(共28张PPT)
2.1 古典概型的概率计算公式
2.2 古典概型的应用
第1课时 古典概型的概率计算公式及其应用
激趣诱思
知识点拨
齐王与田忌赛马,田忌的上马优于齐王的中马,劣于齐王的上马,田忌的中马优于齐王的下马,劣于齐王的中马,田忌的下马劣于齐王的下马.现各出上、中、下三匹马分别进行一场比赛,胜两场以上(含两场)即为获胜.若齐王知道田忌马的出场顺序,他获胜的概率是多大?如田忌知道齐王马的出场顺序,他能获胜吗?若双方均不知对方马的出场顺序,你能探求田忌获胜的概率吗?
激趣诱思
知识点拨
一、古典概型
2.一般地,若试验E具有如下特征:
(1)有限性:试验E的样本空间Ω的样本点总数有限,即样本空间Ω为有限样本空间;
(2)等可能性:每次试验中,样本空间Ω的各个样本点出现的可能性相等.
则称这样的试验模型为古典概率概型,简称古典概型.
1.对于随机事件A,通常用一个数P(A)(0≤P(A)≤1)来表示该事件发生的可能性大小,这个数就称为随机事件A的概率.
激趣诱思
知识点拨
名师点析古典概型的判断标准
一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特点:有限性和等可能性,并不是所有的试验都是古典概型.
下列三类试验不是古典模型:
(1)样本点个数有限,但非等可能;
(2)样本点个数无限,但等可能;
(3)样本点个数无限,也非等可能.
激趣诱思
知识点拨
微练习
下列试验中,是古典概型的是( )
A.种下一粒种子观察它是否发芽
B.从规格直径为(250±0.6)
mm的一批合格产品中任意取一件,测量其直径
C.抛掷一枚质量均匀硬币,观察其出现正面或反面
D.某人射击中靶或不中靶
答案:C
激趣诱思
知识点拨
二、古典概型的概率计算公式
对古典概型来说,如果样本空间Ω包含的样本点总数为n,随机事件A包含的样本点个数为m,那么事件A发生的概率为
名师点析使用古典概型概率公式的注意事项
(1)首先判断该模型是不是古典概型;
(2)找出随机事件A所包含的样本点的个数和试验中样本点的总数.
激趣诱思
知识点拨
微练习
有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )
答案:C
解析:选取两支彩笔的方法有10种,即(红、黄),(红、蓝),(红、绿),(红、紫),(黄、蓝),(黄、绿),(黄、紫),(蓝、绿),(蓝、紫),(绿、紫),含有红色彩笔的选法有4种,即(红、黄),(红、蓝),(红、绿),(红、紫),由古典概型公式,得满足题意的概率为
探究一
探究二
探究三
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古典概型的判断
例1判断下列概率模型是否属于古典概型?
(1)在区间[0,2]上任取一点;
(2)某人从甲地到乙地共有10条路线中任意一条;
(3)任意抛掷两枚质地均匀的骰子,所得点数之和作为基本事件.
分析从有限性和等可能性两个方面入手,对每个概率模型进行判断.
探究一
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反思感悟
古典概型的判断方法
判断一个试验是不是古典概型,关键看它是否具备古典概型的两个特征:(1)一次试验中,可能出现的样本点只有有限个,即有限性;(2)每个样本点出现的可能性是均等的,即等可能性.
解:(1)区间[0,2]包含无穷多个点,从
[0,2]上任取一点时,有无穷多种取法,不满足有限性,因此这不是古典概型.
(2)从甲地到乙地共有10条路线,某人从中任取一条,共有10种选法,满足有限性,又每一条路线被选中的可能性是相同的,满足等可能性,因此这是古典概型.
(3)任意抛掷两枚质地均匀的骰子,点数之和共有11种可能,即点数之和分别是:2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,满足有限性,但这11种结果不是等可能出现的,不满足等可能性,故这不是古典概型.
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变式训练1下列试验不是古典概型的是 .(填序号)?
①从6名同学中任选4人,参加数学竞赛;
②近三天中有一天降雨;
③从10人中任选两人表演节目.
答案:②
解析:①③为古典概型,它们符合古典概型的两个特征:有限性和等可能性.②不符合等可能性.
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古典概型概率的求解
例2袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a,b的2个黑球和编号为c,d,e的3个红球,从中任意摸出2个球,写出试验的样本空间,并求至少摸出1个黑球的概率.
分析写试验的样本空间时要逐一写出,用古典概型的概率公式可得概率.
解:试验的样本空间为
Ω={(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)},n=10.
记“至少摸出1个黑球”为事件A,则事件A包含7个样本点,∴m=7.
即至少摸出1个黑球的概率为0.7.
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延伸探究袋子中有红、白色球各1个,每次任取一个,有放回地摸三次,写出试验的样本空间,并计算下列事件的概率:(1)三次颜色恰有两次同色;(2)三次颜色全相同;(3)三次摸到的红球多于白球.
解:试验的样本空间Ω={(红,红,红)、(红,红,白)、(红,白,红)、(白,红,红)、(红,白,白)、(白,红,白)、(白,白,红)、(白,白,白)}.样本点总数n=8.
(1)记事件A为“三次颜色恰有两次同色”.
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古典概型的综合问题
例3编号分别为A1,A2,…,A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下:
(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格:
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(2)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人,
①用运动员编号列出所有可能的抽取结果;
②求这2人得分之和大于50的概率.
解:(1)由得分记录表,从左到右应填4,6,6.
(2)①得分在区间[20,30)内的运动员编号为A3,A4,A5,A10,A11,A13.从中随机抽取2人,所有可能的抽取结果有(A3,A4),(A3,A5),(A3,A10),(A3,A11),(A3,A13),(A4,A5),(A4,A10),(A4,A11),(A4,A13),(A5,A10),(A5,A11),(A5,A13),(A10,A11),(A10,A13),(A11,A13),共15种.
②从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人,将“这2人得分之和大于50”记为事件B,则事件B的所有可能结果有(A4,A5),(A4,A10),(A4,A11),(A5,A10),(A10,A11),共5种.
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反思感悟
古典概型综合问题的解题方法
(1)要深刻理解问题所涉及的其他数学知识,在理解题意的基础上结合古典概型的计算公式进行求解.
(2)古典概型信息迁移题通过给出一个新概念或定义一种新运算或给出几个新模型等来创设新的问题情境,要求同学们在阅读理解的基础上,应用所学的知识和方法,实现信息的迁移,以达到灵活解题的目的.
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变式训练2(1)设a,b∈{1,2,3},则函数f(x)=x2+bx+a无零点的概率为 ;?
(2)“渐升数”是指每个数字比其左边的数字大的自然数(如2
578),在两位的“渐升数”中任取一个数比37大的概率是 .?
解析:
(1)由题意知本题是一个古典概型问题,因为试验发生包含的事件是从含有3个元素的集合中取元素,每一个有3种取法,共有3×3=9种结果.满足条件的事件是使函数f(x)=x2+bx+a无零点的结果,要满足b2-4a<0,即b2<4a.从所给的数据中,当b=1时,a有3种结果;当b=2时,a有2种结果;当b=3时,a有1种结果.
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(2)十位是1的“渐升数”有8个;十位是2的“渐升数”有7个;…;十位是8的“渐升数”有1个,所以两位的“渐升数”共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(个);以3为十位数,比37大的“渐升数”有2个,分别以4,5,6,7,8为十位数的“渐升数”均比37大,且共有5+4+3+2+1=15(个),所以比37大的两位“渐升数”共有2+15=17(个).故在两位的“渐升数”中任取一个数比37大的概率是
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变换角度,巧解古典概型
典例
甲、乙、丙、丁四名学生按任意次序站成一排,则甲站在边上的概率为 .?
方法一如图所示.
由图可看出共有24个样本点.
甲站在边上有12个样本点:(甲,乙,丙,丁),(甲,乙,丁,丙),(甲,丙,乙,丁),(甲,丙,丁,乙),(甲,丁,乙,丙),(甲,丁,丙,乙),(乙,丙,丁,甲),(乙,丁,丙,甲),(丙,乙,丁,甲),(丙,丁,乙,甲),(丁,乙,丙,甲),(丁,丙,乙,甲).故甲在边
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方法二甲、乙、丙、丁四人站队,排头和排尾的站法共有:(甲,乙),(乙,甲),(甲,丙),(丙,甲),(甲,丁),(丁,甲),(乙,丙),(丙,乙),(乙,丁),(丁,乙),(丙,丁),(丁,丙)12个样本点,其中甲站在边上的情况有:(甲,乙),(乙,甲),(甲,丙),(丙,甲),(甲,丁),(丁,甲)6个样本点,故甲站在边上的概率为
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方法点睛
1.从不同的角度把握问题,进而转化为不同的古典概型,这是我们进行概率计算的重要思想.当所选取的试验可能出现的结果的角度不同时,样本点的个数也将不同,但是最终所求概率的值是确定的.
2.在写试验的所有可能结果时,务必弄清问题的本质,选取合适的着眼点,有时需要“放短”眼光,只考虑影响某次试验结果的事件总数即可,如本例可只考虑排头和排尾两个特殊位置.
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变式训练用三种不同的颜色给图中的3个矩形随机涂色,且每个矩形只涂一种颜色,求:
(1)3个矩形颜色都相同的概率;
(2)3个矩形颜色都不同的概率.
解:用三种不同的颜色给图中的3个矩形随机涂色,共有27个样本点,如图所示.
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1.下列试验中,是古典概型的个数为( )
①种下一粒花生,观察它是否发芽;
②向上抛一枚质地不均的硬币,观察正面向上的概率;
③在正方形ABCD内任意一点P,点P恰与点C重合;
④从1,2,3,4四个数中,任取两个数;
⑤在区间[0,5]上任取一点.
A.0
B.1
C.2
D.3
答案:B
解析:只有④是古典概型.
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2.从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则logab为整数的概率是 .?
解析:从2,3,8,9任取2个分别记为(a,b),则有(2,3),(3,2),(2,8),(8,2),(2,9),(9,2),(3,8),(8,3),(3,9),(9,3),(8,9),(9,8),共有12种情况,其中符合logab为整数的有log39和log28两种情况,所以
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3.若将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次,则出现向上的点数之和为4的概率为 .?
解析:将先后抛掷2次,出现向上的点数记作点坐标(x,y),则共可得样本点个数为6×6=36,而向上点数之和为4的样本点有(1,3),(2,2),(3,1),共3个,故所求概率为
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4.某商场举行购物抽奖促销活动,规定每位顾客从装有编号为0,1,2,3四个相同小球的抽奖箱中,每次取出一个球记下编号后放回,连续取两次,若取出的两个小球号码相加之和等于6,则中一等奖,等于5则中二等奖,等于4或3则中三等奖.
(1)求中三等奖的概率;
(2)求中奖的概率.
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解:设“中三等奖”为事件A,“中奖”为事件B,从四个小球中有放回地取两球有(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(3,0),(3,1),(3,2),(3,3)共16个样本点.
(1)取出的两个小球号码相加之和等于4或3的取法有(1,3),(2,2),(3,1),(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)共7个样本点,则中三等奖的概
(2)由(1)知两个小球号码相加之和等于3或4的取法有7个;两个小球号码相加之和等于5的样本点有2个:(2,3),(3,2).两个小球号码相加之和等于6的样本点有1个:(3,3).则中奖的概率为(共23张PPT)
第2课时 互斥事件概率的求法
激趣诱思
知识点拨
问题一:抛掷一枚骰子,点数2朝上和点数3朝上可以同时发生吗?
问题二:在两个装有质量盘的不透明箱子中各随机地取出一个质量盘,“总质量至少20
kg”与“总质量不超过10
kg”能同时发生吗?
激趣诱思
知识点拨
一、互斥事件的概率加法公式
1.定义:在一个试验中,如果事件A和事件B是互斥事件,那么有P(A∪B)=P(A)+P(B),这一公式称为互斥事件的概率加法公式.
2.推广:一般地,如果事件A1,A2,…,An两两互斥,那么有P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
名师点析互斥事件概率加法公式的作用
在求某些较为复杂事件的概率时,先将它分解为一些较为简单的、并且概率已知或较容易求出的彼此互斥的事件,再利用互斥事件的概率加法公式求出概率.因此互斥事件的概率加法公式具有“化整为零、化难为易”的功能,但需要注意的是使用该公式时必须检验是否满足前提条件“两两互斥”.
激趣诱思
知识点拨
微练习
在掷骰子的试验中,向上的数字是1或2的概率是 .?
激趣诱思
知识点拨
二、对立事件的概率公式
名师点析(1)对立事件的概率公式使用的前提是两个事件对立,否则不能使用.
(2)当一个事件的概率不易直接求出,但其对立事件的概率易求时,可运用对立事件的概率公式,即运用间接法求概率.
激趣诱思
知识点拨
微练习
从4名男生和2名女生中任选3人去参加演讲比赛,所选3人都是男生的概率是
,则所选3人中至少有1名女生的概率为 .?
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探究二
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互斥事件的概率
(1)分别求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率;
(2)求得到的小球既不是黑球也不是绿球的概率.
分析从12个球中任取一球,取到红球、黑球、白球两两互斥,所以可用互斥事件概率的加法公式求解.
探究一
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解:(1)从袋中任取一球,记事件A为“得到红球”,B为“得到黑球”,C为“得到黄球”,D为“得到绿球”,则事件A,B,C,D两两互斥.由
探究一
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(2)∵得到的球既不是黑球也不是绿球,
∴得到的球是红球或黄球,即事件A+C,
反思感悟互斥事件的概率的求解策略
1.当一个事件包含几种情况时,可把事件转化为几个互斥事件的并事件,再利用互斥事件的概率的加法公式计算.
2.使用互斥事件的概率加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)时,必须先判断A,B是否为互斥事件.
探究一
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变式训练(1)一个口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出一个球,摸出红球或白球的概率为0.58,摸出红球或黑球的概率为0.62,那么摸出红球的概率为( )
A.0.42
B.
0.38
C.
0.2
D.
0.8
(2)向三个相邻的军火库投一枚炸弹,炸中第一个军火库的概率为0.2,炸中第二个军火库的概率为0.12,炸中第三个军火库的概率为0.28,三个军火库中,只要炸中一个另两个也会发生爆炸,求军火库发生爆炸的概率.
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答案:
(1)
C
解析:记分别摸一个球为红球、白球和黑球为事件A,B,C,则A,B,C为互斥事件,且A+B+C为必然事件,由题意知P(A)+P(B)=0.58,P(A)+P(C)=0.62,P(A)+P(B)+P(C)=1,解得P(A)=0.2.
(2)解:设A,B,C分别表示炸中第一、第二及第三个军火库这三个事件,事件D表示军火库爆炸,已知P(A)=0.2,P(B)=0.12,P(C)=0.28.又因为只投掷了一枚炸弹,故不可能炸中两个及以上军火库,所以A,B,C是互斥事件,且D=A+B+C,所以P(D)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.2+0.12+0.28=0.6,即军火库发生爆炸的概率为0.6.
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互斥事件和对立事件的概率
例2某射手在一次射击训练中,射中10环,9环,8环,7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28,计算这个射手在一次射击中:
(1)射中10环或7环的概率;
(2)不够7环的概率.
分析先设出事件,判断是否互斥或对立,然后再使用概率公式求解.
解:(1)设“射中10环”为事件A,“射中7环”为事件B,由于在一次射击中,A与B不可能同时发生,故A与B是互斥事件.“射中10环或7环”的事件为A∪B.故P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.21+0.28=0.49,∴射中10环或7环的概率为0.49.
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反思感悟互斥事件和对立事件的概率的求解策略
1.对于一个较复杂的事件,一般将其分解成几个简单的事件,当这些事件彼此互斥时,原事件的概率等于这些事件概率的和.并且互斥事件的概率加法公式可以推广为:P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).其使用的前提条件仍然是A1,A2,…,An两两互斥.故解决此类题目的关键在于分解事件及确定事件是否互斥.
2.“正难则反”是解决问题的一种很好的方法,应注意掌握,如本例中的第(2)问,不能直接求解,则可考虑求其对立事件的概率,再转化为所求.
探究一
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延伸探究本例条件不变,求射中8环及以上的概率.
解:记“射中8环及以上”为事件H,因为“射中8环”、“射中9环”、“射中10环”彼此是互斥事件,所以P(H)=0.21+0.23+0.25=0.69.
∴射中8环及以上的概率为0.69.
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复杂的互斥事件的概率
典例
在“元旦”联欢会上设有一个抽奖游戏.抽奖箱中共有12张纸条,分一等奖、二等奖、三等奖、无奖四种.从中任取一张,不中奖的
探究一
探究二
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当堂检测
解:设任取一张,抽得一等奖、二等奖、三等奖、不中奖的事件分别为A,B,C,D,它们是两两互斥事件.由条件可得
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
方法点睛1.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法:一是直接求法,即将事件的概率分解成一些彼此互斥事件的概率的和;二是间接求法,先求出此事件的对立事件的概率,再用公式P(A)=1-
即运用逆向思维法(正难则反).
2.特别是解决“至多”“至少”型的题目,用方法二显得更为方便,注意对立事件的分类做到不重不漏.
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探究二
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1.某次抽奖活动共设置一等奖、二等奖两类奖项,已知中一等奖的概率为0.1,中二等奖的概率为0.1,那么本次活动中,中奖的概率为( )
A.0.1
B.0.2
C.0.3
D.0.7
答案:B
解析:由于中一等奖,中二等奖为互斥事件,故中奖的概率为0.1+0.1=0.2.
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2.若事件A与B是互斥事件,且事件A+B的概率是0.8,事件A的概率是事件B的概率的3倍,则事件A的概率为( )
A.0.2
B.0.4
C.0.6
D.0.8
答案:C
解析:由已知得P(A)+P(B)=0.8,又P(A)=3P(B),于是P(A)=0.6.
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素养形成
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3.据统计,在某银行的一个营业窗口等候的人数及其相应的概率如下:
则至多有2人等候排队的概率是 ,至少有3人等候排队的概率是 .?
答案:0.54 0.46
解析:记A为“至多有2人等候排队”,则P(A)=0.05+0.14+0.35=0.54.B=“至少有3人等候排队”,则P(B)=0.3+0.1+0.06=0.46.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
4.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组,3个小组分别有39,32,33个成员,一些成员参加了不止1个小组,具体情况如图所示.随机选取1个成员:
(1)他至少参加2个小组的概率是多少?
(2)他参加不超过2个小组的概率是多少?
探究一
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素养形成
当堂检测
