2020_2021学年新教材高中数学第二章函数章末整合课件北师大版必修第一册（共21张PPT）

(共21张PPT)
章末整合
专题一　几种特殊函数模型的应用?
1.二次函数
例1已知函数f(x)=ax2-2ax+2+b(a>0)在区间[2,3]上的值域为[2,5].
(1)求a,b的值;
(2)若关于x的函数g(x)=f(x)-(m+1)x在区间[2,4]上为单调函数,求实数m的取值范围.
解:(1)∵f(x)=a(x-1)2+2+b-a,且a>0,
∴函数f(x)的图象开口向上且对称轴为直线x=1.
∴函数f(x)在[2,3]上单调递增.
方法技巧解决二次函数在某区间上的单调性、值域、最值问题,关键是对函数图象的对称轴与给定区间的相对位置关系进行讨论,一般分为对称轴在区间的左侧、内部、右侧三种情况求解.
变式训练1已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2ax+a+2,其中a∈R.
(1)当a=1时,f(-1)=　　　　　;?
(2)若f(x)的值域为R,则a的取值范围是　　　　　.?
答案:
(1)-2　(2)(-∞,-2]∪[2,+∞)　
解析:
(1)已知a=1,∴当x>0时,f(x)=x2-2x+3.
∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(-1)=-f(1)=-(1-2+3)=-2.
(2)由f(x)是定义在R上的奇函数,可得f(0)=0.
又当x>0时,f(x)图象的对称轴为直线x=a,
∴若f(x)的值域为R,
∴a≥2或a≤-2,
即a的取值范围为(-∞,-2]∪[2,+∞).
2.分段函数
取值范围是　　　　　.?
点拨解决有关分段函数的不等式问题的一般方法是根据自变量所在范围,及与之对应的函数,化成不含“f”的不等式求解,此时一般需分多种情况进行讨论.若给定的分段函数具有一定的单调性,则可利用单调性去掉符号“f”,运用这种方法求解往往比较简便.
变式训练2已知函数
(1)求实数m的值;
(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.
解:(1)设x<0,则-x>0,
∴f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.
∵f(x)是奇函数,即f(-x)=-f(x),
∴当x<0时,f(x)=x2+2x=x2+mx,∴m=2.
3.“双曲”函数
例3画出函数y=
的图象,写出函数的单调区间,并求出函数在[-1,2]上的值域.
分析用“分离常数法”将原函数转化成反比例函数类型.
4.“对勾”函数
例4(2019海南中学高一阶段检测)已知函数f(x)=x+
,且f(1)=3.
(1)直接写出m的值及该函数的定义域、值域和奇偶性;
(2)判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性,并用定义证明你的结论.
(3)图象如图所示.这个函数的图象形如两个对勾,因此,我们称它为“对勾”函数.
专题二　利用函数单调性求函数的最值?
(1)判断f(x)在[1,2]和[2,3]上的单调性;
(2)根据f(x)的单调性写出f(x)的最值.
∴f(x1)>f(x2),
即f(x)在[1,2]上是减函数.
当2≤x1∴f(x1)即f(x)在[2,3]上是增函数.
方法技巧
利用定义证明函数的单调性,作差变形要“彻底”,也就是说,要转化为几个因式相乘的形式,且每个因式都能够利用题设条件判断其符号.在证明单调性时,其一般流程为取值、作差、变形、判断符号、结论,最后再借助最值与单调性的关系,写出最值.
变式训练3已知函数f(x)=x2-2x+3在[0,a](a>0)上最大值为3,最小值为2,求实数a的取值范围.
解:f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2.
(1)当0最小值为f(a)=a2-2a+3=(a-1)2+2>2.所以0(2)当a≥1时,函数f(x)=(x-1)2+2在[0,1]上单调递减,在[1,a]上递增,故最小值为f(1)=2.
又因为f(0)=3,所以f(0)≥f(a).
此时,函数f(x)=x2-2x+3在[0,a]上的最大值为3,最小值为2.
综上所述,a的取值范围是1≤a≤2.
专题三　函数性质的综合应用?
例6(1)定义在R上的函数f(x)在(-∞,2)上单调递增,且f(x+2)为偶函数,则(　　)
A.f(-1)B.f(0)>f(3)
C.f(-1)=f(3)
D.f(0)=f(3)
(2)设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)的图象关于直线x=
对称,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=　　　　.?
答案:
(1)
A　
(2)0　
解析:
(1)因为f(x+2)为偶函数,所以其图象关于y轴对称,由于f(x+2)的图象可由f(x)的图象向左平移2个单位长度得到,故f(x)的图象关于直线x=2对称.
因为函数f(x)在(-∞,2)上是增函数,所以f(x)在(2,+∞)上单调递增,所以f(-1)=f(5)(2)由f(x)是R上的奇函数,得f(0)=0.
∵f(x)的图象关于直线x=
对称,
于是f(x)=f(1-x),
∴f(1)=f(0)=0,f(2)=f(-1)=-f(1)=0,f(3)=f(-2)=-f(2)=0,f(4)=f(-3)
=-f(3)=0,f(5)=f(-4)=-f(4)=0,从而f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=0.
方法技巧偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.这一结论可以推广:①f(a+x)=f(a-x)?f(x)=f(2a-x)?f(x)的图象关于直线x=a对称;②f(a-x)=-f(a+x)?f(x)的图象关于点(a,0)对称.
变式训练4已知函数y=f(x)(x≠0)是奇函数,且当x∈(0,+∞)时单调递增,若f(1)=0,求不等式f
<0的解集.
解:∵f(x)是奇函数,且f(1)=0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,
∴f(-1)=-f(1)=0,且f(x)在(-∞,0)上单调递增.