(共37张PPT)
4.1 函数的奇偶性
激趣诱思
知识点拨
中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹,用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术.在中国,剪纸具有广泛的群众基础,是各种民俗活动的重要组成部分.其传承延续的视觉形象和造型样式,蕴涵了丰富的历史文化信息,表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣,具有认知、教化、表意、抒情、娱乐、交往等多重社会价值.
折叠剪纸是最常见的一种制作表现方法,它折法简明,制作简便,尤其适于表现结构对称的形体和对称的图式,这种对称给人一种美的享受.
我们学习过的函数图象中,也有很多这样的对称现
象,请你想一想哪些函数的图象是对称的,都有哪些
对称方式?
激趣诱思
知识点拨
一、奇、偶函数的定义
注:当函数f(x)是奇函数或偶函数时,称f(x)具有奇偶性.
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.判断函数的奇偶性要“二看”
(1)一看定义域.定义域A要关于原点对称,即对任意x∈A,-x∈A,定义域不关于原点对称时,f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
如f(x)=x2,x∈R是偶函数,但f(x)=x2,x∈[-1,2]既不是奇函数,也不是偶函数.
(2)二看等式.当f(x)的定义域关于原点对称时,要看f(x)与f(-x)的关系:
①f(-x)=f(x)?f(x)是偶函数;
②f(-x)=-f(x)?f(x)是奇函数;
③f(-x)≠±f(x)?f(x)既不是奇函数,也不是偶函数;
④f(-x)=±f(x)?f(x)既是奇函数又是偶函数.这样的函数只有一类,即f(x)=0,x∈D,且D关于原点对称.
激趣诱思
知识点拨
2.奇、偶函数的运算性质及复合函数的奇偶性
设非零函数f(x),g(x)的定义域分别是F,G,若F=G,则有下列结论:
注意:上述表格中不考虑f(x)±g(x)=0;f[g(x)]中,需x∈G,g(x)∈F.
激趣诱思
知识点拨
微判断
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)若f(x)的定义域关于原点对称,则f(x)是偶函数.( )
(2)若f(x)是偶函数,则它的定义域关于原点对称.( )
(3)若f(-2)=f(2),则f(x)(x∈R)是偶函数.( )
(4)若f(x)(x∈R)是偶函数,则f(-2)=f(2).( )
(5)若f(2)≠f(-2),则f(x)(x∈R)不是偶函数.( )
(6)既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R).( )
激趣诱思
知识点拨
答案:
(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)×
解析:只有f(x)的定义域关于原点对称,且f(-x)=f(x)时,f(x)才是偶函数,故(1)错误;
f(x)的定义域关于原点对称是f(x)为偶函数的必要条件,故(2)正确;
对任意x∈R,满足f(-x)=f(x),f(x)才是偶函数,仅凭两个特殊的函数值相等不足以判断函数的奇偶性,故(3)错误而(4)正确;
为了说明f(x)不是偶函数,举一个反例即可,故(5)正确;
f(x)=0,定义域为[-1,1],该函数既是奇函数又是偶函数,故(6)错误.
激趣诱思
知识点拨
微思考
已知函数f(x)是奇函数,定义域为D,若0∈D,f(0)是否为定值?
提示:∵f(x)为奇函数,∴对任意x∈D,f(-x)=-f(x),∴f(-0)=-f(0),即f(0)=0,为定值.
激趣诱思
知识点拨
二、函数奇偶性与单调性的关系
1.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.上述结论可简记为“奇同偶异”.
2.偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取得最值时的自变量的值互为相反数;奇函数在关于原点对称的区间上取得的最值互为相反数,取得最值时的自变量的值也互为相反数.
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.奇偶性与单调性都是函数的重要性质,单调性是函数的“局部”性质,是研究函数值在某一区间内的变化趋势;而奇偶性是函数的“整体”性质,是研究函数图象在整个定义域上的对称性.
2.研究函数的奇偶性与单调性对了解函数非常重要,如果一个函数是奇函数或是偶函数,根据它的图象关于坐标原点对称或关于y轴对称的性质,只要把这个函数的定义域分成关于坐标原点对称的两部分,由函数在其中一部分上的图象和性质,即可推断出它在整个定义域内的图象和性质.而研究该函数其中一部分图象的情况,就得研究其函数值的变化,这就是单调性,只有把这两种性质结合在一起才能更好地了解函数的特征.
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微练习
若奇函数f(x)在[-6,-2]上是减函数,且最小值是1,则它在[2,6]上是( )
A.增函数且最小值是-1
B.增函数且最大值是-1
C.减函数且最大值是-1
D.减函数且最小值是-1
答案:C
解析:∵奇函数f(x)在[-6,-2]上是减函数,且最小值是1,∴函数f(x)在[2,6]上是减函数且最大值是-1.
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
判断函数的奇偶性
例1判断下列函数的奇偶性:
分析利用奇函数、偶函数的定义判断函数的奇偶性时,先求出函数的定义域,看其是否关于原点对称,如果定义域关于原点对称,再判断f(-x)与f(x)的关系.为了判断f(-x)与f(x)的关系,既可以从f(-x)开始化简整理,也可以考虑f(-x)+f(x)或f(-x)-f(x)是否等于0.当f(x)不等于0时也可考虑
与1或-1的关系,还可以考虑使用图象法.
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
解:(1)函数的定义域为{x|x≠-1},不关于原点对称,故f(x)既不是奇函数又不是偶函数.
(2)函数的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=(-x)3-2(-x)=2x-x3=-f(x),∴f(x)是奇函数.
函数的定义域为{-1,1},关于原点对称.
又f(1)=f(-1)=0,故f(x)既是奇函数又是偶函数.
(4)函数的定义域关于原点对称.
(方法一)当x>0时,-x<0,
f(-x)=-x[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x).
当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)[1+(-x)]=-x(1-x)=-f(x).∴f(-x)=-f(x).
∴f(x)是奇函数.
探究一
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探究三
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图象关于原点对称,∴f(x)是奇函数.
探究一
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反思感悟1.根据奇偶性可将函数分为奇函数,偶函数,既是奇函数也是偶函数,既不是奇函数又不是偶函数.
2.判断函数奇偶性的两种方法
(1)定义法:
(2)图象法:
探究一
探究二
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变式训练判断下列函数的奇偶性:
(2)f(x)=|x+2|+|x-2|;
(3)f(x)=0.
(2)f(x)的定义域是R,又f(-x)=|-x+2|+|-x-2|=|x-2|+|x+2|=f(x),所以f(x)是偶函数.
(3)因为f(x)的定义域为R,又f(-x)=0=f(x),且f(-x)=0=-f(x),所以f(x)既是奇函数又是偶函数.
探究一
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利用函数的奇偶性求解析式
例2已知f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x+1.
(1)求f(-1);
(2)求f(x)的解析式.
分析(1)根据奇函数的性质,将f(-1)转化为f(1)求解;(2)先设出所求区间上的自变量,利用奇函数、偶函数的定义域关于原点对称的特点,把它转化到已知解析式的区间上,代入已知的解析式,再次利用函数的奇偶性求解.注意不要忽略x=0时f(x)的解析式.
探究一
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解:(1)因为函数f(x)为奇函数,
所以f(-1)=-f(1)=-(-2×12+3×1+1)=-2.
(2)当x<0时,-x>0,则
f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.
由于f(x)是奇函数,则f(x)=-f(-x),
所以f(x)=2x2+3x-1.当x=0时,f(-0)=-f(0),则f(0)=-f(0),即f(0)=0.
探究一
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反思感悟1.这类问题常见的情形是:
已知当x∈(a,b)时,f(x)=φ(x),求当x∈(-b,-a)时f(x)的解析式.
若f(x)为奇函数,则当x∈(-b,-a)时,
f(x)=-f(-x)=-φ(-x);
若f(x)为偶函数,则当x∈(-b,-a)时,
f(x)=f(-x)=φ(-x).
2.若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数,则必有f(0)=0,不能漏掉.
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延伸探究若将本例中的“奇”改为“偶”,“x>0”改为“x≥0”,其他条件不变,求f(x)的解析式.
解:当x<0时,-x>0,此时f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x)=-2x2-3x+1,所以f(x)的解析式为
探究一
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函数奇偶性与单调性的综合应用
1.比较函数值的大小
例3已知偶函数f(x)的定义域为R,当f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是( )
A.f(π)>f(-3)>f(-2)
B.f(π)>f(-2)>f(-3)
C.f(π)
D.f(π)答案:A
解析:∵f(x)在R上是偶函数,∴f(-2)=f(2),f(-3)=f(3).∵2<3<π,且f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,
∴f(2)f(π),∴f(-2)探究一
探究二
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反思感悟应用函数的单调性与奇偶性判断函数值的大小时,先利用函数的奇偶性将自变量转化到同一个单调区间上,再根据函数的单调性对函数值的大小作出比较.
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延伸探究(1)若将本例中的“增函数”改为“减函数”,其他条件不变,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系如何?
(2)若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”,其他条件不变,比较这三个函数值的大小.
解:(1)因为当x∈[0,+∞)时,f(x)是减函数,所以有f(2)>f(3)>f(π).又因为f(x)是R上的偶函数,所以f(-2)=f(2),f(-3)=f(3),
从而有f(-2)>f(-3)>f(π).
(2)因为函数为定义在R上的奇函数,且在[0,+∞)上单调递增,所以函数在R上是增函数,
因为-3<-2<π,所以f(-3)探究一
探究二
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2.解函数不等式
例4已知定义在区间[-2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递增,若f(1-m)解:因为f(x)在区间[-2,2]上为奇函数,且在区间[0,2]上单调递减,所以f(x)在[-2,2]上单调递减.
探究一
探究二
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反思感悟解有关奇函数f(x)的不等式f(a)+f(b)<0,先将f(a)+f(b)<0变形为f(a)<-f(b)=f(-b),再利用f(x)的单调性去掉“f”,化为关于a,b的不等式.另外,要特别注意函数的定义域.
由于偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反,所以我们要利用偶函数的性质f(x)=f(|x|)=f(-|x|)将f(g(x))中的g(x)全部化到同一个单调区间内,再利用单调性去掉符号f,使不等式得解.
探究一
探究二
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延伸探究若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”,把区间“[0,2]”改为“[-2,0]”,其他条件不变,求实数m的取值范围.
解:因为函数为[-2,2]上的偶函数,又函数在[-2,0]上单调递减,所以函数在[0,2]上单调递增,
不等式可化为f(|1-m|)探究一
探究二
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利用定义法、赋值法解决抽象函数奇偶性问题
典例1若定义在R上的函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),且当x>0时,f(x)<0,则( )
A.f(x)是奇函数,且在R上是增函数
B.f(x)是奇函数,且在R上是减函数
C.f(x)是奇函数,且在R上不是单调函数
D.无法确定f(x)的单调性和奇偶性
探究一
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解析:令x1=x2=0,则f(0)=2f(0),所以f(0)=0.
令x1=x,x2=-x,
则f(-x)+f(x)=f(x-x)=f(0)=0,
所以f(-x)=-f(x),故函数y=f(x)是奇函数.
设x10,所以f(x2-x1)<0,
故f(x2)所以函数y=f(x)在R上是减函数.故选B.
答案:B
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典例2已知函数f(x),x∈R,若对于任意实数x1,x2,都有f(x1+x2)+f(x1-x2)=2f(x1)·f(x2),
求证:函数f(x)为偶函数.
证明:令x1=0,x2=x,得f(x)+f(-x)=2f(0)f(x).①
令x2=0,x1=x,得f(x)+f(x)=2f(0)f(x).②
由①②得f(x)+f(-x)=f(x)+f(x),即f(-x)=f(x),所以函数f(x)为偶函数.
反思感悟1.判断抽象函数的奇偶性,应利用函数奇偶性的定义,找准方向,巧妙赋值,合理、灵活变形,找出f(-x)与f(x)的关系,从而判断或证明抽象函数的奇偶性.
2.有时需要在整体上研究f(-x)+f(x)的和的情况.
比如:上面典例1中利用f(-x)+f(x)=0可得出y=f(x)是奇函数.
探究一
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变式训练定义在R上的函数y=f(x)满足:对任意α,β∈R,总有f(α+β)-[f(α)+f(β)]=2
019,则下列说法正确的是( )
A.f(x)-1是奇函数
B.f(x)+1是奇函数
C.f(x)-2
019是奇函数
D.f(x)+2
019是奇函数
答案:D
解析:令α=β=0,则f(0)-[f(0)+f(0)]=2
019,
即f(0)=-2
019.
令β=-α,则f(0)-[f(α)+f(-α)]=2
019,
即f(α)+f(-α)=-4
038,
则f(-α)+2
019=-2
019-f(α)=-[2
019+f(α)],
即f(x)+2
019是奇函数,故选D.
探究一
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A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数也不是偶函数
答案:D
解析:由题意知函数的定义域是(-∞,-4)∪(-4,+∞),不关于原点对称,所以该函数既不是奇函数又不是偶函数.
探究一
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探究三
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2.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2-x,则f(1)=( )
A.-1
B.-3
C.1
D.3
答案:B
解析:当x≤0时,f(x)=2x2-x,f(-1)=2×(-1)2-(-1)=3.因为f(x)是定义在R上的奇函数,
故f(1)=-f(-1)=-3,故选B.
探究一
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探究三
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答案:D
3.函数f(x)的定义域为R,且对任意x∈R,有f(x)满足f(-x)=f(x),且f(x)在区间(-∞,-1]上单调递增,则( )
探究一
探究二
探究三
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6.已知奇函数f(x)在R上是减函数,且f(3a-10)+f(4-2a)<0,求a的取值范围.
解:∵f(3a-10)+f(4-2a)<0,
∴f(3a-10)<-f(4-2a).
∵f(x)为奇函数,
∴-f(4-2a)=f(2a-4).
∴f(3a-10)又f(x)在R上是减函数,∴3a-10>2a-4.
∴a>6.故a的取值范围为(6,+∞).(共33张PPT)
4.2 简单幂函数的图象和性质
激趣诱思
知识点拨
幂函数在生活、建筑、军事等多个领域都有着重要的应用.那么幂函数如何定义?它的图象和性质是怎样的呢?
激趣诱思
知识点拨
一、幂函数的定义
一般地,形如 (α为常数)的函数,即 是自变量、
是常数的函数称为幂函数.?
名师点析1.幂的指数是一个常数,它可以取任意实数;
2.幂值前面的系数是1,否则不是幂函数,如函数y=5
就不是幂函数.
3.幂函数的定义域是使xα有意义的所有x的集合,因α的不同,定义域也不同.
y=xα
底数
指数
激趣诱思
知识点拨
微练习
在函数①y=
,②y=3x2,③y=x2+2x中,幂函数的序号为 .（填序号）
答案:①
解析:函数y=
=x-4为幂函数;函数y=3x2中x2的系数不是1,所以它不是幂函数;函数y=x2+2x不是y=xα(α∈R)的形式,所以它不是幂函数.
激趣诱思
知识点拨
二、幂函数的图象和性质
1.常见的五种幂函数的图象
可以发现任一幂函数在第一象限内必有图象,在第四象限内无图象.
激趣诱思
知识点拨
2.幂函数的性质
[0,+∞)
[0,+∞)
[0,+∞)
奇函数
偶函数
既不是奇
函数,也不
是偶函数
奇函数
增函数
单调递增
单调递减
增函数
单调递减
(1,1)
单调递减
激趣诱思
知识点拨
名师点析幂函数y=xα的上述性质可归纳如下:
(1)当α>0时,图象都通过点(0,0),(1,1);在第一象限内,函数单调递增.
(2)当α<0时,图象都通过点(1,1);在第一象限内,函数单调递减,图象向上与y轴无限接近,向右与x轴无限接近.
激趣诱思
知识点拨
微判断
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)幂函数的图象可以出现在平面直角坐标系中的任意一个象限.( )
(2)幂函数的图象必过(0,0)和(1,1).( )
答案:
(1)× (2)×
激趣诱思
知识点拨
微练习
(2)已知幂函数f(x)=xα的图象经过点(2,
),则函数f(x)为( )
A.奇函数且在(0,+∞)上单调递增
B.偶函数且在(0,+∞)上单调递减
C.既不是奇函数,又不是偶函数且在(0,+∞)上单调递增
D.既不是奇函数,又不是偶函数且在(0,+∞)上单调递减
激趣诱思
知识点拨
答案:
(1)
C
(2)
C
探究一
探究二
探究三
探究四
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幂函数的概念
例1函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)单调递增,试确定m的值.
分析由f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x>0时单调递增,可先利用幂函数的定义求出m的值,再利用单调性确定m的值.
解:根据幂函数的定义,得m2-m-5=1,
解得m=3或m=-2.
当m=3时,f(x)=x2在(0,+∞)上单调递增;
当m=-2时,f(x)=x-3在(0,+∞)上单调递减,不符合要求.故m=3.
探究一
探究二
探究三
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反思感悟判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式,即:(1)系数为1;(2)指数为常数;(3)后面不加任何项.反之,若一个函数为幂函数,则该函数必具有这种形式.
探究一
探究二
探究三
探究四
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变式训练1如果幂函数y=(m2-3m+3)
的图象不过原点,求实数m的取值.
解:由幂函数的定义得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2;
当m=1时,m2-m-2=-2,函数为y=x-2,其图象不过原点,满足条件;
当m=2时,m2-m-2=0,函数为y=x0,其图象不过原点,满足条件.
综上所述,m=1或m=2.
探究一
探究二
探究三
探究四
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幂函数的图象
例2已知函数y=xa,y=xb,y=xc的图象如图所示,则a,b,c的大小关系为( )
A.cB.aC.bD.c分析利用幂函数在第一象限内的图象特征和性质,结合所给图象分析并判断a,b,c的大小关系.
答案:A
解析:由幂函数的图象特征,知c<0,a>1,0探究一
探究二
探究三
探究四
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反思感悟1.本题也可采用特殊值法,如取x=2,结合图象可知2a>2b>2c,又函数y=2x在R上是增函数,于是a>b>c.
2.对于函数y=xα(α为常数)而言,其图象有以下特点:
(1)恒过点(1,1).
(2)当x∈(0,1)时,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”);当x∈(1,+∞)时,指数越大,幂函数的图象越远离x轴(简记为“指大图高”).
(3)由幂函数的图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1或y=
,y=x3)来判断.
(4)当α>0时,幂函数在区间(0,+∞)上都是增函数;当α<0时,幂函数在区间(0,+∞)上都是减函数.
探究一
探究二
探究三
探究四
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变式训练2如图所示,曲线C1与C2分别是函数y=xm和y=xn在第一象限内的图象,则下列结论正确的是( )
A.nB.mC.n>m>0
D.m>n>0
答案:A
解析:画出直线y=x0的图象,作出直线x=2,与三个函数图象交于点(2,20),(2,2m),(2,2n).由三个点的位置关系可知,n探究一
探究二
探究三
探究四
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利用幂函数的单调性比较大小
例3比较下列各组中两个数的大小:
探究一
探究二
探究三
探究四
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探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
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反思感悟1.比较幂大小的三种常用方法
2.利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题
比较大小的两个实数必须在同一函数的同一个单调区间内,否则无法比较大小.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
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A.bB.aC.bD.c答案:A
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
幂函数图象的应用
图象上,问当x为何值时,有:(1)f(x)>g(x),(2)f(x)=g(x),(3)f(x)分析先利用幂函数的定义求出f(x),g(x)的解析式,再利用图象判断.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
在同一直角坐标系中作出f(x)=x2和g(x)=x-2的图象,如图所示:
(1)当x>1或x<-1时,f(x)>g(x);
(2)当x=1或x=-1时,f(x)=g(x);
(3)当-1探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
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变式训练4已知(0.71.3)m<(1.30.7)m,求m的取值范围.
解:根据幂函数y=x1.3的图象,知当0又根据幂函数y=x0.7的图象,知
当x>1时,y>1,∴1.30.7>1.
于是有0.71.3<1.30.7.
对于幂函数y=xm,由(0.71.3)m<(1.30.7)m知,
当x>0时,随着x的增大,函数值y也增大,所以m>0.
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幂函数的“凸”性
(1)上凸函数、下凸函数的定义
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(2)幂函数的凸性
①幂函数y=xα,x∈(0,+∞),在α>1时,函数是下凸函数;
②幂函数y=xα,x∈(0,+∞),在0<α<1时,函数是上凸函数;
③幂函数y=xα,x∈(0,+∞),在α<0时,函数是下凸函数.
这个定义从几何形式上看就是:在函数f(x)的图象上取任意两点,如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的上方,那么这个函数就是上凸函数;如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方,那么这个函数就是下凸函数.根据函数图象判断,一般开口向下的二次函数是上凸函数,开口向上的二次函数是下凸函数.
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典例如图,fi(x)(i=1,2,3,4)是定义在区间[0,1]上的四个函数,其中满足性质:“对[0,1]中任意的x1和x2,任意λ∈[0,1],
f[λx1+(1-λ)x2]≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)恒成立”的只有( )
A.f1(x)
B.f2(x)
C.f3(x)
D.f4(x)
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再结合函数f(x)图象的凹凸性,可排除B,C,D三个选项,正确答案为A.
答案:A
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1.幂函数y=kxα过点(4,2),则k-α的值为( )
答案:B
解析:幂函数y=kxα过点(4,2),
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A.C2,C1,C3,C4
B.C4,C1,C3,C2
C.C3,C2,C1,C4
D.C1,C4,C2,C3
答案:D
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3.幂函数f(x)=x3m-5(m∈N)在区间(0,+∞)上是单调递减,且对定义域中的任意x,有f(-x)=f(x),则m等于( )
A.0
B.1
C.2
D.3
答案:B
解析:幂函数f(x)=x3m-5(m∈N)在(0,+∞)上单调递减,则3m-5<0,即
又m∈N,故m=0或m=1.
∵f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数.
当m=0时,f(x)=x-5是奇函数;
当m=1时,f(x)=x-2是偶函数,符合题意.
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5.比较下列各组中两个值的大小: