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§3 对数函数
第1课时 对数函数的概念、图象与性质
激趣诱思
知识点拨
某种细胞进行分裂,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……,则1个这样的细胞分裂x次后得到细胞个数y如何表示?反之,如果知道一个细胞经过x次分裂后得到了1
024个细胞,该如何求解x的值呢?
激趣诱思
知识点拨
一、对数函数
1.对数函数的概念
(1)一般地,函数
叫作对数函数,其中a称为 ,由定义可知,对数函数具有以下基本性质:①定义域是 ;②图象过定点 .?
(2)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数.两者的定义域与值域正好互换.
2.两种特殊的对数函数
以 为底的对数函数为常用对数函数,记作y=lg
x;以 为底的对数函数为自然对数函数,记作y=ln
x.?
y=logax(a>0,且a≠1)
底数
(0,+∞)
(0,1)
10
无理数e
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.判断一个函数是不是对数函数的依据:
(1)形如y=logax;
(2)底数a满足a>0,且a≠1;
(3)真数为x,而不是x的函数.
2.根据指数式与对数式的关系知,y=logax可化为ay=x,
由指数函数的性质,可知在对数函数中,有a>0,且a≠1,x>0,y∈R.
3.同底的指数函数与对数函数互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.反函数的定义域是原函数的值域,反函数的值域是原函数的定义域.
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)下列函数是对数函数的是( )
A.y=logax+2(a>0,且a≠1,x>0)
激趣诱思
知识点拨
微拓展
1.若函数y=f(x)图象上有一点(a,b),则点(b,a)必在其反函数图象上;反之亦然.
2.单调函数的反函数与原函数有相同的单调性.
3.若一个奇函数存在反函数,则这个反函数也是奇函数.
激趣诱思
知识点拨
二、对数函数y=logax(a>0,a≠1)的图象和性质
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.对数函数的图象都在y轴的右侧,y轴可以看成对数函数图象的渐近线,x的取值越接近于0,图象越接近y轴.
2.对数函数函数值的符号常受到底数和真数的范围的制约,注意对底数a的分类讨论.
3.两个底数都大于1的对数函数,图象在第一象限内越接近x轴,底数越大;两个底数都大于0小于1的对数函数,图象在第四象限内越接近x轴,底数越小.
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)(多选题)若函数y=logax的图象如图所示,则a的值不可能是( )
A.0.5 B.2
C.e
D.π
(2)下列函数中,在区间(0,+∞)上不单调递增的是( )
A.y=5x
B.y=lg
x+2
C.y=x2+1
(3)函数f(x)=loga(x-2)的图象必经过定点 .?
激趣诱思
知识点拨
答案:(1)BCD (2)D (3)(3,0)
解析:(1)∵函数y=logax在(0,+∞)上单调递减,∴0
(3)由对数函数的性质可知,当x-2=1,即x=3时,y=0,即函数图象恒过定点(3,0).
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
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对数函数的概念
例1(1)已知函数f(x)=(m2-3m+3)·logmx是对数函数,则m= .?
①求f(x)的解析式;
②解方程f(x)=2.
分析(1)根据对数函数的形式定义确定参数m所满足的条件求解即可;(2)根据已知设出函数解析式,代入点的坐标求出对数函数的底数,然后利用指对互化解方程.
探究一
探究二
探究三
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(1)
答案:
2
解析:由对数函数的定义可得m2-3m+3=1,即m2-3m+2=0,也就是(m-1)(m-2)=0,解得m=1或m=2.又因为m>0,且m≠1,所以m=2.
探究一
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反思感悟1.对数函数是一个形式定义:
2.对数函数解析式中只有一个参数a,用待定系数法求对数函数解析式时只须一个条件即可.
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变式训练1(1)若函数f(x)=log(a+1)x+(a2-2a-8)是对数函数,则a= .?
(2)点A(8,-3)和B(n,2)在同一个对数函数图象上,则n= .?
解得a=4.
(2)设对数函数为f(x)=logax(a>0,且a≠1).
则由题意可得f(8)=-3,即loga8=-3,
探究一
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指数函数与对数函数关系的应用
例2(2020四川宜宾高一检测)已知函数f(x)=log2x,若函数g(x)是f(x)的反函数,则f(g(2))=( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案:B
解析:∵g(x)是f(x)的反函数,∴g(x)=2x.
∴g(2)=22=4,∴f(g(2))=f(4)=log24=2.
反思感悟涉及指数函数和对数函数互为反函数的问题,一定注意前提是“同底数”,且它们的图象关于直线y=x对称;反之,两个函数图象关于直线y=x对称,则这两个函数互为反函数.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
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变式训练2已知函数g(x)=f(x)+x2是奇函数,当x>0时,函数f(x)的图象与函数y=log2x的图象关于直线y=x对称,则g(-1)+g(-2)=( )
A.-7
B.-9
C.-11
D.-13
答案:C
解析:由题意知f(x)=2x,
所以当x>0时,g(x)=2x+x2.
又∵g(x)为奇函数,∴g(-1)=-g(1)=-3,g(-2)=-g(2)=-(22+22)=-8.
∴g(-1)+g(-2)=-11.
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与对数函数有关的定义域、值域问题
例3(1)函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为( )
A.(-∞,0)∪(1,+∞)
B.(-∞,0]∪[1,+∞)
C.(0,1)
D.[0,1]
(2)已知函数f(x)=2lo
x的值域为[-1,1],则函数f(x)的定义域是 .?
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解析:
(1)由题意得x2-x>0,
解得x>1或x<0,
故函数的定义域是(-∞,0)∪(1,+∞).故选A.
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反思感悟定义域问题注意事项
(1)要遵循以前已学习过的求定义域的方法,如分式分母不为零,偶次根式被开方式大于或等于零等.
(2)遵循对数函数自身的要求:一是真数大于零;二是底数大于零且不等于1;三是按底数的取值应用单调性,有针对性地解不等式.
探究一
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对数函数的图象
例4函数y=log2x,y=log5x,y=lg
x的图象如图所示.
(1)指出三个函数分别对应于哪个图象,并说明理由;
(3)从(2)的图中你发现了什么?
探究一
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解:(1)①对应函数y=lg
x,②对应函数y=log5x,③对应函数y=log2x.这是因为当底数全大于1时,在x=1的右侧,底数越大的函数图象越靠近x轴.
(2)在题图中的平面直角坐标系中分别画出
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反思感悟对数函数图象的变化规律:
1.对于几个底数都大于1的对数函数,底数越大,函数图象向右的方向越接近x轴;对于几个底数都大于0且小于1的对数函数,底数越大,函数图象向右的方向越远离x轴.以上规律可总结成x>1时“底大图低”.实际上,作出直线y=1,它与各图象交点的横坐标即各函数的底数,如图所示.
探究一
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变式训练3作出函数y=|lg(x-1)|的图象,并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调区间.
解:先画出函数y=lg
x的图象(如图①).
再将该函数图象向右平移1个单位长度得到函数y=lg(x-1)的图象(如图②).
最后把y=lg(x-1)的图象在x轴下方的部分对称翻折到x轴上方(原来在x轴上方的部分不变),即得出函数y=|lg(x-1)|的图象(如图③).
由图易知函数的定义域为在区间(1,+∞),值域为[0,+∞),函数在区间(1,2]上单调递减,在区间(2,+∞)上单调递增.
探究一
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利用对数函数的性质比较大小
例5比较下列各组中两个值的大小:
(1)log31.9,log32;
(2)log23,log0.32;
(3)logaπ,loga3.141(a>0,且a≠1).
分析(1)构造函数f(x)=log3x,利用其单调性比较大小;
(2)分别比较两个对数与0的大小;
(3)分类讨论底数a的取值范围,再利用单调性比较大小.
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解:(1)(单调性法)因为f(x)=log3x在(0,+∞)上是增函数,且1.9<2,所以f(1.9)(2)(中间量法)因为log23>log21=0,log0.32log0.32.
(3)(分类讨论法)当a>1时,函数y=logax在定义域内是增函数,则有logaπ>loga3.141;
当0综上所述,当a>1时,logaπ>loga3.141;
当0探究一
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反思感悟比较两个对数式大小的常用方法
(1)底数相同真数不同时,用对数函数的单调性进行比较;
(2)底数不同真数相同时,用对数函数的图象与底数的关系来比较,也可用换底公式转化为底数相同的函数;
(3)底数和真数都不同,则寻求中间值作媒介进行比较;
(4)对于有多个数值的大小比较,则应先根据每个数的结构特征,以及它们与“0”和“1”的大小情况进行分组,再比较各组内的数值的大小即可.
对于含有参数的两个对数值的大小比较,要注意对底数是否大于1进行分类讨论,不过对于这一类的大小比较问题,并不是底数为参数时,就一定要讨论,而应遵循的原则是尽量回避或推迟讨论.
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变式训练4比较下列各组中两个值的大小:
(1)ln
0.3,ln
2;
(2)loga3.1,loga5.2(a>0,且a≠1);
(3)log30.2,log40.2;
(4)log3π,logπ3.
解:(1)因为函数y=ln
x在定义域内是增函数,且0.3<2,
所以ln
0.32.
(2)当a>1时,函数y=logax在(0,+∞)上是增函数,又3.1<5.2,所以loga3.1当0loga5.2.
故当a>1时,loga3.1当0loga5.2.
探究一
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(3)(方法一)因为0>log0.23>log0.24,
(方法二)画出y=log3x与y=log4x的图象,如图所示,
由图可知log40.2>log30.2.
(4)因为函数y=log3x在定义域内是增函数,且π>3,
所以log3π>log33=1.
同理,1=logππ>logπ3,所以log3π>logπ3.
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互为反函数的两个函数图象间的关系
我们知道,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数.它们的图象有什么关系呢?下面,请你运用所学的数学知识和计算工具,探索几个问题,亲自发现其中的奥秘吧!
(1)在同一直角坐标系中,画出指数函数y=2x及其反函数y=log2x的图象.你能发现这两个函数的图象有什么对称关系吗?
(2)取y=2x图象上的几个点,如P1
,P2(0,1),P3(1,2),P1,P2,P3关于直线y=x的对称点的坐标是什么?它们在y=log2x的图象上吗?为什么?
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(3)如果点P0(x0,y0)在函数y=2x的图象上,那么P0关于直线y=x的对称点在函数y=log2x的图象上吗?为什么?
(4)根据上述探究过程,你可以得到什么结论?
(5)上述结论对于指数函数y=ax(a>0,且a≠1)及其反函数y=logax(a>0,且a≠1)也成立吗?为什么?
探究一
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答案:(1)y=2x与y=log2x的图象关于直线y=x对称.
(2)点P1,P2,P3关于直线y=x的对称点的坐标分别为
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(4)y=2x与y=log2x的图象关于直线y=x对称.
探究一
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A.[-1,3)
B.(-1,3)
C.(-1,3]
D.[-1,3]
A.[-1,0]
B.[0,1]
C.[1,+∞)
D.(-∞,-1]
答案:C
答案:A
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A.yB.xC.1D.1答案:D
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4.若函数f(x)=-5loga(x-1)+2(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,则点P的坐标是 .?
5.若a=log0.20.3,b=log26,c=log0.24,则a,b,c的大小关系为 .?
答案:
(2,2)
解析:令x-1=1,得x=2.∵f(2)=2,
∴f(x)的图象恒过定点(2,2).
答案:b>a>c
解析:因为f(x)=log0.2x在定义域内为减函数,且0.2<0.3<1<4,所以log0.20.2>log0.20.3>log0.21>log0.24,
即1>a>0>c.
同理log26>log22=1,所以b>a>c.
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6.已知函数f(x)=log3x.
(1)作出这个函数的图象;
(2)若f(a)解:(1)作出函数y=log3x的图象如图所示.
(2)由图象知,函数f(x)在定义域(0,+∞)上单调递增.当0第2课时 习题课 对数函数图象与
性质的应用
探究一
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探究一
解对数不等式
例1(1)满足不等式log2(2x-1)探究一
探究二
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又函数y=log2x在(0,+∞)上是单调递增,
所以2x-1<-x+5,解得x<2.
探究一
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反思感悟对数不等式的三种考查类型及求解方法
(1)形如logax>logab的不等式,借助函数y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0(2)形如logax>b的不等式,应将b化为以a为底数的对数的形式,再借助函数y=logax的单调性求解.
(3)形如logax>logbx的不等式,利用换底公式化为同底的对数进行求解或利用图象求解.
探究一
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探究一
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对数型复合函数的单调性问题
(2)若函数f(x)=lg(x2+ax-a-1)在区间[2,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围.
探究一
探究二
探究三
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反思感悟对数型复合函数的单调性的求解方法及注意问题
(1)对数型复合函数一般可分为两类:一类是外层函数为对数函数,即y=logaf(x);另一类是内层函数为对数函数,即y=f(logax).
①对于y=logaf(x)型的函数的单调性,有以下结论:函数y=logaf(x)的单调性与函数u=f(x)(f(x)>0)的单调性在a>1时相同,在0②研究y=f(logax)型复合函数的单调性,一般用换元法,即令t=logax,则只需研究t=logax及y=f(t)的单调性即可.
(2)研究对数型复合函数的单调性,一定要注意先研究函数的定义域,也就是要坚持“定义域优先”的原则.
探究一
探究二
探究三
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探究一
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对数型复合函数的奇偶性问题
例3已知f(x)=loga(1+x),g(x)=loga(1-x)(a>0,且a≠1).
(1)求函数y=f(x)-g(x)的定义域;
(2)判断函数y=f(x)-g(x)的奇偶性.
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反思感悟对数型复合函数奇偶性的判断方法
对数函数是非奇非偶函数,但与某些函数复合后,就具有奇偶性了,如y=log2|x|就是偶函数.证明这类函数具有奇偶性的方法是利用函数奇偶性的定义,并结合对数的运算性质.
为了便于判断函数的奇偶性,有时需要先将函数解析式进行化简或
探究一
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答案:1
探究一
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探究三
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与对数函数有关的值域与最值问题
例4求下列函数的值域:
(1)y=log2(x2+4);
解:(1)y=log2(x2+4)的定义域为R.
∵x2+4≥4,∴log2(x2+4)≥log24=2.
∴y=log2(x2+4)的值域为[2,+∞).
(2)设u=8-2x-x2=-(x+1)2+9≤9,
又u>0,∴0探究一
探究二
探究三
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反思感悟与对数函数有关的值域与最值问题的处理方法
(1)求解最值问题,一定要注意转化思想的应用,求与对数函数有关的二次函数的最大值、最小值问题,一般要转化为求二次函数的最值问题,求二次函数的最值时常用配方法,配方时注意自变量的取值范围.
(2)求形如y=logaf(x)(a>0,且a≠1)的复合函数值域的步骤:①分解成两个函数y=logau,u=f(x);②求f(x)的定义域;③求u的取值范围;④利用单调性求解y=logau
(a>0,且a≠1)的值域.
探究一
探究二
探究三
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变式训练4已知f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求y=[f(x)]2+f(x2)的最大值及y取最大值时x的值.
解:∵f(x)=2+log3x,∴y=[f(x)]2+f(x2)=(2+log3x)2+2+log3x2
=(log3x)2+6log3x+6=(log3x+3)2-3.∵函数f(x)的定义域为[1,9],
探究一
探究二
探究三
探究四
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与对数函数有关的图象变换问题
答案:(-∞,-2)
探究一
探究二
探究三
探究四
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探究一
探究二
探究三
探究四
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答案:③
探究一
探究二
探究三
探究四
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A.(3,5]
B.[-3,5]
C.[-5,3)
D.[-5,-3]
答案:C
解析:要使函数有意义,则3-log2(3-x)≥0,
即log2(3-x)≤3,∴0<3-x≤8,∴-5≤x<3.
探究一
探究二
探究三
探究四
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答案:D
解析:令t=x2-4>0,可得x>2或x<-2.
故函数f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),
探究一
探究二
探究三
探究四
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答案:
(-2,0)
探究一
探究二
探究三
探究四
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4.已知log0.72x答案:
(1,+∞)
探究一
探究二
探究三
探究四
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