(共27张PPT)
3.1 不等式的性质
激趣诱思
知识点拨
某商场换季促销,降价的方案有两种:一是商品8折后再6折销售,二是商品7折后再7折销售.作为消费者,你希望商场采用哪一种方案呢?
激趣诱思
知识点拨
一、实数的大小比较
比较实数a,b大小的依据
微练习
若x为实数,则x2-1与2x-5的大小关系是 .
它们
的差(a-b)与0
x2-1>2x-5
解析:∵(x2-1)-(2x-5)=x2-2x+4=(x-1)2+3>0,
∴x2-1>2x-5.
激趣诱思
知识点拨
二、不等式的性质
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.注意“等式”与“不等式”的异同,如:
2.要注意各个不等式成立的前提,如性质4中两个不等式方向要相同,性质3中要按c的正负分情况.
3.由性质2,可得a+b>c?a+b+(-b)>c+(-b)?a>c-b.即不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边.称为移项法则,在解不等式时经常用到.
4.倒数法则:
结论成立的条件是a、b要同号.
激趣诱思
知识点拨
微判断
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)在一个不等式的两边同乘一个非零实数,不等式仍然成立.( )
(2)同向不等式具有可加性和可乘性.( )
(3)若两个数的比值大于1,则分子上的数就大于分母上的数.( )
答案:
(1)× (2)× (3)× (4)× (5)×
激趣诱思
知识点拨
微练习
若a>b,则下列各式正确的是( )
A.a-2>b-2
B.2-a>2-b
C.-2a>-2b
D.a2>b2
答案:A
解析:因为a>b,所以a-2>b-2,2-a<2-b,-2a<-2b,故A正确,B、C错误;又取a=0,b=-1时,a>b,但a2
探究一
探究二
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当堂检测
实数大小的比较
例1比较下列各组中的两个代数式的大小:
(1)2x2+3与x+2,x∈R;
分析利用作差法进行比较.解第(2)小题时要注意对实数a分类讨论.
探究一
探究二
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反思感悟
用作差法比较实数大小的步骤
作差法是比较两个代数式大小的基本方法,一般步骤是:(1)作差;(2)变形.变形的常用方法有配方、因式分解、分母有理化等;(3)定号,即确定差的符号;(4)下结论,写出两个代数式的大小关系.
探究一
探究二
素养形成
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故p-q≥0,即p≥q,当且仅当a=0时,等号成立.
探究一
探究二
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不等式基本性质的应用
1.应用不等式性质判断命题真假
例2对于实数a,b,c,判断下列结论是否正确:
(1)若a>b,则ac2>bc2;
(2)若aab>b2;
分析判断这些结论是否正确,可以根据实数的基本性质、实数运算的符号法则以及不等式的基本性质,经过合理的逻辑推理即可.
探究一
探究二
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当堂检测
解:(1)当c=0时,有ac2=bc2.故该结论错误.
探究一
探究二
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反思感悟
1.解决这类问题时,通常有两种方法:一是直接利用不等式的性质,进行推理,看根据条件能否推出相应的不等式;二是采用取特殊值的方法,判断所给的不等式是否成立,尤其是在选择题中经常采用这种办法.
探究一
探究二
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变式训练2已知a,b,c满足c答案:C
探究一
探究二
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2.应用不等式性质证明不等式
∵a>b>0,c∴a+b>0,c+d<0,b-a<0,c-d<0.
∴(a+b)-(c+d)>0,(b-a)+(c-d)<0.
∵e<0,∴e[(a+b)-(c+d)][(b-a)+(c-d)]>0.
又(a-c)2(b-d)2>0,
探究一
探究二
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反思感悟
1.简单不等式的证明可直接由已知条件,利用不等式的性质,通过对不等式变形得证.
2.对于不等式两边都比较复杂的式子,直接利用不等式的性质不易证得,可考虑将不等式两边作差,然后进行变形,根据条件确定每一个因式的符号,利用符号法则判断最终的符号,完成证明.
探究一
探究二
素养形成
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探究一
探究二
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3.利用不等式性质求取值范围
解:因为3所以3+1又因为9<3a<21,-20<-2b<-2,
所以-11<3a-2b<19.
因为9探究一
探究二
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反思感悟
利用不等式的性质可以解决取值范围问题,当题目中出现两个变量求取值范围时,要注意两个变量是相互制约的,不能分割开来,应建立待求整体与已知变量之间的关系,然后根据不等式的性质求出取值范围.
探究一
探究二
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变式训练4已知-4≤a-b≤-1,-1≤4a-b≤5,求9a-b的取值范围.
解:设9a-b=x(a-b)+y(4a-b),
则9a-b=(x+4y)a-(x+y)b,
即-1≤9a-b≤20.
探究一
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一题多解——应用不等式性质求范围
典例若1≤a-b≤2,2≤a+b≤4,求4a-2b的取值范围.
解:方法一(待定系数法)
设4a-2b=m(a-b)+n(a+b),
则4a-2b=(m+n)a+(-m+n)b,
所以4a-2b=3(a-b)+(a+b).
因为1≤a-b≤2,所以3≤3(a-b)≤6.
又2≤a+b≤4,
所以5≤3(a-b)+(a+b)≤10.
即5≤4a-2b≤10.
探究一
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方法二(换元法)
所以4a-2b=2(m+n)-(n-m)=3m+n,
而1≤m≤2,所以3≤3m≤6,又2≤n≤4,
所以5≤3m+n≤10,即5≤4a-2b≤10.
探究一
探究二
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出a与b的取值范围,再求4a-2b的取值范围,得3≤4a-2b≤12,则会导致取值范围的扩大.这是因为变量a,b并不是相互独立的关系,而是由不等式组决定的相互制约的关系,a取最大(小)值时,b并不能同时取得最小(大)值.
解题时应将条件视为一个整体,并用其表示所求范围的量,同时注意取等号的条件是否具备.切不可利用不等式的性质分别求出变量自身的范围,再去求由此构成的代数式的取值范围,这往往会扩大代数式的范围.
探究一
探究二
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1.若实数a,b满足条件a>b,则下列不等式一定成立的是( )
答案:D
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2.(x+5)(x+7) (x+6)2.(填“>”“<”“≥”或“≤”)?
3.已知1≤a≤2,3≤b≤6,则3a-2b的取值范围为 .?
解析:
(x+5)(x+7)-(x+6)2=x2+12x+35-(x2+12x+36)=-1<0,所以(x+5)(x+7)<(x+6)2.
解析:∵1≤a≤2,3≤b≤6,∴3≤3a≤6,-12≤-2b≤-6,由不等式的性质得-9≤3a-2b≤0,即3a-2b的取值范围为[-9,0].
答案:<
答案:
[-9,0]
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当堂检测(共25张PPT)
3.2 基本不等式
第1课时 基本不等式
激趣诱思
知识点拨
某金店有一台天平,由于左右两臂长略有不等,所以直接称重不准确.有一个顾客要买一串金项链,店主分别把项链放于左右两盘各称一次,得到两个不同的质量a和b,然后就把两次称得的质量的算术平均值
作为项链的质量来计算价格.顾客对这个质量的真实性提出了质疑,他认为项链的质量应该用
来计算.如果按金店的计算方式,顾客是吃亏了还是占便宜了呢?请在学习完本节内容后给出你的判断.
激趣诱思
知识点拨
一、基本不等式
2.基本不等式可以表述为:两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值.
3.基本不等式的几何解释:同一个半圆中,半径大于或等于半弦.
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
微拓展
1.如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时，等号成立).这个不等式叫重要不等式.它成立的条件是a,b∈R.
2.它的几个常见变形式有:
激趣诱思
知识点拨
微练习
因为ab>0,a,b同号,所以a=b,即式中等号成立的条件是a=b.
激趣诱思
知识点拨
二、利用基本不等式求最值
当x,y均为正数时,下面的命题均成立:
(1)若x+y=s(s为定值),则当且仅当x=y时,xy取得最大值
;
(2)若xy=p(p为定值),则当且仅当x=y时,x+y取得最小值2
.
名师点析1.上述的结论也叫作最值定理.语言描述为:(1)两个正数的和为常数时,它们的积有最大值;(2)两个正数的积为常数时,它们的和有最小值.可简记为“和定积最大,积定和最小”.
2.应用上述结论时要注意以下三点:(1)各项或各因式均为正;(2)和或积为定值;(3)各项或各因式能取得相等的值.即一正二定三相等.
激趣诱思
知识点拨
微练习
已知x>0,y>0.
(1)若xy=4,则x+y的最小值是 ;?
(2)若x+y=4,则xy的最大值是 .?
∴xy≤4,当且仅当x=y=2时,等号成立,
∴xy的最大值为4.
答案:
(1)4 (2)4
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探究二
探究三
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对基本不等式的理解
例1下列命题正确的是( )
答案:B
探究一
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探究三
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反思感悟
应用基本不等式时要注意以下三点
(1)各项或各因式均为正;
(2)和或积为定值;
(3)各项或各因式能取得相等的值.即“一正二定三相等”.
探究一
探究二
探究三
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变式训练1下列结论不成立的是( )
A.若a,b∈R,则a10+b10≥2a5b5
D.若a∈R,则有a2+9≥6a
答案:C
探究一
探究二
探究三
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利用基本不等式证明不等式
分析(1)不等式的左边是和式,右边是带根号的积式之和,用基本不等式,将和变积,并证得不等式.(2)不等式右边的数字为8,使我们联想到对左边因式分别使用基本不等式,可得三个“2”连乘;
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探究二
探究三
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探究一
探究二
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反思感悟
利用基本不等式证明不等式的注意事项
(1)利用基本不等式证明不等式,关键是所证不等式中必须有和式或积式,通过将和式转化为积式或将积式转化为和式,从而达到放缩的目的.
(2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到.
(3)解题时要注意技巧,当不能直接利用基本不等式时,可将原不等式进行组合、构造,以满足能使用基本不等式的形式.
(4)在证明不等式的过程中,注意充分利用“1”的代换,即把常数1替换为已知的式子,然后经过整理后再利用基本不等式进行证明.
探究一
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变式训练2(1)已知a,b,c,d都是正数,求证:(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd.
探究一
探究二
探究三
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利用基本不等式求最值
例3(1)已知x>0,则
+x的最小值为( )
A.6
B.5
C.4
D.3
(2)已知a>0,b>0,且ab=1,则a+4b的最小值为 .?
答案:
(1)
A (2)4
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延伸探究例题第(2)问,改为“已知a>0,b>0,且a+4b=4”,求ab的最大值.
探究一
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一题多解——利用基本不等式求最值
解:(方法一)已知条件从形式上认为是两项之和,问题的类型是求最小值,所以根据基本不等式的结构特点,需要寻找乘积是定值的条件.
探究一
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(方法二)用基本不等式求最值的题目很多是以双变元条件下的最值的形式呈现的,采用消元将问题转化为单变量问题.在此基础上,或直接求最值,或换元法后求最值,都可以将难度有效降低.
方法点睛
根据已知的条件形式,合理地选择方法,简洁准确地求解,是解决问题的重点和目标,需要总结、反思和积累.
探究一
探究二
探究三
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答案:D
探究一
探究二
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A.最小值12
B.最大值12
C.最小值144
D.最大值144
答案:C
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答案:4
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当堂检测(共22张PPT)
第2课时 习题课 基本不等式的应用
探究一
探究二
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利用基本不等式求函数和代数式的最值
1.通过变形后应用基本不等式求最值
例1求下列函数的最值,并求出相应的x值.
探究一
探究二
素养形成
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探究一
探究二
素养形成
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反思感悟
利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件.解题时应对照已知条件和欲求的式子,运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设使用基本不等式的条件,具体可以归纳为:一不正,用其相反数,改变不等号方向;二不定,应凑出定和或定积;三不等,一般需用其他方法,如尝试利用函数的单调性(在第二章学习).
探究一
探究二
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答案:D
探究一
探究二
素养形成
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2.应用“1”的代换转化为基本不等式求最值
4
反思感悟
在利用基本不等式求最值时,常用的技巧就是“1”的代换,其目的是借助“1”将所求式子的结构进行调整,优化到能够利用基本不等式求解为止.
探究一
探究二
素养形成
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答案:1
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探究二
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探究一
探究二
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反思感悟
含有多个变量的条件最值问题,一般方法是采取减少变量的个数,将问题转化为只含有一个变量的函数的最值问题进行解决;如果条件等式中,含有两个变量的和与积的形式,还可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化,然后通过解不等式进行求解,或者通过构造一元二次方程,利用根的分布解决问题.
探究一
探究二
素养形成
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延伸探究本例中,若将条件改为“正数a,b满足2a+b+6=ab”,求ab的最小值.
探究一
探究二
素养形成
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利用基本不等式解决实际应用中的最值问题
例4如图,要设计一张矩形广告牌,该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(如图中阴影部分),这两栏的面积之和为18
000
cm2,四周空白的宽度为10
cm,两栏之间的中缝空白的宽度为5
cm.怎样确定广告牌的长与宽的尺寸(单位:cm),能使矩形广告牌面积最小?
探究一
探究二
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探究一
探究二
素养形成
当堂检测
即当x=140,y=175时,S取得最小值24
500.
故当广告牌的宽为140
cm,长为175
cm时,可使矩形广告牌的面积最小.
反思感悟
求实际问题中最值的一般思路:(1)先读懂题意,设出变量,理清思路,列出函数关系式.(2)把实际问题抽象成函数的最值问题.(3)在定义域内,求函数的最值时,一般先考虑用基本不等式,当用基本不等式求最值的条件不具备时,再考虑函数的单调性(单调性在第二章学习).(4)正确写出答案.
探究一
探究二
素养形成
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变式训练2某商场预计全年分批购入每台价值为2
000元的电视机共3
600台,每批都购入x台(x是自然数),且每批均需付运费400元,贮存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比,若每批购入400台,则全年需用去运输和保管总费用43
600元.现在全年只有24
000元资金可以用于支付这笔费用,请问:如何恰当安排每批进货的数量使资金够用?写出你的结论,并说明理由.
探究一
探究二
素养形成
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此时x=120台,全年共需要资金24
000元.
故只需每批购入120台,可以使资金够用.
探究一
探究二
素养形成
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基本不等式的变形技巧
技巧一:裂项
思路点拨先尽可能地让分子的变量项和分母相同(常用于分子所含变量因子的次数比分母所含变量因子的次数大或相等),然后裂项转化为求和的最值,进而凑定积(即使得含变量的因子x+1的次数和为零,同时取到等号).
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
技巧二:添项
思路点拨当求和的最小值时,尽可能凑定积,本题需添6,再减6.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
技巧三:放入根号内或两边平方
思路点拨求积的最值(因式中含根号),把变量都放在同一个根号里或者将两边平方去根号,整合结构形式,凑成定和,是解决本题的关键所在.
探究一
探究二
素养形成
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1.函数y=2x(2-x)(其中0答案:D
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
3.已知x>0,y>0,且x+4y=1,则xy的最大值为 .
探究一
探究二
素养形成
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5.某企业需要建造一个容积为8立方米,深度为2米的无盖长方体水池,已知池壁的造价为每平方米100元,池底造价为每平方米300元.设水池底面一边长为x米,水池总造价为y元,求y关于x的函数关系式,并求出水池的最低造价.
解:由于长方体蓄水池的容积为8立方米,深为2米,因此其底面积为4平方米,设底面一边长为x米,则另一边长为
米,又因为池壁的造价为每平方米100元,
而池底的造价为每平方米300元,池底的面积为4平方米,因此池底的总造价为1
200元,
探究一
探究二
素养形成
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