2020_2021学年新教材高中数学第一章预备知识1.2集合的基本关系课件北师大版必修第一册（共36张PPT）

(共36张PPT)
1.2　集合的基本关系
激趣诱思
知识点拨
同学们,你现在所在的班级是一个由若干名同学组成的集合,我们不妨记为S,如果把班内所有男生组成的集合记为A,把班内所有女生组成的集合记为B,集合A,B与集合S有怎样的关系?集合A中的元素一定是集合S中的元素吗?反过来呢?
激趣诱思
知识点拨
一、子集
1.Venn图
为了直观地表示集合间的关系,常用平面上封闭曲线的内部表示集合,称为Venn图.
名师点析1.表示集合的Venn图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线.
2.用Venn图表示集合的优点是直观地表示集合之间的关系;缺点是集合元素的公共特征不明显.
激趣诱思
知识点拨
2.子集
任何一个
A?B(或B?A)
空集
A?C
激趣诱思
知识点拨
微思考
在子集的定义中,能否认为“集合A是由集合B中的部分元素组成的集合”?
提示:不能.若A?B,则A有以下三种情况:
①A=?;
②A=B;
③A是由B中的部分元素组成的集合.
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)已知集合P={-1,0,1,2},Q={-1,0,1},则(　　)
A.P∈Q
B.P?Q
C.Q?P
D.Q∈P
(2)已知集合A={-1,3,2m-1},B={3,m2},若B?A,则实数m=　　　.?
解析:由B?A,知m2∈A,且m2≠3,又m2≠-1,所以m2=2m-1,解得m=1,经验证符合集合元素的互异性.
答案:
(1)
C
(2)1
激趣诱思
知识点拨
二、集合相等
名师点析1.因为A?B,所以集合A的元素都是集合B的元素;又因为B?A,所以集合B的元素也都是集合A的元素,也就是说,集合A与B相等,则集合A与B的元素是完全相同的.
2.证明或判断两个集合相等,只需证A?B与B?A同时成立即可.
A=B
激趣诱思
知识点拨
微练习
已知集合A={1,-m},B={1,m2},且A=B,则m的值为　　　　　.
解析:由A=B,得m2=-m,解得m=0或m=-1.
当m=-1时不满足集合中元素的互异性,舍去.故m=0.
答案:
0
激趣诱思
知识点拨
三、真子集
A?B
A≠B　
A?C
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.集合A是集合B的真子集,需要满足两个条件:①A?B;
②存在元素x,满足x∈B且x?A.
2.如果集合A是集合B的真子集,那么集合A一定是集合B的子集,反之则不成立.
3.任意集合都一定有子集,但是不一定有真子集.空集没有真子集,一个集合的真子集个数比它的子集个数少1.
激趣诱思
知识点拨
微练习
若集合P={x|x<1},集合Q={x|x<0},则集合P与集合Q的关系是(　　)
A.P?Q
B.Q?P
C.P=Q
D.不确定
答案:B　
解析:x<0?x<1,反之不成立.所以Q?P.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
写出给定集合的子集
例1(1)写出集合{a,b,c,d}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集;
(2)填写下表,并回答问题:
由此猜想:含n个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是多少?
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
分析(1)利用子集的概念,按照集合中不含任何元素、含有1个、2个、3个、4个元素这五种情况分别写出子集.(2)由特殊到一般,归纳得出.
解:(1)不含任何元素的子集为?;
含有一个元素的子集为{a},{b},{c},{d};
含有两个元素的子集为{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d};
含有三个元素的子集为{a,b,c},{a,b,d},{b,c,d},{a,c,d}.
含有四个元素的子集为{a,b,c,d}.
其中除去集合{a,b,c,d},剩下的都是{a,b,c,d}的真子集.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
(2)
由此猜想:含n个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是2n.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
1.分类讨论是写出所有子集的有效方法,一般按集合中元素个数的多少来划分,遵循由少到多的原则,做到不重不漏.
2.若集合A中有n个元素,则集合A有2n个子集,有2n-1个真子集,有2n-1个非空子集,有2n-2个非空真子集,该结论可在选择题或填空题中直接使用.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练1若{1,2,3}?A?{1,2,3,4,5},则满足条件的集合A的个数为(　　)
A.2
B.3
C.4
D.5
答案:B　
解析:集合{1,2,3}是集合A的真子集,同时集合A又是集合{1,2,3,4,5}的子集,所以集合A只能取集合{1,2,3,4},{1,2,3,5}和{1,2,3,4,5}.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
集合之间关系的判断
例2已知集合A={x|1≤x<6},B={x|x+3≥4},则A与B的关系是(　　)
A.A?B
B.A=B
C.B?A
D.A?B
反思感悟
判断两个集合之间的关系,一般是依据子集等相关定义分析.对于两个连续数集,则可将集合用数轴表示出来,数形结合判断,需注意端点值的取舍.
答案:A　
解析:由题意知,B={x|x≥1},将A,B表示在数轴上,如图所示.由数轴可以看出,集合A中元素全部在集合B中,且B中至少存在一个元素不属于集合A,所以A?B.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
延伸探究例2中将集合B改为{x|x+3>4},则集合A与B是什么关系?
答案:集合A与B之间不具有包含关系.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
A?B　
反思感悟
将集合中元素的特征性质进行等价变形,从而发现各性质之间的关系,最后得到集合之间的关系.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
A.A=B?C
B.A?B=C
C.A?B?C
D.B?C?A
答案:B　
∵a∈Z时,6a+1表示被6除余1的数;b∈Z时,3b-2表示被3除余1的数;c∈Z时,3c+1表示被3除余1的数;所以A?B=C.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
集合相等关系的应用
例4已知集合A={2,x,y},B={2x,2,y2},且A=B,求实数x,y的值.
分析根据A=B列出关于x,y的方程组进行求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
集合相等则元素相同,但要注意集合中元素的互异性,防止错解.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
由集合间的关系求参数的范围
例5已知集合A={x|-5(1)若a=-1,试判断集合A,B之间是否存在包含关系;
(2)若B?A,求实数a的取值范围.
分析(1)由a=-1,写出集合B,分析两个集合中元素之间的关系,判断其是否存在包含关系;(2)根据集合B是否为空集进行分类讨论;然后把两集合在数轴上标出,根据子集关系确定端点值之间的大小关系,进而列出参数a所满足的条件.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解:(1)若a=-1,则B={x|-5如图在数轴上标出集合A,B.
由图可知,B?A.
(2)由已知B?A.
①当B=?时,2a-3≥a-2,解得a≥1.显然B?A.
②当B≠?时,2a-3由已知B?A,如图在数轴上表示出两个集合,
又因为a<1,所以实数a的取值范围为-1≤a<1.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
由集合间的关系求参数的范围问题中的两点注意事项
(1)解此类问题通常借助数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,同时还要注意验证端点值,做到准确无误,一般含“=”用实心点表示,不含“=”用空心点表示.
(2)涉及“A?B”或“A?B,且B≠?”的问题,一定要分A=?和A≠?两种情况进行讨论,其中A=?的情况容易被忽略,应引起重视.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
延伸探究(1)例5(2)中,是否存在实数a,使得A?B?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.
(2)若集合A={x|x<-5,或x>2},B={x|2a-3探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解:(1)不存在.因为A={x|-5(2)①当B=?时,2a-3≥a-2,解得a≥1.显然成立.
②当B≠?时,2a-3由已知B
?A,如图在数轴上表示出两个集合,
由图可知2a-3≥2或a-2≤-5,
解得a≥
或a≤-3.又因为a<1,所以a≤-3.
综上,实数a的取值范围为a≥1或a≤-3.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
分类讨论思想与数形结合思想在解决集合含参问题中的应用
对于两个集合A与B,已知A或B中含有待确定的参数,若A?B或A=B,则集合B与集合A具有“包含关系”,解决这类问题时常采用分类讨论和数形结合的方法.
(1)分类讨论是指:
①A?B在未指明集合A非空时,应分A=?和A≠?两种情况来讨论;
②因为集合中的元素是无序的,由A?B或A=B得到两集合中的元素对应相等的情况可能有多种,因此需要分类讨论.
(2)数形结合是指对A≠?这种情况,在确定参数时,需要借助数轴来完成,将两个集合在数轴上画出来,分清实心点与空心点,确定两个集合之间的包含关系,列不等式(组)确定参数.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
特别提醒
此类问题易错点有三个:(1)忽略A=?的情况,没有分类讨论;(2)在数轴上画两个集合时,没有分清实心点与空心点;(3)没有弄清包含关系,以致没有正确地列出不等式或不等式组.
(3)解决集合中含参问题时,最后结果要注意验证.验证是指:
①分类讨论求得的参数的值,还需要代入原集合中看是否满足集合元素的互异性;
②所求参数能否取到端点值需要单独验证.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
典例已知集合A={x|1分析对参数a进行讨论,写出集合A,B,借助数轴,求出a的取值范围.
解:∵B={x|-1探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
1.集合{x,y}的子集个数是(　　)
A.1
B.2
C.3
D.4
答案:D　
解析:(方法一)集合{x,y}的子集有?,{x},{y},{x,y},共有4个.
(方法二)集合内有2个元素,子集个数为22=4.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
2.下列正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0}关系的Venn图是(　　)
答案:B　
解析:由N={-1,0},知N?M,故选B.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
3.已知集合C={x|x是奇数},D={x|x是整数},则C　　　　　D.(填“?”“?”或“=”)
4.已知集合A={x,2},集合B={3,y}.若A=B,则x=　　　　　,y=　　　　　.?
解析:一个数如果是奇数,它一定是整数;反过来,整数未必是奇数.所以C?D.
解析:∵A=B,∴A,B中元素相同.∴x=3,y=2.
答案:?
答案:3　2
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
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5.已知集合P={x|-2解:Q={x|x-a≥0}={x|x≥a},
由P?Q,将集合P,Q在数轴上表示出来,如图.
由图可得a≤-2.故实数a的取值范围是a≤-2.