(共41张PPT)
2.2 函数的表示法
第1课时 函数的表示法
激趣诱思
知识点拨
利用医疗仪器可以方便地测量出心脏在各时刻的指标值,据此可以描绘出心电图,如图所示.医生在看心电图时,会根据图形的整体形态来给出诊断结果(如根据两个峰值的间距来得出心率等).
如果用t表示测量的时间,v表示测量的指标值,可以得出v是t的函数吗?如果是,这个函数用数学符号可以怎样表示?
激趣诱思
知识点拨
一、函数的表示法
常用的函数的表示方法有三种:
,具体如下.?
列表法、图象法和解析法
激趣诱思
知识点拨
名师点评
由列表法和图象法的概念可知,函数也可以说就是一张表或一张图,根据这张表或这张图,由自变量x的值可查找到和它对应的唯一的函数值y.
激趣诱思
知识点拨
微练习
观察下表:
则f(f(-1)-g(3))=( )
A.-4
B.-3
C.3
D.5
答案:D
解析:由题表知,f(-1)=-1,g(3)=-4,所以f(f(-1)-g(3))=f(3)=5.
激趣诱思
知识点拨
二、函数的图象
1.定义
一般地,将函数y=f(x),x∈A中的自变量x和对应的函数值y,分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标,则满足条件的点(x,y)组成的集合F称为函数的图象,即F={(x,y)|y=f(x),x∈A}.这就是说,如果F是函数y=f(x)的图象,则图象上任意一点的坐标(x,y)都满足函数关系y=f(x);反之,满足函数关系y=f(x)的点(x,y)都在函数图象F上.
激趣诱思
知识点拨
(3)利用常见函数图象作出所求函数的图象
已学过的常见函数图象有:①常值函数的图象,如f(x)=1的图象为一条平行于x轴的直线;②一次函数的图象,如f(x)=-3x+1的图象是一条经过第一、二、四象限的直线;③二次函数的图象,如f(x)=2x2-x+1的图象是一条开口向上的抛物线;④对于反比例函数f(x)=
(k≠0,且k为常数),当k>0时,其图象是在第一、三象限内,以原点为对称中心的双曲线,当k<0时,其图象是在第二、四象限内,以原点为对称中心的双曲线.
2.函数图象的作法
(1)函数图象的特征
函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等.
(2)描点法作函数图象的三个步骤(注意函数的定义域)
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
名师点析
1.从理论上来说,要作出一个函数的图象,只需描出所有点即可.但是,很多函数的图象都由无穷多个点组成,描出所有点并不现实.因此,实际作图时,经常先描出函数图象上一些有代表性的点,然后根据有关性质作出函数图象,这称为描点作图法.
2.图象在x轴上的投影所表示的区间为定义域,在y轴上的投影所表示的区间为值域.
激趣诱思
知识点拨
微思考
如何检验一个图形是不是一个函数的图象?写出你的检验法则.
提示:检验法则:过图形上任意一点作与x轴垂直的直线,若所有直线与图形都只有一个交点,则此图形是函数的图象,否则这个图形不是函数的图象.
激趣诱思
知识点拨
微练习
如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中点A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则f(f(f(0)))=( )
A.2
B.4
C.0
D.3
答案:C
解析:结合图象可得f(0)=4,f(4)=2,f(2)=0,
则f(f(f(0)))=f(f(4))=f(2)=0.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
列表法表示函数
例1已知函数f(x),g(x)分别由下表给出:
则f(g(1))= ;当g(f(x))=2时,x= .?
分析这是用列表法表示的函数求值问题,在解答时,找准变量对应的值即可.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟列表法是表示函数的重要方法,这如同我们在画函数图象时所列的表,它的优点是变量对应的函数值在表中可直接找到,不需要计算.
答案: 1 1
解析:由g(x)的对应表,知g(1)=3,
∴f(g(1))=f(3).
由f(x)的对应表,知f(3)=1,∴f(g(1))=f(3)=1.
由g(x)的对应表,知当x=2时,g(2)=2.
又g(f(x))=2,∴f(x)=2.
又由f(x)的对应表,知当x=1时,f(1)=2.∴x=1.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究在本例已知条件下,g(f(1))= ;当f(g(x))=2时,x= .?
答案:2 3
解析:∵f(1)=2,∴g(f(1))=g(2)=2.
∵f(g(x))=2,∴g(x)=1,∴x=3.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
求函数的解析式
例2(1)已知f(x+1)=x2-3x+2,求f(x).
(2)已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)的解析式.
(3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)+2f(-x)=3x-2,求f(x).
分析(1)(方法一)令x+1=t,将x=t-1代入f(x+1)=x2-3x+2可得f(t),即可得f(x);(方法二)由于f(x+1)中x+1的地位与f(x)中x的地位相同,因此还可以将f(x+1)=x2-3x+2变形为f(x+1)=(x+1)2-5(x+1)+6.
(2)设出f(x)=ax2+bx+c(a≠0),再根据条件列出方程组求出a,b,c的值.(3)将f(x)+2f(-x)=3x-2中的x用-x代替,解关于f(x)与f(-x)的方程组即可.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:(1)(方法一)令x+1=t,则x=t-1.
将x=t-1代入f(x+1)=x2-3x+2,
得f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6,
∴f(x)=x2-5x+6.
(方法二)∵f(x+1)=x2-3x+2=x2+2x+1-5x-5+6=(x+1)2-5(x+1)+6,
∴f(x)=x2-5x+6.
(2)设所求的二次函数为f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
∵f(0)=1,∴c=1,则f(x)=ax2+bx+1.
∵f(x+1)-f(x)=2x对任意的x∈R都成立,
∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(3)∵对于任意的x都有f(x)+2f(-x)=3x-2,
∴将x替换为-x,得f(-x)+2f(x)=-3x-2,联立方程组消去f(-x),可得
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟求函数解析式的四种常用方法
1.直接法(代入法):已知f(x)的解析式,求f(g(x))的解析式,直接将g(x)代入.
2.待定系数法:若已知函数的类型,可用待定系数法求解,即由函数类型设出函数解析式,再根据条件列方程(或方程组),通过解方程(或方程组)求出待定系数,进而求出函数解析式.
3.换元法(有时可用“配凑法”):已知函数f(g(x))的解析式求f(x)的解析式可用换元法(或“配凑法”),即令g(x)=t,反解出x,然后代入f(g(x))中求出f(t),从而求出f(x).
4.消元法:在已知式子中,含有关于两个不同变量的函数,而这两个变量有着某种关系,这时就要依据两个变量的关系,建立一个新的关于两个变量的式子,由两个式子建立方程组,通过解方程组消去一个变量,得到目标变量的解析式.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练1(1)已知f(x)是一次函数,且f(f(x))=2x-1,求f(x)的解析式.
解:(1)∵f(x)为一次函数,
∴可设f(x)=ax+b(a≠0).
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
函数的图象及应用
例3作出下列函数的图象,并求其值域:
(1)y=1-x(x∈Z);
(2)y=2x2-4x-3(0≤x<3).
分析看函数的类型→看函数的定义域→描点、连线、成图.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:(1)因为x∈Z,所以函数图象为一条直线上的孤立点(如图①),由图象知,y∈Z.
(2)因为x∈[0,3),所以函数图象是抛物线的一段(如图②),由图象知,y∈[-5,3).
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟1.作函数图象最基本的方法是描点法:主要有三个步骤——列表、描点、连线.作图象时一般先确定函数的定义域,再在定义域内化简函数解析式,最后列表画出图象.
2.函数的图象可能是平滑的曲线,也可能是一群孤立的点,画图时要注意特殊点.如图象与坐标轴的交点、区间端点、二次函数的顶点等,还要分清这些特殊点是实心点还是空心点.
如本题(1)中图象是由一些散点构成的,这里不能将其用平滑曲线连起来;(2)中描出两个端点及顶点,依据二次函数的图象特征作出函数图象,注意3不在定义域内,从而点(3,3)处用空心点.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练2作出下列函数的图象,并写出其值域.
解:(1)当x=0时,y=1;当x=1时,y=3;当x=2时,y=5.
函数图象过点(0,1),(1,3),(2,5).
图象如图所示.
由图可知,函数的值域为[0,5].
由图可知,函数的值域为(0,1].
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
图象变换法
1.平移变换
函数y=f(x)的图象与y=f(x+a)及y=f(x)+a(a≠0)的图象有怎样的关系呢?我们先来看一个例子.
分别作出函数y=x2,y=(x+1)2,y=x2-1的图象,观察它们之间有怎样的关系.
在同一平面直角坐标系中,它们的图象如图所示.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
观察图象可知,y=(x+1)2的图象可由函数y=x2的图象向左平移1个单位长度得到;函数y=x2-1的图象可由函数y=x2的图象向下平移1个单位长度得到.
由此得到如下规律:
(1)把函数y=f(x)的图象沿x轴向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度,就得到函数y=f(x+a)的图象;
(2)把函数y=f(x)的图象沿y轴向上(a>0)或向下(a<0)平移|a|个单位长度,就得到函数y=f(x)+a的图象.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
2.对称变换
函数y=f(x)的图象与y=f(-x),y=-f(x)及y=-f(-x)的图象又有怎样的关系呢?我们来看一个例子:
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
由此可得如下规律:
(1)函数y=f(-x)的图象与函数y=f(x)的图象关于y轴对称;
(2)函数y=-f(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于x轴对称;
(3)函数y=-f(-x)的图象与函数y=f(x)的图象关于原点对称.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.翻折变换
函数y=f(x)的图象与函数y=|f(x)|及y=f(|x|)的图象又有怎样的关系呢?我们再来看一个例子:
分别作出函数y=|x2-2x-3|及y=x2-2|x|-3的图象,观察它们与函数y=x2-2x-3的图象之间有怎样的关系.
事实上,y=|x2-2x-3|
在不同的平面直角坐标系中,分别作出函数y=|x2-2x-3|与y=x2-2|x|-3的图象,如图①②中的实线所示.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
通过观察两个图象可知,函数y=|x2-2x-3|的图象可由函数y=x2-2x-3的图象经过下列变换得到:保持函数y=x2-2x-3的图象在x轴上及其上方的部分不变,将x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方.函数y=x2-2|x|-3的图象可由函数y=x2-2x-3的图象经过下列变换得到:保持函数y=x2-2x-3的图象在y轴上及其右侧的部分不变,将y轴原左侧的图象换成y轴右侧的图象沿y轴翻折而成的图象,则这两部分就构成了y=x2-2|x|-3的图象.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
由此可得如下规律:
(1)将函数y=f(x)的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方,下方的部分不再保留,x轴上及其上方的图象不变,即可得到函数y=|f(x)|的图象;
(2)先作x≥0时y=f(x)的图象
然后将函数
y=f(x)(x>0)的图象沿y轴翻折到y轴左侧,函数y=f(x)(x≥0)的图象不变,即可得到函数y=f(|x|)的图象.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
典例1已知函数y=f(x)的图象如图所示,则y=f(1-x)的图象为( )
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
图象.即将函数y=f(x)的图象先作关于y轴的对称变换得到函数y=f(-x)的图象,再将函数y=f(-x)的图象向右平移1个单位长度得到y=f(1-x)的图象.
答案:A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
典例2作出函数f(x)=|x2-4x-5|在区间[-2,6]上的图象.
解:先作出二次函数y=x2-4x-5的图象,再把图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方,保留x轴上及其上方的部分,并保留在区间[-2,6]上的部分,如图所示.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1.已知一次函数的图象过点(1,0)和(0,1),则该一次函数的解析式为( )
A.f(x)=-x
B.f(x)=x-1
C.f(x)=x+1
D.f(x)=-x+1
答案:D
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
2.某天早上,小明骑车上学,出发时感到时间较紧,然后加速前进,后来发现时间还比较充裕,于是放慢了速度,与以上事件吻合得最好的图象是( )
答案:C
解析:因为选项A,D第一段都是匀速前进,不合题意,故排除选项A,D,首先加速前进,然后放慢速度,说明图象上升的速度先快后慢,故选C.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.已知函数f(x),g(x)对应值如下表:
则g(f(g(-1)))的值为( )
A.1
B.0
C.-1
D.无法确定
答案:C
解析:g(-1)=1,
则f(g(-1))=f(1)=0,
则g(f(g(-1)))=g(0)=-1.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
4.若一个长方体的高为80
cm,长比宽多10
cm,则这个长方体的体积y(单位:cm3)与长方体的宽x(单位:cm)之间的函数解析式是 .?
答案:y=80x(x+10),x∈(0,+∞)
解析:由题意可知,长方体的长为(x+10)cm,从而长方体的体积y=80x(x+10),x>0.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
5.已知函数f(x)=x2-2x(-1≤x≤2).
(1)画出f(x)的图象;
(2)根据图象写出f(x)的值域.
解:(1)f(x)的图象如图所示.
(2)观察f(x)的图象可知,f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是
[-1,3],故f(x)的值域是[-1,3].(共31张PPT)
第2课时 分段函数
激趣诱思
知识点拨
根据我国地理学家的估算,我国的水资源总量约为27
000亿m3,而可利用的水资源不足总量的1%,现我国属于水资源贫困的国家,为了加强公民的节水意识,某城市制定每户月用水收费(含用水费和污水处理费)标准:
如果小明家上个月用水量为8.9
m3,这个月用水量为12
m3,他家两个月分别应该交多少水费?每月用水量x(m3)与应交水费y(元)之间的关系是否可以用函数解析式表示出来?这个解析式有什么特点?
激趣诱思
知识点拨
分段函数
1.分段函数的定义
如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同的对应关系,则称其为分段函数.
2.分段函数的图象
分段函数有几段,它的图象就由几条曲线组成.在同一平面直角坐标系中,根据分段函数每段的定义区间和表达式依次画出图象,要注意确定每段图象的端点是空心点还是实心点,各段函数图象组合到一起就可得到整个分段函数的图象.
激趣诱思
知识点拨
名师点析
1.分段函数是一个函数,而不是几个函数.
2.求分段函数的函数值的关键是分段归类,即自变量的取值属于哪个区间,就只能用那个区间上的解析式来进行计算.
3.写分段函数的定义域时,区间端点应不重不漏.分段函数的定义域是各段自变量取值区间的并集.
4.分段函数值域的求法是分别求出各段上的因变量的取值集合后取并集;分段函数的最大(小)值的求法是先求出每段函数的最大(小)值,然后比较各段的最大(小)值,其中最大(小)的为分段函数的最大(小)值.
激趣诱思
知识点拨
微练习
答案:A
激趣诱思
知识点拨
微拓展
几种常见的分段函数如下.
取整函数:如f(x)=[x]([x]表示不大于x的最大整数).
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
分段函数的求值
(2)若f(x)=2,求x的值.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟1.求分段函数的函数值的步骤
(1)先确定所求值对应的自变量属于哪一段区间.
(2)再代入该段对应的解析式进行求值,直到求出值为止.当出现f(f(x))的形式时,应从内到外依次求值.
2.已知函数值求自变量的值的步骤
(1)先确定所求自变量的值可能存在的区间及其对应的函数解析式.
(2)再将函数值代入不同的解析式中.
(3)通过解方程求出自变量的值.
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
延伸探究在本例已知条件下,若f(x)>0,求x的取值范围.
∴-2∴x的取值范围是(-2,0)∪(0,+∞).
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
分段函数的图象
例2画出下列函数的图象,并写出它们的值域:
(2)y=|x+1|+|x-3|.
分析先化简函数解析式,再画函数图象,在画分段函数的图象时,要注意对应关系与自变量取值范围的对应性.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟1.因为分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样,所以它的图象也由几部分构成,有的可以是光滑的曲线段,有的也可以是一些孤立的点或几段线段,画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分.
2.对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先根据绝对值的意义去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数来画图象.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
答案:C
解析:因为f(0)=0-1=-1,所以函数图象过点(0,-1),排除A、B;
当x<0时,y=x2,则函数图象是开口向上的抛物线在y轴左侧的部分.因此只有选项C中的图象符合.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
根据分段函数图象求解析式
例3已知函数y=f(x)的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成,则函数的解析式为 .?
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
∴左侧射线对应的函数解析式为y=-x+2(x≤1).
同理,当x≥3时,对应的函数解析式为y=x-2(x≥3).
再设抛物线对应的二次函数解析式为y=a(x-2)2+2(1∵点(1,1)在抛物线上,∴a+2=1,∴a=-1.
∴当1探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练2已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式为 .?
解析:∵f(x)的图象由两条线段组成,∴由一次函数解析式求法可得
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
分段函数在实际中的应用
例4某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t,P),点(t,P)落在下图中的两条线段上,该股票在30天内(包括30天)的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
(1)根据提供的图象,写出该种股票每股交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式;
(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式;
(3)在(2)的结论下,用y(万元)表示该股票日交易额,写出y关于t的函数关系式,并求出这30天中第几日交易额最大,最大值为多少?
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式为
Q=40-t,0探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
y所以,第15日交易额最大,最大值为125万元.
反思感悟
分段函数的意义是不同范围内的自变量x与y的对应关系不同,从而需分段来表达它.解决实际问题时要结合实际意义写出分段函数的解析式,再根据需要选择合适的解析式解决问题.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练3某市郊带空调公共汽车的票价按下列规则制定:
(1)乘坐汽车5千米以内,票价2元;
(2)5千米以上,每增加5千米,票价增加1元(不足5千米按5千米计算).
每相邻两个站点之间的距离为1千米,如果某空调公共汽车运行路线中设20个汽车站；(包括起点站和终点站),求票价y(元)关于路程x(千米)的函数解析式,并画出图象.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解:设票价为y元,里程为x千米,根据题意,
如果某空调汽车运行路线中设20个汽车站(包括起点站和终点站),那么汽车行驶的里程约为19千米,所以自变量x的取值范围是{x∈N+|x≤19}.
由空调汽车票价制定的规定,可得到以下函数解析式:
根据这个函数解析式,可画出函数图象,如图所示.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
分段函数的理解与应用
典例如图所示,已知底角为45°的等腰梯形ABCD,底边BC长为7
cm,腰长为2
cm,当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时,直线l把梯形分成两部分,令BF=x
cm,试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式,并画出大致图象.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解:过点A,D分别作AG⊥BC,DH⊥BC,垂足分别是G,H.
因为四边形ABCD是等腰梯形,
底角为45°,AB=2
cm,
所以BG=AG=DH=HC=2
cm.
又BC=7
cm,所以AD=GH=3
cm.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
函数图象如图所示.
反思感悟求实际问题的函数解析式,其关键是充分利用条件建立关于变量的等式,除此之外还需要考虑问题的实际意义,对于分段函数图象,作图时,要注意端点的取舍,遵循定义域优先的原则.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
A.0
B.π
C.π2
D.9
答案:B
解析:f(f(-3))=f(0)=π.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
3.某客运公司确定客运票价的方法是:如果路程不超过100千米,票价是每千米0.5元,如果超过100千米,超过部分按每千米0.4元定价,则客运票价y(元)与路程x(千米)之间的函数关系式是 .?
答案:1
解析:当a≥0时,由a+1=2,得a=1>0,
所以a=1符合题意;
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
(1)画出函数的图象;
(2)求f(1),f(-1),f[f(-1)]的值.
解:(1)图象如图所示.
