1-3函数的基本性质（1-3.1~1-3.2=示范教案+备课资料）
文档属性
| 名称 | 1-3函数的基本性质（1-3.1~1-3.2=示范教案+备课资料） |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 542.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2011-08-11 13:07:00 | ||
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文档简介
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1.3 函数的基本性质
1.3.1 单调性与最大（小）值
整体设计
教学分析
在研究函数的性质时，单调性和最值是一个重要内容.实际上，在初中学习函数时，已经重点研究了一些函数的增减性，只是当时的研究较为粗略，未明确给出有关函数增减性的定义，对于函数增减性的判断也主要根据观察图象得出，而本小节内容，正是初中有关内容的深化和提高：给出函数在某个区间上是增函数或减函数的定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的，还说明判断函数的增减性既有从图象上进行观察的较为粗略的方法，又有根据定义进行证明的较为严格的方法、最好根据图象观察得出猜想，用推理证明猜想的正确性,这样就将以上两种方法统一起来了.
由于函数图象是发现函数性质的直观载体，因此，在本节教学时可以充分使用信息技术创设教学情境，以利于学生作函数图象，有更多的时间用于思考、探究函数的单调性、最值等性质.还要特别重视让学生经历这些概念的形成过程，以便加深对单调性和最值的理解.
三维目标
1.函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛，学会运用函数图象理解和研究函数的性质.
2.理解并掌握函数的单调性及其几何意义，掌握用定义证明函数单调性的步骤，会求函数的单调区间，提高应用知识解决问题的能力.
3.通过实例，使学生体会、理解到函数的最大（小）值及其几何意义，能够借助函数图象的直观性得出函数的最值，培养以形识数的解题意识.
4.能够用函数的性质解决日常生活中的简单的实际问题，使学生感受到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学生学习函数的紧迫感，激发学生学习的积极性.
重点难点
教学重点:函数的单调性和最值.
教学难点:增函数、减函数、奇函数、偶函数形式化定义的形成.
课时安排
2课时
设计方案（一）
教学过程
第1课时 函数的单调性
导入新课
思路1.德国有一位著名的心理学家名叫艾宾浩斯(Hermann Ebbinghaus，1850~1909)，他以自己为实验对象，共做了163次实验，每次实验连续要做两次无误的背诵.经过一定时间后再重学一次，达到与第一次学会的同样的标准.他经过对自己的测试，得到了一些数据.
时间间隔t 0分钟 20分钟 60分钟 8~9小时 1天 2天 6天 一个月
记忆量y(百分比) 100% 58.2% 44.2% 35.8% 33.7% 27.8% 25.4% 21.1%
观察这些数据，可以看出：记忆量y是时间间隔t的函数.当自变量（时间间隔t）逐渐增大时，你能看出对应的函数值（记忆量y）有什么变化趋势吗？描出这个函数图象的草图(这就是著名的艾宾浩斯曲线).从左向右看,图象是上升的还是下降的？你能用数学符号来刻画吗？通过这个实验,你打算以后如何对待刚学过的知识 （可以借助信息技术画图象）
图1-3-1-1
学生：先思考或讨论，回答：记忆量y随时间间隔t的增大而增大；以时间间隔t为x轴，以记忆量y为y轴建立平面直角坐标系，描点连线得函数的草图——艾宾浩斯遗忘曲线如图1-3-1-1所示.
遗忘曲线是一条衰减曲线，它表明了遗忘的规律.随着时间的推移，记忆保持量在递减，刚开始遗忘速度最快，我们应利用这一规律，在学习新知识时一定要及时复习巩固，加深理解和记忆.教师提示、点拨，并引出本节课题.
思路2.在第23届奥运会上，中国首次参加就获15枚金牌；在第24届奥运会上，中国获5枚金牌；在第25届奥运会上，中国获16枚金牌；在第26届奥运会上，中国获16枚金牌；在第27届奥运会上，中国获28枚金牌；在第28届奥运会上，中国获32枚金牌.按这个变化趋势，2008年，在北京举行的第29届奥运会上，请你预测一下中国能获得多少枚金牌？
学生回答(只要大于32就可以算准确),教师：提示、点拨，并引出本节课题.
推进新课
新知探究
提出问题
①如图1-3-1-2所示为一次函数y=x，二次函数y=x2和y=-x2的图象,它们的图象有什么变化规律 这反映了相应的函数值的哪些变化规律
图1-3-1-2
②函数图象上任意点P(x,y)的坐标有什么意义？
③如何理解图象是上升的？
④对于二次函数y=x2，列出x,y的对应值表(1).完成表(1)并体会图象在y轴右侧上升.
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
f(x)=x2
表(1)
⑤在数学上规定：函数y=x2在区间(0,+∞)上是增函数.谁能给出增函数的定义？
⑥增函数的定义中，把“当x1x2时，都有f(x1)>f(x2)”,这样行吗
⑦增函数的定义中，“当x1⑧增函数的几何意义是什么？
⑨类比增函数的定义，请给出减函数的定义及其几何意义？
⑩函数y=f（x）在区间D上具有单调性，说明了函数y=f（x）在区间D上的图象有什么变化趋势？
讨论结果:①函数y=x的图象,从左向右看是上升的；函数y=x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的；函数y=-x2的图象在y轴左侧是上升的，在y轴右侧是下降的.
②函数图象上任意点P的坐标(x,y)的意义：横坐标x是自变量的取值,纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小.
③按从左向右的方向看函数的图象,意味着图象上点的横坐标逐渐增大即函数的自变量逐渐增大.图象是上升的意味着图象上点的纵坐标逐渐变大,也就是对应的函数值随着逐渐增大.也就是说从左向右看图象上升,反映了函数值随着自变量的增大而增大.
④在区间(0,+∞)上，任取x1、x2，且x1⑤一般地，设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1⑥可以.增函数的定义：由于当x1x2时，都有f(x1)>f(x2)”都是相同的不等号“>”，也就是说前面是“>”，后面也是“>”,步调一致.因此我们可以简称为：步调一致增函数.
⑦函数值随着自变量的增大而增大;从左向右看,图象是上升的.
⑧从左向右看,图象是上升的.
⑨一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.简称为：步调不一致减函数.减函数的几何意义：从左向右看,图象是下降的.函数值变化趋势：函数值随着自变量的增大而减小.总结：如果函数y=f（x）在区间D上是增函数(或减函数)，那么就说函数y=f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f（x）的单调递增(或减)区间.
⑩函数y=f（x）在区间D上，函数值的变化趋势是随自变量的增大而增大（减小），几何意义：从左向右看,图象是上升（下降）的.
应用示例
思路1
例1如图1-3-1-3是定义在区间［－5，5］上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
图1-3-1-3
活动：教师提示利用函数单调性的几何意义.学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.图象上升则在此区间上是增函数，图象下降则在此区间上是减函数.
解：函数y=f(x)的单调区间是［-5,2),［-2,1),［1,3),［3,5］.其中函数y=f(x)在区间［-5,2),［1,3)上是减函数，在区间［-2,1),［3,5］上是增函数.
点评：本题主要考查函数单调性的几何意义，以及图象法判断函数单调性.图象法判断函数的单调性适合于选择题和填空题.如果解答题中给出了函数的图象，通常用图象法判断单调性.函数的图象类似于人的照片，我们能根据人的照片来估计其身高，同样我们根据函数的图象可以分析出函数值的变化趋势即单调性.
图象法求函数单调区间的步骤是第一步：画函数的图象；第二步：观察图象，利用函数单调性的几何意义写出单调区间.
变式训练
课本P32练习1、3.
例2物理学中的玻意耳定律p=（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减少时，压强p将增大.试用函数的单调性证明.
活动：学生先思考或讨论，再到黑板上书写.当学生没有证明思路时，教师再提示,及时纠正学生解答过程出现的问题，并标出关键的地方，以便学生总结定义法的步骤.体积V减少时，压强p将增大是指函数p=是减函数；刻画体积V减少时，压强p将增大的方法是用不等式表达.已知函数的解析式判断函数的单调性时，常用单调性的定义来解决.
解：利用函数单调性的定义只要证明函数p=在区间(0,+∞)上是减函数即可.
点评：本题主要考查函数的单调性，以及定义法判断函数的单调性.
定义法判断或证明函数的单调性的步骤是第一步：在所给的区间上任取两个自变量x1和x2,通常令x1变式训练
课本P32练习4.
思路2
例1（1）画出已知函数f(x)=-x2+2x+3的图象；
（2）证明函数f(x)=-x2+2x+3在区间(-∞,1］上是增函数；
（3）当函数f(x)在区间(-∞,m］上是增函数时，求实数m的取值范围.
图1-3-1-4
解：（1）函数f(x)=-x2+2x+3的图象如图1-3-1-4所示.
(2)设x1、x2∈(-∞,1］，且x1f(x1)-f(x2)=(-x12+2x1+3)-(-x22+2x2+3)
=(x22-x12)+2(x1-x2)
=(x1-x2)(2-x1-x2).
∵x1、x2∈(-∞,1］，且x1∴2-x1-x2>0.∴f(x1)-f(x2)<0.∴f(x1)∴函数f(x)=-x2+2x+3在区间(-∞,1］上是增函数.
（3）函数f(x)=-x2+2x+3的对称轴是直线x=1，在对称轴的左侧是增函数，那么当区间(-∞,m］位于对称轴的左侧时满足题意，则有m≤1，即实数m的取值范围是(-∞,1］.
点评：本题主要考查二次函数的图象、函数的单调性及其应用.讨论有关二次函数的单调性问题时，常用数形结合的方法，结合二次函数图象的特点来分析；二次函数在对称轴两侧的单调性相反；二次函数在区间D上是单调函数，那么二次函数的对称轴不在区间D内.
判断函数单调性时，通常先画出其图象，由图象观察出单调区间，最后用单调性的定义证明.
判断函数单调性的三部曲：
第一步，画出函数的图象，观察图象，描述函数值的变化趋势；
第二步，结合图象来发现函数的单调区间；
第三步，用数学符号即函数单调性的定义来证明发现的结论.
函数的单调性是函数的一个重要性质,是高考的必考内容之一.因此应理解单调函数及其几何意义,会根据定义判断、证明函数的单调性，会求函数的单调区间，能综合运用单调性解决一些问题，会判断复合函数的单调性.函数的单调性与函数的值域、不等式等知识联系极为密切，是高考命题的热点题型.
变式训练
已知函数f(x)是R上的增函数，设F(x)=f(x)-f(a-x).
(1)用函数单调性定义证明F(x)是R上的增函数；
(2)证明函数y=F(x)的图象关于点(,0)成中心对称图形.
活动：（1）本题中的函数解析式不明确即为抽象函数，用定义法判断单调性的步骤是要按格式书写；（2）证明函数y=F(x)的图象上的任意点关于点(,0)的对称点还是在函数y=F(x)的图象上即可.
解：（1）设x1、x2∈R，且x1F(x1)-F(x2)=［f(x1)-f(a-x1)］-［f(x2)-f(a-x2)］
=［f(x1)-f(x2)］+［f(a-x2)-f(a-x1)］.
又∵函数f(x)是R上的增函数，x1∴f(x1)∴［f(x1)-f(x2)］+［f(a-x2)-f(a-x1)］<0.
∴F(x1)（2）设点M(x0,F(x0))是函数F(x)图象上任意一点，则点M(x0,F(x0))关于点(,0)的对称点M′(a-x0,-F(x0)).
又∵F(a-x0)=f(a-x0)-f(a-(a-x0))
＝f(a-x0)-f(x0)
＝-［f(x0)-f(a-x0)］
=-F(x0),
∴点M′(a-x0,-F(x0))也在函数F(x)图象上，
又∵点M(x0,F(x0))是函数F(x)图象上任意一点，
∴函数y=F(x)的图象关于点(,0)成中心对称图形.
例2(1)写出函数y=x2-2x的单调区间及其图象的对称轴,观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点
(2)写出函数y=|x|的单调区间及其图象的对称轴,观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点
图1-3-1-5
(3)定义在［-4,8］上的函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,y=f(x)的部分图象如图1-3-1-5所示,请补全函数y=f(x)的图象,并写出其单调区间,观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点
(4)由以上你发现了什么结论 试加以证明.
活动：学生先思考，再回答，教师适时点拨和提示:
（1）画出二次函数y=x2-2x的图象，借助于图象解决；（2）类似于（1）；（3）根据轴对称的含义补全函数的图象，也是借助于图象写出单调区间；（4）归纳函数对称轴两侧对称区间上的单调性的异同来发现结论，利用轴对称的定义证明.
解：(1)函数y=x2-2x的单调递减区间是(-∞,1),单调递增区间是(1,+∞);对称轴是直线x=1;区间(-∞,1)和区间(1,+∞)关于直线x=1对称,而单调性相反.
(2)函数y=|x|的单调递减区间是(-∞,0),单调递增区间是(0,+∞);对称轴是y轴即直线x=0;区间(-∞,0)和区间(0,+∞)关于直线x=0对称,而单调性相反.
(3)函数y=f(x),x∈［-4,8］的图象如图1-3-1-6.
图1-3-1-6
函数y=f(x)的单调递增区间是［-4,-1］,［2,5］;单调递减区间是［5,8］,［-1,2］;区间［-4,-1］和区间［5,8］关于直线x=2对称,而单调性相反,区间［-1,2］和区间［2,5］关于直线x=2对称,而单调性相反.
(4)可以发现结论:如果函数y=f(x)的图象关于直线x=m对称,那么函数y=f(x)在直线x=m两侧对称单调区间内具有相反的单调性.证明如下:
不妨设函数y=f(x)在对称轴直线x=m的右侧一个区间［a,b］上是增函数,区间［a,b］关于直线x=m的对称区间是［2m-b,2m-a］.
由于函数y=f(x)的图象关于直线x=m对称,则f(x)=f(2m-x).
设2m-b≤x12m-x2≥a,
f(x1)-f(x2)=f(2m-x1)-f(2m-x2).
又∵函数y=f(x)在［a,b］上是增函数,∴f(2m-x1)-f(2m-x2)>0.
∴f(x1)-f(x2)>0.∴f(x1)>f(x2).
∴函数y=f(x)在区间［2m-b,2m-a］上是减函数.
∴当函数y=f(x)在对称轴直线x=m的右侧一个区间［a,b］上是增函数时,其在［a,b］关于直线x=m的对称区间［2m-b,2m-a］上是减函数,即单调性相反.
因此有结论:如果函数y=f(x)的图象关于直线x=m对称,那么函数y=f(x)在对称轴两侧的对称单调区间内具有相反的单调性.
点评：本题通过归纳——猜想——证明得到了正确的结论,这是我们认识世界发现问题的主要方法,这种方法的难点是猜想,突破路径是寻找共同的特征.本题作为结论记住，可以提高解题速度.图象类似于人的照片，看见人的照片就能估计这个人的身高、五官等特点，同样根据函数的图象也能观察出函数的性质特征.这需要有细致的观察能力.
变式训练
函数y=f(x)满足以下条件:
①定义域是R;
②图象关于直线x=1对称;
③在区间［2,+∞)上是增函数.
试写出函数y=f(x)的一个解析式f(x)=(只需写出一个即可,不必考虑所有情况).
活动：根据这三个条件，画出函数y=f(x)的图象简图（只要能体现这三个条件即可），再根据图象简图，联系猜想基本初等函数及其图象和已有的解题经验写出.
解：定义域是R的函数解析式通常不含分式或根式，常是整式；图象关于直线x=1对称的函数解析式满足：f(x)=f(2-x)，基本初等函数中有对称轴的仅有二次函数，则由①②想到了二次函数；结合二次函数的图象，在区间［2,+∞)上是增函数说明开口必定向上，且正好满足二次函数的对称轴直线x=1不在区间［2,+∞)内，故函数的解析式可能是y=a(x-1)2+b(a>0).
结合二次函数的图象和性质，可知这三条都可满足开口向上的抛物线，故有：
形如y=a(x-1)2+b(a>0)，或为y=a|x-1|+b(a>0)等都可以，答案不唯一.
知能训练
课本P32练习2.
【补充练习】
1.利用图象法写出基本初等函数的单调性.
解：①正比例函数：y=kx(k≠0)
当k>0时，函数y=kx在定义域R上是增函数；当k<0时，函数y=kx在定义域R上是减函数.
②反比例函数：y=(k≠0)
当k>0时，函数y=的单调递减区间是(-∞,0)，(0,+∞)，不存在单调递增区间；当k<0时，函数y=的单调递增区间是(-∞,0)，(0,+∞),不存在单调递减区间.
③一次函数：y=kx+b(k≠0)
当k>0时，函数y=kx+b在定义域R上是增函数；当k<0时，函数y=kx+b在定义域R上是减函数.
④二次函数：y=ax2+bx+c(a≠0)
当a>0时，函数y=ax2+bx+c的单调递减区间是(-∞,］，单调递增区间是［,+∞)；
当a<0时，函数y=ax2+bx+c的单调递减区间是［,+∞)，单调递增区间是(-∞,］.
点评：以上基本初等函数的单调性作为结论记住，可以提高解题速度.
2.已知函数y=kx+2在R上是增函数，求实数k的取值范围.
答案：k∈(0,+∞).
3.二次函数f(x)=x2-2ax+m在(-∞,2)上是减函数，在(2,+∞)上是增函数，求实数a的值.
答案：a=2.
4.2005年全国高中数学联赛试卷，8已知f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数，若f(2a2+a+1)分析:∵f(x)的定义域是(0,+∞)，
∴解得a<或a>1.
∵f(x)在(0,+∞)上是减函数，
∴2a2+a+1>3a2-4a+1.∴a2-5a<0.
∴0答案：(0,)∪(1,5)
点评：本题实质是解不等式，但是这是一个不具体的不等式，是抽象不等式.解与函数有关的抽象不等式时，常用的技巧是利用函数的单调性“剥掉外衣”，转化为整式不等式.
拓展提升
问题：1.画出函数y=的图象，结合图象探讨下列说法是否正确？
（1）函数y=是减函数；（2）函数y=的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).
2.对函数y=,取x1=-13.通过上面两道题,你对函数的单调性定义有什么新的理解？
解答：1.（1）是错误的，从左向右看,函数y=的图象不是下降的.
（2）是错误的，函数y=的单调递减区间是(-∞,0),(0,+∞).这表示在区间(-∞,0)∪(0,+∞)即定义域上是减函数，在定义域上函数y=的图象，从左向右看不是下降的，因此这是错误的.
2.不对.这个过程看似是定义法，实质上不是.定义中x1、x2是在某区间内任意取的两个值，不能用特殊值来代替.
3.函数单调性定义中的x1、x2必须是任意的，应用单调性定义解决问题时，要注意保持其任意性.
点评：函数的单调性反映了函数在其定义域的子集上的性质，是函数的“局部性质”；函数y=f(x)在区间(a,b)和(b,c)上均是增（减）函数，那么在区间(a,b)∪(b,c)上的单调性不能确定.
课堂小结
本节学习了:①函数的单调性;②判断函数单调性的方法:定义法和图象法.
活动：学生先思考或讨论，再回答.教师提示、点拨，及时评价.
引导方法：从基本知识和基本技能两方面来总结.
作业
课本P39习题1.3A组2、3、4.
设计感想
“函数单调性”是一个重要的数学概念，以往的教学方法一般是由教师讲解为主，在单调性的定义教学中，往往缺少从定性的描述到定量表示的思维过程，即缺少“意义建构”.本设计致力于展示概念是如何生成的.在概念的发生、发展中，通过层层设问，调动学生的思维，突出培养了学生的思维能力，体现了教师是用教材教，而不是教教材.
本节课是函数单调性的起始课,采用教师启发引导,学生探究学习的教学方法,通过创设情境,引导探究,师生交流,最终形成概念,获得方法.本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学,为学生提供直观感性的材料,有助于学生对问题的理解和认识.考虑到部分学生数学基础较好、思维较为活跃的特点,对判断方法进行适当的延展,加深对定义的理解,同时也为用导数研究函数单调性埋下伏笔.
(设计者：张建国)
设计方案（二）
教学过程
第1课时 函数的单调性
导入新课
思路1.
为了预测北京奥运会开幕式当天的天气情况，数学兴趣小组研究了2002年到2006年每年这一天的天气情况，如图1-3-1-7是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.
图1-3-1-7
问题：观察图1-3-1-7，能得到什么信息？
(1)当天的最高温度、最低温度以及达到的时刻；
(2)在某时刻的温度；
(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低.
引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考回答.教师：在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的.归纳：用函数观点看，其实这些例子反映的就是随着自变量的变化，函数值是变大或变小.
思路2.如图1-3-1-8所示,观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：
图1-3-1-8
随x的增大，y的值有什么变化？
引导学生回答，点拨提示，引出课题.
设计意图:创设情景，引起学生兴趣.
推进新课
新知探究
提出问题
问题①:分别作出函数y=x+2,y=-x+2,y=x2,y=的图象，并且观察自变量变化时，函数值的变化规律.
如图1-3-1-9所示:
图1-3-1-9
问题②:能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数
设计意图:从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识：直观感知.
问题③:如图1-3-1-10是函数y=x+(x>0)的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗？
图1-3-1-10
设计意图:使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性.
问题④:如何从解析式的角度说明f(x)=x2在［0,+∞)上为增函数？
设计意图:把对单调性的认识由感性上升到理性的高度,完成对概念的第二次认识.事实上也给出了证明单调性的方法，为第三阶段的学习作好铺垫.
问题⑤:你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗
设计意图:让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识.
活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.
引导方法与过程：问题①：引导学生进行分类描述图象是上升的、下降的(增函数、减函数)，同时明确函数的图象变化（单调性）是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质.
问题②：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观、描述性的认识.
学生的困难是难以确定分界点的确切位置.
问题③：通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究.
问题④：对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量x1、x2.
问题⑤：师生共同探究：利用不等式表示变大或变小,得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义.
归纳总结：1.函数单调性的几何意义：如果函数y=f(x)在区间D上是增（减）函数，那么在区间D上的图象是上升的（下降的）.
2.函数单调性的定义：略.可以简称为步调一致增函数，步调相反减函数.
讨论结果：①(1)函数y=x+2，在整个定义域内y随x的增大而增大；函数y=-x+2，在整个定义域内y随x的增大而减小.(2)函数y=x2，在［0,+∞)上y随x的增大而增大，在(-∞,0)上y随x的增大而减小.(3)函数y=，在(0,+∞)上y随x的增大而减小，在(-∞,0)上y随x的增大而减小.
②如果函数f(x)在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数f(x)在该区间上为增函数；如果函数f(x)在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们说函数f(x)在该区间上为减函数.
③不能.
④(1)在给定区间内取两个数，例如2和3，因为22<32，所以f(x)=x2在［0,+∞)上为增函数.
(2)仿(1)，取多组数值验证均满足，所以f(x)=x2在［0,+∞)上为增函数.
(3)任取x1、x2∈［0,+∞),且x1⑤略
应用示例
思路1
例1课本P29页例1.
思路分析：利用函数单调性的几何意义.学生先思考或讨论，再回答.
点评：本题主要考查函数单调性的几何意义.
图象法求函数单调区间的步骤:
①画函数的图象；
②观察图象，利用函数单调性的几何意义写出单调区间.
图象法的难点是画函数的图象，常见画法有描点法和变换法.
答案：略.
变式训练
课本P32练习4.
例2课本P32页例2.
思路分析：按题意，只要证明函数p=在区间（0，+∞）上是减函数即可，用定义证明.
点评：本题主要考查函数的单调性.
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：（定义法）
①任取x1、x2∈D，且x1②作差f(x1)－f(x2)；
③变形（通常是因式分解和配方）；
④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）.
易错分析：错取两个特殊值x1、x2来证明.
答案：略.
变式训练
判断下列说法是否正确：
①已知f(x)=,因为f(-1)②若函数f(x)满足f(2)③若函数f(x)在区间(1,2］和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数.
④因为函数f(x)=在区间(-∞,0)和(0,+∞)上都是减函数，所以f(x)=在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数.
活动：教师强调以下三点后,让学生判断.
1.单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性.
2.有的函数在整个定义域内单调(如一次函数)，有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数)，有的函数根本没有单调区间(如常函数).
3.函数在定义域内的两个区间A、B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在A∪B上是增（或减）函数.
答案：这四个判断都是错误的.
思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数
证明一个命题成立时，需要有严格的逻辑推理过程，而否定一个命题只需举一个反例即可.也就是说，只要找到两个特殊的自变量，不符合定义就行.
思路2
例1证明函数f(x)=x+在(2,+∞)上是增函数.
思路分析：利用单调性的定义证明.可以利用信息技术，先画出函数的图象，体会一下再证明.
点评：本题主要考查函数的单调性.
引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论.
答案：略.
变式训练
证明函数f(x)=x在［0,+∞)上是增函数.
思路分析：此函数是一个具体的函数，用定义法证明.
思考：除了用定义外，如果证得对任意的x1、x2∈(a,b)，且x1≠x2有分 f(x2)-f(x1)x2-x1式>0，能断定函数f(x)在区间(a,b)上是增函数吗
活动：引导学生分析这种叙述与定义的等价性.让学生尝试用这种等价形式证明函数f(x)=x在［0,+∞)上是增函数.
讨论结果：能.
例2用计算机画出函数y=的图象，根据图象指出单调区间，并用定义法证明.
思路分析：在图象上观察在哪个区间函数图象是上升的，在哪个区间函数图象是下降的，借助于单调性的几何意义写出单调区间，再用定义证明.
教师画出图象，学生回答，如果遇到障碍，就提示利用函数单调性的几何意义写出单调区间.
点评：讨论函数单调性的三部曲：
第一步，画函数的图象；
第二步，借助单调性的几何意义写出单调区间；
第三步，利用定义加以证明.
答案：略.
变式训练
画出函数y=的图象，根据图象指出单调区间.
活动：教师引导学生利用变换法（也可以用计算机）画出图象，根据单调性的几何意义写出单调区间，再利用定义法证明.
答案：略.
知能训练
课本P32练习2.
拓展提升
试分析函数y=x+的单调性.
活动：先用计算机画出图象，找出单调区间，再用定义法证明.
答案：略.
课堂小结
学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结.
(1)概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性.
(2)证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论.
(3)数学思想方法：数形结合.
(4)函数单调性的几何意义是:函数值的变化趋势,即图象是上升的或下降的.
设计感想
本节课是函数单调性的起始课，采用教师启发引导，学生探究学习的教学方法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法.本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识.
考虑到部分学生数学基础较好、思维较为活跃的特点，对判断方法进行适当的延展，加深对定义的理解，同时也为用导数研究函数单调性埋下伏笔.
作业:课本P39习题1.3A组2、3、4.
(设计者：张新军)
第2课时 函数的最值
导入新课
思路1.某工厂为了扩大生产规模,计划重新建造一个面积为10 000 m2的矩形新厂址,新厂址的长为x m，则宽为m，所建围墙ym，假如你是这个工厂的厂长,你会选择一个长和宽各为多少米的矩形土地,使得新厂址的围墙y最短
学生先思考或讨论，教师指出此题意在求函数y=2(x+),x>0的最小值.引出本节课题：在生产和生活中，我们非常关心花费最少、用料最省、用时最省等最值问题，这些最值对我们的生产和生活是很有帮助的.那么什么是函数的最值呢 这就是我们今天学习的课题.用函数知识解决实际问题，将实际问题转化为求函数的最值，这就是函数的思想，用函数解决问题.
思路2.画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？
①f(x)=-x+3；②f(x)=-x+3,x∈［-1,2］；
③f(x)=x2+2x+1;④f(x)=x2+2x+1,x∈［-2,2］.
学生回答后，教师引出课题：函数的最值.
推进新课
新知探究
提出问题
①如图1-3-1-11所示，是函数y=-x2-2x、y=-2x+1,x∈［-1,+∞)、y=f(x)的图象.观察这三个图象的共同特征.
图1-3-1-11
②函数图象上任意点P(x,y)的坐标与函数有什么关系？
③你是怎样理解函数图象最高点的
④问题1中，在函数y=f(x)的图象上任取一点A(x,y)，如图1-3-1-12所示，设点C的坐标为(x0,y0)，谁能用数学符号解释：函数y=f(x)的图象有最高点C？
图1-3-1-12
⑤在数学中，形如问题1中函数y=f(x)的图象上最高点C的纵坐标就称为函数y=f(x)的最大值.谁能给出函数最大值的定义？
⑥函数最大值的定义中f(x)≤M即f(x)≤f(x0)，这个不等式反映了函数y=f(x)的函数值具有什么特点？其图象又具有什么特征？
⑦函数最大值的几何意义是什么？
⑧函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)有最大值吗？为什么？
⑨点(-1,3)是不是函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)的最高点？
⑩由这个问题你发现了什么值得注意的地方？
讨论结果:
①函数y=-x2-2x图象有最高点A，函数y=-2x+1,x∈［-1,+∞)图象有最高点B，函数y=f(x)图象有最高点C.也就是说,这三个函数的图象的共同特征是都有最高点.
②函数图象上任意点P的坐标(x,y)的意义:横坐标x是自变量的取值,纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小.
③图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值,即函数的最大值.
④由于点C是函数y=f(x)图象的最高点，则点A在点C的下方，即对定义域内任意x，都有y≤y0，即f(x)≤f(x0)，也就是对函数y=f(x)的定义域内任意x，均有f(x)≤f(x0)成立.
⑤一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M.
那么，称M是函数y=f(x)的最大值.
⑥f(x)≤M反映了函数y=f(x)的所有函数值不大于实数M；这个函数的特征是图象有最高点，并且最高点的纵坐标是M.
⑦函数图象上最高点的纵坐标.
⑧函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)没有最大值，因为函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)的图象没有最高点.
⑨不是，因为该函数的定义域中没有－1.
⑩讨论函数的最大值，要坚持定义域优先的原则；函数图象有最高点时，这个函数才存在最大值，最高点必须是函数图象上的点.
提出问题
①类比函数的最大值，请你给出函数的最小值的定义及其几何意义.
②类比问题9，你认为讨论函数最小值应注意什么？
活动：让学生思考函数最大值的定义，利用定义来类比定义.最高点类比最低点，符号不等号“≤”类比不等号“≥”.函数的最大值和最小值统称为函数的最值.
讨论结果：①函数最小值的定义是:
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；
（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M.
那么，称M是函数y=f(x)的最小值.
函数最小值的几何意义：函数图象上最低点的纵坐标.
②讨论函数的最小值，也要坚持定义域优先的原则；函数图象有最低点时，这个函数才存在最小值，最低点必须是函数图象上的点.
应用示例
思路1
例1求函数y=在区间［2，6］上的最大值和最小值.
活动：先思考或讨论，再到黑板上书写.当学生没有证明思路时，才提示：图象最高点的纵坐标就是函数的最大值，图象最低点的纵坐标就是函数的最小值.根据函数的图象观察其单调性，再利用函数单调性的定义证明，最后利用函数的单调性求得最大值和最小值.利用变换法画出函数y=的图象，只取在区间［2，6］上的部分.观察可得函数的图象是上升的.
解：设2≤x1f(x1)-f(x2)===
∵2≤x10,(x1-1)(x2-1)>0.
∴f(x1)>f(x2),即函数y=在区间［2，6］上是减函数.
所以，当x=2时，函数y=在区间［2，6］上取得最大值f(2)=2；
当x=6时，函数y=在区间［2，6］上取得最小值f(6)= .
变式训练
1.求函数y=x2-2x(x∈［-3,2］)的最大值和最小值_______.
答案：最大值是f(-3)=15，最小值是f(1)=-1.
2.函数f(x)=x4+2x2-1的最小值是.
分析：（换元法）转化为求二次函数的最小值.
设x2=t，y=t2+2t-1(t≥0)，
又当t≥0时，函数y=t2+2t-1是增函数，
则当t=0时，函数y=t2+2t-1(t≥0)取最小值－1.
所以函数f(x)=x4+2x2-1的最小值是－1.
答案：-1
3.画出函数y=－x2＋2|x|＋3的图象，指出函数的单调区间和最大值.
分析：函数的图象关于y轴对称，先画出y轴右侧的图象，再对称到y轴左侧合起来得函数的图象；借助图象，根据单调性的几何意义写出单调区间.
解：函数图象如图1-3-1-13所示.
图1-3-1-13
由图象得，函数的图象在区间（－∞，－1）和［0，1］上是上升的，在［－1，0］和（1，＋∞）上是下降的，最高点是(±1,4)，
故函数在（－∞，－1），［0，1］上是增函数；函数在［－1，0］，（1，＋∞）上是减函数，最大值是4.
点评：本题主要考查函数的单调性和最值，以及最值的求法.求函数的最值时，先画函数的图象，确定函数的单调区间，再用定义法证明，最后借助单调性写出最值，这种方法适用于做解答题.
单调法求函数最值：先判断函数的单调性,再利用其单调性求最值；常用到下面的结论：①如果函数y=f(x)在区间(a,b］上单调递增，在区间［b,c)上单调递减，则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；②如果函数y=f(x)在区间(a,b］上单调递减，在区间［b,c)上单调递增，则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b).
例2“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为h(t)=-4.9t2+14.7t+18，那么烟花冲出去后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？
活动：可以指定一位学生到黑板上书写，教师在下面巡视，并及时帮助做错的学生改错.并对学生的板书及时评价.将实际问题最终转化为求函数的最值，画出函数的图象，利用函数的图象求出最大值.“烟花冲出去后什么时候是它爆裂的最佳时刻”就是当t取什么值时函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18取得最大值；“这时距地面的高度是多少（精确到1 m）”就是函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的最大值；转化为求函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的最大值及此时自变量t的值.
解：画出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象，如图1-3-1-14所示，
显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆炸的最佳时刻，纵坐标就是这时距离地面的高度.
图1-3-1-14
由二次函数的知识，对于函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18，我们有：
当t==1.5时，函数有最大值,
即烟花冲出去后1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约是29m.
点评：本题主要考查二次函数的最值问题，以及应用二次函数解决实际问题的能力.解应用题步骤是①审清题意读懂题；②将实际问题转化为数学问题来解决；③归纳结论.
注意：要坚持定义域优先的原则；求二次函数的最值要借助于图象即数形结合.
变式训练
1.2006山东菏泽二模，文10把长为12厘米的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )
A.cm2 B.4cm2 C.3cm2 D.2cm2
解析：设一个三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为(4-x) cm，两个三角形的面积和为S，则S=x2+(4-x)2=(x-2)2+2≥2.
当x=2时，S取最小值2m2.故选D.
答案：D
2.某超市为了获取最大利润做了一番试验，若将进货单价为8元的商品按10元一件的价格出售时，每天可销售60件，现在采用提高销售价格减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨1元，其销售量就要减少10件，问该商品售价定为多少时才能赚取利润最大，并求出最大利润.
分析：设未知数，引进数学符号，建立函数关系式，再研究函数关系式的定义域，并结合问题的实际意义作出回答.利润＝（售价－进价）×销售量.
解：设商品售价定为x元时，利润为y元，则
y=(x-8)［60-(x-10)·10］
=-10［(x-12)2-16］=-10(x-12)2+160(10＜x＜16).
当且仅当x=12时，y有最大值160元，
即售价定为12元时可获最大利润160元.
思路2
例1已知函数f(x)=x+,x>0，
（1）证明当0（2）求函数f(x)=x+,x>0的最小值.
活动：学生思考判断函数单调性的方法，以及函数最小值的含义.（1）利用定义法证明函数的单调性；（2）应用函数的单调性得函数的最小值.
（1）解：任取x1、x2∈（0，+∞）且x1＜x2，则
f（x1）－f（x2）=（x1＋）－（x2+）=（x1－x2）+=，
∵x1＜x2，∴x1－x2<0，x1x2>0.
当0＜x1＜x2＜1时，x1x2-1<0，
∴f（x1）－f（x2）＞0.
∴f（x1）＞f（x2），即当0当1≤x1＜x2时，x1x2-1>0，
∴f（x1）－f（x2）＜0.
∴f（x1）＜f（x2）,即当x≥1时，函数f(x)是增函数.
（2）解法一：由（1）得当x=1时，函数f(x)=x+,x>0取最小值.
又f(1)=2，则函数f(x)=x+,x>0取最小值是2.
解法二：借助于计算机软件画出函数f(x)=x+,x>0的图象，如图1-3-1-15所示，
图1-3-1-15
由图象知，当x=1时，函数f(x)=x+,x>0取最小值f(1)=2.
点评：本题主要考查函数的单调性和最值.定义法证明函数的单调性的步骤是“去比赛”；三个步骤缺一不可.
利用函数的单调性求函数的最值的步骤：①先判断函数的单调性,再利用其单调性求最值；常用到下面的结论：①如果函数y=f(x)在区间(a,b］上单调递增，在区间［b,c)上单调递减，则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；②如果函数y=f(x)在区间(a,b］上单调递减，在区间［b,c)上单调递增，则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b).这种求函数最值的方法称为单调法.
图象法求函数的最值的步骤：画出函数的图象，依据函数最值的几何意义，借助图象写出最值.
变式训练
1.求函数y=（x≥0）的最大值.
解析:可证明函数y=（x≥0）是减函数，
∴函数y=（x≥0）的最大值是f(0)=3.
2.求函数y=|x+1|+|x-1|的最大值和最小值.
解法一：（图象法）y＝|x+1|+|x-1|=其图象如图1-3-1-16所示.
图1-3-1-16
由图象得，函数的最小值是2，无最大值.
解法二：（数形结合）函数的解析式y=|x+1|+|x-1|的几何意义是：y是数轴上任意一点P到±1的对应点A、B的距离的和，即y=|PA|+|PB|,如图1-3-1-17所示，
图1-3-1-17
观察数轴,可得|PA|+|PB|≥|AB|=2，即函数有最小值2，无最大值.
3.2007天利高考第一次全国大联考（江苏卷），11设0分析：y=,当0∴y≥4.
答案：4
例2将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？
活动：让学生思考利润的意义，以及利润和售价之间的函数关系.设出一般情况，转化为求二次函数的最值.解决此类应用题，通常是建立函数模型，这是解题的关键.
解：设每个售价为x元时，获得利润为y元，
则每个涨（x-50）元，从而销售量减少10(x-50)个,共售出500-10(x-50)=1000-10x(个).
∴y=(x-40)(1000-10x)=-10(x-70)2+9 000(50≤x＜100）.
∴当x=70时,ymax=9000,
即为了赚取最大利润，售价应定为70元.
点评：本题主要考查二次函数的最值问题，以及应用二次函数解决实际问题的能力.解应用题步骤是：①审清题意读懂题；②将实际问题转化为数学问题来解决；③归纳结论.
注意：要坚持定义域优先的原则；求二次函数的最值要借助于图象即数形结合.
变式训练
1.已知某商品的价格每上涨x%，销售的数量就减少mx%，其中m为正常数.当m=时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额最大？
解：设商品现在定价a元，卖出的数量为b个,当价格上涨x%时，销售总额为y元.
由题意得y=a(1+x%)·b(1-mx%),
即y=［-mx2+100(1-m)x+10 000］.
当m=时,y=［-(x-50)2+22 500］，
则当x=50时，ymax=ab.
即该商品的价格上涨50%时，销售总金额最大.
2.2007天利第一次全国大联考江苏卷，18某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)=其中x是仪器的月产量.
（1）将利润表示为月产量的函数.
（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？（总收益＝总成本＋利润）.
分析：本题主要考查二次函数及其最值，以及应用二次函数解决实际问题的能力.（1）利润＝总收益－总成本；（2）转化为求函数的最值，由于此函数是分段函数，则要求出各段上的最大值，再从中找出函数的最大值.
解：（1）设月产量为x台，则总成本为20 000+100x，
从而f(x)=
（2）当0≤x≤400时，f(x)=(x-300)2+25000;
当x=300时，有最大值25000；
当x>400时，f(x)=60000-100x是减函数;
又f(x)<60000-100×400<25000,
所以，当x=300时，有最大值25000,
即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元.
知能训练
课本P32练习5.
［补充练习］
2007上海市闵行五校联合调研，20某厂2007年拟举行促销活动，经调查测算，该厂产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与去年促销费m（万元）（m≥0）满足x=3.已知2007年生产的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）.
（1）将2007年该产品的利润y万元表示为年促销费m（万元）的函数；
（2）求2007年该产品利润的最大值，此时促销费为多少万元？
分析：（1）年利润＝销售价格×年销售量－固定投入－促销费－再投入，销售价格＝1.5×每件产品平均成本；（2）利用单调法求函数的最大值.
解：（1）每件产品的成本为元，故2007年的利润
y=1.5××x-(8+16x+m)=4+8x-m=4+8(3)-m=28-m（万元）（m≥0）.
（2）可以证明当0≤m≤3时，函数y=28-m是增函数，当m>3时，函数y=28-m是减函数，所以当m=3时，函数y=28-m取最大值21（万元）.
拓展提升
问题：求函数y=的最大值.
探究：(方法一)利用计算机软件画出函数的图象，如图1-3-1-18所示，
图1-3-1-18
故图象最高点是(,).
则函数y=的最大值是.
(方法二)函数的定义域是R，
可以证明当x<时，函数y=是增函数；
当x≥时，函数y=是减函数.
则当x=时，函数y=取最大值,
即函数y=的最大值是.
(方法三)函数的定义域是R，
由y=,得yx2+yx+y-1=0.
∵x∈R，∴关于x的方程yx2+yx+y-1=0必有实数根，
当y=0时，关于x的方程yx2+yx+y-1=0无实数根，即y=0不属于函数的值域.
当y≠0时，则关于x的方程yx2+yx+y-1=0是一元二次方程，
则有Δ=(-y)2-4×y(y-1)≥0.∴0∴函数y=的最大值是.
点评：方法三称为判别式法，形如函数y=(d≠0)，当函数的定义域是R（此时e2-4df<0）时，常用判别式法求最值，其步骤是①把y看成常数，将函数解析式整理为关于x的方程的形式mx2+nx+k=0；②分类讨论m=0是否符合题意；③当m≠0时，关于x的方程mx2+nx+k=0中有x∈R，则此一元二次方程必有实数根，得n2-4mk≥0,即关于y的不等式，解不等式组
m≠0.此不等式组的解集与②中y的值取并集得函数的值域，从而得函数的最大值和最小值.
课堂小结
本节课学习了：(1)函数的最值；(2)求函数最值的方法：①图象法，②单调法，③判别式法；(3)求函数最值时，要注意函数的定义域.
作业
课本P39习题1.3A组5、6.
设计感想
为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下的措施：
（1）在探索概念阶段,让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对函数最值定义的三次认识,使得学生对概念的认识不断深入.
（2）在应用概念阶段,通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用图象和单调法求函数最值的方法和步骤.
备课资料
基本初等函数的最值
1.正比例函数：y=kx(k≠0)在定义域R上不存在最值.在闭区间［a,b］上存在最值，当k>0时，函数y=kx的最大值为f(b)＝kb，最小值为f(a)＝ka；当k<0时，函数y=kx的最大值为f(a)＝ka，最小值为f(b)＝kb.
2.反比例函数：y=(k≠0)在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上不存在最值.在闭区间［a,b］（ab>0）上存在最值，当k>0时，函数y=的最大值为f(a)＝，最小值为f(b)＝；当k<0时，函数y=的最大值为f(b)＝，最小值为f(a)＝.
3.一次函数：y=kx+b(k≠0)在定义域R上不存在最值.在闭区间［m,n］上存在最值，当k>0时，函数y=kx+b的最大值为f(n)=kn+b，最小值为f(m)＝km+b；当k<0时，函数y=kx+b的最大值为f(m)＝km+b，最小值为f(n)＝kn+b.
4.二次函数：y=ax2+bx+c(a≠0):
当a>0时，函数y=ax2+bx+c在定义域R上有最小值f()=，无最大值；
当a<0时，函数y=ax2+bx+c在定义域R上有最大值f()=，无最小值.
二次函数在闭区间上的最值问题是高考考查的重点和热点内容之一.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a＞0)在闭区间［p，q］上的最值可能出现以下三种情况：
(1)若＜p，则f(x)在区间［p，q］上是增函数，则f(x)min=f(p)，f(x)max=f(q).
(2)若p≤≤q，则f(x)min=f(),此时f(x)的最大值视对称轴与区间端点的远近而定：
①当p≤＜时，则f(x)max=f(q);
②当＝时，则f(x)max=f(p)＝f(q);
③当＜＜q时，则f(x)max=f(p).
(3)若≥q，则f(x)在区间［p，q］上是减函数，则f(x)min=f(q)，f(x)max=f(p).
由此可见,当∈［p,q］时,二次函数f(x)=ax2+bx+c(a＞0)在闭区间［p，q］上的最大值是f(p)和f(q)中的最大值,最小值是f()；当［p,q］时,二次函数f(x)=ax2+bx+c(a＞0)在闭区间［p，q］上的最大值是f(p)和f(q)中的最大值,最小值是f(p)和f(q)中的最小值.
(设计者：方诚心)
1.3.2 奇偶性
整体设计
教学分析
本节讨论函数的奇偶性是描述函数整体性质的.教材沿用了处理函数单调性的方法，即先给出几个特殊函数的图象，让学生通过图象直观获得函数奇偶性的认识，然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立了奇（偶）函数的概念.因此教学时，充分利用信息技术创设教学情景，会使数与形的结合更加自然.
值得注意的问题：对于奇函数，教材在给出的表格中留出大部分空格，旨在让学生自己动手计算填写数据，仿照偶函数概念建立的过程，独立地去经历发现、猜想与证明的全过程，从而建立奇函数的概念.教学时，可以通过具体例子引导学生认识，并不是所有的函数都具有奇偶性，如函数y=x与y=2x-1既不是奇函数也不是偶函数，可以通过图象看出也可以用定义去说明.
三维目标
1.理解函数的奇偶性及其几何意义，培养学生观察、抽象的能力，以及从特殊到一般的概括、归纳问题的能力.
2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质，掌握判断函数的奇偶性的方法，渗透数形结合的数学思想.
重点难点
教学重点:函数的奇偶性及其几何意义.
教学难点:判断函数的奇偶性的方法与格式.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.同学们，我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请大家想一下有哪些美呢？（学生回答可能有和谐美、自然美、对称美……）今天，我们就来讨论对称美，请大家想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢？（学生举例，再在屏幕上给出一组图片：喜字、蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志）生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢？下面，我们以麦当劳的标志为例，给它适当地建立直角坐标系，那么大家发现了什么特点呢？（学生发现：图象关于y轴对称.）数学中对称的形式也很多，这节课我们就同学们谈到的与y轴对称的函数展开研究.
思路2.结合轴对称与中心对称图形的定义，请同学们观察图形，说出函数y=x2和y=x3的图象各有怎样的对称性？引出课题：函数的奇偶性.
推进新课
新知探究
提出问题
①如图1-3-2-1所示，观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性.
图1-3-2-1
②那么如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y轴对称呢？填写表1和表2，你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征？
x -3 -2 -1 0 1 2 3
f(x)=x2
表1
x -3 -2 -1 0 1 2 3
f(x)=|x|
表2
③请给出偶函数的定义？
④偶函数的图象有什么特征？
⑤函数f(x)=x2,x∈［-1,2］是偶函数吗？
⑥偶函数的定义域有什么特征？
⑦观察函数f(x)=x和f(x)=的图象，类比偶函数的推导过程，给出奇函数的定义和性质？
活动：教师从以下几点引导学生:
①观察图象的对称性.
②学生给出这两个函数的解析式具有什么共同特征后，教师指出：这样的函数称为偶函数.
③利用函数的解析式来描述.
④偶函数的性质：图象关于y轴对称.
⑤函数f(x)=x2,x∈［-1,2］的图象关于y轴不对称；对定义域［-1,2］内x=2，f(-2)不存在，
即其函数的定义域中任意一个x的相反数-x不一定也在定义域内，即f(-x)=f(x)不恒成立.
⑥偶函数的定义域中任意一个x的相反数-x一定也在定义域内，此时称函数的定义域关于原点对称.
⑦先判断它们的图象的共同特征是关于原点对称，再列表格观察自变量互为相反数时，函数值的变化情况，进而抽象出奇函数的概念，再讨论奇函数的性质.
给出偶函数和奇函数的定义后，要指明：（1）函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；（2）由函数的奇偶性定义,可知函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则-x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）；（3）具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y轴对称,奇函数的图象关于原点对称；（4）可以利用图象判断函数的奇偶性，这种方法称为图象法，也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，这种方法称为定义法；（5）函数的奇偶性是函数在定义域上的性质是“整体”性质，而函数的单调性是函数在定义域的子集上的性质是“局部”性质.
讨论结果:
①这两个函数之间的图象都关于y轴对称.
②
x -3 -2 -1 0 1 2 3
f(x)=x2 9 4 1 0 1 4 9
表1
x -3 -2 -1 0 1 2 3
f(x)=|x| 3 2 1 0 1 2 3
表2
这两个函数的解析式都满足：
f(-3)=f(3);
f(-2)=f(2);
f(-1)=f(1).
可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数，它们对应的函数值相等，也就是说对于函数定义域内一个x，都有f(-x)=f(x).
③一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数.
④偶函数的图象关于y轴对称.
⑤不是偶函数.
⑥偶函数的定义域关于原点轴对称.
⑦一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.奇函数的图象关于原点中心对称，其定义域关于原点轴对称.
应用示例
思路1
例1判断下列函数的奇偶性:
（1）f(x)=x4；
（2）f(x)=x5；
（3）f(x)=x+；
（4）f(x)=.
活动：学生思考奇偶函数的定义，利用定义来判断其奇偶性.先求函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称，如果定义域关于原点对称，那么再判断f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x).
解：（1）函数的定义域是R，对定义域内任意一个x，都有f(-x)=(-x)4=x4=f(x)，
所以函数f(x)=x4是偶函数.
（2）函数的定义域是R，对定义域内任意一个x，都有f(-x)=(-x)5=-x5=-f(x),
所以函数f(x)=x4是奇函数.
（3）函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)，对定义域内任意一个x，都有f(-x)=-x+=-(x+)=-f(x)，
所以函数f(x)=x+是奇函数.
（4）函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)，对定义域内任意一个x，都有f(-x)===f(x)，
所以函数f(x)= 是偶函数.
点评：本题主要考查函数的奇偶性.函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，对定义域内任意x，其相反数-x也在函数的定义域内，此时称为定义域关于原点对称.
利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
②确定f(-x)与f(x)的关系；
③作出相应结论：
若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数；
若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数.
变式训练
2006辽宁高考，理2设f(x)是R上的任意函数,则下列叙述正确的是( )
A.f(x)f(-x)是奇函数 B.f(x)|f(-x)|是奇函数
C.f(x)-f(-x)是偶函数 D.f(x)+f(-x)是偶函数
分析:A中设F(x)=f(x)f(-x),则F(-x)=f(-x)f(x)=F(x)，即函数F(x)=f(x)f(-x)为偶函数；
B中设F(x)=f(x)|f(-x)|，F(-x)=f(-x)|f(x)|，此时F(x)与F(-x)的关系不能确定，即函数F(x)=f(x)|f(-x)|的奇偶性不确定；
C中设F(x)=f(x)-f(-x),F(-x)=f(-x)-f(x)=-F(x)，即函数F(x)=f(x)-f(-x)为奇函数；
D中设F(x)=f(x)+f(-x)，F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x)，即函数F(x)=f(x)+f(-x)为偶函数.
答案：D
例22006上海春季高考，6已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数.当x∈(-∞,0)时，f(x)=x-x4，则当x∈(0,+∞)时，f(x)=_______.
活动：学生思考偶函数的解析式的性质，考虑如何将在区间(0,+∞)上的自变量对应的函数值，转化为区间(-∞,0)上的自变量对应的函数值.利用偶函数的性质f(x)=f(-x)，将在区间(0,+∞)上的自变量对应的函数值，转化为区间(-∞,0)上的自变量对应的函数值.
分析:当x∈(0,+∞)时，则-x<0.
又∵当x∈(-∞,0)时，f(x)=x-x4，
∴f(x)=(-x)-(-x)4=-x-x4.
答案：-x-x4
点评：本题主要考查函数的解析式和奇偶性.已知函数的奇偶性，求函数的解析式时，要充分利用函数的奇偶性，将所求解析式的区间上自变量对应的函数值转化为已知解析式的区间上自变量对应的函数值.
变式训练
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2+，求f(x).
解：当x=0时，f(-0)=-f(0)，则f(0)=0；
当x<0时，-x>0，由于函数f(x)是奇函数，则
f(x)=-f(-x)=-［(-x)2+］=-x2+，
综上所得，f(x)=
思路2
例1判断下列函数的奇偶性.
（1）f(x)=x2,x∈［-1,2］;
（2）f(x)=；
（3）f（x）=+；
（4）f（x）=.
活动：学生思考奇偶函数的定义和函数的定义域的求法.先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断f(-x)与f(x)的关系.在(4)中注意定义域的求法,对任意x∈R，有>=|x|≥-x，则+x>0.则函数的定义域是R.
解：（1）因为它的定义域关于原点不对称,函数f(x)=x2,x∈［-1,2］既不是奇函数又不是偶函数.
（2）因为它的定义域为{x|x∈R且x≠1}，并不关于原点对称,函数f(x)=既不是奇函数又不是偶函数.
（3）∵x2－4≥0且4－x2≥0，
∴x＝±2，
即f（x）的定义域是{－2，2}.
∵f（2）＝0，f（－2）＝0,
∴f（2）＝f（－2），f（2）＝－f（2）.
∴f（－x）＝－f（x），且f（－x）＝f（x）.
∴f（x）既是奇函数也是偶函数.
（4）函数的定义域是R.
∵f(-x)+f(x)=
=
=
=0,
∴f（－x）＝－f（x）.
∴f（x）是奇函数.
点评：本题主要考查函数的奇偶性.
定义法判断函数奇偶性的步骤是（1）求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义域关于原点对称时，判断f(-x)与f(x)或-f(x)是否相等；（2）当f(-x)＝f(x)时，此函数是偶函数；当f(-x)＝-f(x)时，此函数是奇函数；（3）当f(-x)＝f(x)且f(-x)＝-f(x)时，此函数既是奇函数又是偶函数；
（4）当f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x)时，此函数既不是奇函数也不是偶函数.
判断解析式复杂的函数的奇偶性时，如果定义域关于原点对称时，通常化简f(-x)+f(x)来判断f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)是否成立.
变式训练
2007河南开封一模，文10函数f(x)=x2－2ax+a在区间（－∞，1）上有最小值，则函数g(x)=在区间（1，+∞）上一定( )
A.有最小值 B.有最大值 C.是减函数 D.是增函数
分析：函数f(x)=x2－2ax+a的对称轴是直线x=a，
由于函数f(x)在开区间（－∞，1）上有最小值，
所以直线x=a位于区间（－∞，1）内，即a<1.g(x)＝=x+-2，
下面用定义法判断函数g(x)在区间（1，+∞）上的单调性.
设1则g(x1)-g(x2)=(x1+2)-(x2+2)=(x1-x2)+()
=(x1-x2)(1)
=(x1-x2).
∵11>0.
又∵a<1，∴x1x2>a.∴x1x2-a>0.∴g(x1)-g(x2)<0.
∴g(x1)∴函数g(x)在区间（1，+∞）上是增函数，函数g(x)在区间（1，+∞）上没有最值.
答案：D
例2已知函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1、x2都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)，且当x>1时f(x)>0,f(2)=1，
（1）求证：f(x)是偶函数；
（2）求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数；
（3）试比较f()与f()的大小.
活动：（1）转化为证明f(-x)=f(x)，利用赋值法证明f(-x)=f(x)；（2）利用定义法证明单调性，证明函数单调性的步骤是“去比赛”；（3）利用函数的单调性比较它们的大小，利用函数的奇偶性，将函数值f()和f()转化为同一个单调区间上的函数值.
解：（1）令x1=x2=1，得f(1)=2f(1)，∴f(1)=0.
令x1=x2=-1，得f(1)=f［-1×(-1)］=f(-1)+f(-1)，∴2f(-1)=0.
∴f(-1)=0.∴f(-x)=f(-1·x)=f(-1)+f(x)=f(x).
∴f(x)是偶函数.
（2）设x2>x1>0，则
f(x2)-f(x1)=f(x1·)-f(x1)=f(x1)+f()-f(x1)=f().
∵x2>x1>0，∴>1.∴f()>0，即f(x2)-f(x1)>0.
∴f(x2)>f(x1).
∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.
（3）由（1）知f(x)是偶函数，则有f()＝f().
由（2）知f(x)在(0,+∞)上是增函数，则f()>f().∴f()>f().
点评：本题是抽象函数问题，主要考查函数的奇偶性和单调性及其综合应用.判断抽象函数的奇偶性和单调性通常应用定义法，比较抽象函数值的大小通常利用抽象函数的单调性来比较.其关键是将所给的关系式进行有效的变形和恰当的赋值.
变式训练
2007广东中山高三期末统考，理19已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的不恒为零的函数，且对定义域内的任意x、y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y).
（1）求f(1)、f(-1)的值；
（2）判断f(x)的奇偶性，并说明理由.
分析：（1）利用赋值法，令x=y=1得f(1)的值，令x=y=－1，得f(-1)的值；（2）利用定义法证明f(x)是奇函数，要借助于赋值法得f(-x)=-f(x).
解：（1）∵f(x)对任意x、y都有f(x·y)=yf(x)+xf(y)，
∴令x=y=1时，有f(1·1)=1·f(1)+1·f(1).
∴f(1)=0.
∴令x=y=－1时，有f［(-1)·(-1)］=(-1)·f(-1)+(-1)·f(-1).
∴f(－1)=0.
（2）是奇函数.
∵f(x)对任意x、y都有f(x·y)=yf(x)+xf(y)，
∴令y=－1,有f(-x)=-f(x)+xf(-1).
将f(-1)=0代入得f(-x)=-f(x)，
∴函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数.
知能训练
课本P36练习1、2.
［补充练习］
1.2007上海春季高考，5设函数y=f(x)是奇函数.若f(-2)+f(-1)-3=f(1)+f(2)+3，则f(1)+f(2)=_____.
分析：∵函数y=f(x)是奇函数，∴f(-2)=-f(2),f(-1)=-f(1).
∴-f(2)-f(1)-3=f(1)+f(2)+3.
∴2［f(1)+f(2)］=-6.∴f(1)+f(2)=-3.
答案：-3
2.f（x）=ax2+bx+3a+b是偶函数，定义域为［a－1，2a］，则a=_________，b=________.
分析：∵偶函数定义域关于原点对称,
∴a－1+2a=0.∴a=.
∴f（x）=x2+bx+1+b.又∵f（x）是偶函数，∴b=0.
答案： 0
3.2006山东高考，理6已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则f(6)的值为( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
分析:f(6)=f(4+2)=-f(4)=-f(2+2)=f(2)=f(2+0)=-f(0).
又f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.
∴f(6)＝0.故选B.
答案：B
拓展提升
问题：基本初等函数的奇偶性.
探究：利用判断函数的奇偶性的方法：定义法和图象法，可得
正比例函数y=kx(k≠0)是奇函数；
反比例函数y=(k≠0)是奇函数；
一次函数y=kx+b(k≠0)，当b=0时是奇函数，当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数；
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，当b=0时是偶函数，当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数.
课堂小结
本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称.
作业
课本P39习题1.3A组6，B组3.
设计感想
单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，而本节设计的题目不多，因此，在实际教学中，教师可以利用课余时间补充，让学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质.
在教学设计中，注意培养学生的综合应用能力，以便满足高考要求.
习题详解
(课本P32页练习)
1.从生产效率与生产线上工人数量的关系看，在生产劳动力较少的情况下，随人数的增加效率随着增大，但是到了一定数量后，人数再增多效率反而降低了.这说明劳动力可能过剩，出现了怠工等现象.
2.图象如图1-3-2-2所示，
图1-3-2-2
函数的单调增区间为［8,12)，［13,18)；
函数的单调减区间为［12,13)，［18,20］.
3.函数的单调区间是［-1,0),［0,2),［2,4),［4,5］.
在区间［-1,0),［2,4)上是减函数；在区间［0,2),［4,5］上是增函数.
4.证明：设x1、x2∈R，且x1f(x1)-f(x2)=(-2x1+1)-(-2x2+1)=2(x2-x1).
∵x10.∴f(x1)>f(x2).
∴函数f(x)=-2x+1在R上是减函数.
5.如图1-3-2-3所示，
图1-3-2-3
从图象上可以发现f（－2）是函数的一个最小值.
(课本P36练习)
1.（1）对于函数f（x）=2x4+3x2，其定义域为（－∞,+∞）.
因为对定义域内的每一个x，都有f（－x）=2（－x）4+3（－x）2=2x4+3x2=f（x）,
所以函数f（x）=2x4+3x2为偶函数.
（2）对于函数f（x）=x3－2x，其定义域为（－∞，+∞）.
因为对定义域内的每一个x，都有
f（－x）=（－x）3－2（－x）=－x3+2x=－（x3－2x）=－f（x）,
所以函数f（x）=x3－2x为奇函数.
（3）对于函数f(x)=，其定义域为（－∞，0）∪（0，+∞）.
因为对定义域内的每一个x，都有
f（－x）===－f（x）,
所以函数f(x)=为奇函数.
（4）对于函数f(x)=x2+1，其定义域为（－∞，+∞）.
因为对定义域内的每一个x，都有
f（－x）=(-x)2+1=x2+1=f（x）,
所以函数f(x)=x2+1为偶函数.
2.f(x)的图象如图1-3-2-4所示，g(x)的图象如图1-3-2-5所示.
图1-3-2-4 图1-3-2-5
(课本P39习题1.3)
A组
1.（1）函数的单调区间是(-∞,］,(,+∞).函数y=f(x)在区间(-∞,］上是减函数，在区间(,+∞)上是增函数.
（2）函数的单调区间是(-∞,0］,(0,+∞).函数y=f(x)在区间(0,+∞)上是减函数，在区间(-∞,0］上是增函数.
图略.
2.（1）设0f(x1)-f(x2)=(x12+1)-(x22+1)=x12-x22=(x1-x2)(x1+x2).
∵0∴f(x1)>f(x2).
∴函数f(x)在(-∞,0)上是减函数.
（2）设0f(x1)-f(x2)=(1)-(1)==.
∵00.
∴f(x1)∴函数f(x)在(-∞,0)上是增函数.
3.设x1、x2是（－∞，+∞）上任意两个实数，且x1＜x2.
则y1－y2=（mx1+b）－（mx2+b）
=m（x1－x2）.
∵x1＜x2，∴x1－x2＜0.
当m＜0时，∴y1－y2＞0，即y1＞y2.
∴此时一次函数y=mx+b（m＜0）在（－∞，+∞）上是减函数.
同理可证一次函数y=mx+b（m＞0）在（－∞,+∞）上是增函数.
综上所得，当m＜0时，一次函数y=mx+b是减函数；
当m＞0时，一次函数y=mx+b是增函数.
4.心率关于时间的一个可能的图象，如图1-3-2-6所示，
图1-3-2-6
5.y=+162x-2100=(x2-8100x)-2100=(x-4050)2+307 050.
由二次函数的知识,可得当月租金为4 050元时，租赁公司的月收入最大，最大收益为307 050元.
6.图略，函数f(x)的解析式为
B组
1.（1）函数f(x)在(-∞,1)上为减函数，在［1,+∞)上为增函数；函数g(x)在［2,4］上为增函数.
（2）函数f(x)的最小值为－1，函数g(x)的最小值为0.
2.设矩形熊猫居室的宽为x m，面积为y m2，则长为m，那么y=x
=(30x-3x2)=(x-5)2+.
所以当x=5时，y有最大值,
即宽x为5 m时才能使所建造的每间熊猫居室面积最大，最大面积是m2.
3.函数f(x)在(-∞,0)上是增函数.
证明：设x1-x2>0.
∵函数f(x)在(0,+∞)上是减函数，∴f(-x1)∵函数f(x)是偶函数，∴f(-x)=f(x).∴f(x1)∴函数f(x)在(-∞,0)上是增函数.
(课本P44复习参考题)
A组
1.（1）A={－3，3}；（2）B={1，2}；（3）C={1，2}.
2.（1）线段AB的垂直平分线；
（2）以定点O为原心，以3 cm为半径的圆.
3.属于集合的点是△ABC的外接圆圆心.
4.A={－1,1}，
（1）若a=0，则B=，满足BA；
（2）若a=－1，则B={－1}，满足BA；
（3）若a=1，则B={1}，满足BA.
综上所述，实数a的值为0,-1,1.
5.A∩B={（x,y）｜}={（x,y）|}={（0,0）};
A∩C={（x,y）|}=；
B∩C={（x,y）｜}={（x,y）｜}={（,）};
（A∩B）∪（B∩C）={(0,0),(,)}.
6.(1)要使函数有意义,必须|x|-2≥0,即x≤-2或x≥2,所以函数的定义域为{x|x≤-2或x≥2};
（2）要使函数有意义，必须即得x≥2.
所以函数的定义域为{x｜x≥2}；
（3）要使函数有意义，必须即x≥4，且x≠5.
所以函数的定义域为{x｜x≥4，且x≠5}.
7.（1）f（a）+1==;
（2）f（a+1）==.
8.（1）∵f（－x）==，∴f（－x）=f（x）.
（2）∵f（）=====,∴f（）=－f（x）.
9.二次函数f(x)的对称轴是直线x=，则有≤5或≥20.解得k≤40或k≥160，即实数k的取值范围是(-∞,40］∪［160,+∞).
10.（1）函数y=x-2是偶函数；
（2）它的图象关于y轴对称；
（3）函数在（0，+∞）上是减函数；
（4）函数在（－∞，0）上是增函数.
B组
1.同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人.
提示：由题意知有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，所以15+8+14=37，知共有37人次参加比赛.
由已知共有28名同学参赛，且没有人同时参加三项，而37－28=9，
知共有9名同学参加两项比赛.
已知同时参加游泳和田径的有3人，同时参加游泳和球类的有3人，因此同时参加田径和球类的有3人；又已知有15人参加游泳比赛，因此只参加游泳一项的有9人.
2.实数a的取值范围为{a｜a≥0}.
3.∵（A∪B）=（A）∩（B）={1，3}，A∩（B）={2，4}，
∴B={1,2,3,4}.∴B={5,6,7,8,9}.
4.f（1）=1×（1+4）=5;
f（－3）=－3×（－3－4）=21;
f（a+1）=
5.证明：（1）f=a·+b
==（ax1+b）+（ax2+b）=［f（x1）+f（x2）］，
∴f（）=［f（x1）+f（x2）］.
（2）g（）=（）2+a·+b
=（+ax1+b）+（+ax2+b）－（x1－x2）2
=［g（x1）+g（x2）］－（x1－x2）2,
∵－（x1－x2）2≤0,
∴g（）≤［g（x1）+g（x2）］.
6.（1）奇函数f（x）在［－b,－a］上是减函数；
（2）偶函数g（x）在［－b,－a］上是减函数.
7.若全月纳税所得额为500元，则应交纳税款为500×5%＝25（元）.此时月工资为800＋500＝1 300（元）；若全月纳税所得额为2000元，则应交纳税款为500×5%＋1500×10%＝175（元）.此时月工资为800＋500＋1500＝2800（元）.由于此人交纳税款为26.78元，则此人的工资在区间（1300，2800）内，所以他当月的工资、薪金所得是800＋500＋≈1317.8（元）.
备课资料
奇、偶函数的性质
(1)奇偶函数的定义域关于原点对称；奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.
(2)奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立.
(3)f(-x)=f(x)f(x)是偶函数，f(-x)=-f(x)f(x)是奇函数.
(4)f(-x)=f(x)f(x)-f(-x)=0,f(-x)=-f(x)f(x)+f(-x)=0.
(5)两个奇函数的和(差)仍是奇函数，两个偶函数的和(差)仍是偶函数.
奇偶性相同的两个函数的积(商、分母不为零)为偶函数，奇偶性相反的两个函数的积(商、分母不为零)为奇函数；如果函数y=f(x)和y=g(x)的奇偶性相同，那么复合函数y=f［g(x)］是偶函数，如果函数y=f(x)和y=g(x)的奇偶性相反，那么复合函数y=f［g(x)］是奇函数，简称为“同偶异奇”.
(6)如果函数y=f(x)是奇函数，那么f(x)在区间(a,b)和(-b,-a)上具有相同的单调性；如果函数y=f(x)是偶函数，那么f(x)在区间(a,b)和(-b,-a)上具有相反的单调性.
(7)定义域关于原点对称的任意函数f(x)可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和，即
f(x)=.
(8)若f(x)是(-a,a)(a＞0)上的奇函数，则f(0)＝0；
若函数f(x)是偶函数，则f(x)=f(-x)=f(|x|)=f(-|x|).
若函数y=f(x)既是奇函数又是偶函数，则有f(x)=0.
(设计者：韩双影)
备课资料
知识点总结——函数概念及性质
1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作：y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.
如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：分式的分母不等于零； 偶次方根的被开方数不小于零；对数式的真数必须大于零；如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合；实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.求出不等式组的解集即为函数的定义域.
2.构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域.
构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）；两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关.相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致(两点必须同时具备).
函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域；应熟悉掌握一次函数、二次函数，它是求解复杂函数值域的基础；求函数值域的常用方法有：直接法、换元法、配方法、判别式法、单调性法等.
3.函数图象知识归纳
定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x)(x ∈A)的图象.C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上,即记为C={ P(x,y) | y= f(x), x∈A}.图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行于y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成.
画法：①描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连结起来.②图象变换法：常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换.
作用：直观地看出函数的性质；利用数形结合的方法分析解题的思路；提高解题的速度；发现解题中的错误.
4.区间的概念
区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；无穷区间；区间的数轴表示.
5.映射
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射，记作“f：A→B”.给定一个集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B,且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象.
说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A、B及对应法则f是确定的；②对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；③对于映射f：A→B来说，则应满足：(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象.
6.函数的表示法
函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；解析法：必须注明函数的定义域；图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征.解析法便于算出函数值；列表法便于查出函数值；图象法便于量出函数值.
分段函数：在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数，在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式.分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况.分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.
复合函数：如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则y=f\[g(x)\]=F(x)(x∈A)称为f、g的复合函数.
7.函数的单调性
增函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1注意：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；必须是对于区间D内的任意两个自变量x1、x2；当x1图象的特点：如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.
函数单调区间与单调性的判定方法：定义法，任取x1、x2∈D，且x1函数 单调性
u=g(x) 增 增 减 减
y=f(u) 增 减 增 减
y=f[g(x)] 增 减 减 增
注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间合在一起写成其并集.
8.函数的奇偶性
偶函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数.
奇函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.
注意：函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数.由函数的奇偶性定义,可知函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则-x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）.
具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称.
总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；确定f(-x)与f(x)的关系；作出相应结论：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(-x)=-f(x)或f(-x)＋f(x)=0，则f(x)是奇函数.注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称再根据定义判定：有时判定f(-x)=±f(x)比较困难，可考虑根据是否有f(-x)±f(x)=0或=±1来判定：利用定理，或借助函数的图象判定.
9.函数的解析表达式
函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.
求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；已知复合函数f\[g(x)\]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x).
10.函数最大（小）值方法
利用二次函数的性质（配方法）；利用图象；利用函数单调性；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b).
(设计者：张新军)
本章复习
整体设计
教学分析
本节课是对第一章的基本知识和方法的总结与归纳，从整体上来把握本章，使学生的基本知识系统化和网络化，基本方法条理化.本章三部分内容是独立的，但是又相互联系，集合是基础，用集合定义函数，将函数拓展为映射，层层深入，环环相扣，组成了一个完整的整体.
三维目标
通过总结和归纳集合与函数的知识，能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，培养分类讨论的思想和抽象思维能力.
重点难点
教学重点：①集合与函数的基本知识.
②含有字母问题的研究.
③抽象函数的理解.
教学难点：①分类讨论的标准划分.
②抽象函数的理解.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.建设高楼大厦的过程中，每建一层，都有质量检查人员验收，合格后，再继续建上一层，否则返工重建.我们学习知识也是这样，每学完一个章节都要总结复习，引出课题.
思路2.为了系统掌握第一章的知识，教师直接点出课题.
推进新课
新知探究
提出问题
①第一节是集合，分为几部分？
②第二节是函数，分为几部分？
③第三节是函数的基本性质，分为几部分？
④画出本章的知识结构图.
活动：让学生自己回顾所学知识或结合课本，重新对知识整合，对没有思路的学生，教师可以提示按课本的章节标题来分类.对于画知识结构图，学生可能比较陌生，教师可以引导学生先画一个本班班委的结构图或学校各个处室的关系结构图，待学生了解了简单的画法后，再画本章的知识结构图.
讨论结果:①分为：集合的含义、集合间的基本关系和集合的运算三部分.
②分为：定义、定义域、解析式、值域四部分；其中又把函数的概念拓展为映射.
③分为：单调性、最值和奇偶性三部分.
④第一章的知识结构图如图1-1所示，
图1-1
应用示例
思路1
例1若P={x|y=x2},Q={(x,y)|y=x2,x∈R}，则必有( )
A.P∩Q= B.PQ C.P=Q D.PQ
分析：从选项来看，本题是判断集合P,Q的关系，其关键是对集合P,Q的意义的理解.集合P是函数y=x2的定义域，则集合P是数集，集合Q是函数y=x2的图象上的点组成的集合，则集合Q是点集，∴P∩Q=.
答案：A
点评：判断用描述法表示的集合间关系时，一定要搞清两集合的含义，明确集合中的元素.形如集合{x|x∈P(x),x∈R}是数集，形如集合{(x,y)|x、y∈P(x,y),x、y∈R}是点集，数集和点集的交集是空集.
变式训练
1.2007山东威海一模，文1设集合M=｛x| x>1｝，P={x| x2-6x+9=0}，则下列关系中正确的是( )
A.M=P B.PM C.MP D.M∩P=R
分析：P={3}，∵3>1,∴3∈M.∴PM.
答案：B
2.2007河南周口高三期末调研，理6定义集合A与B的运算A*B={x|x∈A或x∈B,且xA∩B},则(A*B)*A等于( )
A.A∩B B.A∪B C.A D.B
分析：设A={1,2,3,4},B={1,2,5,6,7},则A*B={3,4,5,6,7}，于是(A*B)*A={1,2,5,6,7}=B.
答案：D
点评：解决新定义集合运算问题的关键是抓住新运算定义的本质，本题A*B的本质就是集合A与B的并集中除去它们公共元素组成的集合.
例2求函数y=x2+1的最小值.
分析：思路一:利用实数运算的性质x2≥0，结合不等式的性质得函数的最小值；
思路二:直接利用二次函数的最值公式，写出此函数的最小值.
解：方法一（观察法）∵函数y=x2+1的定义域是R,
∴观察到x2≥0.∴x2+1≥1.∴函数y=x2+1的最小值是1.
方法二:（公式法）函数y=x2+1是二次函数，其定义域是x∈R，则函数y=x2+1的最小值是f(0)=1.
点评：求函数最值的方法：
观察法：当函数的解析式中仅含有x2或|x|或时，通常利用常见的结论x2≥0,|x|≥0,≥0等，直接观察写出函数的最值；
公式法：求基本初等函数（正、反比例函数，一次、二次函数）的最值时，应用基本初等函数的最值结论（看成最值公式），直接写出其最值.
例3求函数y=的最大值和最小值.
分析：把变量y看成常数，则函数的解析式可以整理成必有实数根的关于x的方程，利用判别式的符号得关于y的不等式，解不等式得y的取值范围，从而得函数的最值.
解：（判别式法）由y=得yx2-3x+4y=0，
∵x∈R，∴ 关于x的方程yx2-3x+4y=0必有实数根.
当y=0时，则x=0.故y=0是一个函数值；
当y≠0时，则关于x的方程yx2-3x+4y=0是一元二次方程,
则有Δ=(-3)2-4×4y2≥0.
∴0综上所得，≤y≤.
∴ 函数y=的最小值是，最大值是.
点评：形如函数y=(d≠0)，当函数的定义域是R（此时e2-4df<0）时，常用判别式法求最值，其步骤是①把y看成常数，将函数解析式整理为关于x的方程的形式mx2+nx+k=0；②分类讨论m＝0是否符合题意；③当m≠0时，关于x的方程mx2+nx+k=0中有x∈R，则此一元二次方程必有实数根，得n2-4mk≥0即关于y的不等式，解不等式组此不等式组的解集与②中y的值取并集得函数的值域，从而得函数的最大值和最小值.
例42007河南开封一模，文10函数f(x)=x2-2ax+a在区间（-∞，1）上有最小值，则函数g(x)=在区间（1，+∞）上一定( )
A.有最小值 B.有最大值 C.是减函数 D.是增函数
分析：函数f(x)=x2-2ax+a的对称轴是直线x=a，由于函数f(x)在开区间（-∞，1）上有最小值，所以直线x=a位于区间（-∞，1）内，即a<1.g(x)＝=，下面用定义法判断函数g(x)在区间（1，+∞）上的单调性.
设1=(x1-x2)+()=(x1-x2)(1)=(x1-x2).
∵11>0.
又∵a<1，∴x1x2>a.∴x1x2-a>0.∴g(x1)-g(x2)<0.∴g(x1)∴函数g(x)在区间（1，+∞）上是增函数，函数g(x)在区间（1，+∞）上没有最值.
答案：D
点评：定义法判断函数f(x)的单调性的步骤是①在所给区间上任取两个变量x1、x2；②比较f(x1)与f(x2)的大小，通常利用作差比较它们的大小，先作差，后将差变形，变形的手段是通分、分解因式，变形的结果常是完全平方加上一个常数或因式的积（商）等；③由②中差的符号确定函数的单调性.注意：函数f(x)在开区间D上是单调函数，则f(x)在开区间D上没有最大值，也没有最小值.
变式训练
求函数f(x)=的单调区间.
分析：函数f(x)是复合函数，利用口诀“同增异减”来求单调区间.
解：函数的定义域是(-∞,-1］∪［1,+∞).设y=，u=x2-1，
当x≥0时，u=x2-1是增函数，y=也是增函数，
又∵函数的定义域是(-∞,-1］∪［1,+∞)，
∴函数f(x)=在［1,+∞)上是增函数.
当x≤0时，u=x2-1是减函数，y=也是增函数，
又∵函数的定义域是(-∞,-1］∪［1,+∞)，
∴函数f(x)=在(-∞,-1］上是减函数,
即函数f(x)的单调递增区间是［1,+∞)，单调递减区间是(-∞,-1］.
点评：复合函数是指由若干个函数复合而成的函数，它的单调性与构成它的函数的单调性有密切联系，其单调性的规律为：“同增异减”，即复合
1.3 函数的基本性质
1.3.1 单调性与最大（小）值
整体设计
教学分析
在研究函数的性质时，单调性和最值是一个重要内容.实际上，在初中学习函数时，已经重点研究了一些函数的增减性，只是当时的研究较为粗略，未明确给出有关函数增减性的定义，对于函数增减性的判断也主要根据观察图象得出，而本小节内容，正是初中有关内容的深化和提高：给出函数在某个区间上是增函数或减函数的定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的，还说明判断函数的增减性既有从图象上进行观察的较为粗略的方法，又有根据定义进行证明的较为严格的方法、最好根据图象观察得出猜想，用推理证明猜想的正确性,这样就将以上两种方法统一起来了.
由于函数图象是发现函数性质的直观载体，因此，在本节教学时可以充分使用信息技术创设教学情境，以利于学生作函数图象，有更多的时间用于思考、探究函数的单调性、最值等性质.还要特别重视让学生经历这些概念的形成过程，以便加深对单调性和最值的理解.
三维目标
1.函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛，学会运用函数图象理解和研究函数的性质.
2.理解并掌握函数的单调性及其几何意义，掌握用定义证明函数单调性的步骤，会求函数的单调区间，提高应用知识解决问题的能力.
3.通过实例，使学生体会、理解到函数的最大（小）值及其几何意义，能够借助函数图象的直观性得出函数的最值，培养以形识数的解题意识.
4.能够用函数的性质解决日常生活中的简单的实际问题，使学生感受到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学生学习函数的紧迫感，激发学生学习的积极性.
重点难点
教学重点:函数的单调性和最值.
教学难点:增函数、减函数、奇函数、偶函数形式化定义的形成.
课时安排
2课时
设计方案（一）
教学过程
第1课时 函数的单调性
导入新课
思路1.德国有一位著名的心理学家名叫艾宾浩斯(Hermann Ebbinghaus，1850~1909)，他以自己为实验对象，共做了163次实验，每次实验连续要做两次无误的背诵.经过一定时间后再重学一次，达到与第一次学会的同样的标准.他经过对自己的测试，得到了一些数据.
时间间隔t 0分钟 20分钟 60分钟 8~9小时 1天 2天 6天 一个月
记忆量y(百分比) 100% 58.2% 44.2% 35.8% 33.7% 27.8% 25.4% 21.1%
观察这些数据，可以看出：记忆量y是时间间隔t的函数.当自变量（时间间隔t）逐渐增大时，你能看出对应的函数值（记忆量y）有什么变化趋势吗？描出这个函数图象的草图(这就是著名的艾宾浩斯曲线).从左向右看,图象是上升的还是下降的？你能用数学符号来刻画吗？通过这个实验,你打算以后如何对待刚学过的知识 （可以借助信息技术画图象）
图1-3-1-1
学生：先思考或讨论，回答：记忆量y随时间间隔t的增大而增大；以时间间隔t为x轴，以记忆量y为y轴建立平面直角坐标系，描点连线得函数的草图——艾宾浩斯遗忘曲线如图1-3-1-1所示.
遗忘曲线是一条衰减曲线，它表明了遗忘的规律.随着时间的推移，记忆保持量在递减，刚开始遗忘速度最快，我们应利用这一规律，在学习新知识时一定要及时复习巩固，加深理解和记忆.教师提示、点拨，并引出本节课题.
思路2.在第23届奥运会上，中国首次参加就获15枚金牌；在第24届奥运会上，中国获5枚金牌；在第25届奥运会上，中国获16枚金牌；在第26届奥运会上，中国获16枚金牌；在第27届奥运会上，中国获28枚金牌；在第28届奥运会上，中国获32枚金牌.按这个变化趋势，2008年，在北京举行的第29届奥运会上，请你预测一下中国能获得多少枚金牌？
学生回答(只要大于32就可以算准确),教师：提示、点拨，并引出本节课题.
推进新课
新知探究
提出问题
①如图1-3-1-2所示为一次函数y=x，二次函数y=x2和y=-x2的图象,它们的图象有什么变化规律 这反映了相应的函数值的哪些变化规律
图1-3-1-2
②函数图象上任意点P(x,y)的坐标有什么意义？
③如何理解图象是上升的？
④对于二次函数y=x2，列出x,y的对应值表(1).完成表(1)并体会图象在y轴右侧上升.
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
f(x)=x2
表(1)
⑤在数学上规定：函数y=x2在区间(0,+∞)上是增函数.谁能给出增函数的定义？
⑥增函数的定义中，把“当x1
⑦增函数的定义中，“当x1
⑨类比增函数的定义，请给出减函数的定义及其几何意义？
⑩函数y=f（x）在区间D上具有单调性，说明了函数y=f（x）在区间D上的图象有什么变化趋势？
讨论结果:①函数y=x的图象,从左向右看是上升的；函数y=x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的；函数y=-x2的图象在y轴左侧是上升的，在y轴右侧是下降的.
②函数图象上任意点P的坐标(x,y)的意义：横坐标x是自变量的取值,纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小.
③按从左向右的方向看函数的图象,意味着图象上点的横坐标逐渐增大即函数的自变量逐渐增大.图象是上升的意味着图象上点的纵坐标逐渐变大,也就是对应的函数值随着逐渐增大.也就是说从左向右看图象上升,反映了函数值随着自变量的增大而增大.
④在区间(0,+∞)上，任取x1、x2，且x1
⑦函数值随着自变量的增大而增大;从左向右看,图象是上升的.
⑧从左向右看,图象是上升的.
⑨一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1
⑩函数y=f（x）在区间D上，函数值的变化趋势是随自变量的增大而增大（减小），几何意义：从左向右看,图象是上升（下降）的.
应用示例
思路1
例1如图1-3-1-3是定义在区间［－5，5］上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
图1-3-1-3
活动：教师提示利用函数单调性的几何意义.学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.图象上升则在此区间上是增函数，图象下降则在此区间上是减函数.
解：函数y=f(x)的单调区间是［-5,2),［-2,1),［1,3),［3,5］.其中函数y=f(x)在区间［-5,2),［1,3)上是减函数，在区间［-2,1),［3,5］上是增函数.
点评：本题主要考查函数单调性的几何意义，以及图象法判断函数单调性.图象法判断函数的单调性适合于选择题和填空题.如果解答题中给出了函数的图象，通常用图象法判断单调性.函数的图象类似于人的照片，我们能根据人的照片来估计其身高，同样我们根据函数的图象可以分析出函数值的变化趋势即单调性.
图象法求函数单调区间的步骤是第一步：画函数的图象；第二步：观察图象，利用函数单调性的几何意义写出单调区间.
变式训练
课本P32练习1、3.
例2物理学中的玻意耳定律p=（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减少时，压强p将增大.试用函数的单调性证明.
活动：学生先思考或讨论，再到黑板上书写.当学生没有证明思路时，教师再提示,及时纠正学生解答过程出现的问题，并标出关键的地方，以便学生总结定义法的步骤.体积V减少时，压强p将增大是指函数p=是减函数；刻画体积V减少时，压强p将增大的方法是用不等式表达.已知函数的解析式判断函数的单调性时，常用单调性的定义来解决.
解：利用函数单调性的定义只要证明函数p=在区间(0,+∞)上是减函数即可.
点评：本题主要考查函数的单调性，以及定义法判断函数的单调性.
定义法判断或证明函数的单调性的步骤是第一步：在所给的区间上任取两个自变量x1和x2,通常令x1
课本P32练习4.
思路2
例1（1）画出已知函数f(x)=-x2+2x+3的图象；
（2）证明函数f(x)=-x2+2x+3在区间(-∞,1］上是增函数；
（3）当函数f(x)在区间(-∞,m］上是增函数时，求实数m的取值范围.
图1-3-1-4
解：（1）函数f(x)=-x2+2x+3的图象如图1-3-1-4所示.
(2)设x1、x2∈(-∞,1］，且x1
=(x22-x12)+2(x1-x2)
=(x1-x2)(2-x1-x2).
∵x1、x2∈(-∞,1］，且x1
（3）函数f(x)=-x2+2x+3的对称轴是直线x=1，在对称轴的左侧是增函数，那么当区间(-∞,m］位于对称轴的左侧时满足题意，则有m≤1，即实数m的取值范围是(-∞,1］.
点评：本题主要考查二次函数的图象、函数的单调性及其应用.讨论有关二次函数的单调性问题时，常用数形结合的方法，结合二次函数图象的特点来分析；二次函数在对称轴两侧的单调性相反；二次函数在区间D上是单调函数，那么二次函数的对称轴不在区间D内.
判断函数单调性时，通常先画出其图象，由图象观察出单调区间，最后用单调性的定义证明.
判断函数单调性的三部曲：
第一步，画出函数的图象，观察图象，描述函数值的变化趋势；
第二步，结合图象来发现函数的单调区间；
第三步，用数学符号即函数单调性的定义来证明发现的结论.
函数的单调性是函数的一个重要性质,是高考的必考内容之一.因此应理解单调函数及其几何意义,会根据定义判断、证明函数的单调性，会求函数的单调区间，能综合运用单调性解决一些问题，会判断复合函数的单调性.函数的单调性与函数的值域、不等式等知识联系极为密切，是高考命题的热点题型.
变式训练
已知函数f(x)是R上的增函数，设F(x)=f(x)-f(a-x).
(1)用函数单调性定义证明F(x)是R上的增函数；
(2)证明函数y=F(x)的图象关于点(,0)成中心对称图形.
活动：（1）本题中的函数解析式不明确即为抽象函数，用定义法判断单调性的步骤是要按格式书写；（2）证明函数y=F(x)的图象上的任意点关于点(,0)的对称点还是在函数y=F(x)的图象上即可.
解：（1）设x1、x2∈R，且x1
=［f(x1)-f(x2)］+［f(a-x2)-f(a-x1)］.
又∵函数f(x)是R上的增函数，x1
∴F(x1)
又∵F(a-x0)=f(a-x0)-f(a-(a-x0))
＝f(a-x0)-f(x0)
＝-［f(x0)-f(a-x0)］
=-F(x0),
∴点M′(a-x0,-F(x0))也在函数F(x)图象上，
又∵点M(x0,F(x0))是函数F(x)图象上任意一点，
∴函数y=F(x)的图象关于点(,0)成中心对称图形.
例2(1)写出函数y=x2-2x的单调区间及其图象的对称轴,观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点
(2)写出函数y=|x|的单调区间及其图象的对称轴,观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点
图1-3-1-5
(3)定义在［-4,8］上的函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,y=f(x)的部分图象如图1-3-1-5所示,请补全函数y=f(x)的图象,并写出其单调区间,观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点
(4)由以上你发现了什么结论 试加以证明.
活动：学生先思考，再回答，教师适时点拨和提示:
（1）画出二次函数y=x2-2x的图象，借助于图象解决；（2）类似于（1）；（3）根据轴对称的含义补全函数的图象，也是借助于图象写出单调区间；（4）归纳函数对称轴两侧对称区间上的单调性的异同来发现结论，利用轴对称的定义证明.
解：(1)函数y=x2-2x的单调递减区间是(-∞,1),单调递增区间是(1,+∞);对称轴是直线x=1;区间(-∞,1)和区间(1,+∞)关于直线x=1对称,而单调性相反.
(2)函数y=|x|的单调递减区间是(-∞,0),单调递增区间是(0,+∞);对称轴是y轴即直线x=0;区间(-∞,0)和区间(0,+∞)关于直线x=0对称,而单调性相反.
(3)函数y=f(x),x∈［-4,8］的图象如图1-3-1-6.
图1-3-1-6
函数y=f(x)的单调递增区间是［-4,-1］,［2,5］;单调递减区间是［5,8］,［-1,2］;区间［-4,-1］和区间［5,8］关于直线x=2对称,而单调性相反,区间［-1,2］和区间［2,5］关于直线x=2对称,而单调性相反.
(4)可以发现结论:如果函数y=f(x)的图象关于直线x=m对称,那么函数y=f(x)在直线x=m两侧对称单调区间内具有相反的单调性.证明如下:
不妨设函数y=f(x)在对称轴直线x=m的右侧一个区间［a,b］上是增函数,区间［a,b］关于直线x=m的对称区间是［2m-b,2m-a］.
由于函数y=f(x)的图象关于直线x=m对称,则f(x)=f(2m-x).
设2m-b≤x1
f(x1)-f(x2)=f(2m-x1)-f(2m-x2).
又∵函数y=f(x)在［a,b］上是增函数,∴f(2m-x1)-f(2m-x2)>0.
∴f(x1)-f(x2)>0.∴f(x1)>f(x2).
∴函数y=f(x)在区间［2m-b,2m-a］上是减函数.
∴当函数y=f(x)在对称轴直线x=m的右侧一个区间［a,b］上是增函数时,其在［a,b］关于直线x=m的对称区间［2m-b,2m-a］上是减函数,即单调性相反.
因此有结论:如果函数y=f(x)的图象关于直线x=m对称,那么函数y=f(x)在对称轴两侧的对称单调区间内具有相反的单调性.
点评：本题通过归纳——猜想——证明得到了正确的结论,这是我们认识世界发现问题的主要方法,这种方法的难点是猜想,突破路径是寻找共同的特征.本题作为结论记住，可以提高解题速度.图象类似于人的照片，看见人的照片就能估计这个人的身高、五官等特点，同样根据函数的图象也能观察出函数的性质特征.这需要有细致的观察能力.
变式训练
函数y=f(x)满足以下条件:
①定义域是R;
②图象关于直线x=1对称;
③在区间［2,+∞)上是增函数.
试写出函数y=f(x)的一个解析式f(x)=(只需写出一个即可,不必考虑所有情况).
活动：根据这三个条件，画出函数y=f(x)的图象简图（只要能体现这三个条件即可），再根据图象简图，联系猜想基本初等函数及其图象和已有的解题经验写出.
解：定义域是R的函数解析式通常不含分式或根式，常是整式；图象关于直线x=1对称的函数解析式满足：f(x)=f(2-x)，基本初等函数中有对称轴的仅有二次函数，则由①②想到了二次函数；结合二次函数的图象，在区间［2,+∞)上是增函数说明开口必定向上，且正好满足二次函数的对称轴直线x=1不在区间［2,+∞)内，故函数的解析式可能是y=a(x-1)2+b(a>0).
结合二次函数的图象和性质，可知这三条都可满足开口向上的抛物线，故有：
形如y=a(x-1)2+b(a>0)，或为y=a|x-1|+b(a>0)等都可以，答案不唯一.
知能训练
课本P32练习2.
【补充练习】
1.利用图象法写出基本初等函数的单调性.
解：①正比例函数：y=kx(k≠0)
当k>0时，函数y=kx在定义域R上是增函数；当k<0时，函数y=kx在定义域R上是减函数.
②反比例函数：y=(k≠0)
当k>0时，函数y=的单调递减区间是(-∞,0)，(0,+∞)，不存在单调递增区间；当k<0时，函数y=的单调递增区间是(-∞,0)，(0,+∞),不存在单调递减区间.
③一次函数：y=kx+b(k≠0)
当k>0时，函数y=kx+b在定义域R上是增函数；当k<0时，函数y=kx+b在定义域R上是减函数.
④二次函数：y=ax2+bx+c(a≠0)
当a>0时，函数y=ax2+bx+c的单调递减区间是(-∞,］，单调递增区间是［,+∞)；
当a<0时，函数y=ax2+bx+c的单调递减区间是［,+∞)，单调递增区间是(-∞,］.
点评：以上基本初等函数的单调性作为结论记住，可以提高解题速度.
2.已知函数y=kx+2在R上是增函数，求实数k的取值范围.
答案：k∈(0,+∞).
3.二次函数f(x)=x2-2ax+m在(-∞,2)上是减函数，在(2,+∞)上是增函数，求实数a的值.
答案：a=2.
4.2005年全国高中数学联赛试卷，8已知f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数，若f(2a2+a+1)
∴解得a<或a>1.
∵f(x)在(0,+∞)上是减函数，
∴2a2+a+1>3a2-4a+1.∴a2-5a<0.
∴0
点评：本题实质是解不等式，但是这是一个不具体的不等式，是抽象不等式.解与函数有关的抽象不等式时，常用的技巧是利用函数的单调性“剥掉外衣”，转化为整式不等式.
拓展提升
问题：1.画出函数y=的图象，结合图象探讨下列说法是否正确？
（1）函数y=是减函数；（2）函数y=的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).
2.对函数y=,取x1=-1
解答：1.（1）是错误的，从左向右看,函数y=的图象不是下降的.
（2）是错误的，函数y=的单调递减区间是(-∞,0),(0,+∞).这表示在区间(-∞,0)∪(0,+∞)即定义域上是减函数，在定义域上函数y=的图象，从左向右看不是下降的，因此这是错误的.
2.不对.这个过程看似是定义法，实质上不是.定义中x1、x2是在某区间内任意取的两个值，不能用特殊值来代替.
3.函数单调性定义中的x1、x2必须是任意的，应用单调性定义解决问题时，要注意保持其任意性.
点评：函数的单调性反映了函数在其定义域的子集上的性质，是函数的“局部性质”；函数y=f(x)在区间(a,b)和(b,c)上均是增（减）函数，那么在区间(a,b)∪(b,c)上的单调性不能确定.
课堂小结
本节学习了:①函数的单调性;②判断函数单调性的方法:定义法和图象法.
活动：学生先思考或讨论，再回答.教师提示、点拨，及时评价.
引导方法：从基本知识和基本技能两方面来总结.
作业
课本P39习题1.3A组2、3、4.
设计感想
“函数单调性”是一个重要的数学概念，以往的教学方法一般是由教师讲解为主，在单调性的定义教学中，往往缺少从定性的描述到定量表示的思维过程，即缺少“意义建构”.本设计致力于展示概念是如何生成的.在概念的发生、发展中，通过层层设问，调动学生的思维，突出培养了学生的思维能力，体现了教师是用教材教，而不是教教材.
本节课是函数单调性的起始课,采用教师启发引导,学生探究学习的教学方法,通过创设情境,引导探究,师生交流,最终形成概念,获得方法.本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学,为学生提供直观感性的材料,有助于学生对问题的理解和认识.考虑到部分学生数学基础较好、思维较为活跃的特点,对判断方法进行适当的延展,加深对定义的理解,同时也为用导数研究函数单调性埋下伏笔.
(设计者：张建国)
设计方案（二）
教学过程
第1课时 函数的单调性
导入新课
思路1.
为了预测北京奥运会开幕式当天的天气情况，数学兴趣小组研究了2002年到2006年每年这一天的天气情况，如图1-3-1-7是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.
图1-3-1-7
问题：观察图1-3-1-7，能得到什么信息？
(1)当天的最高温度、最低温度以及达到的时刻；
(2)在某时刻的温度；
(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低.
引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考回答.教师：在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的.归纳：用函数观点看，其实这些例子反映的就是随着自变量的变化，函数值是变大或变小.
思路2.如图1-3-1-8所示,观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：
图1-3-1-8
随x的增大，y的值有什么变化？
引导学生回答，点拨提示，引出课题.
设计意图:创设情景，引起学生兴趣.
推进新课
新知探究
提出问题
问题①:分别作出函数y=x+2,y=-x+2,y=x2,y=的图象，并且观察自变量变化时，函数值的变化规律.
如图1-3-1-9所示:
图1-3-1-9
问题②:能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数
设计意图:从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识：直观感知.
问题③:如图1-3-1-10是函数y=x+(x>0)的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗？
图1-3-1-10
设计意图:使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性.
问题④:如何从解析式的角度说明f(x)=x2在［0,+∞)上为增函数？
设计意图:把对单调性的认识由感性上升到理性的高度,完成对概念的第二次认识.事实上也给出了证明单调性的方法，为第三阶段的学习作好铺垫.
问题⑤:你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗
设计意图:让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识.
活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.
引导方法与过程：问题①：引导学生进行分类描述图象是上升的、下降的(增函数、减函数)，同时明确函数的图象变化（单调性）是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质.
问题②：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观、描述性的认识.
学生的困难是难以确定分界点的确切位置.
问题③：通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究.
问题④：对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量x1、x2.
问题⑤：师生共同探究：利用不等式表示变大或变小,得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义.
归纳总结：1.函数单调性的几何意义：如果函数y=f(x)在区间D上是增（减）函数，那么在区间D上的图象是上升的（下降的）.
2.函数单调性的定义：略.可以简称为步调一致增函数，步调相反减函数.
讨论结果：①(1)函数y=x+2，在整个定义域内y随x的增大而增大；函数y=-x+2，在整个定义域内y随x的增大而减小.(2)函数y=x2，在［0,+∞)上y随x的增大而增大，在(-∞,0)上y随x的增大而减小.(3)函数y=，在(0,+∞)上y随x的增大而减小，在(-∞,0)上y随x的增大而减小.
②如果函数f(x)在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数f(x)在该区间上为增函数；如果函数f(x)在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们说函数f(x)在该区间上为减函数.
③不能.
④(1)在给定区间内取两个数，例如2和3，因为22<32，所以f(x)=x2在［0,+∞)上为增函数.
(2)仿(1)，取多组数值验证均满足，所以f(x)=x2在［0,+∞)上为增函数.
(3)任取x1、x2∈［0,+∞),且x1
应用示例
思路1
例1课本P29页例1.
思路分析：利用函数单调性的几何意义.学生先思考或讨论，再回答.
点评：本题主要考查函数单调性的几何意义.
图象法求函数单调区间的步骤:
①画函数的图象；
②观察图象，利用函数单调性的几何意义写出单调区间.
图象法的难点是画函数的图象，常见画法有描点法和变换法.
答案：略.
变式训练
课本P32练习4.
例2课本P32页例2.
思路分析：按题意，只要证明函数p=在区间（0，+∞）上是减函数即可，用定义证明.
点评：本题主要考查函数的单调性.
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：（定义法）
①任取x1、x2∈D，且x1
③变形（通常是因式分解和配方）；
④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）.
易错分析：错取两个特殊值x1、x2来证明.
答案：略.
变式训练
判断下列说法是否正确：
①已知f(x)=,因为f(-1)
④因为函数f(x)=在区间(-∞,0)和(0,+∞)上都是减函数，所以f(x)=在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数.
活动：教师强调以下三点后,让学生判断.
1.单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性.
2.有的函数在整个定义域内单调(如一次函数)，有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数)，有的函数根本没有单调区间(如常函数).
3.函数在定义域内的两个区间A、B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在A∪B上是增（或减）函数.
答案：这四个判断都是错误的.
思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数
证明一个命题成立时，需要有严格的逻辑推理过程，而否定一个命题只需举一个反例即可.也就是说，只要找到两个特殊的自变量，不符合定义就行.
思路2
例1证明函数f(x)=x+在(2,+∞)上是增函数.
思路分析：利用单调性的定义证明.可以利用信息技术，先画出函数的图象，体会一下再证明.
点评：本题主要考查函数的单调性.
引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论.
答案：略.
变式训练
证明函数f(x)=x在［0,+∞)上是增函数.
思路分析：此函数是一个具体的函数，用定义法证明.
思考：除了用定义外，如果证得对任意的x1、x2∈(a,b)，且x1≠x2有分 f(x2)-f(x1)x2-x1式>0，能断定函数f(x)在区间(a,b)上是增函数吗
活动：引导学生分析这种叙述与定义的等价性.让学生尝试用这种等价形式证明函数f(x)=x在［0,+∞)上是增函数.
讨论结果：能.
例2用计算机画出函数y=的图象，根据图象指出单调区间，并用定义法证明.
思路分析：在图象上观察在哪个区间函数图象是上升的，在哪个区间函数图象是下降的，借助于单调性的几何意义写出单调区间，再用定义证明.
教师画出图象，学生回答，如果遇到障碍，就提示利用函数单调性的几何意义写出单调区间.
点评：讨论函数单调性的三部曲：
第一步，画函数的图象；
第二步，借助单调性的几何意义写出单调区间；
第三步，利用定义加以证明.
答案：略.
变式训练
画出函数y=的图象，根据图象指出单调区间.
活动：教师引导学生利用变换法（也可以用计算机）画出图象，根据单调性的几何意义写出单调区间，再利用定义法证明.
答案：略.
知能训练
课本P32练习2.
拓展提升
试分析函数y=x+的单调性.
活动：先用计算机画出图象，找出单调区间，再用定义法证明.
答案：略.
课堂小结
学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结.
(1)概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性.
(2)证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论.
(3)数学思想方法：数形结合.
(4)函数单调性的几何意义是:函数值的变化趋势,即图象是上升的或下降的.
设计感想
本节课是函数单调性的起始课，采用教师启发引导，学生探究学习的教学方法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法.本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识.
考虑到部分学生数学基础较好、思维较为活跃的特点，对判断方法进行适当的延展，加深对定义的理解，同时也为用导数研究函数单调性埋下伏笔.
作业:课本P39习题1.3A组2、3、4.
(设计者：张新军)
第2课时 函数的最值
导入新课
思路1.某工厂为了扩大生产规模,计划重新建造一个面积为10 000 m2的矩形新厂址,新厂址的长为x m，则宽为m，所建围墙ym，假如你是这个工厂的厂长,你会选择一个长和宽各为多少米的矩形土地,使得新厂址的围墙y最短
学生先思考或讨论，教师指出此题意在求函数y=2(x+),x>0的最小值.引出本节课题：在生产和生活中，我们非常关心花费最少、用料最省、用时最省等最值问题，这些最值对我们的生产和生活是很有帮助的.那么什么是函数的最值呢 这就是我们今天学习的课题.用函数知识解决实际问题，将实际问题转化为求函数的最值，这就是函数的思想，用函数解决问题.
思路2.画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？
①f(x)=-x+3；②f(x)=-x+3,x∈［-1,2］；
③f(x)=x2+2x+1;④f(x)=x2+2x+1,x∈［-2,2］.
学生回答后，教师引出课题：函数的最值.
推进新课
新知探究
提出问题
①如图1-3-1-11所示，是函数y=-x2-2x、y=-2x+1,x∈［-1,+∞)、y=f(x)的图象.观察这三个图象的共同特征.
图1-3-1-11
②函数图象上任意点P(x,y)的坐标与函数有什么关系？
③你是怎样理解函数图象最高点的
④问题1中，在函数y=f(x)的图象上任取一点A(x,y)，如图1-3-1-12所示，设点C的坐标为(x0,y0)，谁能用数学符号解释：函数y=f(x)的图象有最高点C？
图1-3-1-12
⑤在数学中，形如问题1中函数y=f(x)的图象上最高点C的纵坐标就称为函数y=f(x)的最大值.谁能给出函数最大值的定义？
⑥函数最大值的定义中f(x)≤M即f(x)≤f(x0)，这个不等式反映了函数y=f(x)的函数值具有什么特点？其图象又具有什么特征？
⑦函数最大值的几何意义是什么？
⑧函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)有最大值吗？为什么？
⑨点(-1,3)是不是函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)的最高点？
⑩由这个问题你发现了什么值得注意的地方？
讨论结果:
①函数y=-x2-2x图象有最高点A，函数y=-2x+1,x∈［-1,+∞)图象有最高点B，函数y=f(x)图象有最高点C.也就是说,这三个函数的图象的共同特征是都有最高点.
②函数图象上任意点P的坐标(x,y)的意义:横坐标x是自变量的取值,纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小.
③图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值,即函数的最大值.
④由于点C是函数y=f(x)图象的最高点，则点A在点C的下方，即对定义域内任意x，都有y≤y0，即f(x)≤f(x0)，也就是对函数y=f(x)的定义域内任意x，均有f(x)≤f(x0)成立.
⑤一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M.
那么，称M是函数y=f(x)的最大值.
⑥f(x)≤M反映了函数y=f(x)的所有函数值不大于实数M；这个函数的特征是图象有最高点，并且最高点的纵坐标是M.
⑦函数图象上最高点的纵坐标.
⑧函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)没有最大值，因为函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)的图象没有最高点.
⑨不是，因为该函数的定义域中没有－1.
⑩讨论函数的最大值，要坚持定义域优先的原则；函数图象有最高点时，这个函数才存在最大值，最高点必须是函数图象上的点.
提出问题
①类比函数的最大值，请你给出函数的最小值的定义及其几何意义.
②类比问题9，你认为讨论函数最小值应注意什么？
活动：让学生思考函数最大值的定义，利用定义来类比定义.最高点类比最低点，符号不等号“≤”类比不等号“≥”.函数的最大值和最小值统称为函数的最值.
讨论结果：①函数最小值的定义是:
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；
（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M.
那么，称M是函数y=f(x)的最小值.
函数最小值的几何意义：函数图象上最低点的纵坐标.
②讨论函数的最小值，也要坚持定义域优先的原则；函数图象有最低点时，这个函数才存在最小值，最低点必须是函数图象上的点.
应用示例
思路1
例1求函数y=在区间［2，6］上的最大值和最小值.
活动：先思考或讨论，再到黑板上书写.当学生没有证明思路时，才提示：图象最高点的纵坐标就是函数的最大值，图象最低点的纵坐标就是函数的最小值.根据函数的图象观察其单调性，再利用函数单调性的定义证明，最后利用函数的单调性求得最大值和最小值.利用变换法画出函数y=的图象，只取在区间［2，6］上的部分.观察可得函数的图象是上升的.
解：设2≤x1
∵2≤x1
∴f(x1)>f(x2),即函数y=在区间［2，6］上是减函数.
所以，当x=2时，函数y=在区间［2，6］上取得最大值f(2)=2；
当x=6时，函数y=在区间［2，6］上取得最小值f(6)= .
变式训练
1.求函数y=x2-2x(x∈［-3,2］)的最大值和最小值_______.
答案：最大值是f(-3)=15，最小值是f(1)=-1.
2.函数f(x)=x4+2x2-1的最小值是.
分析：（换元法）转化为求二次函数的最小值.
设x2=t，y=t2+2t-1(t≥0)，
又当t≥0时，函数y=t2+2t-1是增函数，
则当t=0时，函数y=t2+2t-1(t≥0)取最小值－1.
所以函数f(x)=x4+2x2-1的最小值是－1.
答案：-1
3.画出函数y=－x2＋2|x|＋3的图象，指出函数的单调区间和最大值.
分析：函数的图象关于y轴对称，先画出y轴右侧的图象，再对称到y轴左侧合起来得函数的图象；借助图象，根据单调性的几何意义写出单调区间.
解：函数图象如图1-3-1-13所示.
图1-3-1-13
由图象得，函数的图象在区间（－∞，－1）和［0，1］上是上升的，在［－1，0］和（1，＋∞）上是下降的，最高点是(±1,4)，
故函数在（－∞，－1），［0，1］上是增函数；函数在［－1，0］，（1，＋∞）上是减函数，最大值是4.
点评：本题主要考查函数的单调性和最值，以及最值的求法.求函数的最值时，先画函数的图象，确定函数的单调区间，再用定义法证明，最后借助单调性写出最值，这种方法适用于做解答题.
单调法求函数最值：先判断函数的单调性,再利用其单调性求最值；常用到下面的结论：①如果函数y=f(x)在区间(a,b］上单调递增，在区间［b,c)上单调递减，则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；②如果函数y=f(x)在区间(a,b］上单调递减，在区间［b,c)上单调递增，则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b).
例2“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为h(t)=-4.9t2+14.7t+18，那么烟花冲出去后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？
活动：可以指定一位学生到黑板上书写，教师在下面巡视，并及时帮助做错的学生改错.并对学生的板书及时评价.将实际问题最终转化为求函数的最值，画出函数的图象，利用函数的图象求出最大值.“烟花冲出去后什么时候是它爆裂的最佳时刻”就是当t取什么值时函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18取得最大值；“这时距地面的高度是多少（精确到1 m）”就是函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的最大值；转化为求函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的最大值及此时自变量t的值.
解：画出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象，如图1-3-1-14所示，
显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆炸的最佳时刻，纵坐标就是这时距离地面的高度.
图1-3-1-14
由二次函数的知识，对于函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18，我们有：
当t==1.5时，函数有最大值,
即烟花冲出去后1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约是29m.
点评：本题主要考查二次函数的最值问题，以及应用二次函数解决实际问题的能力.解应用题步骤是①审清题意读懂题；②将实际问题转化为数学问题来解决；③归纳结论.
注意：要坚持定义域优先的原则；求二次函数的最值要借助于图象即数形结合.
变式训练
1.2006山东菏泽二模，文10把长为12厘米的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )
A.cm2 B.4cm2 C.3cm2 D.2cm2
解析：设一个三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为(4-x) cm，两个三角形的面积和为S，则S=x2+(4-x)2=(x-2)2+2≥2.
当x=2时，S取最小值2m2.故选D.
答案：D
2.某超市为了获取最大利润做了一番试验，若将进货单价为8元的商品按10元一件的价格出售时，每天可销售60件，现在采用提高销售价格减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨1元，其销售量就要减少10件，问该商品售价定为多少时才能赚取利润最大，并求出最大利润.
分析：设未知数，引进数学符号，建立函数关系式，再研究函数关系式的定义域，并结合问题的实际意义作出回答.利润＝（售价－进价）×销售量.
解：设商品售价定为x元时，利润为y元，则
y=(x-8)［60-(x-10)·10］
=-10［(x-12)2-16］=-10(x-12)2+160(10＜x＜16).
当且仅当x=12时，y有最大值160元，
即售价定为12元时可获最大利润160元.
思路2
例1已知函数f(x)=x+,x>0，
（1）证明当0
活动：学生思考判断函数单调性的方法，以及函数最小值的含义.（1）利用定义法证明函数的单调性；（2）应用函数的单调性得函数的最小值.
（1）解：任取x1、x2∈（0，+∞）且x1＜x2，则
f（x1）－f（x2）=（x1＋）－（x2+）=（x1－x2）+=，
∵x1＜x2，∴x1－x2<0，x1x2>0.
当0＜x1＜x2＜1时，x1x2-1<0，
∴f（x1）－f（x2）＞0.
∴f（x1）＞f（x2），即当0
∴f（x1）－f（x2）＜0.
∴f（x1）＜f（x2）,即当x≥1时，函数f(x)是增函数.
（2）解法一：由（1）得当x=1时，函数f(x)=x+,x>0取最小值.
又f(1)=2，则函数f(x)=x+,x>0取最小值是2.
解法二：借助于计算机软件画出函数f(x)=x+,x>0的图象，如图1-3-1-15所示，
图1-3-1-15
由图象知，当x=1时，函数f(x)=x+,x>0取最小值f(1)=2.
点评：本题主要考查函数的单调性和最值.定义法证明函数的单调性的步骤是“去比赛”；三个步骤缺一不可.
利用函数的单调性求函数的最值的步骤：①先判断函数的单调性,再利用其单调性求最值；常用到下面的结论：①如果函数y=f(x)在区间(a,b］上单调递增，在区间［b,c)上单调递减，则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；②如果函数y=f(x)在区间(a,b］上单调递减，在区间［b,c)上单调递增，则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b).这种求函数最值的方法称为单调法.
图象法求函数的最值的步骤：画出函数的图象，依据函数最值的几何意义，借助图象写出最值.
变式训练
1.求函数y=（x≥0）的最大值.
解析:可证明函数y=（x≥0）是减函数，
∴函数y=（x≥0）的最大值是f(0)=3.
2.求函数y=|x+1|+|x-1|的最大值和最小值.
解法一：（图象法）y＝|x+1|+|x-1|=其图象如图1-3-1-16所示.
图1-3-1-16
由图象得，函数的最小值是2，无最大值.
解法二：（数形结合）函数的解析式y=|x+1|+|x-1|的几何意义是：y是数轴上任意一点P到±1的对应点A、B的距离的和，即y=|PA|+|PB|,如图1-3-1-17所示，
图1-3-1-17
观察数轴,可得|PA|+|PB|≥|AB|=2，即函数有最小值2，无最大值.
3.2007天利高考第一次全国大联考（江苏卷），11设0
答案：4
例2将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？
活动：让学生思考利润的意义，以及利润和售价之间的函数关系.设出一般情况，转化为求二次函数的最值.解决此类应用题，通常是建立函数模型，这是解题的关键.
解：设每个售价为x元时，获得利润为y元，
则每个涨（x-50）元，从而销售量减少10(x-50)个,共售出500-10(x-50)=1000-10x(个).
∴y=(x-40)(1000-10x)=-10(x-70)2+9 000(50≤x＜100）.
∴当x=70时,ymax=9000,
即为了赚取最大利润，售价应定为70元.
点评：本题主要考查二次函数的最值问题，以及应用二次函数解决实际问题的能力.解应用题步骤是：①审清题意读懂题；②将实际问题转化为数学问题来解决；③归纳结论.
注意：要坚持定义域优先的原则；求二次函数的最值要借助于图象即数形结合.
变式训练
1.已知某商品的价格每上涨x%，销售的数量就减少mx%，其中m为正常数.当m=时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额最大？
解：设商品现在定价a元，卖出的数量为b个,当价格上涨x%时，销售总额为y元.
由题意得y=a(1+x%)·b(1-mx%),
即y=［-mx2+100(1-m)x+10 000］.
当m=时,y=［-(x-50)2+22 500］，
则当x=50时，ymax=ab.
即该商品的价格上涨50%时，销售总金额最大.
2.2007天利第一次全国大联考江苏卷，18某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)=其中x是仪器的月产量.
（1）将利润表示为月产量的函数.
（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？（总收益＝总成本＋利润）.
分析：本题主要考查二次函数及其最值，以及应用二次函数解决实际问题的能力.（1）利润＝总收益－总成本；（2）转化为求函数的最值，由于此函数是分段函数，则要求出各段上的最大值，再从中找出函数的最大值.
解：（1）设月产量为x台，则总成本为20 000+100x，
从而f(x)=
（2）当0≤x≤400时，f(x)=(x-300)2+25000;
当x=300时，有最大值25000；
当x>400时，f(x)=60000-100x是减函数;
又f(x)<60000-100×400<25000,
所以，当x=300时，有最大值25000,
即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元.
知能训练
课本P32练习5.
［补充练习］
2007上海市闵行五校联合调研，20某厂2007年拟举行促销活动，经调查测算，该厂产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与去年促销费m（万元）（m≥0）满足x=3.已知2007年生产的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）.
（1）将2007年该产品的利润y万元表示为年促销费m（万元）的函数；
（2）求2007年该产品利润的最大值，此时促销费为多少万元？
分析：（1）年利润＝销售价格×年销售量－固定投入－促销费－再投入，销售价格＝1.5×每件产品平均成本；（2）利用单调法求函数的最大值.
解：（1）每件产品的成本为元，故2007年的利润
y=1.5××x-(8+16x+m)=4+8x-m=4+8(3)-m=28-m（万元）（m≥0）.
（2）可以证明当0≤m≤3时，函数y=28-m是增函数，当m>3时，函数y=28-m是减函数，所以当m=3时，函数y=28-m取最大值21（万元）.
拓展提升
问题：求函数y=的最大值.
探究：(方法一)利用计算机软件画出函数的图象，如图1-3-1-18所示，
图1-3-1-18
故图象最高点是(,).
则函数y=的最大值是.
(方法二)函数的定义域是R，
可以证明当x<时，函数y=是增函数；
当x≥时，函数y=是减函数.
则当x=时，函数y=取最大值,
即函数y=的最大值是.
(方法三)函数的定义域是R，
由y=,得yx2+yx+y-1=0.
∵x∈R，∴关于x的方程yx2+yx+y-1=0必有实数根，
当y=0时，关于x的方程yx2+yx+y-1=0无实数根，即y=0不属于函数的值域.
当y≠0时，则关于x的方程yx2+yx+y-1=0是一元二次方程，
则有Δ=(-y)2-4×y(y-1)≥0.∴0
点评：方法三称为判别式法，形如函数y=(d≠0)，当函数的定义域是R（此时e2-4df<0）时，常用判别式法求最值，其步骤是①把y看成常数，将函数解析式整理为关于x的方程的形式mx2+nx+k=0；②分类讨论m=0是否符合题意；③当m≠0时，关于x的方程mx2+nx+k=0中有x∈R，则此一元二次方程必有实数根，得n2-4mk≥0,即关于y的不等式，解不等式组
m≠0.此不等式组的解集与②中y的值取并集得函数的值域，从而得函数的最大值和最小值.
课堂小结
本节课学习了：(1)函数的最值；(2)求函数最值的方法：①图象法，②单调法，③判别式法；(3)求函数最值时，要注意函数的定义域.
作业
课本P39习题1.3A组5、6.
设计感想
为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下的措施：
（1）在探索概念阶段,让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对函数最值定义的三次认识,使得学生对概念的认识不断深入.
（2）在应用概念阶段,通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用图象和单调法求函数最值的方法和步骤.
备课资料
基本初等函数的最值
1.正比例函数：y=kx(k≠0)在定义域R上不存在最值.在闭区间［a,b］上存在最值，当k>0时，函数y=kx的最大值为f(b)＝kb，最小值为f(a)＝ka；当k<0时，函数y=kx的最大值为f(a)＝ka，最小值为f(b)＝kb.
2.反比例函数：y=(k≠0)在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上不存在最值.在闭区间［a,b］（ab>0）上存在最值，当k>0时，函数y=的最大值为f(a)＝，最小值为f(b)＝；当k<0时，函数y=的最大值为f(b)＝，最小值为f(a)＝.
3.一次函数：y=kx+b(k≠0)在定义域R上不存在最值.在闭区间［m,n］上存在最值，当k>0时，函数y=kx+b的最大值为f(n)=kn+b，最小值为f(m)＝km+b；当k<0时，函数y=kx+b的最大值为f(m)＝km+b，最小值为f(n)＝kn+b.
4.二次函数：y=ax2+bx+c(a≠0):
当a>0时，函数y=ax2+bx+c在定义域R上有最小值f()=，无最大值；
当a<0时，函数y=ax2+bx+c在定义域R上有最大值f()=，无最小值.
二次函数在闭区间上的最值问题是高考考查的重点和热点内容之一.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a＞0)在闭区间［p，q］上的最值可能出现以下三种情况：
(1)若＜p，则f(x)在区间［p，q］上是增函数，则f(x)min=f(p)，f(x)max=f(q).
(2)若p≤≤q，则f(x)min=f(),此时f(x)的最大值视对称轴与区间端点的远近而定：
①当p≤＜时，则f(x)max=f(q);
②当＝时，则f(x)max=f(p)＝f(q);
③当＜＜q时，则f(x)max=f(p).
(3)若≥q，则f(x)在区间［p，q］上是减函数，则f(x)min=f(q)，f(x)max=f(p).
由此可见,当∈［p,q］时,二次函数f(x)=ax2+bx+c(a＞0)在闭区间［p，q］上的最大值是f(p)和f(q)中的最大值,最小值是f()；当［p,q］时,二次函数f(x)=ax2+bx+c(a＞0)在闭区间［p，q］上的最大值是f(p)和f(q)中的最大值,最小值是f(p)和f(q)中的最小值.
(设计者：方诚心)
1.3.2 奇偶性
整体设计
教学分析
本节讨论函数的奇偶性是描述函数整体性质的.教材沿用了处理函数单调性的方法，即先给出几个特殊函数的图象，让学生通过图象直观获得函数奇偶性的认识，然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立了奇（偶）函数的概念.因此教学时，充分利用信息技术创设教学情景，会使数与形的结合更加自然.
值得注意的问题：对于奇函数，教材在给出的表格中留出大部分空格，旨在让学生自己动手计算填写数据，仿照偶函数概念建立的过程，独立地去经历发现、猜想与证明的全过程，从而建立奇函数的概念.教学时，可以通过具体例子引导学生认识，并不是所有的函数都具有奇偶性，如函数y=x与y=2x-1既不是奇函数也不是偶函数，可以通过图象看出也可以用定义去说明.
三维目标
1.理解函数的奇偶性及其几何意义，培养学生观察、抽象的能力，以及从特殊到一般的概括、归纳问题的能力.
2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质，掌握判断函数的奇偶性的方法，渗透数形结合的数学思想.
重点难点
教学重点:函数的奇偶性及其几何意义.
教学难点:判断函数的奇偶性的方法与格式.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.同学们，我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请大家想一下有哪些美呢？（学生回答可能有和谐美、自然美、对称美……）今天，我们就来讨论对称美，请大家想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢？（学生举例，再在屏幕上给出一组图片：喜字、蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志）生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢？下面，我们以麦当劳的标志为例，给它适当地建立直角坐标系，那么大家发现了什么特点呢？（学生发现：图象关于y轴对称.）数学中对称的形式也很多，这节课我们就同学们谈到的与y轴对称的函数展开研究.
思路2.结合轴对称与中心对称图形的定义，请同学们观察图形，说出函数y=x2和y=x3的图象各有怎样的对称性？引出课题：函数的奇偶性.
推进新课
新知探究
提出问题
①如图1-3-2-1所示，观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性.
图1-3-2-1
②那么如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y轴对称呢？填写表1和表2，你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征？
x -3 -2 -1 0 1 2 3
f(x)=x2
表1
x -3 -2 -1 0 1 2 3
f(x)=|x|
表2
③请给出偶函数的定义？
④偶函数的图象有什么特征？
⑤函数f(x)=x2,x∈［-1,2］是偶函数吗？
⑥偶函数的定义域有什么特征？
⑦观察函数f(x)=x和f(x)=的图象，类比偶函数的推导过程，给出奇函数的定义和性质？
活动：教师从以下几点引导学生:
①观察图象的对称性.
②学生给出这两个函数的解析式具有什么共同特征后，教师指出：这样的函数称为偶函数.
③利用函数的解析式来描述.
④偶函数的性质：图象关于y轴对称.
⑤函数f(x)=x2,x∈［-1,2］的图象关于y轴不对称；对定义域［-1,2］内x=2，f(-2)不存在，
即其函数的定义域中任意一个x的相反数-x不一定也在定义域内，即f(-x)=f(x)不恒成立.
⑥偶函数的定义域中任意一个x的相反数-x一定也在定义域内，此时称函数的定义域关于原点对称.
⑦先判断它们的图象的共同特征是关于原点对称，再列表格观察自变量互为相反数时，函数值的变化情况，进而抽象出奇函数的概念，再讨论奇函数的性质.
给出偶函数和奇函数的定义后，要指明：（1）函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；（2）由函数的奇偶性定义,可知函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则-x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）；（3）具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y轴对称,奇函数的图象关于原点对称；（4）可以利用图象判断函数的奇偶性，这种方法称为图象法，也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，这种方法称为定义法；（5）函数的奇偶性是函数在定义域上的性质是“整体”性质，而函数的单调性是函数在定义域的子集上的性质是“局部”性质.
讨论结果:
①这两个函数之间的图象都关于y轴对称.
②
x -3 -2 -1 0 1 2 3
f(x)=x2 9 4 1 0 1 4 9
表1
x -3 -2 -1 0 1 2 3
f(x)=|x| 3 2 1 0 1 2 3
表2
这两个函数的解析式都满足：
f(-3)=f(3);
f(-2)=f(2);
f(-1)=f(1).
可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数，它们对应的函数值相等，也就是说对于函数定义域内一个x，都有f(-x)=f(x).
③一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数.
④偶函数的图象关于y轴对称.
⑤不是偶函数.
⑥偶函数的定义域关于原点轴对称.
⑦一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.奇函数的图象关于原点中心对称，其定义域关于原点轴对称.
应用示例
思路1
例1判断下列函数的奇偶性:
（1）f(x)=x4；
（2）f(x)=x5；
（3）f(x)=x+；
（4）f(x)=.
活动：学生思考奇偶函数的定义，利用定义来判断其奇偶性.先求函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称，如果定义域关于原点对称，那么再判断f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x).
解：（1）函数的定义域是R，对定义域内任意一个x，都有f(-x)=(-x)4=x4=f(x)，
所以函数f(x)=x4是偶函数.
（2）函数的定义域是R，对定义域内任意一个x，都有f(-x)=(-x)5=-x5=-f(x),
所以函数f(x)=x4是奇函数.
（3）函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)，对定义域内任意一个x，都有f(-x)=-x+=-(x+)=-f(x)，
所以函数f(x)=x+是奇函数.
（4）函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)，对定义域内任意一个x，都有f(-x)===f(x)，
所以函数f(x)= 是偶函数.
点评：本题主要考查函数的奇偶性.函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，对定义域内任意x，其相反数-x也在函数的定义域内，此时称为定义域关于原点对称.
利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
②确定f(-x)与f(x)的关系；
③作出相应结论：
若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数；
若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数.
变式训练
2006辽宁高考，理2设f(x)是R上的任意函数,则下列叙述正确的是( )
A.f(x)f(-x)是奇函数 B.f(x)|f(-x)|是奇函数
C.f(x)-f(-x)是偶函数 D.f(x)+f(-x)是偶函数
分析:A中设F(x)=f(x)f(-x),则F(-x)=f(-x)f(x)=F(x)，即函数F(x)=f(x)f(-x)为偶函数；
B中设F(x)=f(x)|f(-x)|，F(-x)=f(-x)|f(x)|，此时F(x)与F(-x)的关系不能确定，即函数F(x)=f(x)|f(-x)|的奇偶性不确定；
C中设F(x)=f(x)-f(-x),F(-x)=f(-x)-f(x)=-F(x)，即函数F(x)=f(x)-f(-x)为奇函数；
D中设F(x)=f(x)+f(-x)，F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x)，即函数F(x)=f(x)+f(-x)为偶函数.
答案：D
例22006上海春季高考，6已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数.当x∈(-∞,0)时，f(x)=x-x4，则当x∈(0,+∞)时，f(x)=_______.
活动：学生思考偶函数的解析式的性质，考虑如何将在区间(0,+∞)上的自变量对应的函数值，转化为区间(-∞,0)上的自变量对应的函数值.利用偶函数的性质f(x)=f(-x)，将在区间(0,+∞)上的自变量对应的函数值，转化为区间(-∞,0)上的自变量对应的函数值.
分析:当x∈(0,+∞)时，则-x<0.
又∵当x∈(-∞,0)时，f(x)=x-x4，
∴f(x)=(-x)-(-x)4=-x-x4.
答案：-x-x4
点评：本题主要考查函数的解析式和奇偶性.已知函数的奇偶性，求函数的解析式时，要充分利用函数的奇偶性，将所求解析式的区间上自变量对应的函数值转化为已知解析式的区间上自变量对应的函数值.
变式训练
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2+，求f(x).
解：当x=0时，f(-0)=-f(0)，则f(0)=0；
当x<0时，-x>0，由于函数f(x)是奇函数，则
f(x)=-f(-x)=-［(-x)2+］=-x2+，
综上所得，f(x)=
思路2
例1判断下列函数的奇偶性.
（1）f(x)=x2,x∈［-1,2］;
（2）f(x)=；
（3）f（x）=+；
（4）f（x）=.
活动：学生思考奇偶函数的定义和函数的定义域的求法.先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断f(-x)与f(x)的关系.在(4)中注意定义域的求法,对任意x∈R，有>=|x|≥-x，则+x>0.则函数的定义域是R.
解：（1）因为它的定义域关于原点不对称,函数f(x)=x2,x∈［-1,2］既不是奇函数又不是偶函数.
（2）因为它的定义域为{x|x∈R且x≠1}，并不关于原点对称,函数f(x)=既不是奇函数又不是偶函数.
（3）∵x2－4≥0且4－x2≥0，
∴x＝±2，
即f（x）的定义域是{－2，2}.
∵f（2）＝0，f（－2）＝0,
∴f（2）＝f（－2），f（2）＝－f（2）.
∴f（－x）＝－f（x），且f（－x）＝f（x）.
∴f（x）既是奇函数也是偶函数.
（4）函数的定义域是R.
∵f(-x)+f(x)=
=
=
=0,
∴f（－x）＝－f（x）.
∴f（x）是奇函数.
点评：本题主要考查函数的奇偶性.
定义法判断函数奇偶性的步骤是（1）求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义域关于原点对称时，判断f(-x)与f(x)或-f(x)是否相等；（2）当f(-x)＝f(x)时，此函数是偶函数；当f(-x)＝-f(x)时，此函数是奇函数；（3）当f(-x)＝f(x)且f(-x)＝-f(x)时，此函数既是奇函数又是偶函数；
（4）当f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x)时，此函数既不是奇函数也不是偶函数.
判断解析式复杂的函数的奇偶性时，如果定义域关于原点对称时，通常化简f(-x)+f(x)来判断f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)是否成立.
变式训练
2007河南开封一模，文10函数f(x)=x2－2ax+a在区间（－∞，1）上有最小值，则函数g(x)=在区间（1，+∞）上一定( )
A.有最小值 B.有最大值 C.是减函数 D.是增函数
分析：函数f(x)=x2－2ax+a的对称轴是直线x=a，
由于函数f(x)在开区间（－∞，1）上有最小值，
所以直线x=a位于区间（－∞，1）内，即a<1.g(x)＝=x+-2，
下面用定义法判断函数g(x)在区间（1，+∞）上的单调性.
设1
=(x1-x2)(1)
=(x1-x2).
∵1
又∵a<1，∴x1x2>a.∴x1x2-a>0.∴g(x1)-g(x2)<0.
∴g(x1)
答案：D
例2已知函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1、x2都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)，且当x>1时f(x)>0,f(2)=1，
（1）求证：f(x)是偶函数；
（2）求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数；
（3）试比较f()与f()的大小.
活动：（1）转化为证明f(-x)=f(x)，利用赋值法证明f(-x)=f(x)；（2）利用定义法证明单调性，证明函数单调性的步骤是“去比赛”；（3）利用函数的单调性比较它们的大小，利用函数的奇偶性，将函数值f()和f()转化为同一个单调区间上的函数值.
解：（1）令x1=x2=1，得f(1)=2f(1)，∴f(1)=0.
令x1=x2=-1，得f(1)=f［-1×(-1)］=f(-1)+f(-1)，∴2f(-1)=0.
∴f(-1)=0.∴f(-x)=f(-1·x)=f(-1)+f(x)=f(x).
∴f(x)是偶函数.
（2）设x2>x1>0，则
f(x2)-f(x1)=f(x1·)-f(x1)=f(x1)+f()-f(x1)=f().
∵x2>x1>0，∴>1.∴f()>0，即f(x2)-f(x1)>0.
∴f(x2)>f(x1).
∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.
（3）由（1）知f(x)是偶函数，则有f()＝f().
由（2）知f(x)在(0,+∞)上是增函数，则f()>f().∴f()>f().
点评：本题是抽象函数问题，主要考查函数的奇偶性和单调性及其综合应用.判断抽象函数的奇偶性和单调性通常应用定义法，比较抽象函数值的大小通常利用抽象函数的单调性来比较.其关键是将所给的关系式进行有效的变形和恰当的赋值.
变式训练
2007广东中山高三期末统考，理19已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的不恒为零的函数，且对定义域内的任意x、y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y).
（1）求f(1)、f(-1)的值；
（2）判断f(x)的奇偶性，并说明理由.
分析：（1）利用赋值法，令x=y=1得f(1)的值，令x=y=－1，得f(-1)的值；（2）利用定义法证明f(x)是奇函数，要借助于赋值法得f(-x)=-f(x).
解：（1）∵f(x)对任意x、y都有f(x·y)=yf(x)+xf(y)，
∴令x=y=1时，有f(1·1)=1·f(1)+1·f(1).
∴f(1)=0.
∴令x=y=－1时，有f［(-1)·(-1)］=(-1)·f(-1)+(-1)·f(-1).
∴f(－1)=0.
（2）是奇函数.
∵f(x)对任意x、y都有f(x·y)=yf(x)+xf(y)，
∴令y=－1,有f(-x)=-f(x)+xf(-1).
将f(-1)=0代入得f(-x)=-f(x)，
∴函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数.
知能训练
课本P36练习1、2.
［补充练习］
1.2007上海春季高考，5设函数y=f(x)是奇函数.若f(-2)+f(-1)-3=f(1)+f(2)+3，则f(1)+f(2)=_____.
分析：∵函数y=f(x)是奇函数，∴f(-2)=-f(2),f(-1)=-f(1).
∴-f(2)-f(1)-3=f(1)+f(2)+3.
∴2［f(1)+f(2)］=-6.∴f(1)+f(2)=-3.
答案：-3
2.f（x）=ax2+bx+3a+b是偶函数，定义域为［a－1，2a］，则a=_________，b=________.
分析：∵偶函数定义域关于原点对称,
∴a－1+2a=0.∴a=.
∴f（x）=x2+bx+1+b.又∵f（x）是偶函数，∴b=0.
答案： 0
3.2006山东高考，理6已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则f(6)的值为( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
分析:f(6)=f(4+2)=-f(4)=-f(2+2)=f(2)=f(2+0)=-f(0).
又f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.
∴f(6)＝0.故选B.
答案：B
拓展提升
问题：基本初等函数的奇偶性.
探究：利用判断函数的奇偶性的方法：定义法和图象法，可得
正比例函数y=kx(k≠0)是奇函数；
反比例函数y=(k≠0)是奇函数；
一次函数y=kx+b(k≠0)，当b=0时是奇函数，当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数；
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，当b=0时是偶函数，当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数.
课堂小结
本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称.
作业
课本P39习题1.3A组6，B组3.
设计感想
单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，而本节设计的题目不多，因此，在实际教学中，教师可以利用课余时间补充，让学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质.
在教学设计中，注意培养学生的综合应用能力，以便满足高考要求.
习题详解
(课本P32页练习)
1.从生产效率与生产线上工人数量的关系看，在生产劳动力较少的情况下，随人数的增加效率随着增大，但是到了一定数量后，人数再增多效率反而降低了.这说明劳动力可能过剩，出现了怠工等现象.
2.图象如图1-3-2-2所示，
图1-3-2-2
函数的单调增区间为［8,12)，［13,18)；
函数的单调减区间为［12,13)，［18,20］.
3.函数的单调区间是［-1,0),［0,2),［2,4),［4,5］.
在区间［-1,0),［2,4)上是减函数；在区间［0,2),［4,5］上是增函数.
4.证明：设x1、x2∈R，且x1
∵x1
∴函数f(x)=-2x+1在R上是减函数.
5.如图1-3-2-3所示，
图1-3-2-3
从图象上可以发现f（－2）是函数的一个最小值.
(课本P36练习)
1.（1）对于函数f（x）=2x4+3x2，其定义域为（－∞,+∞）.
因为对定义域内的每一个x，都有f（－x）=2（－x）4+3（－x）2=2x4+3x2=f（x）,
所以函数f（x）=2x4+3x2为偶函数.
（2）对于函数f（x）=x3－2x，其定义域为（－∞，+∞）.
因为对定义域内的每一个x，都有
f（－x）=（－x）3－2（－x）=－x3+2x=－（x3－2x）=－f（x）,
所以函数f（x）=x3－2x为奇函数.
（3）对于函数f(x)=，其定义域为（－∞，0）∪（0，+∞）.
因为对定义域内的每一个x，都有
f（－x）===－f（x）,
所以函数f(x)=为奇函数.
（4）对于函数f(x)=x2+1，其定义域为（－∞，+∞）.
因为对定义域内的每一个x，都有
f（－x）=(-x)2+1=x2+1=f（x）,
所以函数f(x)=x2+1为偶函数.
2.f(x)的图象如图1-3-2-4所示，g(x)的图象如图1-3-2-5所示.
图1-3-2-4 图1-3-2-5
(课本P39习题1.3)
A组
1.（1）函数的单调区间是(-∞,］,(,+∞).函数y=f(x)在区间(-∞,］上是减函数，在区间(,+∞)上是增函数.
（2）函数的单调区间是(-∞,0］,(0,+∞).函数y=f(x)在区间(0,+∞)上是减函数，在区间(-∞,0］上是增函数.
图略.
2.（1）设0
∵0
∴函数f(x)在(-∞,0)上是减函数.
（2）设0
∵0
∴f(x1)
3.设x1、x2是（－∞，+∞）上任意两个实数，且x1＜x2.
则y1－y2=（mx1+b）－（mx2+b）
=m（x1－x2）.
∵x1＜x2，∴x1－x2＜0.
当m＜0时，∴y1－y2＞0，即y1＞y2.
∴此时一次函数y=mx+b（m＜0）在（－∞，+∞）上是减函数.
同理可证一次函数y=mx+b（m＞0）在（－∞,+∞）上是增函数.
综上所得，当m＜0时，一次函数y=mx+b是减函数；
当m＞0时，一次函数y=mx+b是增函数.
4.心率关于时间的一个可能的图象，如图1-3-2-6所示，
图1-3-2-6
5.y=+162x-2100=(x2-8100x)-2100=(x-4050)2+307 050.
由二次函数的知识,可得当月租金为4 050元时，租赁公司的月收入最大，最大收益为307 050元.
6.图略，函数f(x)的解析式为
B组
1.（1）函数f(x)在(-∞,1)上为减函数，在［1,+∞)上为增函数；函数g(x)在［2,4］上为增函数.
（2）函数f(x)的最小值为－1，函数g(x)的最小值为0.
2.设矩形熊猫居室的宽为x m，面积为y m2，则长为m，那么y=x
=(30x-3x2)=(x-5)2+.
所以当x=5时，y有最大值,
即宽x为5 m时才能使所建造的每间熊猫居室面积最大，最大面积是m2.
3.函数f(x)在(-∞,0)上是增函数.
证明：设x1
∵函数f(x)在(0,+∞)上是减函数，∴f(-x1)
(课本P44复习参考题)
A组
1.（1）A={－3，3}；（2）B={1，2}；（3）C={1，2}.
2.（1）线段AB的垂直平分线；
（2）以定点O为原心，以3 cm为半径的圆.
3.属于集合的点是△ABC的外接圆圆心.
4.A={－1,1}，
（1）若a=0，则B=，满足BA；
（2）若a=－1，则B={－1}，满足BA；
（3）若a=1，则B={1}，满足BA.
综上所述，实数a的值为0,-1,1.
5.A∩B={（x,y）｜}={（x,y）|}={（0,0）};
A∩C={（x,y）|}=；
B∩C={（x,y）｜}={（x,y）｜}={（,）};
（A∩B）∪（B∩C）={(0,0),(,)}.
6.(1)要使函数有意义,必须|x|-2≥0,即x≤-2或x≥2,所以函数的定义域为{x|x≤-2或x≥2};
（2）要使函数有意义，必须即得x≥2.
所以函数的定义域为{x｜x≥2}；
（3）要使函数有意义，必须即x≥4，且x≠5.
所以函数的定义域为{x｜x≥4，且x≠5}.
7.（1）f（a）+1==;
（2）f（a+1）==.
8.（1）∵f（－x）==，∴f（－x）=f（x）.
（2）∵f（）=====,∴f（）=－f（x）.
9.二次函数f(x)的对称轴是直线x=，则有≤5或≥20.解得k≤40或k≥160，即实数k的取值范围是(-∞,40］∪［160,+∞).
10.（1）函数y=x-2是偶函数；
（2）它的图象关于y轴对称；
（3）函数在（0，+∞）上是减函数；
（4）函数在（－∞，0）上是增函数.
B组
1.同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人.
提示：由题意知有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，所以15+8+14=37，知共有37人次参加比赛.
由已知共有28名同学参赛，且没有人同时参加三项，而37－28=9，
知共有9名同学参加两项比赛.
已知同时参加游泳和田径的有3人，同时参加游泳和球类的有3人，因此同时参加田径和球类的有3人；又已知有15人参加游泳比赛，因此只参加游泳一项的有9人.
2.实数a的取值范围为{a｜a≥0}.
3.∵（A∪B）=（A）∩（B）={1，3}，A∩（B）={2，4}，
∴B={1,2,3,4}.∴B={5,6,7,8,9}.
4.f（1）=1×（1+4）=5;
f（－3）=－3×（－3－4）=21;
f（a+1）=
5.证明：（1）f=a·+b
==（ax1+b）+（ax2+b）=［f（x1）+f（x2）］，
∴f（）=［f（x1）+f（x2）］.
（2）g（）=（）2+a·+b
=（+ax1+b）+（+ax2+b）－（x1－x2）2
=［g（x1）+g（x2）］－（x1－x2）2,
∵－（x1－x2）2≤0,
∴g（）≤［g（x1）+g（x2）］.
6.（1）奇函数f（x）在［－b,－a］上是减函数；
（2）偶函数g（x）在［－b,－a］上是减函数.
7.若全月纳税所得额为500元，则应交纳税款为500×5%＝25（元）.此时月工资为800＋500＝1 300（元）；若全月纳税所得额为2000元，则应交纳税款为500×5%＋1500×10%＝175（元）.此时月工资为800＋500＋1500＝2800（元）.由于此人交纳税款为26.78元，则此人的工资在区间（1300，2800）内，所以他当月的工资、薪金所得是800＋500＋≈1317.8（元）.
备课资料
奇、偶函数的性质
(1)奇偶函数的定义域关于原点对称；奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.
(2)奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立.
(3)f(-x)=f(x)f(x)是偶函数，f(-x)=-f(x)f(x)是奇函数.
(4)f(-x)=f(x)f(x)-f(-x)=0,f(-x)=-f(x)f(x)+f(-x)=0.
(5)两个奇函数的和(差)仍是奇函数，两个偶函数的和(差)仍是偶函数.
奇偶性相同的两个函数的积(商、分母不为零)为偶函数，奇偶性相反的两个函数的积(商、分母不为零)为奇函数；如果函数y=f(x)和y=g(x)的奇偶性相同，那么复合函数y=f［g(x)］是偶函数，如果函数y=f(x)和y=g(x)的奇偶性相反，那么复合函数y=f［g(x)］是奇函数，简称为“同偶异奇”.
(6)如果函数y=f(x)是奇函数，那么f(x)在区间(a,b)和(-b,-a)上具有相同的单调性；如果函数y=f(x)是偶函数，那么f(x)在区间(a,b)和(-b,-a)上具有相反的单调性.
(7)定义域关于原点对称的任意函数f(x)可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和，即
f(x)=.
(8)若f(x)是(-a,a)(a＞0)上的奇函数，则f(0)＝0；
若函数f(x)是偶函数，则f(x)=f(-x)=f(|x|)=f(-|x|).
若函数y=f(x)既是奇函数又是偶函数，则有f(x)=0.
(设计者：韩双影)
备课资料
知识点总结——函数概念及性质
1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作：y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.
如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：分式的分母不等于零； 偶次方根的被开方数不小于零；对数式的真数必须大于零；如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合；实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.求出不等式组的解集即为函数的定义域.
2.构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域.
构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）；两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关.相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致(两点必须同时具备).
函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域；应熟悉掌握一次函数、二次函数，它是求解复杂函数值域的基础；求函数值域的常用方法有：直接法、换元法、配方法、判别式法、单调性法等.
3.函数图象知识归纳
定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x)(x ∈A)的图象.C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上,即记为C={ P(x,y) | y= f(x), x∈A}.图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行于y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成.
画法：①描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连结起来.②图象变换法：常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换.
作用：直观地看出函数的性质；利用数形结合的方法分析解题的思路；提高解题的速度；发现解题中的错误.
4.区间的概念
区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；无穷区间；区间的数轴表示.
5.映射
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射，记作“f：A→B”.给定一个集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B,且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象.
说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A、B及对应法则f是确定的；②对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；③对于映射f：A→B来说，则应满足：(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象.
6.函数的表示法
函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；解析法：必须注明函数的定义域；图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征.解析法便于算出函数值；列表法便于查出函数值；图象法便于量出函数值.
分段函数：在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数，在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式.分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况.分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.
复合函数：如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则y=f\[g(x)\]=F(x)(x∈A)称为f、g的复合函数.
7.函数的单调性
增函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1
函数单调区间与单调性的判定方法：定义法，任取x1、x2∈D，且x1
u=g(x) 增 增 减 减
y=f(u) 增 减 增 减
y=f[g(x)] 增 减 减 增
注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间合在一起写成其并集.
8.函数的奇偶性
偶函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数.
奇函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.
注意：函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数.由函数的奇偶性定义,可知函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则-x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）.
具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称.
总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；确定f(-x)与f(x)的关系；作出相应结论：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(-x)=-f(x)或f(-x)＋f(x)=0，则f(x)是奇函数.注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称再根据定义判定：有时判定f(-x)=±f(x)比较困难，可考虑根据是否有f(-x)±f(x)=0或=±1来判定：利用定理，或借助函数的图象判定.
9.函数的解析表达式
函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.
求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；已知复合函数f\[g(x)\]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x).
10.函数最大（小）值方法
利用二次函数的性质（配方法）；利用图象；利用函数单调性；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b).
(设计者：张新军)
本章复习
整体设计
教学分析
本节课是对第一章的基本知识和方法的总结与归纳，从整体上来把握本章，使学生的基本知识系统化和网络化，基本方法条理化.本章三部分内容是独立的，但是又相互联系，集合是基础，用集合定义函数，将函数拓展为映射，层层深入，环环相扣，组成了一个完整的整体.
三维目标
通过总结和归纳集合与函数的知识，能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，培养分类讨论的思想和抽象思维能力.
重点难点
教学重点：①集合与函数的基本知识.
②含有字母问题的研究.
③抽象函数的理解.
教学难点：①分类讨论的标准划分.
②抽象函数的理解.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.建设高楼大厦的过程中，每建一层，都有质量检查人员验收，合格后，再继续建上一层，否则返工重建.我们学习知识也是这样，每学完一个章节都要总结复习，引出课题.
思路2.为了系统掌握第一章的知识，教师直接点出课题.
推进新课
新知探究
提出问题
①第一节是集合，分为几部分？
②第二节是函数，分为几部分？
③第三节是函数的基本性质，分为几部分？
④画出本章的知识结构图.
活动：让学生自己回顾所学知识或结合课本，重新对知识整合，对没有思路的学生，教师可以提示按课本的章节标题来分类.对于画知识结构图，学生可能比较陌生，教师可以引导学生先画一个本班班委的结构图或学校各个处室的关系结构图，待学生了解了简单的画法后，再画本章的知识结构图.
讨论结果:①分为：集合的含义、集合间的基本关系和集合的运算三部分.
②分为：定义、定义域、解析式、值域四部分；其中又把函数的概念拓展为映射.
③分为：单调性、最值和奇偶性三部分.
④第一章的知识结构图如图1-1所示，
图1-1
应用示例
思路1
例1若P={x|y=x2},Q={(x,y)|y=x2,x∈R}，则必有( )
A.P∩Q= B.PQ C.P=Q D.PQ
分析：从选项来看，本题是判断集合P,Q的关系，其关键是对集合P,Q的意义的理解.集合P是函数y=x2的定义域，则集合P是数集，集合Q是函数y=x2的图象上的点组成的集合，则集合Q是点集，∴P∩Q=.
答案：A
点评：判断用描述法表示的集合间关系时，一定要搞清两集合的含义，明确集合中的元素.形如集合{x|x∈P(x),x∈R}是数集，形如集合{(x,y)|x、y∈P(x,y),x、y∈R}是点集，数集和点集的交集是空集.
变式训练
1.2007山东威海一模，文1设集合M=｛x| x>1｝，P={x| x2-6x+9=0}，则下列关系中正确的是( )
A.M=P B.PM C.MP D.M∩P=R
分析：P={3}，∵3>1,∴3∈M.∴PM.
答案：B
2.2007河南周口高三期末调研，理6定义集合A与B的运算A*B={x|x∈A或x∈B,且xA∩B},则(A*B)*A等于( )
A.A∩B B.A∪B C.A D.B
分析：设A={1,2,3,4},B={1,2,5,6,7},则A*B={3,4,5,6,7}，于是(A*B)*A={1,2,5,6,7}=B.
答案：D
点评：解决新定义集合运算问题的关键是抓住新运算定义的本质，本题A*B的本质就是集合A与B的并集中除去它们公共元素组成的集合.
例2求函数y=x2+1的最小值.
分析：思路一:利用实数运算的性质x2≥0，结合不等式的性质得函数的最小值；
思路二:直接利用二次函数的最值公式，写出此函数的最小值.
解：方法一（观察法）∵函数y=x2+1的定义域是R,
∴观察到x2≥0.∴x2+1≥1.∴函数y=x2+1的最小值是1.
方法二:（公式法）函数y=x2+1是二次函数，其定义域是x∈R，则函数y=x2+1的最小值是f(0)=1.
点评：求函数最值的方法：
观察法：当函数的解析式中仅含有x2或|x|或时，通常利用常见的结论x2≥0,|x|≥0,≥0等，直接观察写出函数的最值；
公式法：求基本初等函数（正、反比例函数，一次、二次函数）的最值时，应用基本初等函数的最值结论（看成最值公式），直接写出其最值.
例3求函数y=的最大值和最小值.
分析：把变量y看成常数，则函数的解析式可以整理成必有实数根的关于x的方程，利用判别式的符号得关于y的不等式，解不等式得y的取值范围，从而得函数的最值.
解：（判别式法）由y=得yx2-3x+4y=0，
∵x∈R，∴ 关于x的方程yx2-3x+4y=0必有实数根.
当y=0时，则x=0.故y=0是一个函数值；
当y≠0时，则关于x的方程yx2-3x+4y=0是一元二次方程,
则有Δ=(-3)2-4×4y2≥0.
∴0
∴ 函数y=的最小值是，最大值是.
点评：形如函数y=(d≠0)，当函数的定义域是R（此时e2-4df<0）时，常用判别式法求最值，其步骤是①把y看成常数，将函数解析式整理为关于x的方程的形式mx2+nx+k=0；②分类讨论m＝0是否符合题意；③当m≠0时，关于x的方程mx2+nx+k=0中有x∈R，则此一元二次方程必有实数根，得n2-4mk≥0即关于y的不等式，解不等式组此不等式组的解集与②中y的值取并集得函数的值域，从而得函数的最大值和最小值.
例42007河南开封一模，文10函数f(x)=x2-2ax+a在区间（-∞，1）上有最小值，则函数g(x)=在区间（1，+∞）上一定( )
A.有最小值 B.有最大值 C.是减函数 D.是增函数
分析：函数f(x)=x2-2ax+a的对称轴是直线x=a，由于函数f(x)在开区间（-∞，1）上有最小值，所以直线x=a位于区间（-∞，1）内，即a<1.g(x)＝=，下面用定义法判断函数g(x)在区间（1，+∞）上的单调性.
设1
∵1
又∵a<1，∴x1x2>a.∴x1x2-a>0.∴g(x1)-g(x2)<0.∴g(x1)
答案：D
点评：定义法判断函数f(x)的单调性的步骤是①在所给区间上任取两个变量x1、x2；②比较f(x1)与f(x2)的大小，通常利用作差比较它们的大小，先作差，后将差变形，变形的手段是通分、分解因式，变形的结果常是完全平方加上一个常数或因式的积（商）等；③由②中差的符号确定函数的单调性.注意：函数f(x)在开区间D上是单调函数，则f(x)在开区间D上没有最大值，也没有最小值.
变式训练
求函数f(x)=的单调区间.
分析：函数f(x)是复合函数，利用口诀“同增异减”来求单调区间.
解：函数的定义域是(-∞,-1］∪［1,+∞).设y=，u=x2-1，
当x≥0时，u=x2-1是增函数，y=也是增函数，
又∵函数的定义域是(-∞,-1］∪［1,+∞)，
∴函数f(x)=在［1,+∞)上是增函数.
当x≤0时，u=x2-1是减函数，y=也是增函数，
又∵函数的定义域是(-∞,-1］∪［1,+∞)，
∴函数f(x)=在(-∞,-1］上是减函数,
即函数f(x)的单调递增区间是［1,+∞)，单调递减区间是(-∞,-1］.
点评：复合函数是指由若干个函数复合而成的函数，它的单调性与构成它的函数的单调性有密切联系，其单调性的规律为：“同增异减”，即复合