(共29张PPT)
1.1 利用函数性质判定方程解的存在性
激趣诱思
知识点拨
请观察右图,这是气象局测得某地特殊一天的一张气温变化模拟函数图(即一个连续不间断的函数图象),由于图象中有一段被墨水污染了,现在有人想了解一下当天7时到11时之间有无可能出现温度是0摄氏度,你能帮助他吗?
激趣诱思
知识点拨
一、函数的零点
1.代数定义:使得f(x0)=0的 称为方程f(x)=0的解,也称为函数f(x)的零点.?
2.几何定义:f(x)的零点就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的 .?
数x0
横坐标
名师点析1.函数的零点是一个实数,而不是一个点.例如,函数f(x)=x+1的零点是-1,而不是(-1,0).
2.并不是所有的函数都有零点,如f(x)=1,f(x)=x2+1就没有零点.
3.若函数有零点,则零点一定在函数的定义域内.
4.函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的解,也就是函数y1=f(x)与y2=g(x)的图象交点的横坐标.
激趣诱思
知识点拨
微练习
函数f(x)=x2-1的零点是( )
A.(±1,0) B.(1,0)
C.0
D.±1
答案:D
解析:解方程f(x)=x2-1=0,得x=±1,因此函数f(x)=x2-1的零点是±1.
激趣诱思
知识点拨
二、零点存在定理
若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,并且在区间端点的函数值一正一负,即f(a)·f(b)<0,则在开区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点.即在区间(a,b)内相应的方程f(x)=0至少有一个解.
激趣诱思
知识点拨
名师点析
1.定理要求具备两个条件:(1)函数在区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线;(2)f(a)·f(b)<0.这两个条件缺一不可.
2.利用函数零点存在定理只能判断出零点是否存在,而不能确定零点的个数.
3.若函数y=f(x)的图象在区间[a,b]上是一条连续的曲线,则由f(a)·f(b)<0可以推出函数y=f(x)在区间(a,b)内存在零点,但是由函数y=f(x)在区间(a,b)内存在零点不一定能推出f(a)·f(b)<0.如f(x)=x2在(-1,1)内存在零点,但f(-1)·f(1)>0.
4.如果单调函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有唯一的零点,即存在唯一的x0∈(a,b),使得f(x0)=0,这个x0也就是方程f(x)=0的解.
激趣诱思
知识点拨
微练习1
函数y=f(x)的图象是在闭区间[a,b]上的一条连续不断的曲线.若f(a)·f(b)>0,则f(x)在区间(a,b)内没有零点.( )
微练习2
函数f(x)=x3+2x+1的零点一定位于下列哪个区间上( )
A.[-2,-1] B.[-1,0]
C.[0,1]
D.[1,2]
答案:×
答案:B
解析:因为f(-2)=-11<0,f(-1)=-2<0,f(0)=1>0,f(1)=4>0,f(2)=13>0,
所以f(-1)·f(0)<0.所以f(x)的零点在区间[-1,0]上.
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
求函数的零点
例1判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出零点.
(1)f(x)=-8x2+7x+1;
(2)f(x)=1+log3x;
(3)f(x)=4x-16.
分析可通过解方程f(x)=0求得函数的零点.
探究一
探究二
探究三
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反思感悟因为函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的解,也是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标,所以求函数的零点通常有两种方法:一是代数法,令f(x)=0,通过求方程f(x)=0的解求得函数的零点;二是几何法,画出函数y=f(x)的图象,图象与x轴交点的横坐标即函数的零点.
探究一
探究二
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变式训练1已知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点是1和2,求函数y=logn(mx+1)的零点.
解:由题意知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点为1和2,则1和2是方程x2+3(m+1)x+n=0的解.
所以函数y=logn(mx+1)的解析式为y=log2(-2x+1).
令log2(-2x+1)=0,得x=0.
所以函数y=log2(-2x+1)的零点为0.
探究一
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探究三
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函数零点个数的判断
例2判断下列函数零点的个数:
(1)f(x)=(x2-4)log2x;
(3)f(x)=2x+lg(x+1)-2.
探究一
探究二
探究三
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解:(1)令f(x)=0,得(x2-4)log2x=0,因此x2-4=0或log2x=0,解得x=±2或x=1.
又因为函数定义域为(0,+∞),所以x=-2不是函数的零点,故函数有2和1两个零点.
画出函数g(x)和h(x)的图象如图所示.由图象可知,两个函数图象只有一个交点,故函数只有一个零点.
探究一
探究二
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(3)(方法一)∵f(0)=1+0-2=-1<0,
f(2)=4+lg
3-2=2+lg
3>0,
∴f(x)=0在(0,2)上必定存在实根.
又f(x)=2x+lg(x+1)-2在区间(-1,+∞)上为增函数,故f(x)有且只有一个零点.
(方法二)令h(x)=2-2x,g(x)=lg(x+1),在同一平面直角坐标系中作出h(x)与g(x)的图象,如图所示.
由图象知g(x)=lg(x+1)和h(x)=2-2x的图象有且只有一个公共点,即f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有一个零点.
探究一
探究二
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反思感悟判断函数零点个数的常用方法
1.解方程f(x)=0,方程f(x)=0解的个数就是函数f(x)零点的个数.
2.直接作出函数f(x)的图象,图象与x轴交点的个数就是函数f(x)零点的个数.
3.f(x)=g(x)-h(x)=0,得g(x)=h(x),在同一平面直角坐标系中作出y1=g(x)和y2=h(x)的图象,则两个图象交点的个数就是函数y=f(x)零点的个数.
4.若证明一个函数的零点唯一,也可先由零点存在定理判断出函数有零点,再证明该函数在定义域内单调.
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变式训练2(1)若abc≠0,且b2=ac,则函数f(x)=ax2+bx+c的零点的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.1或2
答案:A
解析:∵b2=ac,
∴方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac=b2-4b2=-3b2.
∵abc≠0,∴b≠0.因此Δ<0.
故函数f(x)=ax2+bx+c的零点个数为0.
探究一
探究二
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当堂检测
(2)判断函数f(x)=x-3+ln
x的零点个数.
解:(方法一)令f(x)=x-3+ln
x=0,则ln
x=3-x.
在同一平面直角坐标系中分别画出函数y=ln
x与y=-x+3的图象,如图所示.由图可知函数y=ln
x与y=-x+3的图象只有一个公共点,即函数f(x)=x-3+ln
x只有一个零点.
(方法二)因为f(3)=ln
3>0,
所以f(3)·f(2)<0,
说明函数f(x)=x-3+ln
x在区间(2,3)内有零点.
又f(x)=x-3+ln
x在区间(0,+∞)上是增函数,所以原函数只有一个零点.
探究一
探究二
探究三
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已知零点个数求参数的取值范围
A.(1,2]
B.[1,+∞)
C.[1,2)
D.[1,2]
答案:B
探究一
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探究三
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例4已知a是实数,函数f(x)=2|x-1|+x-a,若函数y=f(x)有且仅有两个零点,则实数a的取值范围是 .?
分析把函数f(x)的两个零点问题转化为函数y=2|x-1|+x与y=a的图象有且仅有两个交点的问题,画出两个函数的图象,然后利用数形结合思想求出参数a的范围.
探究一
探究二
探究三
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答案:
(1,+∞)
解析:函数f(x)=2|x-1|+x-a有且仅有两个零点,即函数y=2|x-1|+x与y=a的图象有且仅有两个交点.
分别作出函数y=2|x-1|+x与y=a的图象,如图所示.
由图易知,当a>1时,两函数的图象有且仅有两个不同的交点,故实数a的取值范围是(1,+∞).
探究一
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反思感悟已知函数有零点(方程有根)求参数的方法
1.直接法:根据题设条件构建关于参数的不等式(组),通过解不等式(组)确定参数的取值范围.
2.数列结合法:先对f(x)的解析式变形,将f(x)=0转化为h(x)=g(x)(h(x),g(x)的图象易画出),在同一平面直角坐标系中画出函数h(x),g(x)的图象,然后利用数形结合思想求解.
探究一
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变式训练3(2020福建厦门双十中学高一检测)已知函数f(x)=3ax-1-2a在区间(-1,1)上存在零点,则( )
答案:C
解析:∵f(x)=3ax-1-2a在(-1,1)上单调,且存在零点,
∴f(-1)·f(1)<0,即(-3a-1-2a)·(3a-1-2a)=(-5a-1)·(a-1)<0,
∴a>1
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二次函数的零点综合问题
典例
已知二次函数f(x)=x2-(k-2)x+k2+3k+5.
(1)当函数f(x)有两个不同零点时,求k的取值范围;
(2)若-1和-3是函数的两个零点,求k的值;
(3)若函数的两个不同零点是α,β,求α2+β2关于k的关系式h(k).
分析本题考查对二次函数零点的理解及零点的性质.本题中的函数f(x)是二次函数,因此其零点的判断和零点的性质问题可以转化为二次方程解的判断或解的性质.
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
规范解答(1)令f(x)=0,得x2-(k-2)x+k2+3k+5=0.
由Δ=(k-2)2-4(k2+3k+5)=-3k2-16k-16>0,
知3k2+16k+16<0,即(3k+4)(k+4)<0,
(2)∵-1和-3是函数f(x)的两个零点,
∴-1和-3是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的两个解.
探究一
探究二
探究三
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(3)∵α,β是函数f(x)的两个不同零点,
∴α,β是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的两个实数根,
∴α+β=k-2,αβ=k2+3k+5.
∴α2+β2=(α+β)2-2αβ=(k-2)2-2(k2+3k+5)=-k2-10k-6.
规律总结1.若二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个解是x1,x2,
2.本题中如果忽视Δ,将会影响α2+β2的范围而导致出错.
探究一
探究二
探究三
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1.如下图四个函数图象,在区间(-∞,0)内存在零点的函数是( )
答案:B
解析:只有选项B中的函数图象与x轴的负半轴有交点.
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2.函数f(x)=log5(x-1)的零点是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
3.若x0是方程ln
x+x=4的解,则x0所在的区间是( )
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,3)
D.(3,4)
答案:C
解析:令log5(x-1)=0,解得x=2,所以函数f(x)=log5(x-1)的零点是2,故选C.
答案:C
解析:设f(x)=ln
x+x-4,则f(1)=-3<0,
f(2)=ln
2-2<0,f(3)=ln
3-1>0,
f(4)=ln
4>0,则x0∈(2,3).
探究一
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4.已知函数y=ax2-x-1只有一个零点,则实数a的值为 .?
解析:当a=0时,函数为y=-x-1,显然该函数的图象与x轴只有一个公共点,即函数只有一个零点.
当a≠0时,函数y=ax2-x-1为二次函数.
∵函数y=ax2-x-1只有一个零点,
∴方程ax2-x-1=0有两个相等的实数解.
探究一
探究二
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5.判断下列函数在给定区间上是否存在零点,如果存在,求出零点的个数.
(1)f(x)=x2-3x-18,x∈[-4,7];
解:(1)令x2-3x-18=0,解得x=-3或x=6.
又-3∈[-4,7],6∈[-4,7],
∴f(x)=x2-3x-18在[-4,7]上有两个零点.(共27张PPT)
1.2 利用二分法求方程的近似解
激趣诱思
知识点拨
某电视台财经频道精心打造了一档大型体验式购物节目.这个节目根植于百姓生活,运用“看商品,猜价格”的游戏形式,将各类商品和大规模的互动体验结合起来,充分激发了观众的参与热情.每位选手只要在规定时间内猜出的某商品价格在主持人展示的区间内,就可以把它拿走.当选手说出一个价格不在规定区间内时,主持人会提示“高了”或“低了”.
如果选手想用尽可能少的次数猜对价格,应该采用什么样的猜价方法呢?
激趣诱思
知识点拨
二分法
1.定义:对于一般的函数y=f(x),x∈[a,b].若函数y=f(x)的图象是一条连续的曲线,
,则每次取区间的 ,将区间一分为二,再经比较,按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法.?
2.用二分法求方程f(x)=0近似解的一般步骤
(1)确定初始区间[a,b],使 .?
(2)取区间中点x1= .?
(3)计算f(x1),以决定取区间 或 :?
①若f(x1)=0,则x1就是 ;?
②若f(a)·f(x1)<0,则方程的根在区间(a,x1)上,令 ;?
③若f(x1)·f(b)<0,则方程的根在区间(x1,b)上,令 .?
f(a)·f(b)<0
中点
f(a)·f(b)<0
(a,x1)
(x1,b)
方程的根
b=x1
a=x1
激趣诱思
知识点拨
(4)逐步缩小区间的“长度”,判断是否达到精确度要求.
名师点析1.
用二分法求方程的近似解,实质上就是通过“取中点”的方法,运用“逼近”思想逐步缩小零点所在的区间,进而得到一个近似解.
2.二分法求方程近似解仅对对应函数的变号零点(曲线通过零点,且在零点两侧附近函数值异号)适用,对函数的不变号零点(曲线通过零点,且在零点两侧附近函数值同号)不适用,如函数f(x)=(x-1)2,它的零点就不能用二分法求解.
激趣诱思
知识点拨
微技巧二分法的步骤的记忆口诀
定区间,找中点,中值计算两边看;
同号去,异号算,零点落在异号间;
周而复始怎么办?精确度上来判断.
激趣诱思
知识点拨
微练习1
下列函数图象与x轴均有公共点,其中不能用二分法求图中函数零点的是( )
答案:B
激趣诱思
知识点拨
微练习2
若函数f(x)=x-3+log3x的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下:
f(2)≈-0.369
1 f(2.5)≈0.334
0
f(2.25)≈-0.011
9
f(2.375)≈0.162
4
f(2.312
5)≈0.075
6
f(2.281
25)≈0.031
9
则方程x-3+log3x=0的一个近似解(精确度0.1)为( )
A.2.1
B.2.2
C.2.3
D.2.4
答案:C
解析:由参考数据可知f(2.25)·f(2.312
5)<0,
且|2.312
5-2.25|=0.062
5<0.1,所以当精确度为0.1时,可以将x=2.3作为函数f(x)=log3x+x-3零点的近似值,也即为方程x-3+log3x=0的近似解.
探究一
探究二
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二分法定义的理解
例1(1)用二分法求函数f(x)=x3+5的零点时,可以取的初始区间为( )
A.[-2,1]
B.[-1,0]
C.[0,1]
D.[1,2]
(2)下列图象表示的函数中,能使用二分法求零点的是( )
探究一
探究二
探究三
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反思感悟1.在二分法中,初始区间的选择不唯一,一般应在两个整数间,初始区间不同时,二分的次数可能不同.
2.如果函数f(x)的某个零点x0的左右两侧附近的函数值是同号的,那么这样的零点就不能用二分法求解.
答案:
(1)
A (2)C
解析:(1)由于f(-2)=(-2)3+5=-3<0,f(1)=13+5=6>0,f(-2)·f(1)<0,因此可以将[-2,1]作为初始区间,故选A.
(2)能用二分法求函数零点的函数,在零点的左右两侧的函数值符号相反,由图象可得,A,B,D不能满足此条件,故选C.
探究一
探究二
探究三
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变式训练1(1)下列函数中不能用二分法求零点的是( )
A.f(x)=2x+3
B.f(x)=ln
x+2x-6
C.f(x)=x2-2x+1
D.f(x)=2x-1
(2)用二分法求函数y=f(x)在区间(2,4)上的唯一零点近似值时,已知f(2)·f(4)<0,取区间(2,4)的中点x1=
=3,计算得f(4)·f(3)<0,则函数零点所在的区间是( )
A.(2,4)
B.(2,3)
C.(3,4)
D.无法确定
探究一
探究二
探究三
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答案:
(1)
C (2)B
解析:(1)因为f(x)=x2-2x+1=(x-1)2≥0,所以在零点的左右两侧附近函数值同号,所以不能用二分法求其零点,故选C.
(2)由f(2)·f(4)<0,f(4)·f(3)
>0知f(2)·f(3)
<0.
故函数零点所在的区间是(2,3).
探究一
探究二
探究三
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用二分法求方程的近似解
例2求方程lg
x-2-x+1=0的近似解(精确度为0.1).
分析先确定f(x)=lg
x-2-x+1的零点所在的大致区间,再用二分法求解.
解:令f(x)=lg
x-2-x+1,函数f(x)的定义域为(0,+∞).
因为函数f(x)在(0,+∞)上是增函数(证明略),所以f(x)至多有一个零点.
又因为f(1)=0.5>0,f(0.1)≈-0.933<0,所以方程在[0.1,1]内有唯一实数解.
使用二分法求解,如下表
探究一
探究二
探究三
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至此,得到区间[0.493
75,0.55],其区间长度为0.55-0.493
75=0.056
25<0.1,由于要求的精度为0.1,则这一区间内的任一数都可作为方程的近似解,不妨取0.5作为方程的近似解.
探究一
探究二
探究三
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反思感悟利用二分法求方程近似解的注意事项
(1)要选好计算的初始区间,这个区间既要包含函数的零点,又要使其长度尽量小.
(2)在求解过程中,可借助表格或数轴清楚地显示出逐步缩小的零点所在区间及其长度.
(3)根据给定的精确度,及时检验所取区间长度是否达到要求,及时终止计算.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
以下用二分法求其零点的近似值.
由于f(1)=-1<0,f(2)=6>0,故可以取区间[1,2]为计算的初始区间.用二分法逐步计算,列表如下:
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
由于区间(1.257
812
5,1.265
625)的长度为
1.265
625-1.257
812
5=0.007
812
5<0.01,
探究一
探究二
探究三
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二分法思想的实际应用
例3在一个风雨交加的夜里,某水库闸房(设为A)到某指挥部(设为B)的电话线路在某一处发生了故障.这是一条10
km长的线路,想要尽快地查出故障所在.如果沿着线路一小段一小段地查找,困难很多,每查一小段需要很长时间.
(1)维修线路的工人师傅随身带着话机,他应怎样工作,才能每查一次,就把待查的线路长度缩减一半?
(2)要把故障可能发生的范围缩小到50
m~100
m,最多要查多少次?
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
解:(1)如图所示,他首先从中点C查,用随身带的话机向两端测试时,假设发现AC段正常,可断定故障在BC段,再到BC段中点D查,这次若发现BD段正常,可断定故障在CD段,再到CD段中点E来查,依次类推即可.
(2)每查一次,可以把待查的线路长度缩减一半,因此最多查7次就够了.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟二分法在实际生活中经常用到.如在平时的线路故障、气管故障等检查中,可以利用二分法较快地得到结果.还可用于实验设计、资料查询等方面.用二分法解决实际问题时应考虑的两个问题:一是转化成函数的零点问题;二是逐步缩小考察范围,逼近问题的解.
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
变式训练3某电视台有一档娱乐节目,主持人给选手在限定时间内猜某一物品的售价的机会,如果猜中,就把物品奖给选手.某次猜一种品牌的手机,手机价格在500~1
000元之间,选手开始报价:1
000元,主持人说:高了.选手紧接着报价900元,高了;700元,低了;880元,高了;850元,低了;851元,恭喜你,猜中了.表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分,实际上,游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想,你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗?
解:取价格区间[500,1
000]的中点750,如果主持人说低了,就再取区间[750,1
000]的中点875;否则取另一个区间[500,750]的中点;若遇到小数,则取整数,照这种方案,游戏过程猜价如下:750,875,812,843,859,851,经过6次可以猜中价格.
探究一
探究二
探究三
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二分法在搜索中的应用
日常生活中,我们经常要利用计算机、网络来搜索信息.你知道吗?二分法在搜索的过程中扮演着非常重要的角色.
下图中的15个数是按从小到大排列的.
258111216232729355153697577
如果随机给出一个不大于100的自然数x,要让计算机查找x是否在上面这列数中,设计怎样的查找方法,才能保证不管给出的是什么数,都能在指定的步骤内查到结果呢?
如果让计算机将x逐一与图中的数去比较,那么在有些情况下,只要比较1次就可以了(例如x=1),但在有些情况下,却要比较15次才能完成任务(例如x=80).
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
如果我们用二分法的思想来查找,情况就不一样了:每一次都让x与序列中正中间的数进行大小比较,通过这种方式缩小其可能的位置范围.例如,x=13时的查找过程可用下图表示.
由此不难看出,不管给出的是什么数,最多4次就能完成任务.
计算机中的很多搜索程序都是用类似方法编写的,而且二分法在故障排除、实验设计方面都有应用,感兴趣的同学去查阅有关书籍和网站吧!
探究一
探究二
探究三
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1.已知函数f(x)的图象如图,其中零点的个数及可以用二分法求其零点的个数分别为( )
A.4,4
B.3,4
C.5,4
D.4,3
答案:D
解析:由题图知函数f(x)与x轴有4个公共点,因此零点个数为4,从左往右数第4个公共点横坐标的左右两侧的函数值同号,因此不能用二分法求该零点,而其余3个均可使用二分法来求.故选D.
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探究二
探究三
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2.用二分法求函数f(x)=-x3-3x+5的近似零点时的初始区间是( )
A.(-3,1)
B.(1,2)
C.(-2,-1)
D.(-3,-2)
答案:B
解析:本题考查对用二分法求函数零点近似值的理解及初始区间的选择.∵f(1)=1,f(2)=-9,f(-1)=9,f(-2)=19,f(-3)=41,
∴f(1)·f(2)<0.又函数f(x)=-x3-3x+5的定义域为R,
故f(x)的一个零点所在的初始区间为(1,2).
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3.用二分法求方程f(x)=0在区间(0,1)内的近似解时,经计算,f(0.425)<0,f(0.532)>0,f(0.605)<0,即得到方程的一个近似解为 .(精确度为0.1)?
4.用二分法求函数f(x)=ln
x-2+x在区间[1,2]上零点的近似值,先取区间中点c=
,则下一个含零点的区间是 .?
答案:0.6(答案不唯一)
解析:∵0.605-0.532=0.073<0.1,
∴(0.532,0.605)内的值都可以作为方程精确度为0.1的一个近似解.
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5.求方程x2=2x+1的一个近似解(精确度为0.1).
解:设f(x)=x2-2x-1,因为f(2)=-1<0,f(3)=2>0,所以可以确定区间[2,3]作为计算的初始区间.用二分法逐步计算,列表如下:
因为|2.375-2.437
5|=0.062
5<0.1.
所以方程x2=2x+1的一个近似解可取2.4.
