(共31张PPT)
2.1 必要条件与充分条件
第1课时 必要条件与充分条件
激趣诱思
知识点拨
小李设计如下三个电路图,在第一个电路中,如果开关A闭合,灯泡B是否一定会亮?要想使灯泡B亮起,是否必须闭合开关A?第二个和第三个电路中呢?
那么“闭合开关A”是“灯泡B亮”发生的什么条件呢?
激趣诱思
知识点拨
一、必要条件与性质定理
1.推出(?)
若命题表示为“若p,则q”时,p是命题的条件,q是命题的结论.当命题“若p,则q”是真命题时,就说由p推出q,记作p?q.
2.必要条件
一般地,当命题“若p,则q”是真命题时,称q是p的 .也就是说,一旦q不成立,p一定也不成立,即q对于p的成立是必要的.?
名师点析说条件是必要的,就是说该条件必须要有,是必不可少的.简单地说,就是“有它不一定能成立,但没它一定不成立”.
必要条件
激趣诱思
知识点拨
微练习
用“?”或“不能推出”填空.
(1)a,b都是偶数 a+b是偶数;?
(2)a+b是偶数
a,b都是偶数;?
(3)A∩B=?
A=?;?
(4)Rt△ABC中,∠A=30° 边BC长等于斜边长的一半.
?
不能推出
不能推出
?
激趣诱思
知识点拨
二、充分条件与判定定理
一般地,当命题“若p,则q”是真命题时,称p是q的充分条件.
综上,对于真命题“若p,则q”,即p?q时,称q是p的必要条件,也称p是q的充分条件.
名师点析1.说条件是充分的,也就是说这个条件足以保证结论成立.即要使结论成立,只要有它就可以了.
2.可以把充分条件理解为“有之即可,无之也行”
激趣诱思
知识点拨
微思考
如何从集合角度理解必要条件、充分条件?
提示:一般地,如果A={x|p(x)},B={x|q(x)},且A?B,如图所示,那么p(x)?q(x),因此p(x)是q(x)的充分条件,q(x)是p(x)的必要条件.
激趣诱思
知识点拨
三、充要条件
1.一般地,如果p?q,且q?p,那么称p是q的充分且必要条件,简称p是q的充要条件.记作p?q.
2.p是q的充要条件也常常说成“p成立,当且仅当q成立”或“p与q等价”.
3.当p是q的充要条件时,q也是p的充要条件.
激趣诱思
知识点拨
名师点析设集合A={x|p(x)},B={x|q(x)},若x具有性质p,则x∈A;若x具有性质q,则x∈B.
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
微思考
判断p是q的什么条件时,有哪些可能情况?
提示:(1)如果p?q,且q不能推出p,则称p是q的充分不必要条件;
(2)如果p不能推出q,且q?p,则称p是q的必要不充分条件;
(3)如果p?q,且q?p,则称p是q的充要条件;
(4)如果p不能推出q,且q不能推出p,则称p是q的既不充分也不必要条件.
激趣诱思
知识点拨
微练习
下列各题中,p是q的什么条件?
(1)p:x=-3,q:x2=9;
(2)p:两个三角形面积相等,q:两个三角形全等;
(3)p:A∪B=A,q:B?A;
(4)p:a>b,q:ac>bc.
答案:
(1)充分不必要条件.
(2)必要不充分条件.
(3)充要条件.
(4)既不充分也不必要条件.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
充分条件、必要条件及充要条件的判断
例1(1)对于任意的x,y∈R,“xy=0”是“x2+y2=0”的( )
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
(3)设A,B是两个集合,则“A∩B=A”是“A?B”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:(1)由x2+y2=0,得x=0,且y=0,
由xy=0得x=0或y=0,即“xy=0”不能推出“x2+y2=0”.
(2)若“四边形ABCD为菱形”,显然对角线垂直;
但“AC⊥BD”推不出“四边形ABCD为菱形”,例如对角线垂直的等腰梯形.
所以“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件.
(3)因为A∩B=A?A?B,所以“A∩B=A”是“A?B”的充要条件.
答案:
(1)
A (2)
A (3)C
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
延伸探究例1(2)中,把原条件中的“四边形ABCD”改为“平行四边形ABCD”,其余不变,结论有变化吗?
解:若条件为平行四边形,则“ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充要条件.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
变式训练1设A,B为两个互不相同的集合.命题p:x∈A∩B;命题q:x∈A或x∈B.则p是q的( )
A.充分必要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
答案:B
解析:若命题p:x∈A∩B成立,命题q:x∈A或x∈B一定成立;若命题q:x∈A或x∈B成立,但是x不一定是A∩B中的元素,所以p是q的充分不必要条件.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
数根的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:“方程ax+3=0在[-1,2]上有实数根”等价于“直线y=ax+3在[-1,2]上与x轴有交点”,则
答案:A
探究一
探究二
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当堂检测
变式训练2设x∈R,则“x>1”是“x3>1”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:C
解析:令A={x|x>1},B={x|x3>1}.由于A=B,所以“x>1”是“x3>1”的充要条件.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
例3(2019湖北襄阳期中)若p是r的充分不必要条件,r是q的必要条件,r是s的充要条件,q是s的必要条件,则s是p的什么条件?
分析用推出符号表示p,q,r,s的关系→由图求出结果
解:p,q,r,s之间的关系如图所示,由图可知p?s,但s不能推出p,故s是p的必要不充分条件.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
反思感悟
充分条件、必要条件、充要条件的判断方法
1.定义法:
(1)分清哪个是条件,哪个是结论.
(2)判断“若p,则q”及“若q,则p”的真假.
(3)根据(2)得出结论.
2.集合法:写出集合A={x|p(x)}及B={x|q(x)},利用集合间的包含关系进行判断.
3.等价转化法:将命题转化为另一个与之等价的且便于判断真假的命题.
4.特殊值法:对于选择题,可以取一些特殊值或特殊情况,用来说明由条件(结论)不能推出结论(条件),但是这种方法不适用于证明题.
5.传递法:若问题中出现若干个条件和结论,应先根据条件画出相应的“推式图”,再根据图中推式的传递性进行判断.
探究一
探究二
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当堂检测
A.x>1
B.x>-1
C.x<-1或0
D.-10
(2)1<2x+2<8的一个必要不充分条件是( )
分析(1)先寻找命题成立的充要条件,然后将该充要条件缩小范围,即得相应的充分不必要条件;(2)先寻找命题成立的充要条件,然后将该充要条件扩大范围,即得相应的必要不充分条件.
探究一
探究二
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结合所给的选项可知它的一个必要不充分条件是-1反思感悟
1.探究一个命题成立的充分不必要条件以及必要不充分条件时,往往可以先找到其成立的充要条件,然后通过对充要条件的范围放大或缩小,得到相应的充分不必要条件或必要不充分条件.
2.如果p是q的充分不必要条件,那么p并不是唯一的,可以有多个;同样,如果p是q的必要不充分条件,那么p也不是唯一的,可以有多个;但如果p是q的充要条件,那么p是唯一的.
答案:
(1)
A (2)B
探究一
探究二
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变式训练3下列不等式:①x<1;②0-1.其中,可以作为x2<1的充分不必要条件的有 ;可以作为x2<1的必要不充分条件的有 .(填序号)?
②③
①⑤
解析:由x2<1,得-1-1},所以x<1和x>-1均可作为x2<1的一个必要不充分条件.
探究一
探究二
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例5已知方程x2+(2k-1)x+k2=0,求使方程有两个正实数根的充要条件.
解:方程x2+(2k-1)x+k2=0有两个正实数根等价于
探究一
探究二
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反思感悟
寻求q的充要条件有两种方法
(1)等价转化法:将原命题进行等价转化,直至获得其成立的充要条件,其中求解的过程也是证明的过程,因为过程的每一步都是等价的,所以不需要将充分性和必要性分开来证.
(2)非等价转化法:先寻找必要条件,再证明充分性,即从必要性和充分性两方面说明.
探究一
探究二
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变式训练4(2019湖南永州高三模拟)“不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的充要条件是( )
解析:∵不等式x2-x+m>0在R上恒成立,
答案:A
探究一
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自主招生中的充分条件与必要条件
某大学2017年自主招生简章中规定,凡是高中阶段在全国中学生学科奥林匹克竞赛中获得省赛区竞赛一等奖(含)以上者(简记为“满足竞赛条件”,下同),都可以报名参加该校的自主招生考试.
根据以上信息,回答下列问题:
(1)已知甲同学满足竞赛条件,那么甲能申请参加该大学2017年的自主招生考试吗?
(2)已知乙同学已经成功申请到了参加该大学2017年自主招生考试的资格,那么乙同学一定满足竞赛条件吗?
探究一
探究二
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(3)已知丙同学不满足竞赛条件,那么丙同学一定不能申请参加该大学2017年的自主招生考试吗?
第一个问题,相信大家都能得到正确答案能.
但第二个和第三个问题的答案都是:不一定.你知道为什么吗?
这是因为满足竞赛条件只是能申请参加该大学2017年自主招生考试的充分条件,而不是必要条件,但是充分条件可以不止一个.
事实上,全国青少年科技创新活动中的获奖者也能申请参加该大学2017年的自主招生考试.
生活中还有很多类似的情况,请自行找出更多的例子吧！
探究一
探究二
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当堂检测
1.“a=-3”是“|a|=3”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.“x>2”是“x>1”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.设x∈R,则x>2的一个必要不充分条件是( )
A.x>1
B.x<1
C.x>3
D.x<3
答案:A
答案:A
答案:A
探究一
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当堂检测
4.已知a,b是实数,则“a>0,且b>0”是“a+b>0且ab>0”的 条件.?
解析:a>0且b>0?a+b>0,且ab>0;a+b>0,且ab>0?a>0,且b>0,故为充要条件.
5.写出平面内的一个四边形为平行四边形的两个充要条件:
充要条件①
;?
充要条件②
.?
(写出你认为正确的两个充要条件)
答案:充要
答案:两组对边分别平行 一组对边平行且相等(共17张PPT)
第2课时 习题课 充分条件与必要条件
的综合应用
探究一
探究二
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充要条件的证明
例1已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
分析第一步,审题,分清条件与结论:在“p是q的充要条件”中p是条件,q是结论;在“p的充要条件是q”中,p是结论,q是条件.本题中条件是a3+b3+ab-a2-b2=0,结论是“ab≠0时,a+b=1”.
第二步,根据要求确定解题步骤.分别证明“充分性”与“必要性”,先证必要性:“结论?条件”;再证充分性:“条件?结论”.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
证明:(必要性)
∵a+b=1,∴a+b-1=0.
∴a3+b3+ab-a2-b2
=(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)
=(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.
(充分性)
∵a3+b3+ab-a2-b2=0,
∴(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.
又ab≠0,∴a≠0,且b≠0.
∴a+b-1=0,即a+b=1.
综上可知,当ab≠0时,a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
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反思感悟
充要条件的证明
(1)充要条件的证明问题,关键是理清题意,认清条件与结论分别是什么.
(2)证明p是q的充要条件,既要证明“p?q”为真,又要证明“q?p”为真,前者证明的是充分性,后者证明的是必要性.
(3)证明p的充要条件是q,既要证明“p?q”为真,又要证明“q?p”为真,前者证明的是必要性,后者证明的是充分性.
探究一
探究二
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当堂检测
变式训练求证:方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
证明:(必要性)
∵关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1,
∴x=1满足方程ax2+bx+c=0.
∴a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0.
(充分性)
∵a+b+c=0,∴c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0中,可得ax2+bx-a-b=0,
即(x-1)(ax+a+b)=0.
因此,方程有一个根为x=1.故关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
探究一
探究二
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根据充分条件、必要条件求参数的取值范围
例2已知p:-4A.(-1,6)
B.[-1,6]
C.(-∞,-1)∪(6,+∞)
D.(-∞,-1]∪[6,+∞)
分析可将p和q中所涉及的变量x的取值范围解出来,根据充分条件,转化为其构成的集合之间的包含关系,建立关于参数a的不等式组,从而求得实数a的取值范围.
探究一
探究二
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当堂检测
答案:B
解析:设q,p表示的范围分别为集合A,B,
则A=(2,3),B=(a-4,a+4).
所以-1≤a≤6.故选B.
探究一
探究二
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反思感悟
根据充分条件与必要条件求参数取值范围的步骤如下:
(1)记集合M={x|p(x)},N={x|q(x)};
(2)根据以下表格确定集合M与N的包含关系:
(3)根据集合M与N的包含关系建立关于参数的不等式(组);
(4)解不等式(组)求出参数的取值范围.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
延伸探究例2中,是否存在实数a,使p是q成立的必要不充分条件?若存在,求出a的范围;若不存在,请说明理由.
解:设q,p表示的范围分别为集合A,B,则A=(2,3),B=(a-4,a+4).若p是q的必要不充分条件,
无解.故不存在这样的实数a.
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数形结合思想的应用
在解答有关充要条件的判断,或者根据条件间的充分性、必要性求参数的取值范围时,有时要借助于Venn图或数轴求解,可以比较形象、直观地解决问题,培养我们直观想象的核心素养.
1.Venn图的应用
(1)用列举法表示集合,可以很清晰地判断条件间的关系.
(2)把条件用集合来表示,将抽象的条件具体化、形象化,方便判断.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
典例1
已知集合A={1,2,3,4,5},B={3,4,5},则x∈A是x∈B的( )
A.充分不必要条件 B.充要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
分析作出Venn图,判断集合A和集合B之间的关系,进而做出判断.
解析:作出Venn图,如图所示,可知x∈B?x∈A,但x∈A不能推出
x∈B,所以x∈A是x∈B的必要不充分条件.
答案:C
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2.数轴的应用
(1)判断涉及集合的条件间的充分性、必要性时,如果集合中的实数为连续性的,则可用数轴表示集合做出判断.
(2)在根据条件间的关系求参数的取值范围时,一般转化为集合间的关系,用数轴法解决,这种解法更加的直观形象,不易出错.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
典例2
已知集合A={x|-1A.充分不必要条件
B.充要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
解析:在数轴上作出集合A和B如图所示,
由图可知x∈A?x∈B,但x∈B不能推出x∈A,所以x∈A是x∈B的充分不必要条件.
答案:A
探究一
探究二
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典例3
已知命题p:-10),若p是q的必要条件,求实数m的取值范围.
解:设A={x|-10},因为p是q的必要条件,所以B?A,
在数轴上标出两集合,如图,
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
1.若“xA.a≥3
B.a≤-1
C.-1≤a≤3
D.a≤3
答案:B
解析:因为“x探究一
探究二
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2.“有两个角之和为90°的三角形称为直角三角形”是否可以作为直角三角形的定义?为什么?
解:可以作为直角三角形的定义.
因为“有两个角之和为90°的三角形”?“有一个内角为90°的三角形”?“直角三角形”,即“有两个角之和为90°的三角形”是“直角三角形”的充要条件,
故“有两个角之和为90°的三角形称为直角三角形”可以作为直角三角形的定义.
探究一
探究二
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3.求证:一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过坐标原点的充要条件是b=0.
证明:①充分性:如果b=0,那么y=kx.当x=0时,y=0,
所以一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过坐标原点.
②必要性:因为一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过坐标原点,所以当x=0时,y=0,即k×0+b=0,所以b=0.
故可求证.(共28张PPT)
2.2 全称量词与存在量词
激趣诱思
知识点拨
在某个城市中有一位理发师,他的广告词是这样写的:“本人的理发技艺十分高超,誉满全城.我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸,我也只给这些人刮脸.我对各位表示热诚欢迎!”来找他刮脸的人络绎不绝,自然都是那些不给自己刮脸的人.可是,有一天,这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了,他本能地抓起了剃刀,你们看他能不能给他自己刮脸呢?如果他不给自己刮脸,他就属于“不给自己刮脸的人”,他就要给自己刮脸,而如果他给自己刮脸呢?他又属于“给自己刮脸的人”,他就不该给自己刮脸.
这就是著名的“罗素理发师悖论”问题,
如果我们学习了全称量词命题与存在
量词命题的知识,就可以通过逻辑进行
分析了.
激趣诱思
知识点拨
一、全称量词与全称量词命题
1.全称量词命题:
在给定集合中,断言 都具有同一性质的命题叫作全称量词命题.?
2.全称量词:在命题中,诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词.用符号“ ”表示,读作“对任意的”.?
名师点析1.全称量词命题表示的数量可能是无限的,也可能是有限的,由题目而定.
2.一个全称量词命题可以包含多个变量,如“?x,y∈R,x2+y2≥0”.
3.有时全称量词是省略的,理解时需要把它补充出来.如:“正方形是矩形”应理解为“所有的正方形是矩形”.
所有元素
?
激趣诱思
知识点拨
微练习
给出下列命题:①有的质数是偶数;②在平面内与同一直线所成角相等的两条直线平行;③存在一个三角形三个内角都相等;④对于实数a,b,|a-1|+|b-1|>0.
其中是全称量词命题的为 ,是存在量词命题的为 ,真命题为 .(填序号)?
②④
①③
①③
激趣诱思
知识点拨
二、存在量词与存在量词命题
1.存在量词命题:
在给定集合中,断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题.
2.存在量词:
在命题中,诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词.用符号“?”表示,读作“存在”.
名师点析1.含有存在量词的命题,不管包含的程度多大,都是存在量词命题.
2.一个存在量词命题可以包含多个变量,如“?a,b∈R,(a+b)2=(a-b)2”.
3.有些命题中虽然没有写出存在量词,但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题.
激趣诱思
知识点拨
微思考
如何判断存在量词命题与全称量词命题的真假?
提示:(1)存在量词命题的真假判断
①要判定存在量词命题“?x∈M,p(x)”是真命题,只需在集合M中找到一个元素x,使p(x)成立即可.
②要判定一个存在量词命题是假命题,需对集合M中的任意一个元素x,证明p(x)都不成立.
(2)全称量词命题的真假判断
①要判定全称量词命题“?x∈M,r(x)”是真命题,需要对集合M中每个元素x,证明r(x)成立;
②要判定全称量词命题“?x∈M,r(x)”是假命题,只需举出一个反例,即在集合M中找到一个元素x0,使得r(x0)不成立,那么这个全称量词命题就是假命题.
激趣诱思
知识点拨
三、全称量词命题与存在量词命题的否定
1.全称量词命题的否定
全称量词命题的否定是存在量词命题.
对于全称量词命题p:?x∈M,x具有性质p(x),通常把它的否定表示为?x∈M,x不具有性质p(x).
2.存在量词命题的否定
存在量词命题的否定是全称量词命题.
对于存在量词命题p:?x∈M,x具有性质p(x),通常把它的否定表示为?x∈M,x不具有性质p(x).
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.含有一个量词的命题与它的否定真假相反.所以当其中一个命题的真假不易判断时,可通过判断另一个命题的真假来得到.
2.含有一个量词的命题的否定,是在否定结论p(x)的同时,改变量词的属性,即将全称量词改为存在量词,将存在量词改为全称量词.
激趣诱思
知识点拨
3.常见词语的否定
微练习
(1)命题“存在一个三角形,内角和不等于180°”的否定为( )
A.存在一个三角形的内角和等于180°
B.所有三角形的内角和都等于180°
C.所有三角形的内角和都不等于180°
D.很多三角形的内角和不等于180°
(2)命题“?x∈Z,4x-1是奇数”的否定是 .?
B
?x∈Z,4x-1不是奇数
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
全称量词命题与存在量词命题的辨析
例1判断下列语句是否为全称量词命题或存在量词命题.
(1)有些素数的和仍是素数;
(2)自然数的平方是正数.
解:因为(1)含有存在量词,所以命题(1)为存在量词命题;又因为“自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的平方都是正数”,所以(2)含有全称量词,故为全称量词命题.
综上所述:(1)为存在量词命题,(2)为全称量词命题.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练1下列命题中,是全称量词命题的是 ,是存在量词命题的是 .(填序号)?
①正方形的四条边相等;②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形;③正数的平方根不等于0;④至少有一个正整数是偶数.
①②③
④
解析:①②③是全称量词命题,④是存在量词命题.
探究一
探究二
探究三
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全称量词命题与存在量词命题的真假判断
例2判断下列命题的真假.
(1)?x∈Z,x3<1;
(2)存在一个四边形不是平行四边形;
(3)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点P;
(4)?x∈N,x2>0.
解:(1)这是存在量词命题.因为-1∈Z,且(-1)3=-1<1,它是真命题.
(2)这是存在量词命题.是真命题,如梯形是四边形,不是平行四边形.
(3)这是全称量词命题.由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知,它是真命题.
(4)这是全称量词命题.因为0∈N,02=0,所以命题“?x∈N,x2>0”是假命题.
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反思感悟
判断全称量词命题和存在量词命题真假的方法
(1)要判断一个全称量词命题为真,必须对在给定集合的每一个元素x,使命题p(x)为真;但要判断一个全称量词命题为假时,只需在给定的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为假.
(2)要判断一个存在量词命题为真,只要在给定的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为真;要判断一个存在量词命题为假,必须对在给定集合的每一个元素x,使命题p(x)为假.
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变式训练2指出下列命题中,哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断真假.
(1)存在一个实数,它的绝对值不是正数;
(2)每一条线段的长度都能用正有理数来表示;
(3)存在一个实数x,使得等式x2+x+8=0成立.
?
解:(2)是全称量词命题,(1)(3)是存在量词命题.
(1)真命题.存在一个实数0,它的绝对值不是正数.
(3)假命题,方程x2+x+8=0的判别式Δ=-31<0,故方程无实数解.
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全称量词命题与存在量词命题的否定
例3写出下列各命题的否定.
(1)p:对任意的正数x,
>x-1;
(2)q:三角形有且仅有一个外接圆;
(3)r:存在一个三角形,它的内角和大于180°;
(4)s:有些质数是奇数.
分析先判断每个命题是全称量词命题还是存在量词命题,再写出相应的否定.
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解:(1)命题p的否定“存在正数x,使
≤x-1”.
(2)命题q的否定“存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆或没有外接圆”.
(3)命题r的否定“所有三角形的内角和都小于或等于180°”.
(4)命题s的否定“所有的质数都不是奇数”.
反思感悟
1.一般地,写含有一个量词的命题的否定,首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题,并找到量词及相应结论,然后把命题中的全称量词改成存在量词,存在量词改成全称量词,同时否定结论,即得其否定.
2.对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写成含量词的完整形式,再写出命题的否定.
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变式训练3写出下列命题的否定,并判断其真假.
(1)p:?x∈R,x2-x+
≥0;
(2)q:所有的正方形都是矩形;
(3)r:?x∈R,x2+3x+7≤0;
(4)s:至少有一个实数x,使x3+1=0.
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∴命题p的否定是假命题.
(2)命题q的否定“至少存在一个正方形不是矩形”,是假命题.
(3)命题r的否定“?x∈R,x2+3x+7>0”,是真命题.
∴命题r的否定是真命题.
(4)命题s的否定“对任意实数x,使x3+1≠0”,是假命题.
∵当x=-1时,x3+1=0,∴命题s的否定是假命题.
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根据命题的真假求参数的取值范围
例4已知命题“?x∈R,x2+ax+1≥0”是假命题,求实数a的取值范围.
分析若全称量词命题为假命题,通常转化为其否定形式——存在量词命题为真命题来解决;同理,若存在量词命题为假命题,通常转化为其否定形式——全称量词命题为真命题来解决.
解:因为全称量词命题“?x∈R,x2+ax+1≥0”的否定是“?x∈R,x2+ax+1<0”.
由“命题真,其否定假;命题假,其否定真”可知,这个否定形式的命题是真命题.
由于y=x2+ax+1是开口向上的抛物线,借助二次函数的图象易知Δ=a2-4>0,
解得a<-2或a>2.
所以实数a的取值范围是(-∞,-2)∪(2,+∞).
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求解含有量词的命题中参数范围的策略
(1)对于全称量词命题“?x∈M,a>y(或aymax(或a(2)对于存在量词命题“?x∈M,a>y(或aymin(或a探究一
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延伸探究(1)若本例中的“假命题”改为“真命题”,求实数a的取值范围.
(2)若本例中的“?x∈R”改为“?x>0”,求实数a的取值范围.
解:(1)由题意知Δ≤0,则a2-4≤0,得-2≤a≤2.所以实数a的取值范围为[-2,2].
(2)因为全称量词命题“?x>0,x2+ax+1≥0”的否定形式为:“?x>0,x2+ax+1<0”.
由“命题真,其否定假;命题假,其否定真”可知,这个否定形式的命题是真命题.
由于y=x2+ax+1是开口向上的抛物线,
解得a<-2,所以实数a的取值范围是(-∞,-2).
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哥德巴赫猜想
1742年,哥德巴赫给欧拉的信中提出了以下猜想:任一大于2的整数都可写成三个质数之和.但是哥德巴赫自己无法证明它,于是就写信请教赫赫有名的大数学家欧拉帮忙证明,然而一直到死,欧拉也无法证明.
如今数学界已经不使用“1也是素数”这个规定,哥德巴赫猜想的现代陈述为:任一大于5的整数都可写成三个质数之和.(n>5:当n为偶数,n=2+(n-2),n-2也是偶数,可以分解为两个质数的和;当n为奇数,n=3+(n-3),n-3也是偶数,可以分解为两个质数的和.)欧拉在回信中也提出另一等价版本,即任一大于2的偶数都可写成两个质数之和.把命题“任一充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a的个数与另一个素因子不超过b的个数之和”记作“a+b”.1966年陈景润证明了“1+2”成立,即“任一充分大的偶数都可以表示成二个素数的和,或是一个素数和一个半素数的和”.
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今日常见的猜想陈述为欧拉的版本,即任一大于2的偶数都可写成两个素数之和,亦称为“强哥德巴赫猜想”或“关于偶数的哥德巴赫猜想”.
从关于偶数的哥德巴赫猜想,可推出:任一大于7的奇数都可写成三个质数之和的猜想.后者称为“弱哥德巴赫猜想”或“关于奇数的哥德巴赫猜想”.若关于偶数的哥德巴赫猜想是对的,则关于奇数的哥德巴赫猜想也会是对的.2013年5月,巴黎高等师范学院研究员哈洛德·贺欧夫各特发表了两篇论文,宣布彻底证明了弱哥德巴赫猜想.
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1.(2020四川眉山高一检测)已知命题p:有的三角形是等边三角形,则命题p的否定是( )
A.有的三角形不是等边三角形
B.有的三角形是不等边三角形
C.所有的三角形都是等边三角形
D.所有的三角形都不是等边三角形
答案:D
解析:原命题是存在量词命题,先改变量词,再否定结论.
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2.已知命题p:?x∈R,x>a2+b2,则命题p的否定是( )
A.?x∈R,xB.?x∈R,x≤a2+b2
C.?x∈R,x≤a2+b2
D.?x∈R,x答案:C
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3.下列语句:①被7整除的数都是奇数;②|x-1|<2;③存在实数a使方程x2-ax+1=0成立;④等腰梯形的对角线相等.
其中是全称量词命题且为真命题的是 .(填序号)?
4.指出命题“空间中所有的四边形都共面”的量词,并判断真假.
④
解析:全称量词命题有①④,其中①是假命题,如70.
解:量词为“所有的”.是假命题.