
(3)不等式x－7<3的解是x<10，则不等式x－7<3的解集表示为{x|x<10}.
点评：本题主要考查集合的描述法表示.描述法适用于元素个数是有限个并且较多或无限个的集合.
用描述法表示集合时，集合元素的代表符号不能随便设，点集的元素代表符号是(x，y)，数集的元素代表符号常用x.集合中元素的公共特征属性可以用文字直接表述，最好用数学符号表示，必须抓住其实质.
☆☆变式训练☆☆
用描述法表示下列集合：
(1)方程2x+y＝5的解集；
(2)小于10的所有非负整数的集合；
(3)方程ax+by＝0(ab≠0)的解；
(4)数轴上离开原点的距离大于3的点的集合；
(5)平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅳ象限点的集合；
(6)方程组的解的集合；
(7){1，3，5，7，…}；
(8)x轴上所有点的集合；
(9)非负偶数；
(10)能被3整除的整数.
解：(1){(x，y)|2x+y＝5}；
(2){x|0≤x<10，x∈Z}；
(3){(x，y)|ax+by＝0(ab≠0)}；
(4){x||x|>3}；
(5){(x，y)|xy<0}；
(6){(x，y)|}；
(7){x|x＝2k－1，k∈N*}；
(8){(x，y)|x∈R，y＝0}；
(9){x|x＝2k，k∈N}；
(10){x|x＝3k，k∈Z}.
知能训练
课本P5练习1、2.
【补充练习】
1.下列对象能否组成集合：
(1)数组1、3、5、7；
(2)到两定点距离的和等于两定点间距离的点；
(3)满足3x－2>x+3的全体实数；
(4)所有直角三角形；
(5)美国NBA的著名篮球明星；
(6)所有绝对值等于6的数；
(7)所有绝对值小于3的整数；
(8)中国男子足球队中技术很差的队员；
(9)参加2008年奥运会的中国代表团成员.
答案：(1)(2)(3)(4)(6)(7)(9)能组成集合，(5)(8)不能组成集合.
2.(口答)说出下面集合中的元素：
(1){大于3小于11的偶数}；
(2){平方等于1的数}；
(3){15的正约数}.
答案：(1)其元素为4，6，8，10；
(2)其元素为－1，1；
(3)其元素为1，3，5，15.
3.用符号∈或填空：
(1)1______N，0______N，－3______N，0.5______N，______N；
(2)1______Z，0______Z，－3______Z，0.5______Z，______Z；
(3)1______Q，0______Q，－3______Q，0.5______Q，______Q；
(4)1______R，0______R，－3______R，0.5______R，______R.
答案：
(1)∈ ∈
(2)∈ ∈ ∈
(3)∈ ∈ ∈ ∈
(4)∈ ∈ ∈ ∈ ∈
4.判断正误：
(1)所有属于N的元素都属于N*. ( )
(2)所有属于N的元素都属于Z. ( )
(3)所有不属于N*的数都不属于Z. ( )
(4)所有不属于Q的实数都属于R. ( )
(5)不属于N的数不能使方程4x＝8成立. ( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√
5.分别用列举法、描述法表示方程组的解集.
解：因的解为
用描述法表示该集合为{(x，y)|}；
用列举法表示该集合为{(3，－7)}.
拓展提升
问题：集合A＝{x|x＝a+b，a∈Z，b∈Z}，判断下列元素x＝0、、与集合A之间的关系.
活动：学生先思考元素与集合之间有什么关系，书写过程，将元素x化为a+2b的形式，再判断a、b是否为整数.描述法表示集合的优点是突出显示了集合元素的特征，那么判断一个元素是否属于集合时，转化为判断这个元素是否满足集合元素的特征即可.
解：由于x＝a+b，a∈Z，b∈Z，
∴当a＝b＝0时，x＝0.∴0∈A.
又＝+1＝1+，
当a＝b＝1时，a+b＝1+，∴∈A.
又＝+，
当a＝3，b＝1时，a+b＝+，而3Z，
∴A.
∴0∈A，∈A，A.
点评：本题考查集合的描述法表示以及元素与集合间的关系.
课堂小结
本节学习了：(1)集合的概念；(2)集合的表示法；(3)利用列举法和描述法表示集合的步骤.
作业
课本P11习题1.1A组2、3、4.
设计感想
集合语言是现代数学的基本语言，在高中数学课程中，它也是学习、掌握和使用数学语言的基础.由于集合的概念较难理解，因此设计时采用渐进式学习，而集合的列举法和描述法的形式比较容易接受，在设计时注重让学生自己学习，重点引导学生学习这两种方法的应用.同时通过解决一系列具体问题，使学生自己体会到集合各种表示法的优缺点；针对不同问题，能选用合适集合表示法.在练习过程中熟练掌握集合语言与自然语言的转换.教师在教学过程中时时监控，对学生不可能解决的问题，如集合常见表示法的写法，常见数集及其记法应直接给出，以避免出现不必要的混乱.对学生解题过程中遇到的困难给予适当点拨.引导学生养成良好学习习惯，最大限度地挖掘学生的学习潜力是我们教师的奋斗目标.
备课资料
［备选例题］
【例1】判断下列集合是有限集还是无限集，并用适当的方法表示：
(1)被3除余1的自然数组成的集合；
(2)由所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合；
(3)二次函数y＝x2+2x－10的图象上的所有点组成的集合；
(4)设a、b是非零实数，求y＝的所有值组成的集合.
思路分析：本题主要考查集合的表示法和集合的分类.用列举法与描述法表示集合时，一要分清元素是什么，二要明确元素满足的条件是什么.
解：(1)被3除余1的自然数有无数个，这些自然数可以表示为3n+1(n∈N).用描述法表示为{x|x＝3n+1，n∈N}.
(2)由题意得满足条件的正整数有：3，5，7，11，13，17，19.则此集合中的元素有7个，用列举法表示为{3，5，7，11，13，17，19}.
(3)满足条件的点有无数个，则此集合中有无数个元素，可用描述法来表示.通常用有序数对(x，y)表示点，那么满足条件的点组成的集合表示为{(x，y)|y＝x2+2x－10}.
(4)当ab<0时，y＝＝－1；当ab>0时，则a>0，b>0或a<0，b<0.
若a>0，b>0，则有y＝＝3；若a<0，b<0，则有y＝＝－1.
∴y＝的所有值组成的集合共有两个元素－1和3.则用列举法表示为{－1，3}.
【例2】定义A－B＝{x|x∈A，xB}，若M＝{1，2，3，4，5}，N＝{2，3，6}，试用列举法表示集合N－M.
分析：应用集合A－B＝{x|x∈A，xB}与集合A、B的关系来解决.依据定义知N－M就是集合N中除去集合M和集合N的公共元素组成的集合.观察集合M、N，它们的公共元素是2，3.集合N中除去元素2，3还剩下元素6，则N－M＝{6}.
答案：{6}.
(设计者：张新军)
设计方案（二）
教学过程
导入新课
思路1.在初中代数不等式的解法一节中提到：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.不等式解集的定义中涉及到“集合”，那么，集合的含义是什么呢 这就是我们这一堂课所要学习的内容.今天我们开始学习集合，引出课题.
思路2.开场白：集合是现代数学的基本语言，它可以简洁、准确地表达数学内容.这个词听起来比较陌生，其实在初中我们已经有所接触，比如自然数集、有理数集，一元一次不等式x－3>5的解集，这些都是集合.还有，我们学过的圆的定义是什么？(提问学生)圆是到一个定点的距离等于定长的点的集合.接着点出课题.
推进新课
★☆新知探究☆★
提出问题
教师利用多媒体设备向学生投影出下面实例，这5个实例的共同特征是什么
(1)1~20以内的所有质数；
(2)我国古代的四大发明；
(3)所有的安理会常任理事国；
(4)所有的正方形；
(5)北京大学2004年9月入学的全体学生.
活动：教师组织学生分小组讨论，每个小组选出一位同学发表本组的讨论结果，在此基础上，师生共同概括出5个实例的特征，并给出集合的含义.
引导过程：
①一般地，指定的某些对象的全体称为集合(简称为集)，集合中的每个对象叫做这个集合的元素.
②集合常用大写字母A，B，C，D，…表示，元素常用小写字母a，b，c，d，…表示.
③集合的表示法：a.自然语言(5个实例)；b.字母表示法.
④集合元素的性质：a.确定性：即任给一个元素和一个集合，那么这个元素和这个集合的关系只有两种：这个元素要么属于这个集合，要么不属于这个集合；b.互异性：一个给定集合的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的；c.无序性：集合中的元素是没有顺序的.
⑤集合相等：如果两个集合中的元素完全相同，那么这两个集合是相等的.
⑥元素与集合的关系：“属于”和“不属于”分别用“∈”和“”表示.
元素确定性的符号语言表述为：对任意元素a和集合A，要么a∈A，要么aA.
⑦在初中我们学过了一些数的集合，国际标准化组织(ISO)制定了常用数集的记法：
自然数集(包含零)：N，正整数集：N*(N+)，整数集：Z，有理数集：Q，实数集：R.
因此字母N、Z、Q、R不能再表示其他的集合，否则会出现混乱的局面.
提出问题
(1)请列举出“小于5的所有自然数组成的集合A”.
(2)你能写出不等式2－x>3的所有解吗？怎样表示这个不等式的解集？
活动：学生回答后，教师指出：
①在数学中，为书写规范，我们把封闭曲线简化为一个大括号，然后把元素一一列举出来，元素与元素之间用逗号隔开写在大括号内来表示这个集合.这种表示集合的方法称为列举法.如本例可表示为A＝{0，1，2，3，4}.
②描述法：将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来，写成{x|p(x)}的形式.其中x为元素的一般特征，p(x)为x满足的条件.如数集常用{x|p(x)}表示，点集常用{(x，y)|p(x，y)}表示.
应用示例
思路1
1.课本第3页例1.
思路分析：用相应的数学知识明确集合中的元素，再写在大括号内.
点评：本题主要考查集合表示法中的列举法.如果一个集合是有限集，并且元素的个数较少时，通常选择列举法表示，其特点是非常显明地表示出了集合中的元素，是常用的表示法；列举法表示集合的步骤：(1)用字母表示集合；(2)明确集合中的元素；(3)把集合中所有元素写在大括号“{}”内，并写成A＝{……}的形式.
☆☆变式训练☆☆
请试一试用列举法表示下列集合：
(1)A＝{x∈N|且∈N}；
(2)B＝{y|y＝－x2+6，x∈N，y∈N}；
(3)C＝{(x，y)|y＝－x2+6，x∈N，y∈N}.
分析：本题考查列举法与描述法的相互转化.明确各个集合中的元素后再写在大括号内.
(1)集合A中元素x满足均为自然数；
(2)集合B中y值为函数y＝－x2+6的函数值的集合；
(3)集合C中元素为点，抛物线上横、纵坐标均为自然数的点.
答案：(1)A＝{0，6，8}；
(2)B＝{2，5，6}；
(3)C＝{(0，6)，(1，5)，(2，2)}.
2.课本第4页例2.
思路分析：本题重点学习用描述法表示集合.用一个小写英文字母表示集合中的元素，作为集合中元素的代表符号，找到集合中元素的共同特征，并把共同特征用数学符号来表达，然后写在大括号“{}”内.
点评：本题主要考查集合的表示方法，以及应用知识解决问题的能力；描述法表示集合的步骤：(1)用字母分别表示集合和元素，(2)用数学符号表达集合元素的共同特征；(3)在大括号内先写上集合中元素的代表符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.并写成A＝{…|…}的形式；描述法适合表示有无数个元素的集合，当集合中的元素个数较少时，通常用列举法表示.
☆☆变式训练☆☆
课本P5练习2.
思路2
1.下列所给对象不能构成集合的是( )
A.一个平面内的所有点
B.所有大于零的正数
C.某校高一(4)班的高个子学生
D.某一天到商场买过货物的顾客
思路分析：本题考查集合中元素的确定性.由集合的含义，可知组成集合的元素必须是明确的，不能模棱两可.在A中对于任何一个点要么在这个平面内，要么不在这个平面内，因而它可以组成一个集合；在B中由于大于零的正数很明确，因此B也能组成一个集合；C中由于“高个子”没有一个确定的标准，因而不能判定一个学生到底是不是高个子，故它不能组成集合；而D中对于任何一个顾客在这一天是否到过某商场，以及是否买过货物是非常明确的，因此它也能组成一个集合.
答案：C
☆☆变式训练☆☆
下列各组对象中不能构成集合的是( )
A.高一(1)班全体女生
B.高一(1)班全体学生家长
C.高一(1)班开设的所有课程
D.高一(1)班身高较高的男同学
分析：判断所给对象能否构成集合的问题，只需根据构成集合的条件，即集合中元素的确定性便可以解决.因为A、B、C中所给对象都是确定的，从而可以构成集合；而D中所给对象不确定，原因是找不到衡量学生身高较高的标准，故不能构成集合.若将D中“身高较高的男同学”改为“身高175 cm以上的男同学”，则能构成集合.
答案：D
2.用另一种形式表示下列集合：
(1){绝对值不大于3的整数}；
(2){所有被3整除的数}；
(3){x|x＝|x|，x∈Z且x<5}；
(4){x|(3x－5)(x+2)(x2+3)＝0，x∈Z}；
(5){(x，y)|x+y＝6，x>0，y>0，x∈Z，y∈Z}.
思路分析：用列举法与描述法表示集合时，一要分清元素是什么，二要明确元素满足的条件是什么.
答案：(1){绝对值不大于3的整数}还可以表示为{x||x|≤3，x∈Z}，也可表示为{－3，－2，－1，0，1，2，3}.
(2){x|x＝3n，n∈Z}.
(3)∵x＝|x|，∴x≥0.
又∵x∈Z且x<5，
∴{x|x＝|x|，x∈Z且x<5}还可以表示为{0，1，2，3，4}.
(4){－2}.
(5){(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}.
☆☆变式训练☆☆
用适当的形式表示下列集合：
(1)绝对值不大于3的整数组成的集合；
(2)所有被3整除的数组成的集合；
(3)方程(3x－5)(x+2)(x2+3)＝0实数解组成的集合；
(4)一次函数y＝x+6图象上所有点组成的集合.
分析：元素较少的有限集宜采用列举法；对无限集或元素较多的有限集宜采用描述法.
答案：(1){x||x|≤3，x∈Z}或{－3，－2，－1，0，1，2，3}；
(2){x|x＝3n，n∈Z}；
(3){，－2}；
(4){(x，y)|y＝x+6}.
3.已知集合A＝{x|ax2－3x+2＝0，a∈R}，若A中至少有一个元素，求a的取值范围.
思路分析：对于方程ax2－3x+2＝0，a∈R的解，要看这个方程左边的x2的系数，a＝0和a≠0方程的根的情况是不一样的，则集合A的元素也不相同，所以首先要分类讨论.
解：当a＝0时，原方程为－3x+2＝0x＝，符合题意；
当a≠0时，方程ax2－3x+2＝0为一元二次方程，则解得a≠0且a≤.
综上所得a的取值范围是{a|a≤}.
4.用适当的方法表示下列集合：
(1)方程组的解集；
(2)1000以内被3除余2的正整数所组成的集合；
(3)直角坐标平面上在第二象限内的点所组成的集合；
(4)所有正方形；
(5)直角坐标平面上在直线x＝1和x＝－1的两侧的点所组成的集合.
分析：本题考查集合的表示方法.所谓适当的表示方法，就是较简单、较明了的表示方法.由于方程组的解为x＝4，y＝－2.故(1)宜用列举法；(2)中尽管是有限集，但由于它的元素个数较多，所以用列举法表示是不明智的，故用描述法；(3)和(5)也宜用描述法；而(4)则宜用列举法为好.
解：(1){(4，－2)}；
(2){x|x＝3k+2，k∈N且x<1000}；
(3){(x，y)|x<0且y>0}；
(4){正方形}；
(5){(x，y)|x<－1或x>１}.
知能训练
课本P5练习1、2.
拓展提升
1.已知A＝{x∈R|x＝，abc≠0}，用列举法表示集合A.
分析：解决本题的关键是去掉绝对值符号，需分类讨论.
解：题目中x的取值取决于a、b、c的正负情况，可分成以下几种情况讨论：
(1)a、b、c全为正时，x＝7；
(2)a、b、c两正一负时，x＝－1；
(3)a、b、c一正两负时，x＝－1；
(4)a、b、c全为负时，x＝－1.
∴A＝{7，－1}.
注意：(2)、(3)中又包括多种情况(a、b、c各自的正负情况)，解题时应考虑全面.
2.已知集合C＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}.
(1)若A＝{0，1，2，3}，B＝{6，7，8，9}，求集合C中所有元素之和S；
(2)若A＝{0，1，2，3，4，…，2 005}，B＝{5，6，7，8，9}，试用代数式表示出集合C中所有元素之和S；
(3)联系高斯求S＝1+2+3+4+…+99+100的方法，试求出(2)中的S.
思路分析：先用列举法写出集合C，然后解决各个小题.
答案：(1)列举法表示集合C＝{6，7，8，9，10，11，12}，进而易求得S＝6+7+8+9+10+11+12＝63.
(2)列举法表示集合C＝{5，6，7，…，2 013，2 014}，由此可得S＝5+6+7+…+2 013+2 014.
(3)高斯求S＝1+2+3+4+…+99+100时，利用1+100＝2+99＝3+98＝…＝50+51＝101，进而得S＝1+2+3+4+…+99+100＝101×50＝5 050.
本题(2)中S＝5+6+7+…+2 013+2 014＝2 019×1 005＝2 029 095.
课堂小结
在师生互动中，让学生了解或体会下列问题：
(1)本节课我们学习过哪些知识内容
(2)你认为学习集合有什么意义？
(3)选择集合的表示法时应注意些什么
设计感想
本节课是集合的起始课，采用教师启发引导，学生探究学习的教学方法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法.
作业
1.课本P11习题1.1A组4.
2.元素与集合的关系有多少种？如何表示？类似地集合与集合间的关系又有多少种呢？如何表示？请同学们通过预习课本来解答.
(设计者：韩双影)
1.1.2 集合间的基本关系
整体设计
教学分析
课本从学生熟悉的集合(自然数的集合、有理数的集合等)出发，通过类比实数间的大小关系引入集合间的关系，同时，结合相关内容介绍子集等概念.在安排这部分内容时，课本注重体现逻辑思考的方法，如类比等.
值得注意的问题：在集合间的关系教学中，建议重视使用Venn图，这有助于学生通过体会直观图示来理解抽象概念；随着学习的深入，集合符号越来越多，建议教学时引导学生区分一些容易混淆的关系和符号，例如∈与?的区别.
三维目标
1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，能判断给定集合间的关系，提高利用类比发现新结论的能力.
2.在具体情境中，了解空集的含义，掌握并能使用Venn图表达集合的关系，加强学生从具体到抽象的思维能力，树立数形结合的思想.
重点难点
教学重点：理解集合间包含与相等的含义.
教学难点：理解空集的含义.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.实数有相等、大小关系，如5＝5，5<7，5>3等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？(让学生自由发言，教师不要急于作出判断，而是继续引导学生)
欲知谁正确，让我们一起来观察、研探.
思路2.复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系，填空：(1)0N；(2)2Q；(3)－1.5R.
类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？(答案：(1)∈；(2)?；(3)∈)
推进新课
★☆新知探究☆★
提出问题
(1)观察下面几个例子：
①A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，5}；
②设A为国兴中学高一(3)班男生的全体组成的集合，B为这个班学生的全体组成的集合；
③设C＝{x|x是两条边相等的三角形}，D＝{x|x是等腰三角形}；
④E＝{2，4，6}，F＝{6，4，2}.
你能发现两个集合间有什么关系吗？
(2)例子①中集合A是集合B的子集，例子④中集合E是集合F的子集，同样是子集，有什么区别？
(3)结合例子④，类比实数中的结论：“若a≤b，且b≤a，则a＝b”，在集合中，你发现了什么结论
(4)按升国旗时，每个班的同学都聚集在一起站在旗杆附近指定的区域内，从楼顶向下看，每位同学是哪个班的，一目了然.试想一下，根据从楼顶向下看的，要想直观表示集合，联想集合还能用什么表示？
(5)试用Venn图表示例子①中集合A和集合B.
(6)已知A?B，试用Venn图表示集合A和B的关系.
(7)任何方程的解都能组成集合，那么x2+1＝0的实数根也能组成集合，你能用Venn图表示这个集合吗？
(8)一座房子内没有任何东西，我们称为这座房子是空房子，那么一个集合没有任何元素，应该如何命名呢？
(9)与实数中的结论“若a≥b，且b≥c，则a≥c”相类比，在集合中，你能得出什么结论
活动：教师从以下方面引导学生：
(1)观察两个集合间元素的特点.
(2)从它们含有的元素间的关系来考虑.规定：如果AB，但存在x∈B，且xA，我们称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA).
(3)实数中的“≤”类比集合中的.
(4)把指定位置看成是由封闭曲线围成的，学生看成集合中的元素，从楼顶看到的就是把集合中的元素放在封闭曲线内.教师指出：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图.
(5)封闭曲线可以是矩形也可以是椭圆等等，没有限制.
(6)分类讨论：当AB时，AB或A＝B.
(7)方程x2+1＝0没有实数解.
(8)空集记为，并规定：空集是任何集合的子集，即A；空集是任何非空集合的真子集，即A(A≠).
(9)类比子集.
讨论结果：
(1)①集合A中的元素都在集合B中；
②集合A中的元素都在集合B中；
③集合C中的元素都在集合D中；
④集合E中的元素都在集合F中.
可以发现：对于任意两个集合A，B有下列关系：集合A中的元素都在集合B中；或集合B中的元素都在集合A中.
(2)例子①中AB，但有一个元素4∈B，且4A；而例子②中集合E和集合F中的元素完全相同.
(3)若AB，且BA，则A＝B.
(4)可以把集合中元素写在一个封闭曲线的内部来表示集合.
(5)如图1121所示表示集合A，如图1122所示表示集合B.
图1－1－2－1图1－1－2－2
(6)如图1－1－2－3和图1－1－2－4所示.
图1－1－2－3图1－1－2－4
(7)不能.因为方程x2+1＝0没有实数解.
(8)空集.
(9)若AB，BC，则AC；若AB，BC，则AC.
应用示例
思路1
1.某工厂生产的产品在重量和长度上都合格时，该产品才合格.若用A表示合格产品的集合，B表示重量合格的产品的集合，C表示长度合格的产品的集合.已知集合A、B、C均不是空集.
(1)则下列包含关系哪些成立？
AB，BA，AC，CA.
(2)试用Venn图表示集合A、B、C间的关系.
活动：学生思考集合间的关系以及Venn图的表示形式.当集合A中的元素都属于集合B时，则AB成立，否则AB不成立.用相同的方法判断其他包含关系是否成立.教师提示学生以下两点：
(1)重量合格的产品不一定是合格产品，但合格的产品一定重量合格；
长度合格的产品不一定是合格产品，但合格的产品一定长度合格.
(2)根据集合A、B、C间的关系来画出Venn图.
解：(1)包含关系成立的有：BA，CA.
(2)集合A、B、C间的关系用Venn图表示，如图1－1－2－5所示.
图1－1－2－5
☆☆变式训练☆☆
课本P7练习3.
点评：本题主要考查集合间的包含关系.其关键是首先明确两集合中的元素具体是什么.
判断两个集合A、B之间是否有包含关系的步骤是：先明确集合A、B中的元素，再分析集合A、B中的元素之间的关系，得：当集合A中的元素都属于集合B时，有AB；当集合A中的元素都属于集合B，当集合B中至少有一个元素不属于集合A时，有AB；当集合A中的元素都属于集合B，并且集合B中的元素也都属于集合A时，有A＝B；当集合A中至少有一个元素不属于集合B，并且集合B中至少有一个元素也不属于集合A时，有AB，且BA，即集合A、B互不包含.
2.写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集.
活动：学生思考子集和真子集的定义，教师提示学生空集是任何集合的子集，一个集合不是其本身的真子集.按集合{a，b}的子集所含元素的个数分类讨论.
解：集合{a，b}的所有子集为，{a}，{b}，{a，b}.真子集为，{a}，{b}.
☆☆变式训练☆☆
2007山东济宁一模，1
已知集合P＝{1，2}，那么满足QP的集合Q的个数是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
分析：集合P＝{1，2}含有2个元素，其子集有22＝4个，
又集合QP，所以集合Q有4个.
答案：A
点评：本题主要考查子集和真子集的概念，以及分类讨论的思想.通常按子集中所含元素的个数来写出一个集合的所有子集，这样可以避免重复和遗漏.
思考：集合A中含有n个元素，那么集合A有多少个子集？多少个真子集？
解：当n＝0时，即空集的子集为，即子集的个数是1＝20；
当n＝1时，即含有一个元素的集合如{a}的子集为，{a}，即子集的个数是2＝21；
当n＝2时，即含有一个元素的集合如{a，b}的子集为，{a}，{b}，{a，b}，即子集的个数是4＝22.
……
集合A中含有n个元素，那么集合A有2n个子集，由于一个集合不是其本身的真子集，所以集合A有(2n－1)个真子集.
思路2
1.2006上海高考，理1已知集合A＝{－1，3，2m－1}，集合B＝{3，m2}.若BA，则实数m＝_______.
活动：先让学生思考BA的含义，根据BA，知集合B中的元素都属于集合A，集合元素的互异性，列出方程求实数m的值.因为BA，所以3∈A，m2∈A.对m2的值分类讨论.
解：∵BA，∴3∈A，m2∈A.∴m2＝－1(舍去)或m2＝2m－1.解得m＝1.∴m＝1.
答案：1
点评：本题主要考查集合和子集的概念，以及集合元素的互异性.本题容易出现m2＝3，其原因是忽视了集合元素的互异性.避免此类错误的方法是解得m的值后，再代入验证.
讨论两集合之间关系时，通常依据相关的定义，观察这两个集合元素的关系，转化为解方程或解不等式.
☆☆变式训练☆☆
已知集合M＝{x|2－x<0}，集合N＝{x|ax＝1}，若NM，求实数a的取值范围.
分析：集合N是关于x的方程ax＝1的解集，集合M＝{x|x>2}≠，由于NM，则N＝或N≠，要对集合N是否为空集分类讨论.
解：由题意得M＝{x|x>2}≠，则N＝或N≠.
当N＝时，关于x的方程ax＝1中无解，则有a＝0；
当N≠时，关于x的方程ax＝1中有解，则a≠0，此时x＝，又∵NM，∴∈M.∴>2.
∴02.(1)分别写出下列集合的子集及其个数：，{a}，{a，b}，{a，b，c}.
(2)由(1)你发现集合M中含有n个元素，则集合M有多少个子集？
活动：学生思考子集的含义，并试着写出子集.(1)按子集中所含元素的个数分类写出子集；(2)由(1)总结当n＝0，n＝1，n＝2，n＝3时子集的个数规律，归纳猜想出结论.
答案：(1)的子集有：，即?有1个子集；
{a}的子集有：、{a}，即{a}有2个子集；
{a，b}的子集有：、{a}、{b}、{a，b}，即{a，b}有4个子集；
{a，b，c}的子集有：、{a}、{b}、{c}、{a，b}、{a，c}、{b，c}、{a，b，c}，即{a，b，c}有8个子集.
(2)由(1)可得：当n＝0时，有1＝20个子集；
当n＝1时，集合M有2＝21个子集；
当n＝2时，集合M有4＝22个子集；
当n＝3时，集合M有8＝23个子集；
因此含有n个元素的集合M有2n个子集.
☆☆变式训练☆☆
已知集合A{2，3，7}，且A中至多有一个奇数，则这样的集合A有……( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
分析：对集合A所含元素的个数分类讨论.
A＝或{2}或{3}或{7}或{2，3}或{2，7}共有6个.
答案：D
点评：本题主要考查子集的概念以及分类讨论和归纳推理的能力.集合M中含有n个元素，则集合M有2n个子集，有2n－1个真子集，记住这个结论，可以提高解题速度.写一个集合的子集时，按子集中元素的个数来写不易发生重复和遗漏现象.
知能训练
课本P7练习1、2.
【补充练习】
1.判断正误：
(1)空集没有子集. ( )
(2)空集是任何一个集合的真子集. ( )
(3)任一集合必有两个或两个以上子集. ( )
(4)若BA，那么凡不属于集合A的元素，则必不属于B. ( )
分析：关于判断题应确实把握好概念的实质.
解：该题的5个命题，只有(4)是正确的，其余全错.
对于(1)、(2)来讲，由规定：空集是任何一个集合的子集，且是任一非空集合的真子集.
对于(3)来讲，可举反例，空集这一个集合就只有自身一个子集.
对于(4)来讲，当x∈B时必有x∈A，则xA时也必有xB.
2.集合A＝{x|－1分析：区分子集与真子集的概念，空集是任一非空集合的真子集，一个含有n个元素的子集有2n个，真子集有2n－1个，则该题先找该集合元素，后找真子集.
解：因－1即a＝{x|－1真子集：、{1}、{2}、{0}、{0，1}、{0，2}、{1，2}，共7个.
3.(1)下列命题正确的是 ( )
A.无限集的真子集是有限集
B.任何一个集合必定有两个子集
C.自然数集是整数集的真子集
D.{1}是质数集的真子集
(2)以下五个式子中，错误的个数为 ( )
①{1}∈{0，1，2} ②{1，－3}＝{－3，1} ③{0，1，2}{1，0，2}
④∈{0，1，2} ⑤∈{0}
A.5 B.2 C.3 D.4
(3)M＝{x|3A.aM B.aM C.{a}∈M D.{a}M
分析：(1)该题要在四个选择肢中找到符合条件的选择肢，必须对概念把握准确，
无限集的真子集有可能是无限集，如N是R的真子集，排除A；由于只有一个子集，即它本身，排除B；由于1不是质数，排除D.
(2)该题涉及到的是元素与集合，集合与集合的关系.
①应是{1}{0，1，2}，④应是{0，1，2}，⑤应是{0}.
故错误的有①④⑤.
(3)M＝{x|3因3{a}是{x|3答案：(1)C (2)C (3)D
4.判断如下集合A与B之间有怎样的包含或相等关系：
(1)A＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x|x＝2m+1，m∈Z}；
(2)A＝{x|x＝2m，m∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}.
解：(1)因A＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x|x＝2m+1，m∈Z}，故A、B都是由奇数构成的，即A＝B.
(2)因A＝{x|x＝2m，m∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}，
又x＝4n＝2·2n，
在x＝2m中，m可以取奇数，也可以取偶数；而在x＝4n中，2n只能是偶数.
故集合A、B的元素都是偶数.但B中元素是由A中部分元素构成，则有BA.
点评：此题是集合中较抽象的题目.要注意其元素的合理寻求.
5.已知集合P＝{x|x2+x－6＝0}，Q＝{x|ax+1＝0}满足QP，求a所取的一切值.
解：因P＝{x|x2+x－6＝0}＝{2，－3}，
当a＝0时，Q＝{x|ax+1＝0}＝，QP成立.
又当a≠0时，Q＝{x|ax+1＝0}＝{}，要QP成立，则有＝2或＝－3，a＝或a＝.
综上所述，a＝0或a＝或a＝.
点评：这类题目给的条件中含有字母，一般需分类讨论.本题易漏掉a＝0，ax+1＝0无解，即Q为空集的情况，而当Q＝时，满足QP.
6.已知集合A＝{x∈R|x2－3x+4＝0}，B＝{x∈R|(x+1)(x2+3x－4)＝0}，要使APB，求满足条件的集合P.
解：由A＝{x∈R|x2－3x+4＝0}＝，
B＝{x∈R|(x+1)(x2+3x－4)＝0}＝{－1，1，－4}，
由A?PB知集合P非空，且其元素全属于B，即有满足条件的集合P为
{1}或{－1}或{－4}或{－1，1}或{－1，－4}或{1，－4}或{－1，1，－4}.
点评：要解决该题，必须确定满足条件的集合P的元素，而做到这点，必须明确A、B，充分把握子集、真子集的概念，准确化简集合是解决问题的首要条件.
7.设A＝{0，1}，B＝{x|xA}，则A与B应具有何种关系？
解：因A＝{0，1}，B＝{x|xA}，
故x为，{0}，{1}，{0，1}，即{0，1}是B中一元素.故A∈B.
点评：注意该题的特殊性，一集合是另一集合的元素.
8.集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m－1}，
(1)若BA，求实数m的取值范围；
(2)当x∈Z时，求A的非空真子集个数；
(3)当x∈R时，没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围.
解：(1)当m+1>2m－1即m<2时，B＝满足BA.
当m+1≤2m－1即m≥2时，要使BA成立，
需可得2≤m≤3.综上所得实数m的取值范围m≤3.
(2)当x∈Z时，A＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}，
所以，A的非空真子集个数为2上标8－2＝254.
(3)∵x∈R，且A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m－1}，又没有元素x使x∈A与x∈B同时成立.
则①若B≠即m+1>2m－1，得m<2时满足条件；
②若B≠，则要满足条件有：或解之，得m>4.
综上有m<2或m>4.
点评：此问题解决要注意：不应忽略；找A中的元素；分类讨论思想的运用.
拓展提升
问题：已知AB，且AC，B＝{0，1，2，3，4}，C＝{0，2，4，8}，则满足上述条件的集合A共有多少个？
活动：学生思考AB，且AC所表达的含义.AB说明集合A是集合B的子集，即集合A中元素属于集合B，同理有集合A中元素属于集合C.因此集合A中的元素是集合B和集合C的公共元素.
思路1：写出由集合B和集合C的公共元素所组成的集合，得满足条件的集合A；
思路2：分析题意，仅求满足条件的集合A的个数，转化为求集合B和集合C的公共元素所组成的集合的子集个数.
解法一：因AB，AC，B＝{0，1，2，3，4}，C＝{0，2，4，8}，由此，满足AB，有：，{0}，{1}，{2}，{3}，{4}，
{0，1}，{0，2}，{2，3}，{2，4}，{0，3}，{0，4}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{3，4}，{0，2，4}，{0，1，2}，{0，1，3}，{0，1，4}，{1，2，3}，{1，2，4}，{2，3，4}，{0，3，4}，{0，1，2，3}，{1，2，3，4}，{0，1，3，4}，{0，2，3}，{1，3，4}，{0，1，2，4}，{0，2，3，4}，{0，1，2，3，4}，共25＝32(个).
又满足AC的集合A有：，{0}，{2}，{4}，{8}，{0，2}，{0，4}，{0，8}，{2，4}，{2，8}，{4，8}，{0，2，4}，
{0，2，8}，{0，4，8}，{2，4，8}，{0，2，4，8}，共24＝16(个).
其中同时满足AB，AC的有8个：，{0}，{2}，{4}，{0，2}，{0，4}，{2，4}，{0，2，4}，实际上到此就可看出，上述解法太繁.
解法二：题目只求集合A的个数，而未让说明A的具体元素，故可将问题等价转化为B、C的公共元素组成集合的子集数是多少.显然公共元素有0、2、4，组成集合的子集有23＝8(个).
点评：有关集合间关系的问题，常用分类讨论的思想来解决；关于集合的子集个数的结论要熟练掌握，其应用非常广泛.
课堂小结
本节课学习了：
①子集、真子集、空集、Venn图等概念；
②能判断存在子集关系的两个集合谁是谁的子集，进一步确定其是否是真子集；
③清楚两个集合包含关系的确定，主要靠其元素与集合关系来说明.
作业
课本P11习题1.1A组5.
设计感想
本节教学设计注重引导学生通过类比来获得新知，在实际教学中，
要留给学生适当的思考时间，使学生自己通过类比得到正确结论.丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念，学生的数学学习活动不能仅限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，独立思考、自主探索、合作交流、阅读自学等都应成为学生学习数学的重要方式.
备课资料
［备选例题］
【例1】下面的Venn图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关系，问集合A、B、C、D、E分别是哪种图形的集合？
图1－1－2－6
思路分析：结合Venn图，利用平面几何中梯形、平行四边形、菱形、正方形的定义来确定.
解：梯形、平行四边形、菱形、正方形都是四边形，故A＝{四边形}；梯形不是平行四边形、菱形、正方形，而菱形、正方形是平行四边形，故B＝{梯形}，C＝{平行四边形}；正方形是菱形，故E＝{正方形}，
即A＝{四边形}，B＝{梯形}，C＝{平行四边形}，D＝{菱形}，E＝{正方形}.
【例2】2006全国高中数学联赛山东赛区预赛，3设集合A＝{x||x|2－3|x|+2＝0}，B＝{x|(a－2)x＝2}，则满足BA的a的值共有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
分析：由已知得A＝{x||x|＝1或|x|＝2}＝{－2，－1，1，2}，集合B是关于x的方程(a－2)x＝2的解集，
∵BA，∴B＝或B≠.
当B＝时，关于x的方程(a－2)x＝2无解，∴a－2＝0.
∴a＝2.当B≠时，关于x的方程(a－2)x＝2的解x＝∈A，
∴＝－2或＝－1或＝1或＝2.
解得a＝1或0或4或3，综上所得，a的值共有5个.
答案：D
【例3】2005天津高考，文1集合A＝{x|0≤x<3且x∈N}的真子集的个数是( )
A.16 B.8 C.7 D.4
分析：A＝{x|0≤x<3且x∈N}＝{0，1，2}，则A的真子集有23－1＝7个.
答案：C
【例4】已知集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|(x－1)(x－a)＝0}，试判断集合B是不是集合A的子集？是否存在实数a使A＝B成立？
解析：先在数轴上表示集合A，然后化简集合B，由集合元素的互异性，可知此时应考虑a的取值是否为1，要使集合B成为集合A的子集，集合B的元素在数轴上的对应点必须在集合A对应的线段上，从而确定字母a的分类标准.
当a＝1时，B＝{1}，所以B是A的子集；当13时，B不是A的子集.综上可知，当1≤a≤3时，B是A的子集.
由于集合B最多只有两个元素，而集合A有无数个元素，故不存在实数a，使B＝A.
点评：分类讨论思想，就是科学合理地划分类别，通过“各个击破”，再求整体解决(即先化整为零，再聚零为整)的策略思想.类别的划分必须满足互斥、无漏、最简的要求，探索划分的数量界限是分类讨论的关键.
［思考］
(1)空集中没有元素，怎么还是集合
(2)符号“∈”和“”有什么区别
剖析：(1)疑点是总是对空集这个概念迷惑不解，并产生怀疑的想法.产生这种想法的原因是没有了解建立空集这个概念的背景，其突破方法是通过实例来体会.例如，根据集合元素的性质，方程的解能够组成集合，这个集合叫做方程的解集.对于＝0，x2+4＝0等方程来说，它们的解集中没有元素.也就是说确实存在没有任何元素的集合，那么如何用数学符号来刻画没有元素的集合呢？为此引进了空集的概念，把不含任何元素的集合叫做空集.这就是建立空集这个概念的背景.由此看出，空集的概念是一个规定.又例如，不等式|x|<0的解集也是不含任何元素，就称不等式|x|<0的解集是空集.
(2)难点是经常把这两个符号混淆，其突破方法是准确把握这两个符号的含义及其应用范围，并加以对比.符号∈只能适用于元素与集合之间，其左边只能写元素，其右边只能写集合，说明左边的元素属于右边的集合，表示元素与集合之间的关系，如－1∈Z，Z；符号只能适用于集合与集合之间，其左右两边都必须写集合，说明左边的集合是右边集合的子集，表示集合与集合之间的关系，如{1}{1，0}，{x|x<0}.
(设计者：王立青)
1.1.3 集合的基本运算
整体设计
教学分析
课本从学生熟悉的集合出发,结合实例,通过类比实数加法运算引入集合间的运算,同时,结合相关内容介绍子集和全集等概念.在安排这部分内容时,课本继续注重体现逻辑思考的方法,如类比等.
值得注意的问题:在全集和补集的教学中,应注意利用图形的直观作用,帮助学生理解补集的概念,并能够用直观图进行求补集的运算.
三维目标
1.理解两个集合的并集与交集、全集的含义,掌握求两个简单集合的交集与并集的方法,会求给定子集的补集,感受集合作为一种语言,在表示数学内容时的简洁和准确,进一步提高类比的能力.
2.通过观察和类比,借助Venn图理解集合的基本运算.体会直观图示对理解抽象概念的作用,培养数形结合的思想.
重点难点
教学重点:交集与并集,全集与补集的概念.
教学难点:理解交集与并集的概念,以及符号之间的区别与联系.
课时安排
2课时
教学过程
第1课时
导入新课
思路1.我们知道,实数有加法运算,两个实数可以相加,例如5+3=8.类比实数的加法运算,集合是否也可以“相加”呢
教师直接点出课题.
思路2.请同学们考察下列各个集合,你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗
(1)A={1,3,5},B={2,4,6},C={1,2,3,4,5,6};
(2)A={x|x是有理数},B={x|x是无理数},C={x|x是实数}.
引导学生通过观察、类比、思考和交流,得出结论.教师强调集合也有运算,这就是我们本节课所要学习的内容.
思路3.(1)①如图1131甲和乙所示,观察两个图的阴影部分,它们分别同集合A、集合B有什么关系？
图1-1-3-1
②观察集合A与B与集合C={1,2,3,4}之间的关系.
学生思考交流并回答,教师直接指出这就是本节课学习的课题:集合的运算.
(2)①已知集合A={1,2,3},B={2,3,4},写出由集合A,B中的所有元素组成的集合C.
②已知集合A={x|x>1},B={x|x<0},在数轴上表示出集合A与B,并写出由集合A与B中的所有元素组成的集合C.
推进新课
新知探究
提出问题
①通过上述问题中集合A与B与集合C之间的关系,类比实数的加法运算,你发现了什么？
②用文字语言来叙述上述问题中,集合A与B与集合C之间的关系.
③用数学符号来叙述上述问题中,集合A与B与集合C之间的关系.
④试用Venn图表示A∪B=C.
⑤请给出集合的并集定义.
⑥求集合的并集是集合间的一种运算,那么,集合间还有其他运算吗？
请同学们考察下面的问题,集合A与B与集合C之间有什么关系？
(ⅰ)A={2,4,6,8,10},B={3,5,8,12},C={8};
(ⅱ)A={x|x是国兴中学2007年9月入学的高一年级女同学},B={x|x是国兴中学2007年9月入学的高一年级男同学},C={x|x是国兴中学2007年9月入学的高一年级同学}.
⑦类比集合的并集,请给出集合的交集定义？并分别用三种不同的语言形式来表达.
活动：先让学生思考或讨论问题,然后再回答,经教师提示、点拨,并对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路,主要引导学生发现集合的并集和交集运算并能用数学符号来刻画,用Venn图来显示.
讨论结果：
①集合之间也可以相加,也可以进行运算,但是为了不和实数的运算相混淆,规定这种运算不叫集合的加法,而是叫做求集合的并集.集合C叫集合A与B的并集.记为A∪B=C,读作A并B.
②所有属于集合A或属于集合B的元素所组成了集合C.
③C={x|x∈A,或x∈B}.
④如图1131所示.
⑤一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的并集.其含义用符号表示为A∪B={x|x∈A,或x∈B},用Venn图表示,如图1131所示.
⑥集合之间还可以求它们的公共元素组成集合的运算,这种运算叫求集合的交集,记作A∩B,读作A交B.(ⅰ)A∩B=C,(ⅱ)A∪B=C.
⑦一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集.
其含义用符号表示为:
A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
用Venn图表示,如图1132所示.
图1-1-3-2
应用示例
思路1
1.设A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},求A∪B,A∩B.
图1-1-3-3
活动：让学生回顾集合的表示法和交集、并集的含义,由于本例题难度较小,让学生自己解决,重点是总结集合运算的方法.根据集合并集、交集的含义,借助于Venn图写出.观察这两个集合中的元素,或用Venn图来表示,如图1133所示.
解：A∪B={4,5,6,8}∪{3,5,7,8}={3,4,5,6,7,8}.A∩B={4,5,6,8}∩{3,5,7,8}={5,8}.
点评：本题主要考查集合的并集和交集.用列举法表示的集合,运算时常利用Venn图或直接观察得到结果.
本题易错解为A∪B={3,4,5,5,6,7,8,8}.其原因是忽视了集合元素的互异性.解决集合问题要遵守集合元素的三条性质.
变式训练
1.集合M={1,2,3},N={-1,5,6,7},则M∪N=________.M∩N=________.
答案：{-1,1,2,3,5,6,7}
2.集合P={1,2,3,m},M={m2,3},P∪M={1,2,3,m},则m=_________.
分析:由题意得m2=1或2或m,解得m=-1,1,,,0.因m=1不合题意,故舍去.
答案：-1,,,0
3.2007河南实验中学月考,理1满足A∪B={0,2}的集合A与B的组数为 ( )
A.2 B.5 C.7 D.9
分析:∵A∪B={0,2},∴A{0,2}.则A=或A={0}或A={2}或A={0,2}.当A=时,B={0,2};当A={0}时,则集合B={2}或{0,2};当A={2}时,则集合B={0}或{0,2};当A={0,2}时,则集合B=或{0}或{2}或{0,2},则满足条件的集合A与B的组数为1+2+2+4=9.
答案：D
4.2006辽宁高考,理2设集合A={1,2},则满足A∪B={1,2,3}的集合B的个数是 ( )
A.1 B.3 C.4 D.8
分析:转化为求集合A子集的个数.很明显3A,又A∪B={1,2,3},必有3∈B,即集合B中至少有一个元素3,其他元素来自集合A中,则集合B的个数等于A={1,2}的子集个数,又集合A中含有22=4个元素,则集合A有22=4个子集,所以满足条件的集合B共有4个.
答案：C
2.设A={x|-1活动：学生回顾集合的表示法和并集、交集的含义.利用数轴,将A、B分别表示出来,则阴影部分即为所求.用数轴表示描述法表示的数集.
解：将A={x|-1图1-1-3-4
由图得A∪B={x|-1A∩B={x|-1点评：本类题主要考查集合的并集和交集.用描述法表示的集合,运算时常利用数轴来计算结果.
变式训练
1.设A={x|2x-4<2},B={x|2x-4>0},求A∪B,A∩B.
答案：A∪B=R,A∩B={x|22.设A={x|2x-4=2},B={x|2x-4=0},求A∪B,A∩B.
答案：A∪B={3,2},A∩B=.
3.2007惠州高三第一次调研考试,文1设集合A={x|-1≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则A∩B等于( )
A.［0,2］ B.［1,2］ C.［0,4］ D.［1,4］
分析:在同一条数轴上表示出集合A、B,如图1135所示.由图得A∩B=［0,2］.
图1-1-3-5
答案：A
课本P11例6、例7.
思路2
1.A={x|x<5},B={x|x>0},C={x|x≥10},则A∩B,B∪C,A∩B∩C分别是什么
活动：
学生先思考集合中元素特征,明确集合中的元素.将集合中元素利用数形结合在数轴上找到,那么运算结果寻求就易进行.这三个集合都是用描述法表示的数集,求集合的并集和交集的关键是找出它们的公共元素和所有元素.
解：因A={x|x<5},B={x|x>0},C={x|x≥10},在数轴上表示,如图1136所示,所以A∩B={x|0B∪C={x|x>0},A∩B∩C=.
图1-1-3-6
点评：本题主要考查集合的交集和并集.求集合的并集和交集时,①明确集合中的元素;②依据并集和交集的含义,借助于直观(数轴或Venn图)写出结果.
变式训练
1.设A={x|x=2n,n∈N*},B={x|x=2n,n∈N},求A∩B,A∪B.
解：对任意m∈A,则有m=2n=2·2n-1,n∈N*,因n∈N*,故n-1∈N,有2n-1∈N,那么m∈B,
即对任意m∈A有m∈B,所以AB.
而10∈B但10A,即AB,那么A∩B=A,A∪B=B.
2.求满足{1,2}∪B={1,2,3}的集合B的个数.
解：满足{1,2}∪B={1,2,3}的集合B一定含有元素3,B={3};还可含1或2其中一个,有{1,3},{2,3};还可含1和2,即{1,2,3},那么共有4个满足条件的集合B.
3.设A={-4,2,a-1,a2},B={9,a-5,1-a},已知A∩B={9},求a.
解：因A∩B={9},则9∈A,a-1=9或a2=9,
a=10或a=±3,
当a=10时,a-5=5,1-a=-9;
当a=3时,a-1=2不合题意.
当a=-3时,a-1=-4不合题意.
故a=10,此时A={-4,2,9,100},B={9,5,-9},满足A∩B={9}.
4.2006北京高考,文1设集合A={x|2x+1<3},B={x|-3A.{x|-3-3} D.{x|x<1}
分析:集合A={x|2x+1<3}={x|x<1},
观察或由数轴得A∩B={x|-3答案：A
2.设集合A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,a∈R},若A∩B=B,求a的值.
活动：
明确集合A、B中的元素,教师和学生共同探讨满足A∩B=B的集合A、B的关系.集合A是方程x2+4x=0的解组成的集合,可以发现,BA,通过分类讨论集合B是否为空集来求a的值.利用集合的表示法来认识集合A、B均是方程的解集,通过画Venn图发现集合A、B的关系,从数轴上分析求得a的值.
解：由题意得A={-4,0}.∵A∩B=B,∴BA.∴B=或B≠.
当B=时,即关于x的方程x2+2(a+1)x+a2-1=0无实数解,
则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,解得a<-1.
当B≠时,若集合B仅含有一个元素,则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,解得a=-1,
此时,B={x|x2=0}={0}A,即a=-1符合题意.
若集合B含有两个元素,则这两个元素是-4,0,
即关于x的方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的解是-4,0.
则有
解得a=1,则a=1符合题意.
综上所得,a=1或a≤-1.
变式训练
1.已知非空集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|3≤x≤22},则能使A(A∩B)成立的所有a值的集合是什么？
解：由题意知A(A∩B),即AB,A非空,利用数轴得解得6≤a≤9,
即所有a值的集合是{a|6≤a≤9}.
2.已知集合A={x|-2≤x≤5},集合B={x|m+1≤x≤2m-1},且A∪B=A,试求实数m的取值范围.
分析:由A∪B=A得BA,则有B=或B≠,因此对集合B分类讨论.
解：∵A∪B=A,∴BA.
又∵A={x|-2≤x≤5}≠,∴B=,或B≠.
当B=时,有m+1>2m-1,∴m<2.
当B≠时,观察图1-1-3-7:
图1-1-3-7
由数轴可得解得-2≤m≤3.
综上所述,实数m的取值范围是m<2或-2≤m≤3,即m≤3.
点评：本题主要考查集合的运算、分类讨论的思想,以及集合间关系的应用.已知两个集合的运算结果,求集合中参数的值时,由集合的运算结果确定它们的关系,通过深刻理解集合表示法的转换,把相关问题化归为其他常见的方程、不等式等数学问题.这称为数学的化归思想,是数学中的常用方法,学会应用化归和分类讨论的数学思想方法解决有关问题.
知能训练
课本P11练习1、2、3.
【补充练习】
1.设a={3,5,6,8},B={4,5,7,8},
(1)求A∩B,A∪B.
(2)用适当的符号(、)填空:
A∩B________A,B________A∩B,A∪B________A,A∪B________B,A∩B________A∪B.
解：(1)因A、B的公共元素为5、8,故两集合的公共部分为5、8,
则A∩B={3,5,6,8}∩{4,5,7,8}={5,8}.
又A、B两集合的元素3、4、5、6、7、8,
故A∪B={3,4,5,6,7,8}.
(2)由文氏图可知
A∩BA,BA∩B,A∪BA,A∪BB,A∩BA∪B.
2.设A={x|x<5},B={x|x≥0},求A∩B.
解：因x<5及x≥0的公共部分为0≤x<5,
故A∩B={x|x<5}∩{x|x≥0}={x|0≤x<5}.
3.设A={x|x是锐角三角形},B={x|x是钝角三角形},求A∩B.
解：因三角形按角分类时,锐角三角形和钝角三角形彼此孤立.故A、B两集合没有公共部分.
所以A∩B={x|x是锐角三角形}∩{x|x是钝角三角形}=.
4.设A={x|x>-2},B={x|x≥3},求A∪B.
解：在数轴上将A、B分别表示出来,得A∪B={x|x>-2}.
5.设A={x|x是平行四边形},B={x|x是矩形},求A∪B.
解：因矩形是平行四边形,故由A及B的元素组成的集合为A∪B,A∪B={x|x是平行四边形}.
6.已知M={1},N={1,2},设A={(x,y)|x∈M,y∈N},B={(x,y)|x∈N,y∈M},求A∩B,A∪B.
分析:M、N中元素是数.A、B中元素是平面内点集,关键是找其元素.
解：∵M={1},N={1,2},则A={(1,1),(1,2)},B={(1,1),(2,1)},故A∩B={(1,1)},A∪B={(1,1),(1,2),
(2,1)}.
7.2006江苏高考,7若A、B、C为三个集合,A∪B=B∩C,则一定有( )
A.AC B.CA C.A≠C D.A=
分析:思路一:∵(B∩C)B,(B∩C)C,A∪B=B∩C,
∴A∪BB,A∪BC.∴ABC.∴AC.
思路二:取满足条件的A={1},B={1,2},C={1,2,3},排除B、D,
令A={1,2},B={1,2},C={1,2},则此时也满足条件A∪B=B∩C,
而此时A=C,排除C.
答案：A
拓展提升
观察：(1)集合A={1,2},B={1,2,3,4}时,A∩B,A∪B这两个运算结果与集合A,B的关系;
(2)当A=时,A∩B,A∪B这两个运算结果与集合A,B的关系;
(3)当A=B={1,2}时,A∩B,A∪B这两个运算结果与集合A,B的关系.
由(1)(2)(3)你发现了什么结论？
活动：依据集合的交集和并集的含义写出运算结果,并观察与集合A,B的关系.用Venn图来发现运算结果与集合A,B的关系.(1)(2)(3)中的集合A,B均满足AB,用Venn图表示,如图1138所示,就可以发现A∩B,A∪B与集合A,B的关系.
图1-1-3-8
解：A∩B=AABA∪B=B.
可用类似方法,可以得到集合的运算性质,归纳如下:
A∪B=B∪A,A(A∪B),B(A∪B);A∪A=A,A∪=A,ABA∪B=B;
A∩B=B∩A;(A∩B)A,(A∩B)B;A∩A=A;A∩=;ABA∩B=A.
课堂小结
本节主要学习了:
1.集合的交集和并集.
2.通常借助于数轴或Venn图来求交集和并集.
作业
1.课外思考:对于集合的基本运算,你能得出哪些运算规律？
2.请你举出现实生活中的一个实例,并说明其并集、交集和补集的现实含义.
3.书面作业:课本P12习题1.1A组6、7、8.
设计感想
由于本节课内容比较容易接受,也是历年高考的必考内容之一,所以在教学设计上注重加强练习和拓展课本内容.设计中通过借助于数轴或Venn图写出集合运算的结果,这是突破本节教学难点的有效方法.
(设计者：尚大志)
第2课时
导入新课
问题:①分别在整数范围和实数范围内解方程(x-3)(x)=0,其结果会相同吗
②若集合A={x|0学生回答后,教师指明:在不同的范围内集合中的元素会有所不同,这个“范围”问题就是本节学习的内容,引出课题.
推进新课
新知探究
提出问题
①用列举法表示下列集合:
A={x∈Z|(x-2)(x+)(x)=0};
B={x∈Q|(x-2)(x+)(x)=0};
C={x∈R|(x-2)(x+)(x)=0}.
②问题①中三个集合相等吗？为什么？
③由此看,解方程时要注意什么？
④问题①,集合Z,Q,R分别含有所解方程时所涉及的全部元素,这样的集合称为全集,请给出全集的定义.
⑤已知全集U={1,2,3},A={1},写出全集中不属于集合A的所有元素组成的集合B.
⑥请给出补集的定义.
⑦用Venn图表示A.
活动：组织学生充分讨论、交流,使学生明确集合中的元素,提示学生注意集合中元素的范围.
讨论结果：
①A={2},B={2,},C={2,,}.
②不相等,因为三个集合中的元素不相同.
③解方程时,要注意方程的根在什么范围内,同一个方程,在不同的范围其解会有所不同.
④一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记为U.
⑤B={2,3}.
⑥对于一个集合A,全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集.
集合A相对于全集U的补集记为A,即A={x|x∈U,且x?A}.
⑦如图1-1-3-9所示,阴影表示补集.
图1-1-3-9
应用示例
思路1
1.设U={x|x是小于9的正整数},A={1,2,3},B={3,4,5,6},求A,B.
活动：让学生明确全集U中的元素,回顾补集的定义,用列举法表示全集U,依据补集的定义写出A,B.
解：根据题意,可知U={1,2,3,4,5,6,7,8},所以
A={4,5,6,7,8};B={1,2,7,8}.
点评：本题主要考查补集的概念和求法.用列举法表示的集合,依据补集的含义,直接观察写出集合运算的结果.
常见结论:(A∩B)=(A)∪(B);(A∪B)=(A)∩(B).
变式训练
1.2007吉林高三期末统考,文1已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5,7},B={3,4,5},则(A)∩(B)等于( )
A.{1,6} B.{4,5} C.{2,3,4,5,7} D.{1,2,3,6,7}
分析:思路一:观察得(A)∩(B)={1,3,6}∩{1,2,6,7}={1,6}.
思路二:A∪B={2,3,4,5,7},则(A)∩(B)=(A∪B)={1,6}.
答案：A
2.2007北京东城高三期末教学目标抽测一,文1设集合U={1,2,3,4,5},A={1,2,4},B={2},则A∩(B)等于( )
A.{1,2,3,4,5} B.{1,4} C.{1,2,4} D.{3,5}
答案：B
3.2005浙江高考,理1设全集U={1,2,3,4,5,6,7},P={1,2,3,4,5},Q={3,4,5,6,7},则P∩(Q)等于( )
A.{1,2} B.{3,4,5} C.{1,2,6,7} D.{1,2,3,4,5}
答案：A
2.设全集U={x|x是三角形},A={x|x是锐角三角形},B={x|x是钝角三角形}.求A∩B,(A∪B).
活动：学生思考三角形的分类和集合的交集、并集和补集的含义.结合交集、并集和补集的含义写出结果.A∩B是由集合A,B中公共元素组成的集合,(A∪B)是全集中除去集合A∪B中剩下的元素组成的集合.
解：根据三角形的分类可知
A∩B=,
A∪B={x|x是锐角三角形或钝角三角形},(A∪B)={x|x是直角三角形}.
变式训练
1.已知集合A={x|3≤x<8},求A.
解：A={x|x<3或x≥8}.
2.设S={x|x是至少有一组对边平行的四边形},A={x|x是平行四边形},B={x|x是菱形},C={x|x是矩形},求B∩C,B,A.
解：B∩C={x|正方形},B={x|x是邻边不相等的平行四边形},A={x|x是梯形}.
3.已知全集I=R,集合A={x|x2+ax+12b=0},B={x|x2-ax+b=0},满足(A)∩B={2},(B)∩A={4},求实数a、b的值.
答案：a=,b=.
4.设全集U=R,A={x|x≤2+},B={3,4,5,6},则(A)∩B等于…( )
A.{4} B.{4,5,6} C.{2,3,4} D.{1,2,3,4}
分析:∵U=R,A={x|x≤2+},∴A={x|x>2+}.而4,5,6都大于2+,
∴(A)∩B={4,5,6}.
答案：B
思路2
1.已知全集U=R,A={x|-2≤x≤4},B={x|-3≤x≤3},求:
(1)A,B;
(2)(A)∪(B),(A∩B),由此你发现了什么结论？
(3)(A)∩(B),(A∪B),由此你发现了什么结论？
活动：学生回想补集的含义,教师指导学生利用数轴来解决.依据补集的含义,借助于数轴求得.在数轴上表示集合A,B.
解：如图1-1-3-10所示,
图1-1-3-10
(1)由图得A={x|x<-2或x>4},B={x|x<-3或x>3}.
(2)由图得(A)∪(B)={x|x<-2或x>4}∪{x|x<-3或x>3}={x|x<-2或x>3};
∵A∩B={x|-2≤x≤4}∩{x|-3≤x≤3}={x|-2≤x≤3},
∴(A∩B)={x|-2≤x≤3}={x|x<-2或x>3}.
∴得出结论(A∩B)=(A)∪(B).
(3)由图得(A)∩(B)={x|x<-2或x>4}∩{x|x<-3或x>3}={x|x<-3或x>4};
∵A∪B={x|-2≤x≤4}∪{x|-3≤x≤3}={x|-3≤x≤4},
∴(A∪B)={x|-3≤x≤4}={x|x<-3或x>4}.
∴得出结论(A∪B)=(A)∩(B).
变式训练
1.2006重庆高考,理1已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5,7},B={3,4,5},则(A)∪(B)等于( )
A.{1,6} B.{4,5} C.{1,2,3,4,5,7} D.{1,2,3,6,7}
答案：D
2.2005江西高考,理1设集合I={x||x|<3,x∈Z},A={1,2},B={-2,-1,2},则A∪(B)等于( )
A.{1} B.{1,2} C.{2} D.{0,1,2}
答案：D
2.设全集U={x|x≤20,x∈N,x是质数},A∩(B)={3,5},(A)∩B={7,19},(A)∩(B)={2,17},求集合A、B.
活动：学生回顾集合的运算的含义,明确全集中的元素.利用列举法表示全集U,根据题中所给的条件,把集合中的元素填入相应的Venn图中即可.求集合A、B的关键是确定它们的元素,由于全集是U,则集合A、B中的元素均属于全集U,由于本题中的集合均是有限集并且元素的个数不多,可借助于Venn图来解决.
解：U={2,3,5,7,11,13,17,19},
由题意借助于Venn图,如图1-1-3-11所示,
图1-1-3-11
∴A={3,5,11,13},B={7,11,13,19}.
点评：本题主要考查集合的运算、Venn图以及推理能力.借助于Venn图分析集合的运算问题,使问题简捷地获得解决,将本来抽象的集合问题直观形象地表现出来,这正体现了数形结合思想的优越性.
变式训练
1.2007临沂高三期末统考,文1
图1-1-3-12
设I为全集,M、N、P都是它的子集,则图1-1-3-12中阴影部分表示的集合是( )
A.M∩[(N)∩P] B.M∩(N∪P)
C.[(M)∩(N)]∩P D.M∩N∪(N∩P)
分析:思路一:阴影部分在集合M内部,排除C;阴影部分不在集合N内,排除B、D.
思路二:阴影部分在集合M内部,即是M的子集,又阴影部分在P内不在集合N内即在(N)∩P内,所以阴影部分表示的集合是M∩[(N)∩P].
答案：A
2.设U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},(A)∩B={3,7},(B)∩A={2,8},(A)∩(B)={1,5,6},则集合A=________,B=________.
分析:借助Venn,如图1-1-3-13,把相关运算的结果表示出来,自然地就得出集合A、B了.
图1-1-3-13
答案：{2,4,8,9} {3,4,7,9}
知能训练
课本P11练习4.
【补充练习】
1.设全集U=R,A={x|2x+1>0},试用文字语言表述A的意义.
解：A={x|2x+1>0}即不等式2x+1>0的解集,A中元素均不能使2x+1>0成立,即A中元素应当满足2x+1≤0.∴A即不等式2x+1≤0的解集.
2.如图1-1-3-14所示,U是全集,M,P,S是U的三个子集,则阴影部分表示的集合是_______.
图1-1-3-14
分析:观察图可以看出,阴影部分满足两个条件:一是不在集合S内;二是在集合M,P的公共部分内,因此阴影部分表示的集合是集合S的补集与集合M,P的交集的交集,即(S)∩(M∩P).
答案：(S)∩(M∩P)
3.2007安徽淮南一模,理1设集合A、B都是U={1,2,3,4}的子集,已知(A)∩(B)={2},(A)∩B={1},则A等于( )
A.{1,2} B.{2,3} C.{3,4} D.{1,4}
分析:如图1-1-3-15所示.
图1-1-3-15
由于(A)∩(B)={2},(A)∩B={1},则有A={1,2}.∴A={3,4}.
答案：C
4.2006安徽高考,文1设全集U={1,2,3,4,5,6,7,
模块纵览
————课标要求————
1.知识与技能
认识和理解集合、映射、函数、幂函数、指数函数、对数函数等概念，认识和理解它们的有关性质和运算.具有一定的把函数应用于实际的能力.
2.过程与方法
通过背景的给出，通过经历、体验和实践探索过程的展现，通过数学思想方法的渗透，让学生体会过程的重要，并在过程中学习知识，同时领会一定的数学思想和方法.
3.情感、态度与价值观
教育的根本目的是育人.通过对本模块内容的教学，使学生在学习和运用知识的过程中提高对数学学习的兴趣，并在初中函数的学习基础上，对数学有更深刻的感受，提高说理、批判和质疑精神，形成锲而不舍追求真理的科学态度和习惯，树立良好的情感态度和价值观.
————内容概述————
本模块共三章：第一章集合与函数概念；第二章基本初等函数(Ⅰ)；第三章函数的应用.
本模块为了用集合与对应的语言刻画函数概念，先在第一章给出集合的有关概念、表示、关系和运算等；然后从函数实例出发深化函数概念及其表示，并研究映射概念；进而又给出了函数的性质：单调性、最值、奇偶性，这也是对函数的深化；接下来再回到特殊的函数——几个基本初等函数，继续认识函数，本模块重点涉及了指数函数、对数函数、幂函数；最后专门给出了函数在数学和实际中的一些应用实例，使函数的价值得到体现，也是进一步巩固函数的概念，更加强了数学应用.
概括地说，本模块的核心内容是“函数”.函数是描述现实世界最重要、最常用的数学模型，是贯穿整个高中数学的纽带，是学生进一步学习的准备，是未来公民的必需，因此，整个模块以函数作为中心，以函数思想作为指导思想.
本模块无论是数还是形都用函数观点来研究，研究它们的变化及其规律.对方程的认识和研究，也是从函数出发，把它与两个函数相结合，把它的解看成两个函数图象的交点的横坐标.这里把函数作为整体来认识，方程则被看成是包含于函数的局部.
————教学建议————
教师对数学应该有自己深入的想法，只有教师深入了才能有教学的浅出；教师，对于教学也应该有自己的想法，唯其有自己的想法，才能发挥自己的特长，教出具有独到想法的学生.
1.抓住核心，重点突破
由于函数是本模块的重点和核心，因此教师要重视函数的教学，向学生贯彻函数的数学思想，逐步让学生掌握学会函数，更会用函数的思想去解决数学和实际问题.函数概念的教学要从实际背景和定义两个方面帮助学生理解函数的本质，教学中可引导学生联系生活常识，尝试列举具体函数，构建函数的一般定义.要注意：①构成函数的要素和相同函数的含义，②函数的三种表示法的联系、区别与适用性，③分段函数的意义，④映射的概念和判断.教学中应强调对函数概念本质的理解，在求函数定义域、值域时，要控制难度.
2.用课本教，而非教课本
《普通高中数学课程标准》是在《基础教育课程改革纲要(试行)》的指导下编写的，是数学学科教育目标的具体化，体现数学学科对学生最起码的要求，是编制高考大纲的依据，是数学教学和培养学生数学素质的主要依据，具有指导性.《普通高中数学课程标准》的目标是包含“双基”在内的三维发展目标：知识与技能，过程与方法，情感、态度与价值观.在这种教学过程中，课本仅仅是一种学习工具，是课程标准的具体化，课本内容仅仅是帮助学生实现三维发展目标的一种载体，并不要求学生将课本内容全部掌握.由于高中数学课本版本的多样化，高考数学只能依据高中数学课程标准而不是某个版本的课本来命题.因此在处理新课标课本时，首先要考虑高中数学课程标准的培养目标和具体要求.就课本来说，版本不同，对课程标准的理解就有不同，其处理的方式也就不同，因此，在教学中，要深入钻研课程标准、课本、学生，找准三者的连接点.这样在新课程改革的形势下，课本仅仅是教学的素材，在教学过程中，以课本为依托，把课本当作指导教学的素材和蓝本，创造性地使用、改造课本，最终突破课本，即变“教课本”为“用课本教”，树立“用课本教”的课本观.同时这也要求提醒学生，不要把课本看得过于神圣.
3.把学生当成学习的主人
独立自主地思考是学习数学的需要，但是合作交流更不能少.在课堂上，教师尽量不要大包大揽，以先知先觉出现，把结论告诉学生，而是推出判断，引导学生独立思考，并在此基础上进行合作和交流，努力实现师生的互动，这是课标的要求也是时代发展的必然.
4.强调应用，突出提出、分析和解决问题的能力
数学是美的，这正是数学使人兴趣盎然、乐此不疲之处.数学的美，有两个方面：一是其中的思维之美，内在的逻辑和运用逻辑的机智，外在的形式，莫不充满着思维之美；另一方面则是它的作用，它在方方面面的应用.新课标要求强化数学应用，在应用中，应该特别重视实践能力和创造能力的培养；在教学中，要重视动手和一题多解的能力.
第一章 集合与函数概念
————本章教材分析————
通过本章的学习，使学生会使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，并能在自然语言、图形语言、集合语言之间进行转换，体会用集合语言表达数学内容的简洁性、准确性，帮助学生学会用集合语言描述数学对象，发展学生运用数学语言进行交流的能力.通过本章的学习，使学生不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还会用集合与对应的语言刻画函数，为后续学习奠定基础.函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，强调结合实际问题，使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法，从而发展学生对变量数学的认识，培养学生的抽象概括能力，增强学生应用数学的意识.
课本力求紧密结合学生的生活经验和已有数学知识，通过列举丰富的实例，强调从实例出发，让学生对集合和函数概念有充分的感性认知基础，再用集合与对应语言抽象出函数概念.课本突出了集合和函数概念的背景教学，这样比较符合学生的认识规律.教学中要高度重视数学概念的背景教学.课本尽量创设使学生运用集合语言和数学符号进行表达和交流的情境和机会，并注意运用Venn图表达集合的关系及运算，用图象表示函数，帮助学生借助直观图示认识抽象概念.课本在例题、习题的教学中注重运用集合和函数的观点研究、处理数学问题，这一观点，一直贯穿到以后的数学学习中.在例题和习题的编排中，渗透了分类讨论思想，让学生体会到分类讨论思想在生活中和数学中的广泛运用，这是学生在初中阶段所缺少的.函数的表示是本章的主要内容之一，课本重视采用不同的表示法(列表法、图象法、分析法)，目的是丰富学生对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念.在教学中，既要充分发挥图象的直观作用，又要适当地引导学生从代数的角度研究图象，使学生深刻体会数形结合这一重要数学方法.课本将函数推广到了映射，体现了由特殊到一般的思维规律，有利于学生对函数概念学习的连续性.
在教学中，要坚持循序渐进，逐步渗透数形结合、分类讨论这方面的训练.对函数的三要素着重从函数的实质上要求理解，而对定义域、值域的繁难计算，特别是人为的过于技巧化的训练不作提倡，要准确把握这方面的要求，防止拔高教学.重视函数与信息技术整合的要求，通过电脑绘制简单函数动态图象，使学生初步感受到信息技术在函数学习中的重要作用.为了体现课本的选择性，在练习题安排上加大了弹性，教师应根据学生实际情况，合理地取舍.
本章教学时间约需13课时，具体分配如下(仅供参考)：
1.1.1 集合的含义与表示 约1课时
1.1.2 集合间的基本关系 约1课时
1.1.3 集合的基本运算 约2课时
1.2.1 函数的概念 约2课时
1.2.1 函数的表示法 约3课时
1.3.1 单调性与最大 约2课时
1.3.2 奇偶性 约1课时
本章复习 约1课时
1.1 集合
1.1.1 集合的含义与表示
整体设计
教学分析
集合论是现代数学的一个重要的基础.在高中数学中，集合的初步知识与其他内容有着密切的联系，是学习、掌握和使用数学语言的基础.课本从学生熟悉的集合(自然数的集合、有理数的集合等)出发，结合实例给出元素、集合的含义，课本注重体现逻辑思考的方法，如抽象、概括等.
值得注意的问题：由于本小节的新概念、新符号较多，建议教学时先引导学生阅读课本，然后进行交流，让学生在阅读与交流中理解概念并熟悉新符号的使用.在信息技术条件较好的学校，可以利用网络平台让学生交流学习概念后的认识；也可以由教师给出问题，让学生读后回答问题，再由教师给出评价.这样做的目的是培养学生主动学习的习惯，提高阅读与理解、合作与交流的能力.在处理集合问题时，根据需要，及时提示学生运用集合语言进行表述.
三维目标
1.通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，能选择集合不同的语言形式描述具体的问题，提高语言转换和抽象概括能力，树立用集合语言表示数学内容的意识.
2.了解集合元素的确定性、互异性、无序性，掌握常用数集及其专用符号，并能够用其解决有关问题，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的应用意识.
重点难点
教学重点：集合的基本概念与表示方法.
教学难点：选择恰当的方法表示一些简单的集合.
课时安排
1课时
设计方案（一）
教学过程
导入新课
思路1.军训前学校通知：8月15日8点，高一年级学生到操场集合进行军训.试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？
在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定(是高一而不是高二、高三)对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合.
思路2.首先教师提出问题：在初中，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗 引导学生回忆、举例和互相交流自己举的例子.与此同时，教师对学生的活动给予评价.接着教师指出：那么，集合的含义是什么呢 这就是我们这一堂课所要学习的内容.
推进新课
★☆新知探究☆★
提出问题
①请我们班的全体女生起立！接下来问：“咱班的所有女生能不能构成一个集合啊？”
②下面请班上身高在1.75以上的男生起立！他们能不能构成一个集合啊？
③其实，生活中有很多东西能构成集合，比如新华字典里所有的汉字可以构成一个集合等等.那么，大家能不能再举出一些生活中的实际例子呢 请你给出集合的含义.
④如果用A表示高一(3)班全体学生组成的集合，用a表示高一(3)班的一位同学，b是高一(4)班的一位同学，那么a、b与集合A分别有什么关系 由此看见元素与集合之间有什么关系？
⑤世界上最高的山能不能构成一个集合？
⑥世界上的高山能不能构成一个集合？
⑦问题⑥说明集合中的元素具有什么性质？
⑧由实数1、2、3、1组成的集合有几个元素？
⑨问题⑧说明集合中的元素具有什么性质？
⑩由实数1、2、3组成的集合记为M，由实数3、1、2组成的集合记为N，这两个集合中的元素相同吗？这说明集合中的元素具有什么性质？由此类比实数相等，你发现集合有什么结论？
讨论结果：
①能.
②能.
③我们把研究的对象统称为“元素”，那么把一些元素组成的总体叫“集合”.
④a是集合A的元素，b不是集合A的元素.学生得出元素与集合的关系有两种：属于和不属于.
⑤能，是珠穆朗玛峰.
⑥不能.
⑦确定性.给定的集合，它的元素必须是明确的，即任何一个元素要么在这个集合中，要么不在这个集合中，这就是集合的确定性.
⑧3个.
⑨互异性.一个给定集合的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的，这就是集合的互异性.
⑩集合M和N相同.这说明集合中的元素具有无序性，即集合中的元素是没有顺序的.可以发现：如果两个集合中的元素完全相同，那么这两个集合是相等的.
提出问题
阅读课本P3中：数学中一些常用的数集及其记法.快速写出常见数集的记号.
活动：先让学生阅读课本，教师指定学生展示结果.学生写出常用数集的记号后，教师强调：通常情况下，大写的英文字母N、Z、Q、R不能再表示其他的集合，这是专用集合表示符号，类似于110、119等专用电话号码一样.以后，我们会经常用到这些常见的数集，要求熟练掌握.
讨论结果：
常见数集的专用符号.
N：非负整数集(或自然数集)(全体非负整数的集合)；
N*或N+：正整数集(非负整数集N内排除0的集合)；
Z：整数集(全体整数的集合)；
Q：有理数集(全体有理数的集合)；
R：实数集(全体实数的集合).
提出问题
①前面所说的集合是如何表示的？
②阅读课本中的相关内容，并思考：除字母表示法和自然语言之外，还能用什么方法表示集合？
③集合共有几种表示法
活动：①学生回顾所学的集合并作出总结.教师提示可以用字母或自然语言来表示.
②教师可以举例帮助引导：
例如，24的所有正约数构成的集合，把24的所有正约数写在大括号“{}”内，即写出为{1，2，3，4，6，8，12，24}的形式，这种表示集合的方法是列举法.注意：大括号不能缺失；有些集合所含元素个数较多，元素又呈现出一定的规律，在不至于发生误解的情况下，亦可用列举法表示，如：从1到100的所有整数组成的集合：{1，2，3，…，100}，自然数集N：{0，1，2，3，4，…，n，…}；区分a与{a}：{a}表示一个集合，该集合只有一个元素，a表示这个集合的一个元素；用列举法表示集合时不必考虑元素的前后次序；相同的元素不能出现两次.
又例如，不等式x－3>2的解集，这个集合中的元素有无数个，不适合用列举法表示.可以表示为{x∈R|x－3>2}或{x|x－3>2}，这种表示集合的方法是描述法.
③让学生思考总结已经学习了的集合表示法.
讨论结果：
①方法一(字母表示法)：大写的英文字母表示集合，例如常见的数集N、Q，所有的正方形组成的集合记为A等等；
方法二(自然语言)：用文字语言来描述出的集合，例如“所有的正方形”组成的集合等等.
②列举法：把集合中的全部元素一一列举出来，并用大括号“{}”括起来表示集合，这种表示集合的方法叫做列举法；
描述法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.注：在不致混淆的情况下，也可以简写成列举法的形式，只是去掉竖线和元素代表符号，例如：所有直角三角形的集合可以表示为{x|x是直角三角形}，也可以写成{直角三角形}.
③表示一个集合共有四种方法：字母表示法、自然语言、列举法、描述法.
应用示例
思路1
1.下列各组对象不能组成集合的是( )
A.大于6的所有整数 B.高中数学的所有难题
C.被3除余2的所有整数 D.函数y＝图象上所有的点
活动：学生先思考、讨论集合元素的性质，教师指导学生此类选择题要逐项判断.判断一组对象能否构成集合，关键是看是否满足集合元素的确定性.
在选项A、C、D中的元素符合集合的确定性；而选项B中，难题没有标准，不符合集合元素的确定性，不能构成集合.
答案：B
☆☆变式训练☆☆
1.下列条件能形成集合的是( )
A.充分小的负数全体 B.爱好足球的人
C.中国的富翁 D.某公司的全体员工
答案：D
2.2007浙江宁波高三第一次“十校联考”，理1
在数集{2x，x2－x}中，实数x的取值范围是.
分析：实数x的取值满足集合元素的互异性，则2x≠x2－x，解得x≠0且x≠3，∴实数x的取值范围是{x|x<0或0
答案：{x|x<0或0
点评：本题主要考查集合的含义和元素的性质.当所指的对象非常明确时就能构成集合，若元素不明确，没有判断的标准就不能构成集合.
2.用列举法表示下列集合：
(1)小于10的所有自然数组成的集合；
(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合；
(3)由1~20以内的所有质数组成的集合.
活动：学生先思考或讨论列举法的形式，展示解答过程.当学生出现错误时，教师及时加以纠正.利用相关的知识先明确集合中的元素，再把元素写入大括号“{}”内，并用逗号隔开.所给的集合均是用自然语言给出的.
提示学生注意以下方面：
(1)自然数中包含零；
(2)解一元二次方程有公式法和分解因式法，方程x2＝x的根是x＝0，x＝1；
(3)除去1和本身外没有其他约数的正整数是质数，1~20以内的所有质数是2、3、5、7、11、13、17、19.
解：(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}.
(2)设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，那么A＝{0，1}.
(3)设由1~20以内的所有质数组成的集合为C，那么C＝{2，3，5，7，11，13，17，19}.
点评：本题主要考查集合表示法中的列举法.通过本题可以体会利用集合表示数学内容的简洁性和严谨性，以后我们尽量用集合来表示数学内容.
如果一个集合是有限集，并且元素的个数较少时，通常选择列举法表示，其特点是非常显明地表示出了集合中的元素，是常用的表示法；
列举法表示集合的步骤：(1)用字母表示集合；(2)明确集合中的元素；(3)把集合中所有元素写在大括号“{}”内，并写成A＝{……}的形式.
☆☆变式训练☆☆
用列举法表示下列集合：
(1)所有绝对值等于8的数的集合A；
(2)所有绝对值小于8的整数的集合B.
答案：(1)A＝{－8，8}；
(2)B＝{－7，－6，－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5，6，7}.
3.试分别用列举法和描述法表示下列集合：
(1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合；
(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.
活动：先让学生回顾列举法表示集合的步骤，思考描述法的形式，再找学生到黑板上书写.当学生出现错误时，教师指导学生书写过程.用描述法表示集合时，要用数学符号表示集合元素的特征.大于10小于20的所有整数用数学符号可以表示为10
在(1)中利用条件中现有元素代表符号x，集合中元素的共同特征就是满足方程x2－2＝0.
在(2)的条件中没有元素代表符号，故要先设出，用一个小写英文字母表示即可；集合中元素的共同特征有两个：一是大于10小于20(用不等式表示)，二是整数(用元素与集合的关系符号“∈”来表示).
解：(1)设方程x2－2＝0的实根为x，它满足条件x2－2＝0，因此，用描述法表示为A＝{x∈R|x2－2＝0}.
方程x2－2＝0的两个实数根为，，因此，用列举法表示为A＝{，}.
(2)设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z，且10
描述法表示集合的步骤：(1)用字母分别表示集合和元素；(2)用数学符号表达集合元素的共同特征；(3)在大括号内先写上集合中元素的代表符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.并写成A＝{…|…}的形式.描述法适合表示有无数个元素的集合.
注意：当集合中的元素个数较少时，通常用列举法表示，否则用描述法表示.
思路2
1.(1)A＝{1，3}，判断元素3，5和集合A的关系，并用符号表示.
(2)所有素质好的人能否表示为集合
(3)A＝{2，2，4}表示是否准确
(4)A＝{太平洋，大西洋}，B＝{大西洋，太平洋}是否表示同一集合
活动：如果学生没有解题思路，让学生思考以下知识：
(1)元素与集合的关系及其符号表示；
(2)集合元素的性质；
(3)两个集合相同的定义.
解：(1)根据元素与集合的关系有两种：属于(∈)和不属于()，知3属于集合A，即3∈A，5不属于集合A，即5A.
(2)由于素质好的人标准不可量化，不符合集合元素的确定性，故A不能表示为集合.
(3)表示不准确，不符合集合元素的互异性，应表示为A＝{2，4}.
(4)因其元素相同，A与B表示同一集合.
☆☆变式训练☆☆
1.数集{3，x，x2－2x}中，实数x满足什么条件
解：集合元素的特征说明{3，x，x2－2x}中元素应满足
即也就是即满足x≠－1，0，3.
2.方程ax2+5x+c＝0的解集是{，}，则a＝________，c＝_______.
分析：方程ax2+5x+c＝0的解集是{，}，那么、是方程的两根，
即有得那么a＝－6，c＝－1.
答案：6 －1
3.集合A中的元素由关于x的方程kx2－3x+2＝0的解构成，其中k∈R，若A中仅有一个元素，求k的值.
解：由于A中元素是关于x的方程kx2－3x+2＝0(k∈R)的解，
若k＝0，则x＝，知A中有一个元素，符合题设；
若k≠0，则方程为一元二次方程，
当Δ＝9－8k＝0即k＝时，kx2－3x+2＝0有两相等的实数根，此时A中有一个元素.
综上所述k＝0或k＝.
4.2006山东高考，理1定义集合运算：A⊙B＝{z|z＝xy(x+y)，x∈A，y∈B}，设集合A＝{0，1}，B＝{2，3}，则集合A⊙B的所有元素之和为…( )
A.0 B.6 C.12 D.18
分析：∵x∈A，∴x＝0或x＝1.
当x＝0，y∈B时，总有z＝0；
当x＝1时，
若x＝1，y＝2时，有z＝6；当x＝1，y＝3时，有z＝12.
综上所得，集合A⊙B的所有元素之和为0+6+12＝18.
答案：D
注意：①判断元素与此集合的关系时，用列举法表示的集合，只需观察这个元素是否在集合中即可.用符号∈，?表示，注意这两个符号的左边写元素，右边写集合，不能互换它们的位置，否则没有意义.
②如果有明确的标准来判断元素在集合中，那么这些元素就能构成集合，否则不能构成集合.
③用列举法表示的集合，直接观察它们的元素是否完全相同，如果完全相同，那么这两个集合就相等，否则不相等.
2.用列举法表示下列集合：
(1)小于5的正奇数组成的集合；
(2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合；
(3)方程x2－9＝0的解组成的集合；
(4){15以内的质数}；
(5){x|∈Z，x∈Z}.
活动：教师指导学生思考列举法的书写格式，并讨论各个集合中的元素.明确各个集合中的元素，写在大括号内即可.
提示学生注意：
(2)中满足条件的数按从小到大排列时，从第二个数起，每个数比前一个数大3；
(4)中除去1和本身外没有其他的约数的正整数是质数；
(5)中3－x是6的约数，6的约数有±1，±2，±3，±6.
解：(1)满足题设条件小于5的正奇数有1、3，故用列举法表示为{1，3}；
(2)能被3整除且大于4小于15的自然数有6、9、12，故用列举法表示为{6，9，12}；
(3)方程x2－9＝0的解为－3、3，故用列举法表示为{－3，3}；
(4)15以内的质数有2、3、5、7、11、13，故该集合用列举法表示为{2，3，5，7，11，13}；
(5)满足∈Z的x有3－x＝±1、±2、±3、±6，解之，得x＝2、4、1、5、0、6、－3、9，故用列举法表示为{2，4，1，5，0，6，－3，9}.
☆☆变式训练☆☆
用列举法表示下列集合：
(1)x2－4的一次因式组成的集合；
(2){y|y＝－x2－2x+3，x∈R，y∈N}；
(3)方程x2+6x+9＝0的解集；
(4){20以内的质数}；
(5){(x，y)|x2+y2＝1，x∈Z，y∈Z}；
(6){大于0小于3的整数}；
(7){x∈R|x2+5x－14＝0}；
(8){(x，y)|x∈N且1≤x<4，y－2x＝0}；
(9){(x，y)|x+y＝6，x∈N，y∈N}.
思路分析：用列举法表示集合的关键是找出集合中的所有元素，要注意不重不漏，不计次序地用“，”隔开放在大括号内.
解：(1)因x2－4＝(x－2)(x+2)，故符合题意的集合为{x－2，x+2}；
(2)y＝－x2－2x+3＝－(x+1)2+4，即y≤4.又y∈N，∴y＝0、1、2、3、4，故{y|y＝－x2－2x+3，x∈R，y∈N}＝{0，1，2，3，4}；
(3)由x2+6x+9＝0得x1＝x2＝－3，∴方程x2+6x+9＝0的解集为{－3}；
(4){20以内的质数}＝{2，3，5，7，11，13，17，19}；
(5)因x∈Z，y∈Z，则x＝－1、0、1时，y＝0、1、－1，那么{(x，y)|x2+y2＝1，x∈Z，y∈Z}＝{(－1，0)，(0，1)，(0，－1)，(1，0)}；
(6){大于0小于3的整数}＝{1，2}；
(7)因x2+5x－14＝0的解为x1＝－7，x2＝2，则{x∈R|x2+5x－14＝0}＝{－7，2}；
(8)当x∈N且1≤x<4时，x＝1、2、3，此时y＝2x，即y＝2、4、6，那么{(x，y)|x∈N且1≤x<4，y－2x＝0}＝{(1，2)，(2，4)，(3，6)}；
(9){(x，y)|x+y＝6，x∈N，y∈N}＝{(0，6)(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，(6，0)}.
点评：本题主要考查集合的列举法表示.列举法适用于元素个数有限个并且较少的集合.用列举法表示集合：先明确集合中的元素，再把元素写在大括号内并用逗号隔开，相同的元素写成一个.
3.用描述法分别表示下列集合：
(1)二次函数y＝x2图象上的点组成的集合；
(2)数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合；
(3)不等式x－7<3的解集.
活动：让学生思考用描述法的形式如何表示平面直角坐标系中的点？如何表示数轴上的点？如何表示不等式的解？学生板书，教师在其他学生中间巡视，及时帮助思维遇到障碍的同学.必要时，教师可提示学生：
(1)集合中的元素是点，它是坐标平面内的点，集合元素代表符号用有序实数对(x，y)来表示，其特征是满足y＝x2；
(2)集合中元素是点，而数轴上的点可以用其坐标表示，其坐标是一个实数，集合元素代表符号用x来表示，其特征是对应的实数绝对值大于6；
(3)集合中的元素是实数，集合元素代表符号用x来表示，把不等式化为x
(2)数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合等于绝对值大于6的实数组成的集合，则数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合表示为{x∈R||x|>6}；
(3)不等式x－7<3的解是x<10，则不等式x－7<3的解集表示为{x|x<10}.
点评：本题主要考查集合的描述法表示.描述法适用于元素个数是有限个并且较多或无限个的集合.
用描述法表示集合时，集合元素的代表符号不能随便设，点集的元素代表符号是(x，y)，数集的元素代表符号常用x.集合中元素的公共特征属性可以用文字直接表述，最好用数学符号表示，必须抓住其实质.
☆☆变式训练☆☆
用描述法表示下列集合：
(1)方程2x+y＝5的解集；
(2)小于10的所有非负整数的集合；
(3)方程ax+by＝0(ab≠0)的解；
(4)数轴上离开原点的距离大于3的点的集合；
(5)平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅳ象限点的集合；
(6)方程组的解的集合；
(7){1，3，5，7，…}；
(8)x轴上所有点的集合；
(9)非负偶数；
(10)能被3整除的整数.
解：(1){(x，y)|2x+y＝5}；
(2){x|0≤x<10，x∈Z}；
(3){(x，y)|ax+by＝0(ab≠0)}；
(4){x||x|>3}；
(5){(x，y)|xy<0}；
(6){(x，y)|}；
(7){x|x＝2k－1，k∈N*}；
(8){(x，y)|x∈R，y＝0}；
(9){x|x＝2k，k∈N}；
(10){x|x＝3k，k∈Z}.
知能训练
课本P5练习1、2.
【补充练习】
1.下列对象能否组成集合：
(1)数组1、3、5、7；
(2)到两定点距离的和等于两定点间距离的点；
(3)满足3x－2>x+3的全体实数；
(4)所有直角三角形；
(5)美国NBA的著名篮球明星；
(6)所有绝对值等于6的数；
(7)所有绝对值小于3的整数；
(8)中国男子足球队中技术很差的队员；
(9)参加2008年奥运会的中国代表团成员.
答案：(1)(2)(3)(4)(6)(7)(9)能组成集合，(5)(8)不能组成集合.
2.(口答)说出下面集合中的元素：
(1){大于3小于11的偶数}；
(2){平方等于1的数}；
(3){15的正约数}.
答案：(1)其元素为4，6，8，10；
(2)其元素为－1，1；
(3)其元素为1，3，5，15.
3.用符号∈或填空：
(1)1______N，0______N，－3______N，0.5______N，______N；
(2)1______Z，0______Z，－3______Z，0.5______Z，______Z；
(3)1______Q，0______Q，－3______Q，0.5______Q，______Q；
(4)1______R，0______R，－3______R，0.5______R，______R.
答案：
(1)∈ ∈
(2)∈ ∈ ∈
(3)∈ ∈ ∈ ∈
(4)∈ ∈ ∈ ∈ ∈
4.判断正误：
(1)所有属于N的元素都属于N*. ( )
(2)所有属于N的元素都属于Z. ( )
(3)所有不属于N*的数都不属于Z. ( )
(4)所有不属于Q的实数都属于R. ( )
(5)不属于N的数不能使方程4x＝8成立. ( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√
5.分别用列举法、描述法表示方程组的解集.
解：因的解为
用描述法表示该集合为{(x，y)|}；
用列举法表示该集合为{(3，－7)}.
拓展提升
问题：集合A＝{x|x＝a+b，a∈Z，b∈Z}，判断下列元素x＝0、、与集合A之间的关系.
活动：学生先思考元素与集合之间有什么关系，书写过程，将元素x化为a+2b的形式，再判断a、b是否为整数.描述法表示集合的优点是突出显示了集合元素的特征，那么判断一个元素是否属于集合时，转化为判断这个元素是否满足集合元素的特征即可.
解：由于x＝a+b，a∈Z，b∈Z，
∴当a＝b＝0时，x＝0.∴0∈A.
又＝+1＝1+，
当a＝b＝1时，a+b＝1+，∴∈A.
又＝+，
当a＝3，b＝1时，a+b＝+，而3Z，
∴A.
∴0∈A，∈A，A.
点评：本题考查集合的描述法表示以及元素与集合间的关系.
课堂小结
本节学习了：(1)集合的概念；(2)集合的表示法；(3)利用列举法和描述法表示集合的步骤.
作业
课本P11习题1.1A组2、3、4.
设计感想
集合语言是现代数学的基本语言，在高中数学课程中，它也是学习、掌握和使用数学语言的基础.由于集合的概念较难理解，因此设计时采用渐进式学习，而集合的列举法和描述法的形式比较容易接受，在设计时注重让学生自己学习，重点引导学生学习这两种方法的应用.同时通过解决一系列具体问题，使学生自己体会到集合各种表示法的优缺点；针对不同问题，能选用合适集合表示法.在练习过程中熟练掌握集合语言与自然语言的转换.教师在教学过程中时时监控，对学生不可能解决的问题，如集合常见表示法的写法，常见数集及其记法应直接给出，以避免出现不必要的混乱.对学生解题过程中遇到的困难给予适当点拨.引导学生养成良好学习习惯，最大限度地挖掘学生的学习潜力是我们教师的奋斗目标.
备课资料
［备选例题］
【例1】判断下列集合是有限集还是无限集，并用适当的方法表示：
(1)被3除余1的自然数组成的集合；
(2)由所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合；
(3)二次函数y＝x2+2x－10的图象上的所有点组成的集合；
(4)设a、b是非零实数，求y＝的所有值组成的集合.
思路分析：本题主要考查集合的表示法和集合的分类.用列举法与描述法表示集合时，一要分清元素是什么，二要明确元素满足的条件是什么.
解：(1)被3除余1的自然数有无数个，这些自然数可以表示为3n+1(n∈N).用描述法表示为{x|x＝3n+1，n∈N}.
(2)由题意得满足条件的正整数有：3，5，7，11，13，17，19.则此集合中的元素有7个，用列举法表示为{3，5，7，11，13，17，19}.
(3)满足条件的点有无数个，则此集合中有无数个元素，可用描述法来表示.通常用有序数对(x，y)表示点，那么满足条件的点组成的集合表示为{(x，y)|y＝x2+2x－10}.
(4)当ab<0时，y＝＝－1；当ab>0时，则a>0，b>0或a<0，b<0.
若a>0，b>0，则有y＝＝3；若a<0，b<0，则有y＝＝－1.
∴y＝的所有值组成的集合共有两个元素－1和3.则用列举法表示为{－1，3}.
【例2】定义A－B＝{x|x∈A，xB}，若M＝{1，2，3，4，5}，N＝{2，3，6}，试用列举法表示集合N－M.
分析：应用集合A－B＝{x|x∈A，xB}与集合A、B的关系来解决.依据定义知N－M就是集合N中除去集合M和集合N的公共元素组成的集合.观察集合M、N，它们的公共元素是2，3.集合N中除去元素2，3还剩下元素6，则N－M＝{6}.
答案：{6}.
(设计者：张新军)
设计方案（二）
教学过程
导入新课
思路1.在初中代数不等式的解法一节中提到：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.不等式解集的定义中涉及到“集合”，那么，集合的含义是什么呢 这就是我们这一堂课所要学习的内容.今天我们开始学习集合，引出课题.
思路2.开场白：集合是现代数学的基本语言，它可以简洁、准确地表达数学内容.这个词听起来比较陌生，其实在初中我们已经有所接触，比如自然数集、有理数集，一元一次不等式x－3>5的解集，这些都是集合.还有，我们学过的圆的定义是什么？(提问学生)圆是到一个定点的距离等于定长的点的集合.接着点出课题.
推进新课
★☆新知探究☆★
提出问题
教师利用多媒体设备向学生投影出下面实例，这5个实例的共同特征是什么
(1)1~20以内的所有质数；
(2)我国古代的四大发明；
(3)所有的安理会常任理事国；
(4)所有的正方形；
(5)北京大学2004年9月入学的全体学生.
活动：教师组织学生分小组讨论，每个小组选出一位同学发表本组的讨论结果，在此基础上，师生共同概括出5个实例的特征，并给出集合的含义.
引导过程：
①一般地，指定的某些对象的全体称为集合(简称为集)，集合中的每个对象叫做这个集合的元素.
②集合常用大写字母A，B，C，D，…表示，元素常用小写字母a，b，c，d，…表示.
③集合的表示法：a.自然语言(5个实例)；b.字母表示法.
④集合元素的性质：a.确定性：即任给一个元素和一个集合，那么这个元素和这个集合的关系只有两种：这个元素要么属于这个集合，要么不属于这个集合；b.互异性：一个给定集合的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的；c.无序性：集合中的元素是没有顺序的.
⑤集合相等：如果两个集合中的元素完全相同，那么这两个集合是相等的.
⑥元素与集合的关系：“属于”和“不属于”分别用“∈”和“”表示.
元素确定性的符号语言表述为：对任意元素a和集合A，要么a∈A，要么aA.
⑦在初中我们学过了一些数的集合，国际标准化组织(ISO)制定了常用数集的记法：
自然数集(包含零)：N，正整数集：N*(N+)，整数集：Z，有理数集：Q，实数集：R.
因此字母N、Z、Q、R不能再表示其他的集合，否则会出现混乱的局面.
提出问题
(1)请列举出“小于5的所有自然数组成的集合A”.
(2)你能写出不等式2－x>3的所有解吗？怎样表示这个不等式的解集？
活动：学生回答后，教师指出：
①在数学中，为书写规范，我们把封闭曲线简化为一个大括号，然后把元素一一列举出来，元素与元素之间用逗号隔开写在大括号内来表示这个集合.这种表示集合的方法称为列举法.如本例可表示为A＝{0，1，2，3，4}.
②描述法：将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来，写成{x|p(x)}的形式.其中x为元素的一般特征，p(x)为x满足的条件.如数集常用{x|p(x)}表示，点集常用{(x，y)|p(x，y)}表示.
应用示例
思路1
1.课本第3页例1.
思路分析：用相应的数学知识明确集合中的元素，再写在大括号内.
点评：本题主要考查集合表示法中的列举法.如果一个集合是有限集，并且元素的个数较少时，通常选择列举法表示，其特点是非常显明地表示出了集合中的元素，是常用的表示法；列举法表示集合的步骤：(1)用字母表示集合；(2)明确集合中的元素；(3)把集合中所有元素写在大括号“{}”内，并写成A＝{……}的形式.
☆☆变式训练☆☆
请试一试用列举法表示下列集合：
(1)A＝{x∈N|且∈N}；
(2)B＝{y|y＝－x2+6，x∈N，y∈N}；
(3)C＝{(x，y)|y＝－x2+6，x∈N，y∈N}.
分析：本题考查列举法与描述法的相互转化.明确各个集合中的元素后再写在大括号内.
(1)集合A中元素x满足均为自然数；
(2)集合B中y值为函数y＝－x2+6的函数值的集合；
(3)集合C中元素为点，抛物线上横、纵坐标均为自然数的点.
答案：(1)A＝{0，6，8}；
(2)B＝{2，5，6}；
(3)C＝{(0，6)，(1，5)，(2，2)}.
2.课本第4页例2.
思路分析：本题重点学习用描述法表示集合.用一个小写英文字母表示集合中的元素，作为集合中元素的代表符号，找到集合中元素的共同特征，并把共同特征用数学符号来表达，然后写在大括号“{}”内.
点评：本题主要考查集合的表示方法，以及应用知识解决问题的能力；描述法表示集合的步骤：(1)用字母分别表示集合和元素，(2)用数学符号表达集合元素的共同特征；(3)在大括号内先写上集合中元素的代表符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.并写成A＝{…|…}的形式；描述法适合表示有无数个元素的集合，当集合中的元素个数较少时，通常用列举法表示.
☆☆变式训练☆☆
课本P5练习2.
思路2
1.下列所给对象不能构成集合的是( )
A.一个平面内的所有点
B.所有大于零的正数
C.某校高一(4)班的高个子学生
D.某一天到商场买过货物的顾客
思路分析：本题考查集合中元素的确定性.由集合的含义，可知组成集合的元素必须是明确的，不能模棱两可.在A中对于任何一个点要么在这个平面内，要么不在这个平面内，因而它可以组成一个集合；在B中由于大于零的正数很明确，因此B也能组成一个集合；C中由于“高个子”没有一个确定的标准，因而不能判定一个学生到底是不是高个子，故它不能组成集合；而D中对于任何一个顾客在这一天是否到过某商场，以及是否买过货物是非常明确的，因此它也能组成一个集合.
答案：C
☆☆变式训练☆☆
下列各组对象中不能构成集合的是( )
A.高一(1)班全体女生
B.高一(1)班全体学生家长
C.高一(1)班开设的所有课程
D.高一(1)班身高较高的男同学
分析：判断所给对象能否构成集合的问题，只需根据构成集合的条件，即集合中元素的确定性便可以解决.因为A、B、C中所给对象都是确定的，从而可以构成集合；而D中所给对象不确定，原因是找不到衡量学生身高较高的标准，故不能构成集合.若将D中“身高较高的男同学”改为“身高175 cm以上的男同学”，则能构成集合.
答案：D
2.用另一种形式表示下列集合：
(1){绝对值不大于3的整数}；
(2){所有被3整除的数}；
(3){x|x＝|x|，x∈Z且x<5}；
(4){x|(3x－5)(x+2)(x2+3)＝0，x∈Z}；
(5){(x，y)|x+y＝6，x>0，y>0，x∈Z，y∈Z}.
思路分析：用列举法与描述法表示集合时，一要分清元素是什么，二要明确元素满足的条件是什么.
答案：(1){绝对值不大于3的整数}还可以表示为{x||x|≤3，x∈Z}，也可表示为{－3，－2，－1，0，1，2，3}.
(2){x|x＝3n，n∈Z}.
(3)∵x＝|x|，∴x≥0.
又∵x∈Z且x<5，
∴{x|x＝|x|，x∈Z且x<5}还可以表示为{0，1，2，3，4}.
(4){－2}.
(5){(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}.
☆☆变式训练☆☆
用适当的形式表示下列集合：
(1)绝对值不大于3的整数组成的集合；
(2)所有被3整除的数组成的集合；
(3)方程(3x－5)(x+2)(x2+3)＝0实数解组成的集合；
(4)一次函数y＝x+6图象上所有点组成的集合.
分析：元素较少的有限集宜采用列举法；对无限集或元素较多的有限集宜采用描述法.
答案：(1){x||x|≤3，x∈Z}或{－3，－2，－1，0，1，2，3}；
(2){x|x＝3n，n∈Z}；
(3){，－2}；
(4){(x，y)|y＝x+6}.
3.已知集合A＝{x|ax2－3x+2＝0，a∈R}，若A中至少有一个元素，求a的取值范围.
思路分析：对于方程ax2－3x+2＝0，a∈R的解，要看这个方程左边的x2的系数，a＝0和a≠0方程的根的情况是不一样的，则集合A的元素也不相同，所以首先要分类讨论.
解：当a＝0时，原方程为－3x+2＝0x＝，符合题意；
当a≠0时，方程ax2－3x+2＝0为一元二次方程，则解得a≠0且a≤.
综上所得a的取值范围是{a|a≤}.
4.用适当的方法表示下列集合：
(1)方程组的解集；
(2)1000以内被3除余2的正整数所组成的集合；
(3)直角坐标平面上在第二象限内的点所组成的集合；
(4)所有正方形；
(5)直角坐标平面上在直线x＝1和x＝－1的两侧的点所组成的集合.
分析：本题考查集合的表示方法.所谓适当的表示方法，就是较简单、较明了的表示方法.由于方程组的解为x＝4，y＝－2.故(1)宜用列举法；(2)中尽管是有限集，但由于它的元素个数较多，所以用列举法表示是不明智的，故用描述法；(3)和(5)也宜用描述法；而(4)则宜用列举法为好.
解：(1){(4，－2)}；
(2){x|x＝3k+2，k∈N且x<1000}；
(3){(x，y)|x<0且y>0}；
(4){正方形}；
(5){(x，y)|x<－1或x>１}.
知能训练
课本P5练习1、2.
拓展提升
1.已知A＝{x∈R|x＝，abc≠0}，用列举法表示集合A.
分析：解决本题的关键是去掉绝对值符号，需分类讨论.
解：题目中x的取值取决于a、b、c的正负情况，可分成以下几种情况讨论：
(1)a、b、c全为正时，x＝7；
(2)a、b、c两正一负时，x＝－1；
(3)a、b、c一正两负时，x＝－1；
(4)a、b、c全为负时，x＝－1.
∴A＝{7，－1}.
注意：(2)、(3)中又包括多种情况(a、b、c各自的正负情况)，解题时应考虑全面.
2.已知集合C＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}.
(1)若A＝{0，1，2，3}，B＝{6，7，8，9}，求集合C中所有元素之和S；
(2)若A＝{0，1，2，3，4，…，2 005}，B＝{5，6，7，8，9}，试用代数式表示出集合C中所有元素之和S；
(3)联系高斯求S＝1+2+3+4+…+99+100的方法，试求出(2)中的S.
思路分析：先用列举法写出集合C，然后解决各个小题.
答案：(1)列举法表示集合C＝{6，7，8，9，10，11，12}，进而易求得S＝6+7+8+9+10+11+12＝63.
(2)列举法表示集合C＝{5，6，7，…，2 013，2 014}，由此可得S＝5+6+7+…+2 013+2 014.
(3)高斯求S＝1+2+3+4+…+99+100时，利用1+100＝2+99＝3+98＝…＝50+51＝101，进而得S＝1+2+3+4+…+99+100＝101×50＝5 050.
本题(2)中S＝5+6+7+…+2 013+2 014＝2 019×1 005＝2 029 095.
课堂小结
在师生互动中，让学生了解或体会下列问题：
(1)本节课我们学习过哪些知识内容
(2)你认为学习集合有什么意义？
(3)选择集合的表示法时应注意些什么
设计感想
本节课是集合的起始课，采用教师启发引导，学生探究学习的教学方法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法.
作业
1.课本P11习题1.1A组4.
2.元素与集合的关系有多少种？如何表示？类似地集合与集合间的关系又有多少种呢？如何表示？请同学们通过预习课本来解答.
(设计者：韩双影)
1.1.2 集合间的基本关系
整体设计
教学分析
课本从学生熟悉的集合(自然数的集合、有理数的集合等)出发，通过类比实数间的大小关系引入集合间的关系，同时，结合相关内容介绍子集等概念.在安排这部分内容时，课本注重体现逻辑思考的方法，如类比等.
值得注意的问题：在集合间的关系教学中，建议重视使用Venn图，这有助于学生通过体会直观图示来理解抽象概念；随着学习的深入，集合符号越来越多，建议教学时引导学生区分一些容易混淆的关系和符号，例如∈与?的区别.
三维目标
1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，能判断给定集合间的关系，提高利用类比发现新结论的能力.
2.在具体情境中，了解空集的含义，掌握并能使用Venn图表达集合的关系，加强学生从具体到抽象的思维能力，树立数形结合的思想.
重点难点
教学重点：理解集合间包含与相等的含义.
教学难点：理解空集的含义.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.实数有相等、大小关系，如5＝5，5<7，5>3等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？(让学生自由发言，教师不要急于作出判断，而是继续引导学生)
欲知谁正确，让我们一起来观察、研探.
思路2.复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系，填空：(1)0N；(2)2Q；(3)－1.5R.
类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？(答案：(1)∈；(2)?；(3)∈)
推进新课
★☆新知探究☆★
提出问题
(1)观察下面几个例子：
①A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，5}；
②设A为国兴中学高一(3)班男生的全体组成的集合，B为这个班学生的全体组成的集合；
③设C＝{x|x是两条边相等的三角形}，D＝{x|x是等腰三角形}；
④E＝{2，4，6}，F＝{6，4，2}.
你能发现两个集合间有什么关系吗？
(2)例子①中集合A是集合B的子集，例子④中集合E是集合F的子集，同样是子集，有什么区别？
(3)结合例子④，类比实数中的结论：“若a≤b，且b≤a，则a＝b”，在集合中，你发现了什么结论
(4)按升国旗时，每个班的同学都聚集在一起站在旗杆附近指定的区域内，从楼顶向下看，每位同学是哪个班的，一目了然.试想一下，根据从楼顶向下看的，要想直观表示集合，联想集合还能用什么表示？
(5)试用Venn图表示例子①中集合A和集合B.
(6)已知A?B，试用Venn图表示集合A和B的关系.
(7)任何方程的解都能组成集合，那么x2+1＝0的实数根也能组成集合，你能用Venn图表示这个集合吗？
(8)一座房子内没有任何东西，我们称为这座房子是空房子，那么一个集合没有任何元素，应该如何命名呢？
(9)与实数中的结论“若a≥b，且b≥c，则a≥c”相类比，在集合中，你能得出什么结论
活动：教师从以下方面引导学生：
(1)观察两个集合间元素的特点.
(2)从它们含有的元素间的关系来考虑.规定：如果AB，但存在x∈B，且xA，我们称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA).
(3)实数中的“≤”类比集合中的.
(4)把指定位置看成是由封闭曲线围成的，学生看成集合中的元素，从楼顶看到的就是把集合中的元素放在封闭曲线内.教师指出：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图.
(5)封闭曲线可以是矩形也可以是椭圆等等，没有限制.
(6)分类讨论：当AB时，AB或A＝B.
(7)方程x2+1＝0没有实数解.
(8)空集记为，并规定：空集是任何集合的子集，即A；空集是任何非空集合的真子集，即A(A≠).
(9)类比子集.
讨论结果：
(1)①集合A中的元素都在集合B中；
②集合A中的元素都在集合B中；
③集合C中的元素都在集合D中；
④集合E中的元素都在集合F中.
可以发现：对于任意两个集合A，B有下列关系：集合A中的元素都在集合B中；或集合B中的元素都在集合A中.
(2)例子①中AB，但有一个元素4∈B，且4A；而例子②中集合E和集合F中的元素完全相同.
(3)若AB，且BA，则A＝B.
(4)可以把集合中元素写在一个封闭曲线的内部来表示集合.
(5)如图1121所示表示集合A，如图1122所示表示集合B.
图1－1－2－1图1－1－2－2
(6)如图1－1－2－3和图1－1－2－4所示.
图1－1－2－3图1－1－2－4
(7)不能.因为方程x2+1＝0没有实数解.
(8)空集.
(9)若AB，BC，则AC；若AB，BC，则AC.
应用示例
思路1
1.某工厂生产的产品在重量和长度上都合格时，该产品才合格.若用A表示合格产品的集合，B表示重量合格的产品的集合，C表示长度合格的产品的集合.已知集合A、B、C均不是空集.
(1)则下列包含关系哪些成立？
AB，BA，AC，CA.
(2)试用Venn图表示集合A、B、C间的关系.
活动：学生思考集合间的关系以及Venn图的表示形式.当集合A中的元素都属于集合B时，则AB成立，否则AB不成立.用相同的方法判断其他包含关系是否成立.教师提示学生以下两点：
(1)重量合格的产品不一定是合格产品，但合格的产品一定重量合格；
长度合格的产品不一定是合格产品，但合格的产品一定长度合格.
(2)根据集合A、B、C间的关系来画出Venn图.
解：(1)包含关系成立的有：BA，CA.
(2)集合A、B、C间的关系用Venn图表示，如图1－1－2－5所示.
图1－1－2－5
☆☆变式训练☆☆
课本P7练习3.
点评：本题主要考查集合间的包含关系.其关键是首先明确两集合中的元素具体是什么.
判断两个集合A、B之间是否有包含关系的步骤是：先明确集合A、B中的元素，再分析集合A、B中的元素之间的关系，得：当集合A中的元素都属于集合B时，有AB；当集合A中的元素都属于集合B，当集合B中至少有一个元素不属于集合A时，有AB；当集合A中的元素都属于集合B，并且集合B中的元素也都属于集合A时，有A＝B；当集合A中至少有一个元素不属于集合B，并且集合B中至少有一个元素也不属于集合A时，有AB，且BA，即集合A、B互不包含.
2.写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集.
活动：学生思考子集和真子集的定义，教师提示学生空集是任何集合的子集，一个集合不是其本身的真子集.按集合{a，b}的子集所含元素的个数分类讨论.
解：集合{a，b}的所有子集为，{a}，{b}，{a，b}.真子集为，{a}，{b}.
☆☆变式训练☆☆
2007山东济宁一模，1
已知集合P＝{1，2}，那么满足QP的集合Q的个数是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
分析：集合P＝{1，2}含有2个元素，其子集有22＝4个，
又集合QP，所以集合Q有4个.
答案：A
点评：本题主要考查子集和真子集的概念，以及分类讨论的思想.通常按子集中所含元素的个数来写出一个集合的所有子集，这样可以避免重复和遗漏.
思考：集合A中含有n个元素，那么集合A有多少个子集？多少个真子集？
解：当n＝0时，即空集的子集为，即子集的个数是1＝20；
当n＝1时，即含有一个元素的集合如{a}的子集为，{a}，即子集的个数是2＝21；
当n＝2时，即含有一个元素的集合如{a，b}的子集为，{a}，{b}，{a，b}，即子集的个数是4＝22.
……
集合A中含有n个元素，那么集合A有2n个子集，由于一个集合不是其本身的真子集，所以集合A有(2n－1)个真子集.
思路2
1.2006上海高考，理1已知集合A＝{－1，3，2m－1}，集合B＝{3，m2}.若BA，则实数m＝_______.
活动：先让学生思考BA的含义，根据BA，知集合B中的元素都属于集合A，集合元素的互异性，列出方程求实数m的值.因为BA，所以3∈A，m2∈A.对m2的值分类讨论.
解：∵BA，∴3∈A，m2∈A.∴m2＝－1(舍去)或m2＝2m－1.解得m＝1.∴m＝1.
答案：1
点评：本题主要考查集合和子集的概念，以及集合元素的互异性.本题容易出现m2＝3，其原因是忽视了集合元素的互异性.避免此类错误的方法是解得m的值后，再代入验证.
讨论两集合之间关系时，通常依据相关的定义，观察这两个集合元素的关系，转化为解方程或解不等式.
☆☆变式训练☆☆
已知集合M＝{x|2－x<0}，集合N＝{x|ax＝1}，若NM，求实数a的取值范围.
分析：集合N是关于x的方程ax＝1的解集，集合M＝{x|x>2}≠，由于NM，则N＝或N≠，要对集合N是否为空集分类讨论.
解：由题意得M＝{x|x>2}≠，则N＝或N≠.
当N＝时，关于x的方程ax＝1中无解，则有a＝0；
当N≠时，关于x的方程ax＝1中有解，则a≠0，此时x＝，又∵NM，∴∈M.∴>2.
∴0
(2)由(1)你发现集合M中含有n个元素，则集合M有多少个子集？
活动：学生思考子集的含义，并试着写出子集.(1)按子集中所含元素的个数分类写出子集；(2)由(1)总结当n＝0，n＝1，n＝2，n＝3时子集的个数规律，归纳猜想出结论.
答案：(1)的子集有：，即?有1个子集；
{a}的子集有：、{a}，即{a}有2个子集；
{a，b}的子集有：、{a}、{b}、{a，b}，即{a，b}有4个子集；
{a，b，c}的子集有：、{a}、{b}、{c}、{a，b}、{a，c}、{b，c}、{a，b，c}，即{a，b，c}有8个子集.
(2)由(1)可得：当n＝0时，有1＝20个子集；
当n＝1时，集合M有2＝21个子集；
当n＝2时，集合M有4＝22个子集；
当n＝3时，集合M有8＝23个子集；
因此含有n个元素的集合M有2n个子集.
☆☆变式训练☆☆
已知集合A{2，3，7}，且A中至多有一个奇数，则这样的集合A有……( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
分析：对集合A所含元素的个数分类讨论.
A＝或{2}或{3}或{7}或{2，3}或{2，7}共有6个.
答案：D
点评：本题主要考查子集的概念以及分类讨论和归纳推理的能力.集合M中含有n个元素，则集合M有2n个子集，有2n－1个真子集，记住这个结论，可以提高解题速度.写一个集合的子集时，按子集中元素的个数来写不易发生重复和遗漏现象.
知能训练
课本P7练习1、2.
【补充练习】
1.判断正误：
(1)空集没有子集. ( )
(2)空集是任何一个集合的真子集. ( )
(3)任一集合必有两个或两个以上子集. ( )
(4)若BA，那么凡不属于集合A的元素，则必不属于B. ( )
分析：关于判断题应确实把握好概念的实质.
解：该题的5个命题，只有(4)是正确的，其余全错.
对于(1)、(2)来讲，由规定：空集是任何一个集合的子集，且是任一非空集合的真子集.
对于(3)来讲，可举反例，空集这一个集合就只有自身一个子集.
对于(4)来讲，当x∈B时必有x∈A，则xA时也必有xB.
2.集合A＝{x|－1
解：因－1
3.(1)下列命题正确的是 ( )
A.无限集的真子集是有限集
B.任何一个集合必定有两个子集
C.自然数集是整数集的真子集
D.{1}是质数集的真子集
(2)以下五个式子中，错误的个数为 ( )
①{1}∈{0，1，2} ②{1，－3}＝{－3，1} ③{0，1，2}{1，0，2}
④∈{0，1，2} ⑤∈{0}
A.5 B.2 C.3 D.4
(3)M＝{x|3
分析：(1)该题要在四个选择肢中找到符合条件的选择肢，必须对概念把握准确，
无限集的真子集有可能是无限集，如N是R的真子集，排除A；由于只有一个子集，即它本身，排除B；由于1不是质数，排除D.
(2)该题涉及到的是元素与集合，集合与集合的关系.
①应是{1}{0，1，2}，④应是{0，1，2}，⑤应是{0}.
故错误的有①④⑤.
(3)M＝{x|3
4.判断如下集合A与B之间有怎样的包含或相等关系：
(1)A＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x|x＝2m+1，m∈Z}；
(2)A＝{x|x＝2m，m∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}.
解：(1)因A＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x|x＝2m+1，m∈Z}，故A、B都是由奇数构成的，即A＝B.
(2)因A＝{x|x＝2m，m∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}，
又x＝4n＝2·2n，
在x＝2m中，m可以取奇数，也可以取偶数；而在x＝4n中，2n只能是偶数.
故集合A、B的元素都是偶数.但B中元素是由A中部分元素构成，则有BA.
点评：此题是集合中较抽象的题目.要注意其元素的合理寻求.
5.已知集合P＝{x|x2+x－6＝0}，Q＝{x|ax+1＝0}满足QP，求a所取的一切值.
解：因P＝{x|x2+x－6＝0}＝{2，－3}，
当a＝0时，Q＝{x|ax+1＝0}＝，QP成立.
又当a≠0时，Q＝{x|ax+1＝0}＝{}，要QP成立，则有＝2或＝－3，a＝或a＝.
综上所述，a＝0或a＝或a＝.
点评：这类题目给的条件中含有字母，一般需分类讨论.本题易漏掉a＝0，ax+1＝0无解，即Q为空集的情况，而当Q＝时，满足QP.
6.已知集合A＝{x∈R|x2－3x+4＝0}，B＝{x∈R|(x+1)(x2+3x－4)＝0}，要使APB，求满足条件的集合P.
解：由A＝{x∈R|x2－3x+4＝0}＝，
B＝{x∈R|(x+1)(x2+3x－4)＝0}＝{－1，1，－4}，
由A?PB知集合P非空，且其元素全属于B，即有满足条件的集合P为
{1}或{－1}或{－4}或{－1，1}或{－1，－4}或{1，－4}或{－1，1，－4}.
点评：要解决该题，必须确定满足条件的集合P的元素，而做到这点，必须明确A、B，充分把握子集、真子集的概念，准确化简集合是解决问题的首要条件.
7.设A＝{0，1}，B＝{x|xA}，则A与B应具有何种关系？
解：因A＝{0，1}，B＝{x|xA}，
故x为，{0}，{1}，{0，1}，即{0，1}是B中一元素.故A∈B.
点评：注意该题的特殊性，一集合是另一集合的元素.
8.集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m－1}，
(1)若BA，求实数m的取值范围；
(2)当x∈Z时，求A的非空真子集个数；
(3)当x∈R时，没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围.
解：(1)当m+1>2m－1即m<2时，B＝满足BA.
当m+1≤2m－1即m≥2时，要使BA成立，
需可得2≤m≤3.综上所得实数m的取值范围m≤3.
(2)当x∈Z时，A＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}，
所以，A的非空真子集个数为2上标8－2＝254.
(3)∵x∈R，且A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m－1}，又没有元素x使x∈A与x∈B同时成立.
则①若B≠即m+1>2m－1，得m<2时满足条件；
②若B≠，则要满足条件有：或解之，得m>4.
综上有m<2或m>4.
点评：此问题解决要注意：不应忽略；找A中的元素；分类讨论思想的运用.
拓展提升
问题：已知AB，且AC，B＝{0，1，2，3，4}，C＝{0，2，4，8}，则满足上述条件的集合A共有多少个？
活动：学生思考AB，且AC所表达的含义.AB说明集合A是集合B的子集，即集合A中元素属于集合B，同理有集合A中元素属于集合C.因此集合A中的元素是集合B和集合C的公共元素.
思路1：写出由集合B和集合C的公共元素所组成的集合，得满足条件的集合A；
思路2：分析题意，仅求满足条件的集合A的个数，转化为求集合B和集合C的公共元素所组成的集合的子集个数.
解法一：因AB，AC，B＝{0，1，2，3，4}，C＝{0，2，4，8}，由此，满足AB，有：，{0}，{1}，{2}，{3}，{4}，
{0，1}，{0，2}，{2，3}，{2，4}，{0，3}，{0，4}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{3，4}，{0，2，4}，{0，1，2}，{0，1，3}，{0，1，4}，{1，2，3}，{1，2，4}，{2，3，4}，{0，3，4}，{0，1，2，3}，{1，2，3，4}，{0，1，3，4}，{0，2，3}，{1，3，4}，{0，1，2，4}，{0，2，3，4}，{0，1，2，3，4}，共25＝32(个).
又满足AC的集合A有：，{0}，{2}，{4}，{8}，{0，2}，{0，4}，{0，8}，{2，4}，{2，8}，{4，8}，{0，2，4}，
{0，2，8}，{0，4，8}，{2，4，8}，{0，2，4，8}，共24＝16(个).
其中同时满足AB，AC的有8个：，{0}，{2}，{4}，{0，2}，{0，4}，{2，4}，{0，2，4}，实际上到此就可看出，上述解法太繁.
解法二：题目只求集合A的个数，而未让说明A的具体元素，故可将问题等价转化为B、C的公共元素组成集合的子集数是多少.显然公共元素有0、2、4，组成集合的子集有23＝8(个).
点评：有关集合间关系的问题，常用分类讨论的思想来解决；关于集合的子集个数的结论要熟练掌握，其应用非常广泛.
课堂小结
本节课学习了：
①子集、真子集、空集、Venn图等概念；
②能判断存在子集关系的两个集合谁是谁的子集，进一步确定其是否是真子集；
③清楚两个集合包含关系的确定，主要靠其元素与集合关系来说明.
作业
课本P11习题1.1A组5.
设计感想
本节教学设计注重引导学生通过类比来获得新知，在实际教学中，
要留给学生适当的思考时间，使学生自己通过类比得到正确结论.丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念，学生的数学学习活动不能仅限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，独立思考、自主探索、合作交流、阅读自学等都应成为学生学习数学的重要方式.
备课资料
［备选例题］
【例1】下面的Venn图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关系，问集合A、B、C、D、E分别是哪种图形的集合？
图1－1－2－6
思路分析：结合Venn图，利用平面几何中梯形、平行四边形、菱形、正方形的定义来确定.
解：梯形、平行四边形、菱形、正方形都是四边形，故A＝{四边形}；梯形不是平行四边形、菱形、正方形，而菱形、正方形是平行四边形，故B＝{梯形}，C＝{平行四边形}；正方形是菱形，故E＝{正方形}，
即A＝{四边形}，B＝{梯形}，C＝{平行四边形}，D＝{菱形}，E＝{正方形}.
【例2】2006全国高中数学联赛山东赛区预赛，3设集合A＝{x||x|2－3|x|+2＝0}，B＝{x|(a－2)x＝2}，则满足BA的a的值共有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
分析：由已知得A＝{x||x|＝1或|x|＝2}＝{－2，－1，1，2}，集合B是关于x的方程(a－2)x＝2的解集，
∵BA，∴B＝或B≠.
当B＝时，关于x的方程(a－2)x＝2无解，∴a－2＝0.
∴a＝2.当B≠时，关于x的方程(a－2)x＝2的解x＝∈A，
∴＝－2或＝－1或＝1或＝2.
解得a＝1或0或4或3，综上所得，a的值共有5个.
答案：D
【例3】2005天津高考，文1集合A＝{x|0≤x<3且x∈N}的真子集的个数是( )
A.16 B.8 C.7 D.4
分析：A＝{x|0≤x<3且x∈N}＝{0，1，2}，则A的真子集有23－1＝7个.
答案：C
【例4】已知集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|(x－1)(x－a)＝0}，试判断集合B是不是集合A的子集？是否存在实数a使A＝B成立？
解析：先在数轴上表示集合A，然后化简集合B，由集合元素的互异性，可知此时应考虑a的取值是否为1，要使集合B成为集合A的子集，集合B的元素在数轴上的对应点必须在集合A对应的线段上，从而确定字母a的分类标准.
当a＝1时，B＝{1}，所以B是A的子集；当1
由于集合B最多只有两个元素，而集合A有无数个元素，故不存在实数a，使B＝A.
点评：分类讨论思想，就是科学合理地划分类别，通过“各个击破”，再求整体解决(即先化整为零，再聚零为整)的策略思想.类别的划分必须满足互斥、无漏、最简的要求，探索划分的数量界限是分类讨论的关键.
［思考］
(1)空集中没有元素，怎么还是集合
(2)符号“∈”和“”有什么区别
剖析：(1)疑点是总是对空集这个概念迷惑不解，并产生怀疑的想法.产生这种想法的原因是没有了解建立空集这个概念的背景，其突破方法是通过实例来体会.例如，根据集合元素的性质，方程的解能够组成集合，这个集合叫做方程的解集.对于＝0，x2+4＝0等方程来说，它们的解集中没有元素.也就是说确实存在没有任何元素的集合，那么如何用数学符号来刻画没有元素的集合呢？为此引进了空集的概念，把不含任何元素的集合叫做空集.这就是建立空集这个概念的背景.由此看出，空集的概念是一个规定.又例如，不等式|x|<0的解集也是不含任何元素，就称不等式|x|<0的解集是空集.
(2)难点是经常把这两个符号混淆，其突破方法是准确把握这两个符号的含义及其应用范围，并加以对比.符号∈只能适用于元素与集合之间，其左边只能写元素，其右边只能写集合，说明左边的元素属于右边的集合，表示元素与集合之间的关系，如－1∈Z，Z；符号只能适用于集合与集合之间，其左右两边都必须写集合，说明左边的集合是右边集合的子集，表示集合与集合之间的关系，如{1}{1，0}，{x|x<0}.
(设计者：王立青)
1.1.3 集合的基本运算
整体设计
教学分析
课本从学生熟悉的集合出发,结合实例,通过类比实数加法运算引入集合间的运算,同时,结合相关内容介绍子集和全集等概念.在安排这部分内容时,课本继续注重体现逻辑思考的方法,如类比等.
值得注意的问题:在全集和补集的教学中,应注意利用图形的直观作用,帮助学生理解补集的概念,并能够用直观图进行求补集的运算.
三维目标
1.理解两个集合的并集与交集、全集的含义,掌握求两个简单集合的交集与并集的方法,会求给定子集的补集,感受集合作为一种语言,在表示数学内容时的简洁和准确,进一步提高类比的能力.
2.通过观察和类比,借助Venn图理解集合的基本运算.体会直观图示对理解抽象概念的作用,培养数形结合的思想.
重点难点
教学重点:交集与并集,全集与补集的概念.
教学难点:理解交集与并集的概念,以及符号之间的区别与联系.
课时安排
2课时
教学过程
第1课时
导入新课
思路1.我们知道,实数有加法运算,两个实数可以相加,例如5+3=8.类比实数的加法运算,集合是否也可以“相加”呢
教师直接点出课题.
思路2.请同学们考察下列各个集合,你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗
(1)A={1,3,5},B={2,4,6},C={1,2,3,4,5,6};
(2)A={x|x是有理数},B={x|x是无理数},C={x|x是实数}.
引导学生通过观察、类比、思考和交流,得出结论.教师强调集合也有运算,这就是我们本节课所要学习的内容.
思路3.(1)①如图1131甲和乙所示,观察两个图的阴影部分,它们分别同集合A、集合B有什么关系？
图1-1-3-1
②观察集合A与B与集合C={1,2,3,4}之间的关系.
学生思考交流并回答,教师直接指出这就是本节课学习的课题:集合的运算.
(2)①已知集合A={1,2,3},B={2,3,4},写出由集合A,B中的所有元素组成的集合C.
②已知集合A={x|x>1},B={x|x<0},在数轴上表示出集合A与B,并写出由集合A与B中的所有元素组成的集合C.
推进新课
新知探究
提出问题
①通过上述问题中集合A与B与集合C之间的关系,类比实数的加法运算,你发现了什么？
②用文字语言来叙述上述问题中,集合A与B与集合C之间的关系.
③用数学符号来叙述上述问题中,集合A与B与集合C之间的关系.
④试用Venn图表示A∪B=C.
⑤请给出集合的并集定义.
⑥求集合的并集是集合间的一种运算,那么,集合间还有其他运算吗？
请同学们考察下面的问题,集合A与B与集合C之间有什么关系？
(ⅰ)A={2,4,6,8,10},B={3,5,8,12},C={8};
(ⅱ)A={x|x是国兴中学2007年9月入学的高一年级女同学},B={x|x是国兴中学2007年9月入学的高一年级男同学},C={x|x是国兴中学2007年9月入学的高一年级同学}.
⑦类比集合的并集,请给出集合的交集定义？并分别用三种不同的语言形式来表达.
活动：先让学生思考或讨论问题,然后再回答,经教师提示、点拨,并对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路,主要引导学生发现集合的并集和交集运算并能用数学符号来刻画,用Venn图来显示.
讨论结果：
①集合之间也可以相加,也可以进行运算,但是为了不和实数的运算相混淆,规定这种运算不叫集合的加法,而是叫做求集合的并集.集合C叫集合A与B的并集.记为A∪B=C,读作A并B.
②所有属于集合A或属于集合B的元素所组成了集合C.
③C={x|x∈A,或x∈B}.
④如图1131所示.
⑤一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的并集.其含义用符号表示为A∪B={x|x∈A,或x∈B},用Venn图表示,如图1131所示.
⑥集合之间还可以求它们的公共元素组成集合的运算,这种运算叫求集合的交集,记作A∩B,读作A交B.(ⅰ)A∩B=C,(ⅱ)A∪B=C.
⑦一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集.
其含义用符号表示为:
A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
用Venn图表示,如图1132所示.
图1-1-3-2
应用示例
思路1
1.设A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},求A∪B,A∩B.
图1-1-3-3
活动：让学生回顾集合的表示法和交集、并集的含义,由于本例题难度较小,让学生自己解决,重点是总结集合运算的方法.根据集合并集、交集的含义,借助于Venn图写出.观察这两个集合中的元素,或用Venn图来表示,如图1133所示.
解：A∪B={4,5,6,8}∪{3,5,7,8}={3,4,5,6,7,8}.A∩B={4,5,6,8}∩{3,5,7,8}={5,8}.
点评：本题主要考查集合的并集和交集.用列举法表示的集合,运算时常利用Venn图或直接观察得到结果.
本题易错解为A∪B={3,4,5,5,6,7,8,8}.其原因是忽视了集合元素的互异性.解决集合问题要遵守集合元素的三条性质.
变式训练
1.集合M={1,2,3},N={-1,5,6,7},则M∪N=________.M∩N=________.
答案：{-1,1,2,3,5,6,7}
2.集合P={1,2,3,m},M={m2,3},P∪M={1,2,3,m},则m=_________.
分析:由题意得m2=1或2或m,解得m=-1,1,,,0.因m=1不合题意,故舍去.
答案：-1,,,0
3.2007河南实验中学月考,理1满足A∪B={0,2}的集合A与B的组数为 ( )
A.2 B.5 C.7 D.9
分析:∵A∪B={0,2},∴A{0,2}.则A=或A={0}或A={2}或A={0,2}.当A=时,B={0,2};当A={0}时,则集合B={2}或{0,2};当A={2}时,则集合B={0}或{0,2};当A={0,2}时,则集合B=或{0}或{2}或{0,2},则满足条件的集合A与B的组数为1+2+2+4=9.
答案：D
4.2006辽宁高考,理2设集合A={1,2},则满足A∪B={1,2,3}的集合B的个数是 ( )
A.1 B.3 C.4 D.8
分析:转化为求集合A子集的个数.很明显3A,又A∪B={1,2,3},必有3∈B,即集合B中至少有一个元素3,其他元素来自集合A中,则集合B的个数等于A={1,2}的子集个数,又集合A中含有22=4个元素,则集合A有22=4个子集,所以满足条件的集合B共有4个.
答案：C
2.设A={x|-1
解：将A={x|-1
由图得A∪B={x|-1
变式训练
1.设A={x|2x-4<2},B={x|2x-4>0},求A∪B,A∩B.
答案：A∪B=R,A∩B={x|2
答案：A∪B={3,2},A∩B=.
3.2007惠州高三第一次调研考试,文1设集合A={x|-1≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则A∩B等于( )
A.［0,2］ B.［1,2］ C.［0,4］ D.［1,4］
分析:在同一条数轴上表示出集合A、B,如图1135所示.由图得A∩B=［0,2］.
图1-1-3-5
答案：A
课本P11例6、例7.
思路2
1.A={x|x<5},B={x|x>0},C={x|x≥10},则A∩B,B∪C,A∩B∩C分别是什么
活动：
学生先思考集合中元素特征,明确集合中的元素.将集合中元素利用数形结合在数轴上找到,那么运算结果寻求就易进行.这三个集合都是用描述法表示的数集,求集合的并集和交集的关键是找出它们的公共元素和所有元素.
解：因A={x|x<5},B={x|x>0},C={x|x≥10},在数轴上表示,如图1136所示,所以A∩B={x|0
图1-1-3-6
点评：本题主要考查集合的交集和并集.求集合的并集和交集时,①明确集合中的元素;②依据并集和交集的含义,借助于直观(数轴或Venn图)写出结果.
变式训练
1.设A={x|x=2n,n∈N*},B={x|x=2n,n∈N},求A∩B,A∪B.
解：对任意m∈A,则有m=2n=2·2n-1,n∈N*,因n∈N*,故n-1∈N,有2n-1∈N,那么m∈B,
即对任意m∈A有m∈B,所以AB.
而10∈B但10A,即AB,那么A∩B=A,A∪B=B.
2.求满足{1,2}∪B={1,2,3}的集合B的个数.
解：满足{1,2}∪B={1,2,3}的集合B一定含有元素3,B={3};还可含1或2其中一个,有{1,3},{2,3};还可含1和2,即{1,2,3},那么共有4个满足条件的集合B.
3.设A={-4,2,a-1,a2},B={9,a-5,1-a},已知A∩B={9},求a.
解：因A∩B={9},则9∈A,a-1=9或a2=9,
a=10或a=±3,
当a=10时,a-5=5,1-a=-9;
当a=3时,a-1=2不合题意.
当a=-3时,a-1=-4不合题意.
故a=10,此时A={-4,2,9,100},B={9,5,-9},满足A∩B={9}.
4.2006北京高考,文1设集合A={x|2x+1<3},B={x|-3
分析:集合A={x|2x+1<3}={x|x<1},
观察或由数轴得A∩B={x|-3
2.设集合A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,a∈R},若A∩B=B,求a的值.
活动：
明确集合A、B中的元素,教师和学生共同探讨满足A∩B=B的集合A、B的关系.集合A是方程x2+4x=0的解组成的集合,可以发现,BA,通过分类讨论集合B是否为空集来求a的值.利用集合的表示法来认识集合A、B均是方程的解集,通过画Venn图发现集合A、B的关系,从数轴上分析求得a的值.
解：由题意得A={-4,0}.∵A∩B=B,∴BA.∴B=或B≠.
当B=时,即关于x的方程x2+2(a+1)x+a2-1=0无实数解,
则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,解得a<-1.
当B≠时,若集合B仅含有一个元素,则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,解得a=-1,
此时,B={x|x2=0}={0}A,即a=-1符合题意.
若集合B含有两个元素,则这两个元素是-4,0,
即关于x的方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的解是-4,0.
则有
解得a=1,则a=1符合题意.
综上所得,a=1或a≤-1.
变式训练
1.已知非空集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|3≤x≤22},则能使A(A∩B)成立的所有a值的集合是什么？
解：由题意知A(A∩B),即AB,A非空,利用数轴得解得6≤a≤9,
即所有a值的集合是{a|6≤a≤9}.
2.已知集合A={x|-2≤x≤5},集合B={x|m+1≤x≤2m-1},且A∪B=A,试求实数m的取值范围.
分析:由A∪B=A得BA,则有B=或B≠,因此对集合B分类讨论.
解：∵A∪B=A,∴BA.
又∵A={x|-2≤x≤5}≠,∴B=,或B≠.
当B=时,有m+1>2m-1,∴m<2.
当B≠时,观察图1-1-3-7:
图1-1-3-7
由数轴可得解得-2≤m≤3.
综上所述,实数m的取值范围是m<2或-2≤m≤3,即m≤3.
点评：本题主要考查集合的运算、分类讨论的思想,以及集合间关系的应用.已知两个集合的运算结果,求集合中参数的值时,由集合的运算结果确定它们的关系,通过深刻理解集合表示法的转换,把相关问题化归为其他常见的方程、不等式等数学问题.这称为数学的化归思想,是数学中的常用方法,学会应用化归和分类讨论的数学思想方法解决有关问题.
知能训练
课本P11练习1、2、3.
【补充练习】
1.设a={3,5,6,8},B={4,5,7,8},
(1)求A∩B,A∪B.
(2)用适当的符号(、)填空:
A∩B________A,B________A∩B,A∪B________A,A∪B________B,A∩B________A∪B.
解：(1)因A、B的公共元素为5、8,故两集合的公共部分为5、8,
则A∩B={3,5,6,8}∩{4,5,7,8}={5,8}.
又A、B两集合的元素3、4、5、6、7、8,
故A∪B={3,4,5,6,7,8}.
(2)由文氏图可知
A∩BA,BA∩B,A∪BA,A∪BB,A∩BA∪B.
2.设A={x|x<5},B={x|x≥0},求A∩B.
解：因x<5及x≥0的公共部分为0≤x<5,
故A∩B={x|x<5}∩{x|x≥0}={x|0≤x<5}.
3.设A={x|x是锐角三角形},B={x|x是钝角三角形},求A∩B.
解：因三角形按角分类时,锐角三角形和钝角三角形彼此孤立.故A、B两集合没有公共部分.
所以A∩B={x|x是锐角三角形}∩{x|x是钝角三角形}=.
4.设A={x|x>-2},B={x|x≥3},求A∪B.
解：在数轴上将A、B分别表示出来,得A∪B={x|x>-2}.
5.设A={x|x是平行四边形},B={x|x是矩形},求A∪B.
解：因矩形是平行四边形,故由A及B的元素组成的集合为A∪B,A∪B={x|x是平行四边形}.
6.已知M={1},N={1,2},设A={(x,y)|x∈M,y∈N},B={(x,y)|x∈N,y∈M},求A∩B,A∪B.
分析:M、N中元素是数.A、B中元素是平面内点集,关键是找其元素.
解：∵M={1},N={1,2},则A={(1,1),(1,2)},B={(1,1),(2,1)},故A∩B={(1,1)},A∪B={(1,1),(1,2),
(2,1)}.
7.2006江苏高考,7若A、B、C为三个集合,A∪B=B∩C,则一定有( )
A.AC B.CA C.A≠C D.A=
分析:思路一:∵(B∩C)B,(B∩C)C,A∪B=B∩C,
∴A∪BB,A∪BC.∴ABC.∴AC.
思路二:取满足条件的A={1},B={1,2},C={1,2,3},排除B、D,
令A={1,2},B={1,2},C={1,2},则此时也满足条件A∪B=B∩C,
而此时A=C,排除C.
答案：A
拓展提升
观察：(1)集合A={1,2},B={1,2,3,4}时,A∩B,A∪B这两个运算结果与集合A,B的关系;
(2)当A=时,A∩B,A∪B这两个运算结果与集合A,B的关系;
(3)当A=B={1,2}时,A∩B,A∪B这两个运算结果与集合A,B的关系.
由(1)(2)(3)你发现了什么结论？
活动：依据集合的交集和并集的含义写出运算结果,并观察与集合A,B的关系.用Venn图来发现运算结果与集合A,B的关系.(1)(2)(3)中的集合A,B均满足AB,用Venn图表示,如图1138所示,就可以发现A∩B,A∪B与集合A,B的关系.
图1-1-3-8
解：A∩B=AABA∪B=B.
可用类似方法,可以得到集合的运算性质,归纳如下:
A∪B=B∪A,A(A∪B),B(A∪B);A∪A=A,A∪=A,ABA∪B=B;
A∩B=B∩A;(A∩B)A,(A∩B)B;A∩A=A;A∩=;ABA∩B=A.
课堂小结
本节主要学习了:
1.集合的交集和并集.
2.通常借助于数轴或Venn图来求交集和并集.
作业
1.课外思考:对于集合的基本运算,你能得出哪些运算规律？
2.请你举出现实生活中的一个实例,并说明其并集、交集和补集的现实含义.
3.书面作业:课本P12习题1.1A组6、7、8.
设计感想
由于本节课内容比较容易接受,也是历年高考的必考内容之一,所以在教学设计上注重加强练习和拓展课本内容.设计中通过借助于数轴或Venn图写出集合运算的结果,这是突破本节教学难点的有效方法.
(设计者：尚大志)
第2课时
导入新课
问题:①分别在整数范围和实数范围内解方程(x-3)(x)=0,其结果会相同吗
②若集合A={x|0
推进新课
新知探究
提出问题
①用列举法表示下列集合:
A={x∈Z|(x-2)(x+)(x)=0};
B={x∈Q|(x-2)(x+)(x)=0};
C={x∈R|(x-2)(x+)(x)=0}.
②问题①中三个集合相等吗？为什么？
③由此看,解方程时要注意什么？
④问题①,集合Z,Q,R分别含有所解方程时所涉及的全部元素,这样的集合称为全集,请给出全集的定义.
⑤已知全集U={1,2,3},A={1},写出全集中不属于集合A的所有元素组成的集合B.
⑥请给出补集的定义.
⑦用Venn图表示A.
活动：组织学生充分讨论、交流,使学生明确集合中的元素,提示学生注意集合中元素的范围.
讨论结果：
①A={2},B={2,},C={2,,}.
②不相等,因为三个集合中的元素不相同.
③解方程时,要注意方程的根在什么范围内,同一个方程,在不同的范围其解会有所不同.
④一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记为U.
⑤B={2,3}.
⑥对于一个集合A,全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集.
集合A相对于全集U的补集记为A,即A={x|x∈U,且x?A}.
⑦如图1-1-3-9所示,阴影表示补集.
图1-1-3-9
应用示例
思路1
1.设U={x|x是小于9的正整数},A={1,2,3},B={3,4,5,6},求A,B.
活动：让学生明确全集U中的元素,回顾补集的定义,用列举法表示全集U,依据补集的定义写出A,B.
解：根据题意,可知U={1,2,3,4,5,6,7,8},所以
A={4,5,6,7,8};B={1,2,7,8}.
点评：本题主要考查补集的概念和求法.用列举法表示的集合,依据补集的含义,直接观察写出集合运算的结果.
常见结论:(A∩B)=(A)∪(B);(A∪B)=(A)∩(B).
变式训练
1.2007吉林高三期末统考,文1已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5,7},B={3,4,5},则(A)∩(B)等于( )
A.{1,6} B.{4,5} C.{2,3,4,5,7} D.{1,2,3,6,7}
分析:思路一:观察得(A)∩(B)={1,3,6}∩{1,2,6,7}={1,6}.
思路二:A∪B={2,3,4,5,7},则(A)∩(B)=(A∪B)={1,6}.
答案：A
2.2007北京东城高三期末教学目标抽测一,文1设集合U={1,2,3,4,5},A={1,2,4},B={2},则A∩(B)等于( )
A.{1,2,3,4,5} B.{1,4} C.{1,2,4} D.{3,5}
答案：B
3.2005浙江高考,理1设全集U={1,2,3,4,5,6,7},P={1,2,3,4,5},Q={3,4,5,6,7},则P∩(Q)等于( )
A.{1,2} B.{3,4,5} C.{1,2,6,7} D.{1,2,3,4,5}
答案：A
2.设全集U={x|x是三角形},A={x|x是锐角三角形},B={x|x是钝角三角形}.求A∩B,(A∪B).
活动：学生思考三角形的分类和集合的交集、并集和补集的含义.结合交集、并集和补集的含义写出结果.A∩B是由集合A,B中公共元素组成的集合,(A∪B)是全集中除去集合A∪B中剩下的元素组成的集合.
解：根据三角形的分类可知
A∩B=,
A∪B={x|x是锐角三角形或钝角三角形},(A∪B)={x|x是直角三角形}.
变式训练
1.已知集合A={x|3≤x<8},求A.
解：A={x|x<3或x≥8}.
2.设S={x|x是至少有一组对边平行的四边形},A={x|x是平行四边形},B={x|x是菱形},C={x|x是矩形},求B∩C,B,A.
解：B∩C={x|正方形},B={x|x是邻边不相等的平行四边形},A={x|x是梯形}.
3.已知全集I=R,集合A={x|x2+ax+12b=0},B={x|x2-ax+b=0},满足(A)∩B={2},(B)∩A={4},求实数a、b的值.
答案：a=,b=.
4.设全集U=R,A={x|x≤2+},B={3,4,5,6},则(A)∩B等于…( )
A.{4} B.{4,5,6} C.{2,3,4} D.{1,2,3,4}
分析:∵U=R,A={x|x≤2+},∴A={x|x>2+}.而4,5,6都大于2+,
∴(A)∩B={4,5,6}.
答案：B
思路2
1.已知全集U=R,A={x|-2≤x≤4},B={x|-3≤x≤3},求:
(1)A,B;
(2)(A)∪(B),(A∩B),由此你发现了什么结论？
(3)(A)∩(B),(A∪B),由此你发现了什么结论？
活动：学生回想补集的含义,教师指导学生利用数轴来解决.依据补集的含义,借助于数轴求得.在数轴上表示集合A,B.
解：如图1-1-3-10所示,
图1-1-3-10
(1)由图得A={x|x<-2或x>4},B={x|x<-3或x>3}.
(2)由图得(A)∪(B)={x|x<-2或x>4}∪{x|x<-3或x>3}={x|x<-2或x>3};
∵A∩B={x|-2≤x≤4}∩{x|-3≤x≤3}={x|-2≤x≤3},
∴(A∩B)={x|-2≤x≤3}={x|x<-2或x>3}.
∴得出结论(A∩B)=(A)∪(B).
(3)由图得(A)∩(B)={x|x<-2或x>4}∩{x|x<-3或x>3}={x|x<-3或x>4};
∵A∪B={x|-2≤x≤4}∪{x|-3≤x≤3}={x|-3≤x≤4},
∴(A∪B)={x|-3≤x≤4}={x|x<-3或x>4}.
∴得出结论(A∪B)=(A)∩(B).
变式训练
1.2006重庆高考,理1已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5,7},B={3,4,5},则(A)∪(B)等于( )
A.{1,6} B.{4,5} C.{1,2,3,4,5,7} D.{1,2,3,6,7}
答案：D
2.2005江西高考,理1设集合I={x||x|<3,x∈Z},A={1,2},B={-2,-1,2},则A∪(B)等于( )
A.{1} B.{1,2} C.{2} D.{0,1,2}
答案：D
2.设全集U={x|x≤20,x∈N,x是质数},A∩(B)={3,5},(A)∩B={7,19},(A)∩(B)={2,17},求集合A、B.
活动：学生回顾集合的运算的含义,明确全集中的元素.利用列举法表示全集U,根据题中所给的条件,把集合中的元素填入相应的Venn图中即可.求集合A、B的关键是确定它们的元素,由于全集是U,则集合A、B中的元素均属于全集U,由于本题中的集合均是有限集并且元素的个数不多,可借助于Venn图来解决.
解：U={2,3,5,7,11,13,17,19},
由题意借助于Venn图,如图1-1-3-11所示,
图1-1-3-11
∴A={3,5,11,13},B={7,11,13,19}.
点评：本题主要考查集合的运算、Venn图以及推理能力.借助于Venn图分析集合的运算问题,使问题简捷地获得解决,将本来抽象的集合问题直观形象地表现出来,这正体现了数形结合思想的优越性.
变式训练
1.2007临沂高三期末统考,文1
图1-1-3-12
设I为全集,M、N、P都是它的子集,则图1-1-3-12中阴影部分表示的集合是( )
A.M∩[(N)∩P] B.M∩(N∪P)
C.[(M)∩(N)]∩P D.M∩N∪(N∩P)
分析:思路一:阴影部分在集合M内部,排除C;阴影部分不在集合N内,排除B、D.
思路二:阴影部分在集合M内部,即是M的子集,又阴影部分在P内不在集合N内即在(N)∩P内,所以阴影部分表示的集合是M∩[(N)∩P].
答案：A
2.设U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},(A)∩B={3,7},(B)∩A={2,8},(A)∩(B)={1,5,6},则集合A=________,B=________.
分析:借助Venn,如图1-1-3-13,把相关运算的结果表示出来,自然地就得出集合A、B了.
图1-1-3-13
答案：{2,4,8,9} {3,4,7,9}
知能训练
课本P11练习4.
【补充练习】
1.设全集U=R,A={x|2x+1>0},试用文字语言表述A的意义.
解：A={x|2x+1>0}即不等式2x+1>0的解集,A中元素均不能使2x+1>0成立,即A中元素应当满足2x+1≤0.∴A即不等式2x+1≤0的解集.
2.如图1-1-3-14所示,U是全集,M,P,S是U的三个子集,则阴影部分表示的集合是_______.
图1-1-3-14
分析:观察图可以看出,阴影部分满足两个条件:一是不在集合S内;二是在集合M,P的公共部分内,因此阴影部分表示的集合是集合S的补集与集合M,P的交集的交集,即(S)∩(M∩P).
答案：(S)∩(M∩P)
3.2007安徽淮南一模,理1设集合A、B都是U={1,2,3,4}的子集,已知(A)∩(B)={2},(A)∩B={1},则A等于( )
A.{1,2} B.{2,3} C.{3,4} D.{1,4}
分析:如图1-1-3-15所示.
图1-1-3-15
由于(A)∩(B)={2},(A)∩B={1},则有A={1,2}.∴A={3,4}.
答案：C
4.2006安徽高考,文1设全集U={1,2,3,4,5,6,7,