2019-2020学年江西省上饶市高二下学期期末（文科）数学试卷 （word解析版）
文档属性
| 名称 | 2019-2020学年江西省上饶市高二下学期期末（文科）数学试卷 （word解析版） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 883.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-08-30 09:20:06 | ||
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文档简介
2019-2020学年江西省上饶市高二第二学期期末数学试卷（文科）
一、选择题（共12小题）.
1．已知点A的极坐标为，若以极点为原点，以极轴为x轴正半轴且单位长度相同建立直角坐标系，则点A的直角坐标为（ ）
A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（0，﹣1）
2．命题p：“?x≥0，都有ex≥x+1”，则命题p的否定为（ ）
A．?x≥0，都有ex＜x+1 B．?x＜0，都有ex≥x+1
C．?x0≥0，使 D．?x0＜0，使
3．已知a，b∈R，则“a＜b”是“log2a＜log2b”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知命题p：复数z＝2﹣i的虚部是﹣i．命题q：复数z＝2﹣i的模是．下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧q B．p∨q C．p∨￢q D．￢p∧￢q
5．已知椭圆C的焦点为F1（﹣c，0），F2（c，0），P是椭圆C上一点．若椭圆C的离心率为，且PF1⊥F1F2，△PF1F2的面积为，则椭圆C的方程为（ ）
A．+y2＝1 B．+＝1
C．+＝1 D．+y2＝1
6．已知l为抛物线x2＝4y的准线，抛物线上的点M到l的距离为d，点P的坐标为（4，1），则|MP|+d的最小值是（ ）
A． B．4 C．2 D．
7．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点M（x0，4）到焦点F的距离|MF|＝x0，则p＝（ ）
A．2 B．4 C．1 D．5
8．已知椭圆左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若椭圆上一点P满足PF2⊥x轴，且PF1与圆相切，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．若函数f（x）＝alnx﹣ex有极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣e，+∞） B．（1，e） C．（1，+∞） D．（0，+∞）
10．双曲线C1：与C2：（a＞b＞0）的离心率之积为4，则C1的渐近线方程是（ ）
A．y＝±x B．y＝±2x C． D．
11．若函数在区间（0，e]上单调递增，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．（﹣∞，1] C．[1，+∞） D．
12．f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）+x?f'（x）＜0，且f（﹣3）＝0，则不等式f（x）＞0的解集为（ ）
A．（﹣3，0）∪（3，+∞） B．（﹣3，0）∪（0，3）
C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡上．
13．曲线C：x2+y2＝1经坐标变换后所得曲线C'的方程为 ．
14．函数y＝x+（x＞0）的最小值是 ；此时x＝ ．
15．若关于x的不等式|ax﹣2|＜3的解集为{x|﹣5＜x＜}，则a＝ ．
16．已知函数y＝f（x）的导函数是f'（x），且f（x）＝x2+3f'（1）lnx，则曲线y＝f（x）在x＝1处的切线的斜率是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知p：实数x满足不等式（x﹣a）（x﹣3a）＜0（a＞0），q：实数x满足不等式|x﹣5|＜3．
（1）当a＝1时，p∧q为真命题，求实数x的取值范围；
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18．已知函数f（x）＝|x+2|+|x﹣3|．
（1）解不等式f（x）≤7；
（2）若函数f（x）最小值为M，且2a+3b＝M（a＞0，b＞0），求的最小值．
19．在极坐标系中，圆C：．在以极点为原点，以极轴为x轴正半轴且单位长度一样的直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数）
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）设圆C与直线l交于点A，B．且点P，求|PA|?|PB|．
20．已知函数f（x）＝lnx﹣ax（a∈R）．
（1）当a＝2时，求函数f（x）的极值；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）若对?x∈（0，+∞），f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．
21．设O为坐标原点，椭圆的焦距为，离心率为，直线l：y＝kx+2与C交于A，B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点P（0，1），判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
22．已知函数f（x）＝xlnx+（3﹣k）x+k﹣2（k∈Z）．
（1）当k＝1时，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若当x＞1时，总有f（x）＞0，求k的最大值．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．已知点A的极坐标为，若以极点为原点，以极轴为x轴正半轴且单位长度相同建立直角坐标系，则点A的直角坐标为（ ）
A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（0，﹣1）
解：A的极坐标为，根据转换为直角坐标为（0，1），
故选：C．
2．命题p：“?x≥0，都有ex≥x+1”，则命题p的否定为（ ）
A．?x≥0，都有ex＜x+1 B．?x＜0，都有ex≥x+1
C．?x0≥0，使 D．?x0＜0，使
解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，
即?x0≥0，使，
故选：C．
3．已知a，b∈R，则“a＜b”是“log2a＜log2b”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解：∵log2a＜log2b，
∴0＜a＜b，
∴“a＜b”是“log2a＜log2b”的必要不充分条件，
故选：B．
4．已知命题p：复数z＝2﹣i的虚部是﹣i．命题q：复数z＝2﹣i的模是．下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧q B．p∨q C．p∨￢q D．￢p∧￢q
解：命题p：复数z＝2﹣i的虚部是﹣i，是假命题，
命题q：复数z＝2﹣i的模是，是真命题，
∴p∧q是假命题，p∨q是真命题，p∨￢q是假命题，￢p∧￢q是假命题，
故选：B．
5．已知椭圆C的焦点为F1（﹣c，0），F2（c，0），P是椭圆C上一点．若椭圆C的离心率为，且PF1⊥F1F2，△PF1F2的面积为，则椭圆C的方程为（ ）
A．+y2＝1 B．+＝1
C．+＝1 D．+y2＝1
解：椭圆C的焦点为F1（﹣c，0），F2（c，0），P是椭圆C上一点．若椭圆C的离心率为，且PF1⊥F1F2，△PF1F2的面积为，
可得：，解得a＝，b＝1，
所以：椭圆方程为：+y2＝1．
故选：A．
6．已知l为抛物线x2＝4y的准线，抛物线上的点M到l的距离为d，点P的坐标为（4，1），则|MP|+d的最小值是（ ）
A． B．4 C．2 D．
解：由抛物线的方程可得P在抛物线的外部，由抛物线的性质可得：抛物线的点M到准线的距离等于到焦点的距离，
所以|MP|+d≥PF＝4，当且仅当P，M，F三点共线时取等号，
故选：B．
7．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点M（x0，4）到焦点F的距离|MF|＝x0，则p＝（ ）
A．2 B．4 C．1 D．5
解：由抛物线的定义可知，|MF|＝x0+，
∵|MF|＝x0，
∴x0+＝x0，即x0＝2p①，
∵点M（x0，4）在抛物线y2＝2px上，
∴42＝2p?x0②，
由①②解得，p＝2或﹣2（舍负），
故选：A．
8．已知椭圆左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若椭圆上一点P满足PF2⊥x轴，且PF1与圆相切，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
解：
设PF1与圆相切于点Q，则OQ＝，，△OF1Q∽△PF1F2，
∴即＝，
∴，，
由椭圆的定义可知，PF1+PF2＝2a，∴，
∴椭圆的离心率＝．
故选：A．
9．若函数f（x）＝alnx﹣ex有极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣e，+∞） B．（1，e） C．（1，+∞） D．（0，+∞）
解：∵函数f（x）＝alnx﹣ex，x∈（0，+∞），
∴f'（x）＝，
①当a≤0时，f'（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，无极值点，
②当a＞0时，根据y＝与y＝ex的图象，如图所示：
，
设两个函数在第一象限的交点的横坐标为x0，
当x∈（0，x0）时，，f'（x）＞0，函数f（x）在区间（0，x0）上单调递增；当x∈（x0，+∞）时，，f'（x）＜0，∴函数f（x）在（x0，+∞）上单调递减，
所以当a＞0时，函数f（x）有一个极大值点，
故选：D．
10．双曲线C1：与C2：（a＞b＞0）的离心率之积为4，则C1的渐近线方程是（ ）
A．y＝±x B．y＝±2x C． D．
解：由已知，即c2＝4ab，∴a2+b2＝4ab，∴．
变形得，∵a＞b＞0，故，
∴双曲线C1的渐近线方程为．
故选：D．
11．若函数在区间（0，e]上单调递增，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．（﹣∞，1] C．[1，+∞） D．
解：f′（x）＝kx﹣（lnx+1），
若f（x）在（0，e]递增，则f′（x）≥0在（0，e]恒成立，
即kx﹣（lnx+1）≥0在（0，e]恒成立，
∴k≥在x∈（0，e]恒成立，
令h（x）＝，x∈（0，e]，
只需k≥h（x）max即可，
则h′（x）＝﹣，
令h′（x）＞0，解得：0＜x＜1，
令h′（x）＜0，解得：x＞1，
故h（x）在（0，1）递增，在（1，e]递减，
故h（x）max＝h（1）＝1，
∴k≥1，
故选：C．
12．f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）+x?f'（x）＜0，且f（﹣3）＝0，则不等式f（x）＞0的解集为（ ）
A．（﹣3，0）∪（3，+∞） B．（﹣3，0）∪（0，3）
C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）
解：令g（x）＝xf（x），
g′（x）＝f（x）+xf'（x），
当x＜0时，f（x）+xf'（x）＜0，
∴x∈（﹣∞，0）上，函数g（x）单调递减，f（﹣3）＝0，
∴g（﹣3）＝0．
∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴函数g（x）是定义在R上的偶函数，
∴函数g（x）在（0，+∞）递增，
由f（x）＞0，得x＞0时，g（x）＞0，
而g（x）＝g（﹣x），故g（﹣3）＝g（3）＝0，
由g（x）＞0＝g（3），即g（x）＞g（3），
∴此时x＞3；
由f（x）＞0，得x＜0时，g（x）＜0，
而g（x）＝g（﹣x），由g（x）＜0＝g（﹣3），即g（x）＜g（﹣3），
∴﹣3＜x＜0，
∴不等式f（x）＞0的解集是（﹣3，0）∪（3，+∞）．
故选：A．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡上．
13．曲线C：x2+y2＝1经坐标变换后所得曲线C'的方程为 +＝1 ．
解：曲线C：x2+y2＝1经坐标变换后，代入x2+y2＝1，整理得．
故答案为：．
14．函数y＝x+（x＞0）的最小值是 6 ；此时x＝ 3 ．
解：∵x＞0
∴（当且仅当即x＝3时取“＝”）
故答案为：6，3．
15．若关于x的不等式|ax﹣2|＜3的解集为{x|﹣5＜x＜}，则a＝ ﹣ ．
解：不等式|ax﹣2|＜3的解集为{x|﹣5＜x＜}，
∴﹣5和均为方程|ax﹣2|＝3的根，
∴，∴a＝﹣．
故答案为：﹣．
16．已知函数y＝f（x）的导函数是f'（x），且f（x）＝x2+3f'（1）lnx，则曲线y＝f（x）在x＝1处的切线的斜率是 ﹣1 ．
解：∵f（x）＝x2+3f'（1）lnx，
∴f′（x）＝2x+，取x＝1，可得f′（1）＝2+3f′（1），
解得：f′（1）＝﹣1．
故答案为：﹣1．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知p：实数x满足不等式（x﹣a）（x﹣3a）＜0（a＞0），q：实数x满足不等式|x﹣5|＜3．
（1）当a＝1时，p∧q为真命题，求实数x的取值范围；
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解：p：实数x满足不等式（x﹣a）（x﹣3a）＜0（a＞0），解得：a＜x＜3a．a＞0．
q：实数x满足不等式|x﹣5|＜3，解得2＜x＜8．
（1）当a＝1时，p：1＜x＜3．p∧q为真命题，∴，解得2＜x＜3．
∴实数x的取值范围是2＜x＜3．
（2）若p是q的充分不必要条件，则，等号不能同时成立，
解得：2≤a≤．
∴实数a的取值范围是2≤a≤．
18．已知函数f（x）＝|x+2|+|x﹣3|．
（1）解不等式f（x）≤7；
（2）若函数f（x）最小值为M，且2a+3b＝M（a＞0，b＞0），求的最小值．
解：（1）∵f（x）＝|x+2|+|x﹣3|，f（x）≤7，
∴当x＜﹣2时，﹣x﹣2﹣x+3≤7，∴﹣3≤x＜﹣2；
当﹣2≤x≤3时，x+2﹣x+3≤7恒成立；
当x＞3时，x+2+x﹣3≤7，∴3＜x≤4．
故不等式的解集为[﹣3，4]．
（2）∵f（x）＝|x+2|+|x﹣3|≥|（x+2）﹣（x﹣3）|＝5，
∴函数f（x）最小值为M＝5，
∴2a+3b＝5（a＞0，b＞0），
∴
＝，
当且仅当2a＝3b＝时取等号，
故的最小值为．
19．在极坐标系中，圆C：．在以极点为原点，以极轴为x轴正半轴且单位长度一样的直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数）
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）设圆C与直线l交于点A，B．且点P，求|PA|?|PB|．
解：（1）圆C的极坐标方程为ρ＝4cos（θ﹣），整理得ρ＝2cosθ+2sinθ，
ρ2＝2ρcosθ+2ρsinθ，根据整理得圆C的直角坐标方程为：x2+y2﹣2x﹣2y＝0，
转换为（x﹣1）2+（y﹣）2＝4．
（2）∵直线l的参数方程为（t为参数）过定点P（2，），
将代入圆C的直角坐标方程，
得t2﹣t﹣3＝0，
∴△＝1﹣4×（﹣3）＝13＞0，
t1+t2＝1＞0，t1?t2＝﹣3＜0，
∴|PA|．|PB|＝|t1?t2|＝3．
20．已知函数f（x）＝lnx﹣ax（a∈R）．
（1）当a＝2时，求函数f（x）的极值；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）若对?x∈（0，+∞），f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．
解：（1）f′（x）＝﹣2＝（x＞0）．令f（x）＝0得 x＝．
x （0，） （，+∞）
f′（x） 正 0 负
f（x） 单调增大 极大值 单调减少
所以f（x）在（0，）上单调递增，（，+∞）上单调递减，f（x）＝f（）＝﹣ln2﹣1，无极小值．
（2），
当a≤0时，f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）单调递增，
当a＞0时，
若x∈（0，），f'（x）＞0，f（x）在（0，）单调递增；
若x∈（，+∞），f'（x）＜0，f（x）在（，+∞）单调递减；
综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）单调递增；
当a＞0时，f（x）在（0，）单调递增，在（，+∞）单调递减．
（3）对?x∈（0，+∞），f（x）＜0恒成立，
?对?x∈（0，+∞），＜a恒成立，
?（）max＜a（x∈（0，+∞）），
令h（x）＝，h′（x）＝．
x∈（0，e）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减．
所以h（x）max＝h（e）＝，所以a＞．
21．设O为坐标原点，椭圆的焦距为，离心率为，直线l：y＝kx+2与C交于A，B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点P（0，1），判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
解：（1）因为，，∴a＝5，
由a2＝b2+c2，得，
所以椭圆C的方程为；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，消去y整理，得（1+5k2）x2+20kx﹣5＝0，
则，
所以y1+y2＝k（x1+x2）+4＝，
所以＝，
所以＝（x1，y1﹣1）?（x2，y2﹣1）＝x1x2+y1y2﹣（y1+y2）+1
＝++4﹣﹣4+1
＝（定值）．
故是为定值﹣4．
22．已知函数f（x）＝xlnx+（3﹣k）x+k﹣2（k∈Z）．
（1）当k＝1时，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若当x＞1时，总有f（x）＞0，求k的最大值．
解：（1）当k＝1时，f（x）＝xlnx+2x﹣1，f′（x）＝lnx+3，
则可知，f（1）＝1，f′（1）＝3，
故切线方程为y﹣1＝3（x﹣1）即3x﹣y﹣2＝0，
（2）由x＞1时，f（x）＞0恒成立可得xlnx+（3﹣k）x+k﹣2＞0在x＞1时恒成立，
即k＜在x＞1时恒成立，
令g（x）＝，x＞1，则，
令h（x）＝x﹣lnx﹣2，则h′（x）＝x﹣lnx﹣2，则h′（x）＝＞0在x＞1时恒成立，
故h（x）在（1，+∞）上单调递增，且h（3）＝1﹣ln3＜0，h（4）＝2﹣ln4＞0，
所以在（1，+∞）上存在唯一实数x0∈（3，4），满足h（x0）＝0即lnx0＝x0﹣2，
当x∈（1，x0）时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，
当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，
故g（x）min＝g（x0）＝＝＝2+x0∈（5，6），
由k＜在x＞1时恒成立可得，k≤5即整数k的最大值为5．
一、选择题（共12小题）.
1．已知点A的极坐标为，若以极点为原点，以极轴为x轴正半轴且单位长度相同建立直角坐标系，则点A的直角坐标为（ ）
A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（0，﹣1）
2．命题p：“?x≥0，都有ex≥x+1”，则命题p的否定为（ ）
A．?x≥0，都有ex＜x+1 B．?x＜0，都有ex≥x+1
C．?x0≥0，使 D．?x0＜0，使
3．已知a，b∈R，则“a＜b”是“log2a＜log2b”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知命题p：复数z＝2﹣i的虚部是﹣i．命题q：复数z＝2﹣i的模是．下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧q B．p∨q C．p∨￢q D．￢p∧￢q
5．已知椭圆C的焦点为F1（﹣c，0），F2（c，0），P是椭圆C上一点．若椭圆C的离心率为，且PF1⊥F1F2，△PF1F2的面积为，则椭圆C的方程为（ ）
A．+y2＝1 B．+＝1
C．+＝1 D．+y2＝1
6．已知l为抛物线x2＝4y的准线，抛物线上的点M到l的距离为d，点P的坐标为（4，1），则|MP|+d的最小值是（ ）
A． B．4 C．2 D．
7．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点M（x0，4）到焦点F的距离|MF|＝x0，则p＝（ ）
A．2 B．4 C．1 D．5
8．已知椭圆左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若椭圆上一点P满足PF2⊥x轴，且PF1与圆相切，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．若函数f（x）＝alnx﹣ex有极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣e，+∞） B．（1，e） C．（1，+∞） D．（0，+∞）
10．双曲线C1：与C2：（a＞b＞0）的离心率之积为4，则C1的渐近线方程是（ ）
A．y＝±x B．y＝±2x C． D．
11．若函数在区间（0，e]上单调递增，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．（﹣∞，1] C．[1，+∞） D．
12．f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）+x?f'（x）＜0，且f（﹣3）＝0，则不等式f（x）＞0的解集为（ ）
A．（﹣3，0）∪（3，+∞） B．（﹣3，0）∪（0，3）
C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡上．
13．曲线C：x2+y2＝1经坐标变换后所得曲线C'的方程为 ．
14．函数y＝x+（x＞0）的最小值是 ；此时x＝ ．
15．若关于x的不等式|ax﹣2|＜3的解集为{x|﹣5＜x＜}，则a＝ ．
16．已知函数y＝f（x）的导函数是f'（x），且f（x）＝x2+3f'（1）lnx，则曲线y＝f（x）在x＝1处的切线的斜率是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知p：实数x满足不等式（x﹣a）（x﹣3a）＜0（a＞0），q：实数x满足不等式|x﹣5|＜3．
（1）当a＝1时，p∧q为真命题，求实数x的取值范围；
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18．已知函数f（x）＝|x+2|+|x﹣3|．
（1）解不等式f（x）≤7；
（2）若函数f（x）最小值为M，且2a+3b＝M（a＞0，b＞0），求的最小值．
19．在极坐标系中，圆C：．在以极点为原点，以极轴为x轴正半轴且单位长度一样的直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数）
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）设圆C与直线l交于点A，B．且点P，求|PA|?|PB|．
20．已知函数f（x）＝lnx﹣ax（a∈R）．
（1）当a＝2时，求函数f（x）的极值；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）若对?x∈（0，+∞），f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．
21．设O为坐标原点，椭圆的焦距为，离心率为，直线l：y＝kx+2与C交于A，B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点P（0，1），判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
22．已知函数f（x）＝xlnx+（3﹣k）x+k﹣2（k∈Z）．
（1）当k＝1时，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若当x＞1时，总有f（x）＞0，求k的最大值．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．已知点A的极坐标为，若以极点为原点，以极轴为x轴正半轴且单位长度相同建立直角坐标系，则点A的直角坐标为（ ）
A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（0，﹣1）
解：A的极坐标为，根据转换为直角坐标为（0，1），
故选：C．
2．命题p：“?x≥0，都有ex≥x+1”，则命题p的否定为（ ）
A．?x≥0，都有ex＜x+1 B．?x＜0，都有ex≥x+1
C．?x0≥0，使 D．?x0＜0，使
解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，
即?x0≥0，使，
故选：C．
3．已知a，b∈R，则“a＜b”是“log2a＜log2b”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解：∵log2a＜log2b，
∴0＜a＜b，
∴“a＜b”是“log2a＜log2b”的必要不充分条件，
故选：B．
4．已知命题p：复数z＝2﹣i的虚部是﹣i．命题q：复数z＝2﹣i的模是．下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧q B．p∨q C．p∨￢q D．￢p∧￢q
解：命题p：复数z＝2﹣i的虚部是﹣i，是假命题，
命题q：复数z＝2﹣i的模是，是真命题，
∴p∧q是假命题，p∨q是真命题，p∨￢q是假命题，￢p∧￢q是假命题，
故选：B．
5．已知椭圆C的焦点为F1（﹣c，0），F2（c，0），P是椭圆C上一点．若椭圆C的离心率为，且PF1⊥F1F2，△PF1F2的面积为，则椭圆C的方程为（ ）
A．+y2＝1 B．+＝1
C．+＝1 D．+y2＝1
解：椭圆C的焦点为F1（﹣c，0），F2（c，0），P是椭圆C上一点．若椭圆C的离心率为，且PF1⊥F1F2，△PF1F2的面积为，
可得：，解得a＝，b＝1，
所以：椭圆方程为：+y2＝1．
故选：A．
6．已知l为抛物线x2＝4y的准线，抛物线上的点M到l的距离为d，点P的坐标为（4，1），则|MP|+d的最小值是（ ）
A． B．4 C．2 D．
解：由抛物线的方程可得P在抛物线的外部，由抛物线的性质可得：抛物线的点M到准线的距离等于到焦点的距离，
所以|MP|+d≥PF＝4，当且仅当P，M，F三点共线时取等号，
故选：B．
7．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点M（x0，4）到焦点F的距离|MF|＝x0，则p＝（ ）
A．2 B．4 C．1 D．5
解：由抛物线的定义可知，|MF|＝x0+，
∵|MF|＝x0，
∴x0+＝x0，即x0＝2p①，
∵点M（x0，4）在抛物线y2＝2px上，
∴42＝2p?x0②，
由①②解得，p＝2或﹣2（舍负），
故选：A．
8．已知椭圆左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若椭圆上一点P满足PF2⊥x轴，且PF1与圆相切，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
解：
设PF1与圆相切于点Q，则OQ＝，，△OF1Q∽△PF1F2，
∴即＝，
∴，，
由椭圆的定义可知，PF1+PF2＝2a，∴，
∴椭圆的离心率＝．
故选：A．
9．若函数f（x）＝alnx﹣ex有极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣e，+∞） B．（1，e） C．（1，+∞） D．（0，+∞）
解：∵函数f（x）＝alnx﹣ex，x∈（0，+∞），
∴f'（x）＝，
①当a≤0时，f'（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，无极值点，
②当a＞0时，根据y＝与y＝ex的图象，如图所示：
，
设两个函数在第一象限的交点的横坐标为x0，
当x∈（0，x0）时，，f'（x）＞0，函数f（x）在区间（0，x0）上单调递增；当x∈（x0，+∞）时，，f'（x）＜0，∴函数f（x）在（x0，+∞）上单调递减，
所以当a＞0时，函数f（x）有一个极大值点，
故选：D．
10．双曲线C1：与C2：（a＞b＞0）的离心率之积为4，则C1的渐近线方程是（ ）
A．y＝±x B．y＝±2x C． D．
解：由已知，即c2＝4ab，∴a2+b2＝4ab，∴．
变形得，∵a＞b＞0，故，
∴双曲线C1的渐近线方程为．
故选：D．
11．若函数在区间（0，e]上单调递增，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．（﹣∞，1] C．[1，+∞） D．
解：f′（x）＝kx﹣（lnx+1），
若f（x）在（0，e]递增，则f′（x）≥0在（0，e]恒成立，
即kx﹣（lnx+1）≥0在（0，e]恒成立，
∴k≥在x∈（0，e]恒成立，
令h（x）＝，x∈（0，e]，
只需k≥h（x）max即可，
则h′（x）＝﹣，
令h′（x）＞0，解得：0＜x＜1，
令h′（x）＜0，解得：x＞1，
故h（x）在（0，1）递增，在（1，e]递减，
故h（x）max＝h（1）＝1，
∴k≥1，
故选：C．
12．f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）+x?f'（x）＜0，且f（﹣3）＝0，则不等式f（x）＞0的解集为（ ）
A．（﹣3，0）∪（3，+∞） B．（﹣3，0）∪（0，3）
C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）
解：令g（x）＝xf（x），
g′（x）＝f（x）+xf'（x），
当x＜0时，f（x）+xf'（x）＜0，
∴x∈（﹣∞，0）上，函数g（x）单调递减，f（﹣3）＝0，
∴g（﹣3）＝0．
∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴函数g（x）是定义在R上的偶函数，
∴函数g（x）在（0，+∞）递增，
由f（x）＞0，得x＞0时，g（x）＞0，
而g（x）＝g（﹣x），故g（﹣3）＝g（3）＝0，
由g（x）＞0＝g（3），即g（x）＞g（3），
∴此时x＞3；
由f（x）＞0，得x＜0时，g（x）＜0，
而g（x）＝g（﹣x），由g（x）＜0＝g（﹣3），即g（x）＜g（﹣3），
∴﹣3＜x＜0，
∴不等式f（x）＞0的解集是（﹣3，0）∪（3，+∞）．
故选：A．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡上．
13．曲线C：x2+y2＝1经坐标变换后所得曲线C'的方程为 +＝1 ．
解：曲线C：x2+y2＝1经坐标变换后，代入x2+y2＝1，整理得．
故答案为：．
14．函数y＝x+（x＞0）的最小值是 6 ；此时x＝ 3 ．
解：∵x＞0
∴（当且仅当即x＝3时取“＝”）
故答案为：6，3．
15．若关于x的不等式|ax﹣2|＜3的解集为{x|﹣5＜x＜}，则a＝ ﹣ ．
解：不等式|ax﹣2|＜3的解集为{x|﹣5＜x＜}，
∴﹣5和均为方程|ax﹣2|＝3的根，
∴，∴a＝﹣．
故答案为：﹣．
16．已知函数y＝f（x）的导函数是f'（x），且f（x）＝x2+3f'（1）lnx，则曲线y＝f（x）在x＝1处的切线的斜率是 ﹣1 ．
解：∵f（x）＝x2+3f'（1）lnx，
∴f′（x）＝2x+，取x＝1，可得f′（1）＝2+3f′（1），
解得：f′（1）＝﹣1．
故答案为：﹣1．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知p：实数x满足不等式（x﹣a）（x﹣3a）＜0（a＞0），q：实数x满足不等式|x﹣5|＜3．
（1）当a＝1时，p∧q为真命题，求实数x的取值范围；
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解：p：实数x满足不等式（x﹣a）（x﹣3a）＜0（a＞0），解得：a＜x＜3a．a＞0．
q：实数x满足不等式|x﹣5|＜3，解得2＜x＜8．
（1）当a＝1时，p：1＜x＜3．p∧q为真命题，∴，解得2＜x＜3．
∴实数x的取值范围是2＜x＜3．
（2）若p是q的充分不必要条件，则，等号不能同时成立，
解得：2≤a≤．
∴实数a的取值范围是2≤a≤．
18．已知函数f（x）＝|x+2|+|x﹣3|．
（1）解不等式f（x）≤7；
（2）若函数f（x）最小值为M，且2a+3b＝M（a＞0，b＞0），求的最小值．
解：（1）∵f（x）＝|x+2|+|x﹣3|，f（x）≤7，
∴当x＜﹣2时，﹣x﹣2﹣x+3≤7，∴﹣3≤x＜﹣2；
当﹣2≤x≤3时，x+2﹣x+3≤7恒成立；
当x＞3时，x+2+x﹣3≤7，∴3＜x≤4．
故不等式的解集为[﹣3，4]．
（2）∵f（x）＝|x+2|+|x﹣3|≥|（x+2）﹣（x﹣3）|＝5，
∴函数f（x）最小值为M＝5，
∴2a+3b＝5（a＞0，b＞0），
∴
＝，
当且仅当2a＝3b＝时取等号，
故的最小值为．
19．在极坐标系中，圆C：．在以极点为原点，以极轴为x轴正半轴且单位长度一样的直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数）
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）设圆C与直线l交于点A，B．且点P，求|PA|?|PB|．
解：（1）圆C的极坐标方程为ρ＝4cos（θ﹣），整理得ρ＝2cosθ+2sinθ，
ρ2＝2ρcosθ+2ρsinθ，根据整理得圆C的直角坐标方程为：x2+y2﹣2x﹣2y＝0，
转换为（x﹣1）2+（y﹣）2＝4．
（2）∵直线l的参数方程为（t为参数）过定点P（2，），
将代入圆C的直角坐标方程，
得t2﹣t﹣3＝0，
∴△＝1﹣4×（﹣3）＝13＞0，
t1+t2＝1＞0，t1?t2＝﹣3＜0，
∴|PA|．|PB|＝|t1?t2|＝3．
20．已知函数f（x）＝lnx﹣ax（a∈R）．
（1）当a＝2时，求函数f（x）的极值；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）若对?x∈（0，+∞），f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．
解：（1）f′（x）＝﹣2＝（x＞0）．令f（x）＝0得 x＝．
x （0，） （，+∞）
f′（x） 正 0 负
f（x） 单调增大 极大值 单调减少
所以f（x）在（0，）上单调递增，（，+∞）上单调递减，f（x）＝f（）＝﹣ln2﹣1，无极小值．
（2），
当a≤0时，f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）单调递增，
当a＞0时，
若x∈（0，），f'（x）＞0，f（x）在（0，）单调递增；
若x∈（，+∞），f'（x）＜0，f（x）在（，+∞）单调递减；
综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）单调递增；
当a＞0时，f（x）在（0，）单调递增，在（，+∞）单调递减．
（3）对?x∈（0，+∞），f（x）＜0恒成立，
?对?x∈（0，+∞），＜a恒成立，
?（）max＜a（x∈（0，+∞）），
令h（x）＝，h′（x）＝．
x∈（0，e）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减．
所以h（x）max＝h（e）＝，所以a＞．
21．设O为坐标原点，椭圆的焦距为，离心率为，直线l：y＝kx+2与C交于A，B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点P（0，1），判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
解：（1）因为，，∴a＝5，
由a2＝b2+c2，得，
所以椭圆C的方程为；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，消去y整理，得（1+5k2）x2+20kx﹣5＝0，
则，
所以y1+y2＝k（x1+x2）+4＝，
所以＝，
所以＝（x1，y1﹣1）?（x2，y2﹣1）＝x1x2+y1y2﹣（y1+y2）+1
＝++4﹣﹣4+1
＝（定值）．
故是为定值﹣4．
22．已知函数f（x）＝xlnx+（3﹣k）x+k﹣2（k∈Z）．
（1）当k＝1时，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若当x＞1时，总有f（x）＞0，求k的最大值．
解：（1）当k＝1时，f（x）＝xlnx+2x﹣1，f′（x）＝lnx+3，
则可知，f（1）＝1，f′（1）＝3，
故切线方程为y﹣1＝3（x﹣1）即3x﹣y﹣2＝0，
（2）由x＞1时，f（x）＞0恒成立可得xlnx+（3﹣k）x+k﹣2＞0在x＞1时恒成立，
即k＜在x＞1时恒成立，
令g（x）＝，x＞1，则，
令h（x）＝x﹣lnx﹣2，则h′（x）＝x﹣lnx﹣2，则h′（x）＝＞0在x＞1时恒成立，
故h（x）在（1，+∞）上单调递增，且h（3）＝1﹣ln3＜0，h（4）＝2﹣ln4＞0，
所以在（1，+∞）上存在唯一实数x0∈（3，4），满足h（x0）＝0即lnx0＝x0﹣2，
当x∈（1，x0）时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，
当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，
故g（x）min＝g（x0）＝＝＝2+x0∈（5，6），
由k＜在x＞1时恒成立可得，k≤5即整数k的最大值为5．
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