(共32张PPT)
1.1 集合的概念与表示
第1课时 集合的概念
激趣诱思
知识点拨
图书馆对大学生来说是非常重要的场所,它拥有浩如烟海的文献,蕴藏了各种有价值的知识、信息.图书馆是一所大学的“心脏”,作为大学生专业教育的“第二课堂”,它是高校课堂教学必不可缺的补充.如何在几百万的书籍中快速找到自己需要的书呢?其实这些书籍并不是随意摆放的,而是按照中国图书馆分类法,将所有图书分成了22个基本大类,每一大类又细分为若干个小类,哪本书属于哪一类是明确的,按照这一原则,很快就能找到所需要的书了.
激趣诱思
知识点拨
一、集合的概念
一般地,我们把指定的某些对象的 称为集合.通常用大写英文字母A,B,C,…表示.?
集合中的 叫作这个集合的元素,通常用小写英文字母a,b,c,…表示.?
名师点析1.集合的概念同平面几何中的点、线、平面等类似,只是描述性的说明.
2.集合是一个整体,暗含“所有”“全部”“全体”的含义.一些对象一旦组成了集合,这个集合就是这些对象的总体.
3.组成集合的对象可以是数、点、图形、符号等,也可以是人或物等.
全体
每个对象
激趣诱思
知识点拨
微思考
是否可以借助袋子、抽屉等实物来直观地理解集合含义?
提示:可以.比如把初三用过的所有课本装进一个袋子或抽屉中,可以认为袋子或抽屉是由该学生在初三用过的所有课本组成的集合,袋子或抽屉里的书是集合的元素.
激趣诱思
知识点拨
二、元素与集合的关系
名师点析1.a∈A与a?A取决于元素a是否在集合A中,这两种情况中必有且只有一种成立.
2.符号“∈”“?”只能用在元素与集合之间,表示元素与集合之间的从属关系.具有方向性.
a∈A
a?A
激趣诱思
知识点拨
微练习
已知集合A中的元素x满足x-1<
,则下列各式正确的是( )
A.3∈A,且-3?A
B.3∈A,且-3∈A
C.3?A,且-3?A
D.3?A,且-3∈A
答案:D
激趣诱思
知识点拨
三、集合中元素的三个特性
确定性
互异性
无序性
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.确定性的作用是判断一组对象能否组成集合.
2.互异性的作用是警示我们做题后要检验.特别是题中含有参数(字母)时,一定要检验求出的参数是否使集合的元素满足互异性.
3.无序性的作用是方便定义集合相等,当两个集合相等时,其元素一定相同,但不一定依次对应相等.
激趣诱思
知识点拨
微练习1
已知集合S中的三个元素a,b,c分别是△ABC的三条边长,则△ABC一定不是( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.等腰三角形
微练习2
已知a∈R,a-1和1两个元素组成了一个集合,则a应满足的条件是 .
答案:D
解析:由集合中元素的互异性知,a,b,c两两不相等,故△ABC一定不是等腰三角形.
a≠2
解析:根据集合中元素的互异性可知a-1≠1,即a≠2.
激趣诱思
知识点拨
四、几种常用的数集及其记法
激趣诱思
知识点拨
名师点析常用数集之间的关系
实数集R
激趣诱思
知识点拨
微练习
用符号“∈”或“?”填空:
(1)1 N+;?
(2)-3 N;?
∈
?
∈
?
∈
∈
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
集合的概念
例1给出下列各组对象:
①我们班比较高的同学;②无限接近于0的数的全体;③比较小的正整数的全体;④平面上到点O的距离等于1的点的全体;⑤正三角形的全体;⑥
的近似值的全体.
其中能够组成集合的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
分析判断一组对象能否组成集合,就看判断标准是否明确.
答案:B
解析:①②③⑥不能组成集合,因为没有明确的判断标准;④⑤可以组成集合,“平面上到点O的距离等于1的点”和“正三角形”都有明确的判断标准.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
一般地,确认一组对象a1,a2,a3,…,an(a1,a2,…,an均不相同)能否构成集合的过程为:
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练1(多选题)下列各组对象能组成集合的是( )
A.大于6的所有整数
B.高中数学的所有难题
C.被3除余2的所有整数
答案:AC
D
解析:选项A,C,D中的元素符合集合中元素的确定性;而选项B中,“难题”没有明确标准,不符合集合中元素的确定性,不能构成集合.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
元素与集合的关系
例2(1)下列所给关系正确的个数是( )
①π∈R;②
?Q;③0∈Z;④|-1|?N
.
A.1
B.2
C.3
D.4
(2)我们在初中学习过一元二次方程及其解法.设A是方程x2-ax-5=0的解组成的集合.
①0是不是集合A中的元素?
②若-5∈A,求实数a的值.
③若1?A,求实数a的取值范围.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
分析(1)首先判断给出的数的属性,然后根据常用数集的符号判断两者的关系.
(2)①将0代入,验证方程是否成立,若方程成立,则0就是集合A中的元素;若方程不成立,则0就不是集合A中的元素;②-5是集合A中的元素,代入方程即可得到关于a的方程并求解;③1不是集合A中的元素,则代入后方程不成立,得到关于a的不等式.
(3)观察元素的特征,验证所求式子是否满足特征,若满足就是集合A中的元素,若不满足就不是集合A中的元素.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(1)答案:C
解析:根据各个数集的含义可知,①②③正确,④不正确.故选C.
(2)解:①将x=0代入方程,得02-a×0-5=-5≠0,所以0不是集合A中的元素;
②若-5∈A,则有(-5)2-(-5)a-5=0,解得a=-4.
③若1?A,则12-a×1-5≠0,解得a≠-4.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
判断元素与集合的关系的两种方法
(1)直接法:如果元素是直接给出的,那么只要判断该元素在已知集合中是否出现即可.此时应明确集合是由哪些元素组成的.
(2)推理法:对于一些元素没有直接给出的集合,只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.此时应明确已知集合中的元素具有什么特征.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练2(1)下列关系正确的是( )
(1)
答案D
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
集合中元素的特性及其应用
例3已知集合A含有三个元素a-2,2a2+5a,12,且-3∈A,求a的值.
分析由-3∈A,分两种情况进行讨论,注意根据集合中元素的互异性进行检验.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
先根据集合中元素的确定性解出字母参数的所有可能取值,再根据集合中元素的互异性进行检验.互异性是元素的三个特性中最常用的一个,解答含有字母参数的元素与集合之间关系的问题时,要具有分类讨论的意识.如本例中得到a=-1或a=-
,需分类讨论检验是否满足集合中元素的互异性.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究(1)本例中集合A中含有三个元素,实数a的取值是否有限制?
(2)本例中集合A中能否只有一个元素呢?
(2)若该集合中只有一个元素,则有a-2=2a2+5a=12.
由a-2=12,解得a=14,此时2a2+5a=2×142+5×14=462≠12.所以该集合中不可能只含有一个元素.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
分类整合思想、函数方程思想——由集合相等求参数
典例已知集合A={a,a+b,a+2b},B={a,ac,ac2},若A=B,求c的值.
分析要解决c的求值问题,关键是要有方程的数学思想,此题应根据相等的各个集合的元素完全相同,及集合中元素的确定性、互异性、无序性建立关系式.
解:根据题意,分两种情况进行讨论:
当a=0时,集合B中的三个元素均为零,与元素的互异性相矛盾,故a≠0.
∴c2-2c+1=0,即c=1,此时B中的三个元素均为a,∴c≠1,∴此时无解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟①解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的情况,所以解题后需要进行检验和修正.②有些数学问题需要根据题目的要求和特点分成若干类,转化成若干个小问题来解决,这种按不同情况分类,然后再逐一研究解决问题的数学方法就是分类讨论的方法.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1.下列给出的对象,能组成集合的是( )
A.很大的数
B.无限接近零的数
C.聪明的人
D.方程x2=2的实数根
答案:D
解析:选项A,B,C中给出的对象都是不确定的,所以不能组成集合;选项D中方程x2=2的实数根为x=-
或x=
,具有确定性,所以能组成集合.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
A.a∈A,且b?A
B.a?A,且b∈A
C.a∈A,且b∈A
D.a?A,且b?A
答案:B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.已知集合S中的元素a,b是一个四边形的两条对角线的长,那么这个四边形一定不是( )
A.梯形
B.平行四边形
C.矩形
D.菱形
答案:C
解析:因为集合中的元素具有互异性,所以a≠b,即四边形对角线不相等,故选C.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
4.用符号“∈”或“?”填空:
(1)1 A,2 A,3 A(其中A表示由所有质数组成的集合);?
?
∈
∈
?
∈
∈
解析:
(1)由2,3为质数,1不是质数,得1?A,2∈A,3∈A.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
5.已知集合M中含有3个元素0,x2,-x,求实数x满足的条件.(共37张PPT)
第2课时 集合的表示
激趣诱思
知识点拨
根据集合的概念,我们知道:
1.不等式2x+3<15的所有自然数解组成集合A;
2.不等式2x+3<15的所有实数解组成集合B.
同学们想一下,这两个集合有区别吗?如何表示这两个集合呢?
激趣诱思
知识点拨
一、集合的表示方法
1.列举法
列举法是把集合中的元素 出来写在花括号“{ }”内表示集合的方法,一般可将集合表示为
.?
名师点析用列举法表示集合时,必须注意以下几点:
(1)元素与元素之间必须用“,”隔开;(2)集合的元素必须是明确的;(3)不必考虑元素出现的先后顺序;(4)集合的元素不能重复;(5)集合的元素可以表示任何事物;(6)对含有较多元素的集合,如果该集合的元素具有明显的规律,可用列举法表示,但是必须把元素间的规律显示清楚后,才能用省略号表示,如N+也可表示为{1,2,3,…,n,…}.
一一列举
激趣诱思
知识点拨
2.描述法
描述法是通过描述元素满足的条件表示集合的方法.一般可将集合表示为{x及x的范围|x满足的条件},即在花括号内先写出集合中元素的一般符号及范围,再画一条竖线“|”,在竖线后写出集合中元素所具有的共同特征.
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.描述法的一般形式是{x∈I|p(x)}.其中“x”是集合中元素的一般符号的代表形式,简称代表元素;“I”是x取值范围的一般代表形式;“p(x)”(可以是符号表达式,也可以是文字表述形式)是集合中元素x的共同特征的一般代表形式.通常用于表示无限集,或容易归纳其特征的集合.
2.用描述法表示集合时,若需要多层次描述属性时,可选用逻辑联结词“且”与“或”等联结.如集合
.
3.元素的取值范围,从上下文关系来看,如果x∈R是明确的,则∈R可以省略不写,如集合D=
可以表示为D=
.
4.若描述部分出现代表元素以外的字母时,要对该字母说明其含义或指出其取值范围.如
中m未被说明,故该集合中元素是不确定的.
5.所有描述的内容都要写在花括号内,如{x∈Z|x=2m,m∈N+},此时m∈N+不能写到花括号外.
激趣诱思
知识点拨
微练习
用列举法表示下列集合:
(1)方程x2-9=0的解组成的集合;
(2)不大于100的自然数组成的集合.
答案:
(1){-3,3}.
(2){0,1,2,3,…,100}.
激趣诱思
知识点拨
微思考
下面四个集合:①{x|y=x2+1};②{y|y=x2+1};③{(x,y)|y=x2+1};④{y=x2+1}.
它们是不是相同的集合?它们各自的含义是什么?
提示:它们是互不相同的集合.
①集合{x|y=x2+1}表示满足y=x2+1的所有x值组成的集合,所以{x|y=x2+1}=R;
②集合{y|y=x2+1}表示满足y=x2+1的所有y值组成的集合,因为y≥1,所以{y|y=x2+1}={y|y≥1};
③{(x,y)|y=x2+1}的代表元素是(x,y),表示的是满足y=x2+1的数对(x,y)组成的集合,也可以认为是坐标平面上的点(x,y),由于这些点的坐标满足y=x2+1,所以{(x,y)|y=x2+1}={P|P是抛物线y=x2+1上的点};
④{y=x2+1}表示的是由y=x2+1这一元素组成的单元素集合.
激趣诱思
知识点拨
微判断
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1){0,1}与{(0,1)}表示相同的集合.( )
(2)用列举法表示集合{x|x2-2x+1=0}为{1,1}.( )
(3){x|x>-1}与{t|t>-1}表示同一集合.( )
(4)集合{(x,y)|x>0,y>0,x,y∈R}是指第一象限内的点集.
( )
提示:
(1)× (2)× (3)√ (4)√
激趣诱思
知识点拨
二、集合的分类
1.集合可以根据它含有的元素的个数分为两类:
含有 的集合叫作有限集,含有 的集合叫作无限集.?
2.把不含有任何元素的集合叫作 ,记作 .?
名师点析(1)集合的分类是按照集合中元素是有限个还是无限个划分的,不是按元素多少,一个集合中元素有很多,但是个数有限,也属于有限集.
(2)空集中不含有任何元素,{0}不是空集,因为它含有元素0.
有限个元素
无限个元素
空集
?
激趣诱思
知识点拨
微思考
空集是有限集还是无限集?
提示:空集可以看成包含0个元素的集合,所以空集是有限集.
激趣诱思
知识点拨
三、区间及其表示
1.设a,b是两个实数,且 ,我们作出规定:?
这里的实数a,b称为区间的端点.[a,b]称为 ,(a,b)称为 ,[a,b),(a,b]称为
.在数轴上表示区间时,用实心点表示 区间的端点,用空心点表示 区间的端点.?
a半开半闭区间
半开半闭区间
闭区间
开区间
半开半闭区间
属于
不属于
激趣诱思
知识点拨
2.数集R也可用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“ ”,“-∞”读作“负无穷大”,“+∞”读作“正无穷大”.还可把满足x≥a,x>a,x≤b,x无穷大
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.区间左端点的值小于右端点的值.
2.有完整的区间外围记号.
3.区间符号中的两个端点(字母或数字)之间只能用“,”隔开.
激趣诱思
知识点拨
微练习
将下列集合用区间及数轴表示出来:
(1){x|x<2};
(2){x|x≥3};
(3){x|-1≤x<5}.
解:(1){x|x<2}用区间表示为(-∞,2),用数轴表示如下:
(2){x|x≥3}用区间表示为[3,+∞),用数轴表示如下:
(3){x|-1≤x<5}用区间表示为[-1,5),用数轴表示如下:
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
用列举法表示集合
例1用列举法表示下列集合:
(1)方程x2-1=0的解组成的集合;
(2)单词“see”中的字母组成的集合;
(3)所有正整数组成的集合;
(4)直线y=x与y=2x-1的交点组成的集合.
分析先求出满足题目要求的所有元素,再用列举法表示集合.
解:(1)方程x2-1=0的解为x=-1或x=1,所求集合用列举法表示为
{-1,1}.
(2)单词“see”中有两个互不相同的字母,分别为“s”“e”,所求集合用列举法表示为{s,e}.
(3)正整数有1,2,3,…,所求集合用列举法表示为{1,2,3,…}.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
1.使用列举法表示集合时,应注意以下几点:
(1)在元素个数较少或元素间有明显规律时可用列举法表示集合.
(2)“{}”表示“所有”的含义,不能省略,元素之间无顺序,满足无序性.
2.用列举法表示集合,要分清该集合是数集还是点集.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练1用列举法表示下列集合:
(1)15的正因数组成的集合;
(2)不大于10的正偶数组成的集合;
解:(1){1,3,5,15};(2){2,4,6,8,10};(3){(-3,0)}.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
用描述法表示集合
例2用描述法表示下列集合:
(1)函数y=-x的图象上的点组成的集合;
(2)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合;
(3)不等式x-2<3的解组成的集合.
分析找准集合的代表元素→说明元素满足的条件→用描述法表示相应的集合
解:(1){(x,y)|y=-x}.
(2)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合等于绝对值大于3的实数组成的集合,则数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合用描述法表示为{x∈R||x|>3}.
(3)不等式x-2<3的解是x<5,则不等式x-2<3的解组成的集合用描述法表示为{x|x<5}.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
1.用描述法表示集合时应弄清楚集合的属性,即它是数集、点集还是其他的类型.一般地,数集用一个字母代表其元素,点集用一个有序实数对代表其元素.
2.若描述部分出现代表元素以外的字母,则要说明新字母含义或指出其取值范围.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练2用描述法表示下列集合:
(1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合;
(2)抛物线y=x2-4上的点组成的集合;
解:(1){(x,y)|x∈R,y=0};(2){(x,y)|y=x2-4};(3){x|x≠1}.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
学生乙:问题转化为求直线y=x与抛物线y=x2的交点,得到A={(0,0),(1,1)}.
解:学生甲正确,学生乙错误.由于集合A的代表元素为x,这是一个数集,而不是点集.因此满足条件的元素只能为x=0,1;而不是实数对
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解:代表元素是点,所以这是点集,学生乙正确.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
集合表示方法的选择与转换
例4用适当的方法表示下列集合:
(2)1
000以内被3除余2的正整数组成的集合;
(3)所有的正方形组成的集合;
(4)抛物线y=x2上的所有点组成的集合.
分析依据集合中元素的个数,选择适当的方法表示集合.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
(2)设集合的代表元素是x,则该集合用描述法可表示为{x|x=3k+2,k∈N,且k≤332}.
(3)用描述法表示为{x|x是正方形}或{正方形}.
(4)用描述法表示为{(x,y)|y=x2}.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
表示集合时,应先根据题意确定符合条件的元素,再根据元素情况选择适当的表示方法.
值得注意的是,并不是每一个集合都可以用两种方法表示出来.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练3用另一种方法表示下列集合:
(1){绝对值不大于2的整数};
(2){能被3整除,且小于10的正数};
(3){-3,-1,1,3,5}.
解:(1){-2,-1,0,1,2}.
(2){3,6,9}.
(3){x|x=2k-1,-1≤k≤3,k∈Z}.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
已知集合中元素个数求参数范围
例5若集合A={x|kx2-8x+16=0}中只有一个元素,试求实数k的值,并用列举法表示集合A.
分析明确集合A的含义→对k加以讨论→求出k的值→写出集合A
解:当k=0时,原方程变为-8x+16=0,x=2.
此时集合A={2},满足题意.
当k≠0时,要使关于x的一元二次方程kx2-8x+16=0有两个相等实根,只需Δ=64-64k=0,即k=1.
此时方程的解为x1=x2=4,集合A={4},满足题意.
综上所述,实数k的值为0或1.当k=0时,A={2};当k=1时,A={4}.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
1.解答与描述法有关的问题时,明确集合中代表元素及其共同特征是解题的切入点及关键点.
2.本题因不能确定kx2-8x+16=0是否为一元二次方程,因而,需要分为k=0和k≠0两种情况进行讨论,从而做到不重不漏.
3.解答集合与含有参数的方程的综合问题时,一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论,确定方程的根的情况,进而求得结果.需特别关注判别式在讨论一元二次方程的实数根个数中的作用.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
延伸探究1例5中,若集合A中含有2个元素,试求k的取值范围.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
延伸探究2例5中,若集合A中至多有一个元素,试求k的取值范围.
解:(1)当集合A中含有1个元素时,由例5知,k=0或k=1;
(2)当集合A中没有元素时,方程kx2-8x+16=0无解,即
解得k>1.综上,实数k的取值范围为{k|k=0或k≥1}.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
第三次数学危机
数学史上的第三次危机,是在康托的一般集合理论的边缘发现悖论产生的.由于集合概念已经渗透到众多的数学分支,并且集合论已成了数学的基础,因此集合理论中悖论的发现自然地引起了对数学整个基本结构的有效性的怀疑.
其中最著名的就是罗素于1919年给出的形式通俗化的“罗素悖论”,它涉及某村理发师的困境.理发师宣布了这样一条原则:他给村里所有不给自己刮脸的人刮脸,并且,只给村里这样的人刮脸.那么,“理发师是否自己给自己刮脸?”如果他不给自己刮脸,那么他按原则就该为自己刮脸;如果他给自己刮脸,那么这就不符合他的原则.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
罗素悖论使整个数学大厦动摇了.承认无穷集合,承认无穷基数,就好像一切灾难都出来了,这就是第三次数学危机的实质.尽管悖论可以消除,矛盾可以解决,然而数学的确定性却在一步一步地丧失.现代公理集合论的大堆公理,简直难说孰真孰假,可是又不能把它们都消除掉,它们跟整个数学是血肉相连的.所以,第三次危机表面上解决了,实质上以其他形式更深刻地延续着.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
1.已知集合A=
,则下列关系式不成立的是( )
A.0∈A
B.1.5?A
C.-1?A
D.6∈A
答案:D
解析:由题意知A={0,1,2,3,4,5},故选D.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
2.集合{x∈N+|x<5}的另一种表示法是( )
A.{0,1,2,3,4}
B.{1,2,3,4}
C.{0,1,2,3,4,5}
D.{1,2,3,4,5}
答案:B
解析:N+为正整数集,所以集合{x∈N+|x<5}表示小于5的正整数组成的集合.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
3.集合{-1,1}用描述法可以表示为 .?
4.集合A={(x,y)|x+y=6,x,y∈N}用列举法表示为 .?
答案:答案不唯一,如{x||x|=1}
答案:A={(0,6),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0)}
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
5.分别用描述法和列举法表示下列集合:
(1)方程x2-x-2=0的解组成的集合;
(2)大于1且小于5的所有整数组成的集合.
解:(1)集合用描述法表示为{x|x2-x-2=0};由于方程x2-x-2=0的解分别为-1,2,故方程的解组成的集合用列举法表示为{-1,2}.
(2)集合用描述法表示为{x|1
