2020年北师大版九年级数学上册第2章《一元二次方程》达标检测卷（Word版 含解析）

第2章《一元二次方程》达标检测卷
时间：100分钟
满分：100分
班级：_______
姓名：________得分:_______
一．选择题（每题3分，共30分）
1．在4（x﹣1）（x+2）＝5，x2+y2＝1，5x2﹣10＝0，2x2+8x＝0，＝x2+3中，是一元二次方程的个数为（　　）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
2．一元二次方程x2＝2x的解是（　　）
A．x＝0
B．x＝2
C．x1＝0，x2＝2
D．无实数解
3．等腰三角形三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k+2＝0的两根，则k的值为（　　）
A．30
B．34或30
C．36或30
D．34
4．已知2+是关于x的方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则方程的另一个根与c的值是（　　）
A．2﹣，1
B．﹣6﹣，15﹣8
C．﹣2，﹣1
D．2+，7+4
5．某商品的价格为100元，连续两次降x%后的价格是81元，则x为（　　）
A．9
B．10
C．19
D．8
6．若一元二次方程x2﹣（a+1）x+a＝0的两个实数根分别是b、2，则b﹣a＝（　　）
A．﹣1
B．1
C．3
D．﹣4
7．为执行“均衡教育”政策，某区2018年投入教育经费7000万元，预计到2020年投入2.317亿元，若每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，则下列方程正确的是（　　）
A．7000（1+x2）＝23170
B．7000+7000（1+x）+7000（1+x）2＝23170
C．7000（1+x）2＝23170
D．7000+7000（1+x）+7000（1+x）2＝2317
8．某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是91，设每个枝干长出x小分支，列方程为（　　）
A．（1+x）2＝91
B．1+x+x2＝91
C．（1+x）x＝91
D．1+x+2x＝91
9．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）的两实根分别是x1＝，x2＝（P≠3），若关于x的一元二次方程cy2+by+a＝0的两实根分别为y1和y2，则y1+y2的值（　　）
A．+p
B．3+p
C．3+
D．
10．我们知道，一元二次方程x2＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i2＝﹣1（即方程x2＝﹣1有一个根为i）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2×i＝（﹣1）×i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，从而对任意正整数n，我们可以得到i4n+1＝i4n×i＝（i4）n×i＝i，i4n+2＝﹣1，i4n+3＝﹣i，i4n＝1．那么i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013+…+i2019的值为（　　）
A．0
B．1
C．﹣1
D．i
二．填空题（每题4分，共20分）
11．方程（x﹣3）2＝4的解是　
　．
12．若实数a、b满足a2+ab+b2＝1，且t＝ab﹣a2﹣b2，则t的取值范围是　
　．
13．若关于x的方程（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0的所有根都是比1小的正实数，则实数m的取值范围是　
　．
14．白云航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有　
　个飞机场．
15．已知t是实数，若a，b是关于x的一元二次方程x2﹣2x+t﹣1＝0的两个非负实根，则（a2﹣1）（b2﹣1）的最小值是　
　．
三．解答题（每题10分，共50分）
16．用适当的方法解下列方程：
（1）（x﹣1）2＝36
（2）x2﹣x﹣12＝0
（3）3x2+5x﹣2＝0
（4）（x﹣3）2﹣4（3﹣x）＝0
17．请阅读以下材料，并解决问题：
配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数恒等变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
【例1】把二次三项式x2﹣2x﹣3进行配方．
解：x2﹣2x﹣3＝（x2﹣2x+1）﹣4＝（x﹣1）2﹣4．
【例2】已知4x2+4x+y2﹣6y+10＝0，求x和y的值．
解：由已知得：（4x2+4x+1）+（y2﹣6y+9）＝0，
即（2x+1）2+（y﹣3）2＝0，
所以2x+1＝0，y﹣3＝0，
所以x＝﹣，y＝3．
（1）若x2﹣4x+5可配方成（x﹣m）2+n（m，n为常数），求m和n的值；
（2）已知实数x，y满足x2+3x+y﹣5＝0，求x+y的最大值；
（3）已知a，b，c为正实数，且满足a2+ac+ab﹣b2＝0和b2+ba﹣ca﹣c2＝0，试判断以b，c，a+b为三边的长的三角形的形状，并说明理由．
18．“疫情”期间，李晨在家制作一种工艺品，并通过网络平台进行线上销售．经过一段时间后发现：当售价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件，设该商品的售价为x元/件（20≤x≤40）．
（1）请用含售价x（元/件）的代数式表示每天能售出该工艺品的件数；
（2）已知每件工艺品需要20元成本，每天销售该工艺品的纯利润为900元．
①求该商品的售价；
②为了支持“抗疫”行动，李晨决定每销售一件该工艺品便通过网络平台自动向某救助基金会捐款0.5元，求李晨每天通过销售该工艺品捐款的数额．
19．在迎接中华人民共和国成立70周年期间，国货商场举行了商品团购促销活动，对原售价每套80元的A品牌服装给出如下优惠条件：若一次性购买不超过10套，则每套售价为80元；若一次性购买多于10套，每增加1套，则每套售价都减少2元，但不低于50元．
（1）若一次性购买A品牌服装x套，所用资金y元，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）某校九年（1）班为参加国庆70周年联欢晚会，成立了“歌唱祖国”合唱队，队长小红利用国货商场促销活动期间为合唱队的同学每人购买一套A品牌服装作为队服，支付了1200元．求该校九年（1）班合唱队的人数．
20．合肥长江180艺术街区进行绿化改造，用一段长40m的篱笆和长15m的墙AB，围城一个矩形的花园，设平行于墙的一边DE的长为xm；
（1）如图1，如果矩形花园的一边靠墙AB，另三边由篱笆CDEF围成，当花园面积为150m2时，求x的值；
（2）如图2，如果矩形花园的一边由墙AB和一节篱笆BF构成，另三边由篱笆ADEF围成，当花园面积是150m2时，求BF的长．
参考答案
一．选择题
1．解：4（x﹣1）（x+2）＝5，5x2﹣10＝0，2x2+8x＝0，是一元二次方程，共3个，
故选：B．
2．解：x2＝x2，
移项得：x2﹣2x＝0，
∴x（x﹣2）＝0，
x＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝0，x2＝2．
故选：C．
3．解：∵等腰三角形三边长分别为a、b、4，
∴a＝b，或a、b中有一个数为4．
当a＝b时，有b2﹣4ac＝（﹣12）2﹣4（k+2）＝0，
解得：k＝34；
当a、b中有一个数为4时，有42﹣12×4+k+2，
解得：k＝30，
当k＝30时，原方程为x2﹣12x+32＝0，
解得：x1＝4，x2＝8，
∵4+4＝8，
∴k＝30不合适．
故选：D．
4．解：设方程x2﹣4x+c＝0的另一根为α，
则α+2+＝4，
解得α＝2﹣．
所以c＝（2+）（2﹣）＝1．
故选：A．
5．解：根据题意得：100（1﹣x%）2＝81，
解之，得x1＝190（舍去），x2＝10．
即平均每次降价率是10%．
故选：B．
6．解：根据题意知b+2＝a+1，即b﹣a＝1﹣2＝﹣1，
故选：A．
7．解：设每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，
由题意得，7000（1+x）2＝23170．
故选：C．
8．解：设每个枝干长出x个小分支，则主干上长出了x个枝干，
根据题意得：x2+x+1＝91．
故选：B．
9．解：由题意可知：+＝﹣，＝，
∵cy2+by+a＝0，
∴y2+y+1＝0，
∴y2﹣（+）y+1＝0，
∴y1+y2＝＝p+3
故选：B．
10．解：由题意得，i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2?i＝（﹣1）?i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，i5＝i4?i＝i，i6＝i5?i＝﹣1，
故可发现4次一循环，一个循环内的和为0，
∵＝504…3，
∴i+i2+i3+i4+…+i2018+i2019＝i﹣1﹣i＝﹣1．
故选：C．
二．填空题（共5小题）
11．解：（x﹣3）2＝4
x﹣3＝±2
x＝3±2，
∴x1＝1，x2＝5．
故答案是：x1＝1，x2＝5．
12．解：∵，
∴解得：ab＝，
∵a2+b2＝，
∴（a+b）2＝≥0，
∴﹣3≤t，
假设a，b是关于x的一元二次方程的两个根，
∴x2+（a+b）x+ab＝0，
∴x2+x+＝0，
∵b2﹣4ac≥0，
﹣2（t+1）≥0，
解得：t≤．
则t的取值范围是：﹣3≤t≤．
故答案为：﹣3≤t≤．
13．解：当1﹣m2＝0时，m＝±1．
当m＝1时，可得2x﹣1＝0，x＝，符合题意；
当m＝﹣1时，可得﹣2x﹣1＝0，x＝﹣，不符合题意；
当1﹣m2≠0时，（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0，
[（1+m）x﹣1][（1﹣m）x+1]＝0，
∴x1＝，x2＝．
∵关于x的方程（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0的所有根都是比1小的正实数，
∴0＜＜1，解得m＞0，
0＜＜1，解得m＞2．
综上可得，实数m的取值范围是m＝1或m＞2．
故答案为：m＝1或m＞2．
14．解：设共有x个飞机场．
x（x﹣1）＝10×2，
解得x1＝5，x2＝﹣4（不合题意，舍去），
故答案为：5．
15．解：∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣2x+t﹣1＝0的两个非负实根，
∴可得a+b＝2，ab＝t﹣1≥0，
∴t≥1，
又△＝4﹣4（t﹣1）≥0，可得t≤2，
∴2≥t≥1，
又（a2﹣1）（b2﹣1）＝（ab）2﹣（a2+b2）+1＝（ab）2﹣（a+b）2+2ab+1，
∴（a2﹣1）（b2﹣1），
＝（t﹣1）2﹣4+2（t﹣1）+1，
＝t2﹣4，
又∵2≥t≥1，
∴0≥t2﹣4≥﹣3，
故答案为：﹣3．
三．解答题（共5小题）
16．解：（1）∵（x﹣1）2＝36，
∴x﹣1＝6或x﹣1＝﹣6，
解得x1＝7，x2＝﹣5；
（2）∵x2﹣x﹣12＝0，
∴（x﹣4）（x+3）＝0，
则x﹣4＝0或x+3＝0，
解得x1＝4，x2＝﹣3；
（3）∵3x2+5x﹣2＝0，
∴（x+2）（3x﹣1）＝0，
则x+2＝0或3x﹣1＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝；
（4）∵（x﹣3）2﹣4（3﹣x）＝0，
∴（x﹣3）2+4（x﹣3）＝0，
则（x﹣3）（x+1）＝0，
∴x﹣3＝0或x+1＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣1．
17．解：
（1）因为x2﹣4x+5＝（x2﹣4x+4）+1＝（x﹣2）2+1．
所以m＝2，n＝1．
（2）解法一：
由x2+3x+y﹣5＝0可得：y＝﹣x2﹣3x+5．x+y＝x+（﹣x2﹣3x+5）＝﹣x2﹣2x+5＝﹣（x2+2x+1）+6＝﹣（x+1）2+6．
因为﹣（x+1）2≤0，所以﹣（x+1）2+6≤6，
即当x＝﹣1时，x+y的最大值为6．
解法二：
由x2+3x+y﹣5＝0可得：（x2+2x﹣5）+（x+y）＝0，
移项，得x+y＝﹣x2﹣2x+5＝﹣（x2+2x+1）+6＝﹣（x+1）2+6．
因为﹣（x+1）2≤0，所以﹣（x+1）2+6≤6，
即当x＝﹣1时，x+y的最大值为6．
（3）以b，c，a+b为三边的长的三角形是等腰直角三角形，理由如下：
由b2+ba﹣ca﹣c2＝0可得：（b2﹣c2）+（ab﹣ac）＝0，（b+c）（b﹣c）+a（b﹣c）＝0，（b﹣c）（a+b+c）＝0，
因为a，b，c都为正数，
所以b﹣c＝0，a+b+c≠0，
所以b＝c，即以b，c，a+b为三边的长的三角形是等腰三角形，a2+ac+ab﹣b2＝0………①b2+ba﹣ca﹣c2＝0………②
由①+②得：a2+2ab﹣c2＝0，（a2+2ab+b2）﹣b2﹣c2＝0，b2+c2＝（a+b）2．
即以b，c，a+b为三边的长的三角形是直角三角形，
所以以b，c，a+b为三边的长的三角形是等腰直角三角形
18．解：（1）∵该商品的售价为x元/件（20≤x≤40），且当售价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件，
∴每天能售出该工艺品的件数为60+3（40﹣x）＝（180﹣3x）件．
（2）①依题意，得：（x﹣20）（180﹣3x）＝900，
整理，得：x2﹣80x+1500＝0，
解得：x1＝30，x2＝50（不合题意，舍去）．
答：该商品的售价为30元/件．
②0.5×（180﹣3×30）＝45（元）．
答：李晨每天通过销售该工艺品捐款的数额为45元．
19．解：（1）根据题意得，当0＜x≤10时，y＝80x（0＜x≤10），
当10＜x≤25，y＝x[80﹣2（x﹣10）]＝﹣2x2+100x，
综上所述，y＝；
（2）设小红购买了x件这种服装，由题意得
x[80﹣2（x﹣10）]＝1200
解得：x1＝20，x2＝30
当x＝20时，80﹣2（20﹣10）＝60
当x＝30时，80﹣2（30﹣10）＝40＜50（不符合题意，舍去）
答：该校九年（1）班合唱队的人数为20．
20．解：（1）由题意得：（40﹣x）x＝150；
解得：x1＝10，x2＝30，
∵30＞15
∴x＝30舍去，
∴x＝10m；
答：x的值为10m；
（2）设BF＝y；则（25﹣2y）（y+15）＝150；
解得y1＝﹣（舍去），y2＝5，
答：BF的长为5m．