(共34张PPT)
§3 函数的单调性和最值
第1课时 函数的单调性
激趣诱思
知识点拨
我们知道,“记忆”在我们的学习过程中扮演着非常重要的角色,因此有关记忆的规律一直都是人们研究的课题.德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持量进行了系统的实验研究,并给出了类似右图所示的记忆规律.
如果我们以x表示时间间隔(单位:h),y表示记忆保持量,则不难看出,图中y是x的函数,记这个函数为y=f(x).
这个函数反映出记忆具有什么规律?你能从中得到什么启发?
激趣诱思
知识点拨
一、增函数、减函数的定义
激趣诱思
知识点拨
名师点析x1,x2的三个特征:
(1)同区间性,即x1,x2∈I;
(2)任意性,即不可用区间I上的两个特殊值代替x1,x2;
(3)有序性,即需要区分大小,通常规定x1
激趣诱思
知识点拨
微练习
若函数f(x)的定义域为(0,+∞),且满足f(1)A.为增函数
B.为减函数
C.先增后减
D.单调性不能确定
答案:D
解析:由于函数单调性的定义突出了x1,x2的任意性,所以仅凭区间内几个有限的函数值的关系,是不能作为判断单调性的依据的,也就是说函数单调性定义的三个特征缺一不可.因此本题选D.
激趣诱思
知识点拨
微提炼
单调性的等价结论
激趣诱思
知识点拨
二、单调性、单调区间
如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就称函数y=f(x)在区间I上具有单调性.此时,区间I为函数y=f(x)的单调区间.
名师点析自变量的大小与函数值的大小关系:
(1)若f(x)在区间I上单调递增,则x1x2?f(x1)>f(x2).
(2)若f(x)在区间I上单调递减,则x1f(x2),x1>x2?f(x1)即可以利用单调递增、单调递减的定义实现自变量的大小关系与函数值的大小关系的直接转化.
激趣诱思
知识点拨
微练习
根据下图写出在每一单调区间上,函数是单调递增还是单调递减.
解:函数在[-1,0]上是单调递减,在[0,2]上是单调递增,在[2,4]上是单调递减,在[4,5]上是单调递增.
激趣诱思
知识点拨
微思考
提示:不能.不连续的单调区间必须分开写,中间用“,”或“和”连接,不能用符号“∪”连接.如y=
在区间(-∞,0)和(0,+∞)单调递减.
探究一
探究二
探究三
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判断函数的单调性
1.利用图象判断函数的单调性
例1根据函数图像直观判断下列函数的单调性:
(1)y=|x2+2x-3|;(2)y=-x2+2|x|+1.
分析本题中所给出的两个函数解析式中均含有绝对值,可以采取去绝对值的方法,将函数转化为分段函数再画出函数的图象,也可以通过图象变换得到函数图象.通过图象观察判断函数的单调性.
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
解:(1)令f(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4.作出f(x)的图象,保
留其在x轴上及x轴上方部分,将位于x轴下方的部
分翻折到x轴上方,得到y=|x2+2x-3|的图象,如图所
示.由图象可得原函数在区间[-3,-1]和[1,+∞)上单
调递增,原函数在区间(-∞,-3]和[-1,1]上单调递减.
函数图象如图所示,原函数在区间(-∞,-1]和[0,1]上单调递增,在区间[-1,0]和[1,+∞)上单调递减.
探究一
探究二
探究三
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反思感悟图象法判断函数单调性的注意点
图象法判断函数的单调性主要用于常见函数(如一次函数、二次函数、反比例函数等)的单调性判断,或应用于能通过常见函数图象的平移、翻折等变换得到所给函数的图象,从而进行单调性的判断.
探究一
探究二
探究三
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变式训练1已知x∈R,函数f(x)=x|x-2|,试画出y=f(x)的图象,并结合图象判断函数的单调性.
由图象可知,函数在区间(-∞,1],[2,+∞)上单调递增;在区间[1,2]上单调递减.
探究一
探究二
探究三
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2.利用单调函数的运算性质判断函数的单调性
探究一
探究二
探究三
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反思感悟利用单调函数的运算性质判断函数单调性的思路
当函数解析式通过变换、转化之后,是由几个基本函数的解析式构成的,则可分析这几个基本函数的单调性,看是否符合单调函数运算性质的规律,若符合,可直接得出结论,否则,不能用这种方法判断函数的单调性.此外,研究函数的单调性时,一定要坚持“定义域优先”的原则.
探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
探究三
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利用定义证明函数的单调性
探究一
探究二
探究三
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反思感悟利用定义法证明或判断函数的单调性的步骤
探究一
探究二
探究三
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特别提醒作差变形的常用技巧:
(1)因式分解.当原函数是多项式函数时,作差后通常进行因式分解.
(2)通分.当原函数是分式函数时,作差后往往进行通分,然后对分子进行因式分解.
(3)配方.当所得的差式是含有x1,x2的二次三项式时,可以考虑配方,便于判断符号.
(4)分子有理化.当原函数是根式函数时,作差后往往考虑分子有理化.
探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
探究三
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函数单调性的应用
分析要比较两个函数值的大小,需先比较自变量的大小.
探究一
探究二
探究三
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答案:
(0,3]
解析:因为函数f(x)在R上是单调递增,所以f(x)在(-∞,1)上单调递增,故a>0.设y=ax-1,x∈(-∞,1),因为a>0,所以y探究一
探究二
探究三
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反思感悟1.利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在利用函数的单调性比较函数值大小时,要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间内.
2.利用函数的单调性解函数值的不等式就是利用函数在某个区间内的单调性,去掉对应关系“f”,转化为自变量的不等式,此时一定要注意自变量的限制条件,以防出错.
3.由分段函数单调性求参数范围时,一般从两个方面思考:一方面每个分段区间上函数具有相同的单调性,由此列出相关式子;另一方面是考虑端点处的衔接情况,由此列出另一相关式子,求解即可.
探究一
探究二
探究三
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变式训练4已知函数g(x)的定义域是[-2,2],且在[-2,2]上单调递增,g(t)>g(1-3t),求t的取值范围.
解:∵g(x)在区间[-2,2]上单调递增,且g(t)>g(1-3t),
探究一
探究二
探究三
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复合函数单调性的判断
对于复合函数f(g(x)),设t=g(x)在区间[a,b]上是单调函数,且y=f(t)在区间[g(a),g(b)]或区间[g(b),g(a)]上也是单调函数,那么f(g(x))在区间[a,b]上的单调性如何呢?下面我们来探讨一下.
(1)若t=g(x)在区间[a,b]上单调递增,且y=f(t)也单调递增:
任取x1,x2∈[a,b],x1(2)若t=g(x)在区间[a,b]上单调递增,y=f(t)单调递减:
任取x1,x2∈[a,b],x1f(g(x2)),则根据减函数的定义知f(g(x))在区间[a,b]上单调递减.
探究一
探究二
探究三
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类似地,我们不难发现:当t=g(x)在区间[a,b]上单调递减,且y=f(t)单调递增时,则f(g(x))在区间[a,b]上单调递减;当t=g(x)在区间[a,b]上单调递减,且y=f(t)
单调递减时,则f(g(x))在区间[a,b]上单调递增.
根据上面的探讨,y=f(g(x))在区间[a,b]上的单调性如下表所示,简记为“同增异减”.
若一个函数是由多个基本函数复合而成的,则此复合函数的单调性由基本函数中减函数的个数决定.若减函数有偶数个,则这个复合函数为增函数;若减函数有奇数个,则这个复合函数为减函数.
探究一
探究二
探究三
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典例已知函数f(x)在定义域[0,+∞)上单调递减,则f(1-x2)的单调递减区间为 .?
解析:∵f(x)的定义域为[0,+∞),
∴1-x2≥0,即x2≤1,解得-1≤x≤1.
令u=1-x2(u≥0),则f(1-x2)=f(u).
当x∈[0,1]时,u=1-x2单调递减,则f(1-x2)单调递增;当x∈[-1,0]时,u=1-x2单调递增,则f(1-x2)单调递减.故f(1-x2)的单调递减区间为
[-1,0].
答案:[-1,0]
探究一
探究二
探究三
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反思感悟对于复合函数y=f(g(x)),把函数y=f(g(x))通过中间变量t分解为两个函数:外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x),内层函数的值域是外层函数定义域的子集.要先确定复合函数的定义域.
探究一
探究二
探究三
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1.若函数y=(2k+1)x+b在(-∞,+∞)上是减函数,则k的取值范围是( )
答案:D
解析:当2k+1<0,即k<-
时,函数y=(2k+1)x+b在(-∞,+∞)上是减函数.
2.函数y=f(x),x∈[-4,4]的图象如图所示,则函数y=f(x)的所有单调递减区间为( )
A.[-4,-2]
B.[1,4]
C.[-4,-2]和[1,4]
D.[-4,-2]∪[1,4]
答案:C
探究一
探究二
探究三
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3.若函数f(x)=x2+3ax+5在区间(-∞,5)上单调递减,则实数a的取值范围是( )
答案:A
探究一
探究二
探究三
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4.已知函数f(x)在区间[-1,1]上单调递增,且f(x-2)探究一
探究二
探究三
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当堂检测(共31张PPT)
第2课时 函数的最值
激趣诱思
知识点拨
某超市销售一种饮料,每瓶进价为9元,经市场调查表明,当售价在10元到14元之间(包含10元,14元)浮动时,每瓶饮料售价每增加0.5元,日均销售量减少40瓶;当售价为每瓶12元时,日均销售量为400瓶.那么当销售价格定为每瓶多少元时,所得日均毛利润最大?最大日均毛利润是多少元?同学们,你能帮助超市完成定价吗?
激趣诱思
知识点拨
函数的最值
1.定义
f(x)≤M
f(x)≥M
最高
最低
激趣诱思
知识点拨
微思考
若函数y=f(x)是定义在区间[a,b]上的增(或减)函数,这个函数有最值吗?如果是区间(a,b)呢?
提示:若y=f(x)是定义在区间[a,b]上是增函数,则其最小值为f(a),最大值为f(b);若为减函数,最大值为f(a),最小值为f(b).若为区间(a,b),则没有最值,但可以说值域为(f(a),f(b))(或f(b),f(a)).
激趣诱思
知识点拨
2.函数的最大值和最小值统称为最值.
名师点析函数的最值和值域的联系与区别
1.联系:函数的最值和值域反映的都是函数的基本性质,针对的是整个定义域.
2.区别:
(1)函数的值域一定存在,而函数的最大(小)值不一定存在;
(2)若函数的最值存在,则最值一定是值域中的元素;
(3)若函数的值域是开区间(两端点都取不到),则函数无最值;若函数的值域是闭区间,则闭区间的端点值就是函数的最值.
激趣诱思
知识点拨
微练习
已知函数f(x)在[-2,2]上的图象如图所示,则该函数的最小值、最大值分别是( )
A.f(-2),0 B.0,2
C.f(-2),2
D.f(2),2
答案:C
解析:由题图可知,该函数的最小值为f(-2),最大值为f(1)=2.
探究一
探究二
探究三
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利用函数的图象求最值
例1已知函数y=-|x-1|+2,画出函数的图象,确定函数的最值情况,并写出值域.
分析去绝对值→分段函数→作图→识图→结论
由图象知,函数y=-|x-1|+2的最大值为2,没有最小值.所以其值域为
(-∞,2].
探究一
探究二
探究三
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反思感悟
探究一
探究二
探究三
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(1)画出f(x)的图象;
(2)利用图象写出该函数的最大值和最小值.
解:(1)函数f(x)的图象如图所示.
(2)由图象可知f(x)的最小值为f(1)=1,无最大值.
探究一
探究二
探究三
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利用函数的单调性求最值
(1)判断f(x)在区间[1,2]上的单调性;
(2)根据f(x)的单调性求出f(x)在区间[1,2]上的最值.
分析(1)证明单调性的流程:取值→作差→变形→判断符号→结论;
(2)借助最值与单调性的关系,写出最值.
探究一
探究二
探究三
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∵x10,1∴f(x1)>f(x2),即f(x)在区间[1,2]上单调递减.
(2)由(1)知f(x)的最小值为f(2),f(2)=2+
=4;f(x)的最大值为f(1),f(1)=1+4=5,∴f(x)的最小值为4,最大值为5.
探究一
探究二
探究三
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反思感悟函数的最值与单调性的关系
(1)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(或单调递减),则f(x)在区间[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).
(2)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(或单调递减),在区间(b,c]上单调递减(或单调递增),则f(x)在区间[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个.
(3)若函数f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的线,则函数f(x)在区间[a,b]上一定有最值.
(4)求最值时一定要注意所给区间的开闭,若是开区间,则不一定有最大(小)值.
探究一
探究二
探究三
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延伸探究本例已知条件不变,判断f(x)在区间[1,3]上的单调性,并求f(x)在区间[1,3]上的最值.
解:任取x1,x2∈[1,3],且x1f(x)在区间[1,2]上单调递减;
当20,40,
∴f(x1)探究一
探究二
探究三
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与最值有关的应用问题
例3某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3
000元时,可全部租出,当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.
(1)当每辆车的月租金为3
600元时,能租出多少辆?
(2)当每辆车的月租金为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?
分析读题→提取信息→建模→解模→解决实际问题
探究一
探究二
探究三
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所以当x=4
050,即每辆车的租金为4
050元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益是307
050元.
探究一
探究二
探究三
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反思感悟1.本题建立的是二次函数模型,应利用配方法求函数的最值.
2.解函数应用题的一般程序是:
(1)审题.弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系.
(2)建模.将文字语言转化成数学语言,用数学知识建立相应的数学模型.
(3)求模.求解数学模型,得到数学结论.
(4)还原.将用数学方法得到的还原为实际问题的结论.
(5)反思回顾.对于数学模型得到的数学解,必须验证这个数学解对实际问题的合理性.
探究一
探究二
探究三
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变式训练2某公司生产一种电子仪器的固定成本为20
000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函
(1)将利润表示为月产量的函数f(x);
(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?(总收益=总成本+利润)
探究一
探究二
探究三
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当x>400时,f(x)=60
000-100x单调递减,
f(x)<60
000-100×400<25
000.
∴当x=300时,f(x)max=25
000.即每月生产300台仪器时利润最大,最大利润为25
000元.
探究一
探究二
探究三
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利用数形结合思想与分类讨论思想求二次函数的最值
典例求函数y=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最值.
【审题视角】可变对称轴x=a→与定区间[0,2]的
相对位置关系→结合单调性与图象求解
解:y=(x-a)2-1-a2.
当a<0时,函数在[0,2]上单调递增,如图①.
故函数在x=0处取得最小值-1,
在x=2处取得最大值3-4a.
当0≤a≤1时,结合函数图象(如图②)知,
函数在x=a处取得最小值-a2-1,
在x=2处取得最大值3-4a.
探究一
探究二
探究三
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当1函数在x=a处取得最小值-a2-1,
在x=0处取得最大值-1.
当a>2时,函数在区间[0,2]上单调递减,如图④.
函数在x=0处取得最大值-1,在x=2处取得最小值3-4a.
综上,当a<0时,函数在区间[0,2]上的最小值为-1,最大值为3-4a;
当0≤a≤1时,函数在区间[0,2]上的最小值为-a2-1,最大值为3-4a;
当1当a>2时,函数在区间[0,2]上的最小值为3-4a,最大值为-1.
探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
探究三
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方法点睛1.探求二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出y=f(x)的图象,再根据函数的单调性进行研究.特别要注意二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系,它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据.二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系通常有三种:(1)对称轴在所给区间的右侧;(2)对称轴在所给区间的左侧;(3)对称轴在所给区间内.
探究一
探究二
探究三
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2.对于二次函数f(x)=a(x-h)2+k(a>0)在区间[m,n]上的最值可作如下讨论:
探究一
探究二
探究三
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变式训练函数f(x)=x2-2x+2(其中x∈[t,t+1],t∈R)的最小值为g(t),求g(t)的表达式.
解:由函数f(x)=x2-2x+2知其图象的开口向上,对称轴为x=1.下面分三种情况讨论:
当t+1≤1,即t≤0时,如图①所示,此时函数f(x)在[t,t+1]上单调递减,
②所示,此时,函数f(x)在[t,1]上单调递减,在(1,t+1]上单调递增,
∴g(t)=f(1)=1.当t≥1时,如图③所示,此时,函数f(x)在[t,t+1]上单调递增.∴g(t)=f(t)=t2-2t+2.
探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
探究三
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答案:A
探究一
探究二
探究三
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2.函数y=|x+1|+2的最小值是( )
A.0
B.-1
C.2
D.3
答案:C
解析:y=|x+1|+2的图象如图所示.
由图可知函数的最小值为2.
探究一
探究二
探究三
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3.函数y=x2-2x,x∈[0,3]的值域为( )
A.[0,3]
B.[-1,0]
C.[-1,+∞)
D.[-1,3]
答案:D
解析:∵函数y=x2-2x=(x-1)2-1,x∈[0,3],∴当x=1时,函数y取得最小值为-1;当x=3时,函数取得最大值为3.故函数的值域为[-1,3],故选D.
探究一
探究二
探究三
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答案:11
解析:当x∈[1,2]时,f(x)为增函数,其最大值为f(2)=10;当x∈[-4,1]时,f(x)为减函数,其最大值为f(-4)=11.故函数f(x)的最大值为11.
探究一
探究二
探究三
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5.把长为12
cm的细铁丝截成两段,各自围成一个正方形,求这两个正方形面积之和的最小值.