(共19张PPT)
4.1 一元二次函数
激趣诱思
知识点拨
现准备要围成一个矩形花圃,花圃的一边利用足够长的墙,另外三边用总长为32米的篱笆恰好围成,围成的花圃是如图所示的矩形ABCD,设AB边的边长为x米,问当x取何值时,矩形的面积最大?同学们这道题目不陌生吧,在初中我们学过了一元二次函数,知道了其图象为抛物线,并了解其图象的开口方向、对称轴、顶点等特征.
本节我们将进一步研究一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的平移,函数值的变化趋势,最大值或最小值等性质.
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知识点拨
一、一元二次函数的图象及其变换
1.通常把一元二次函数的图象叫作抛物线.
2.一元二次函数y=a(x-h)2+k的图象可以由y=ax2的图象经过向左(或向右)平移|h|个单位长度,再向上(或向下)平移|k|个单位长度而得到.
名师点析一元二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0),a决定了一元二次函数图象的开口大小及方向;h决定了一元二次函数图象的左右平移,而且“h正右移,h负左移”;k决定了一元二次函数图象的上下平移,而且“k正上移,k负下移”.简记为“左加右减,上加下减”.
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微练习
将一元二次函数y=-2x2的顶点移到(-3,2)后,得到的新函数的解析式为 .
解析:可设新函数的解析式为y=a(x-h)2+k,由平移规律知h=-3,k=2,因为形状与开口不变,故a=-2.所以新函数的解析式为y=-2(x+3)2+2.
答案:y=-2(x+3)2+2
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知识点拨
二、一元二次函数的性质
一元二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的性质如下:
向上
向下
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知识点拨
答案:D
探究一
探究二
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一元二次函数图象的平移变换
例1抛物线y=2(x-1)2+3可以看作是由抛物线y=2x2经过以下哪种变换得到的( )
A.向左平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度
B.向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度
C.向左平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度
D.向右平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度
答案:B
解析:∵抛物线y=2(x-1)2+3顶点坐标为(1,3),抛物线y=2x2顶点坐标为(0,0),∴抛物线y=2(x-1)2+3可以看作由抛物线y=2x2向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度得到的.
探究一
探究二
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反思感悟一元二次函数图象平移问题的解题策略
(1)要注意平移的方向,即由哪个函数变换到另一个函数;
(2)将函数化为y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式;
(3)判定h与k的正负,利用“左加右减,上加下减”的规则判定平移的方向和大小.
探究一
探究二
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答案:B
探究一
探究二
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一元二次函数的性质及应用
例2(1)求函数y=x2-3x-7(x∈N)的最小值.
(2)在区间[2,3]上,求函数y=x2-3x-7的最大值与最小值.
探究一
探究二
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反思感悟求一元二次函数在闭区间上的最值的方法
一看开口方向;二看对称轴和区间的相对位置,简称“两看法”.只需作出二次函数相关的部分简图,利用数形结合法就可以得到问题的解.
探究一
探究二
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延伸探究在区间[-1,3]上,求函数y=x2-3x-7的最大值与最小值.
探究一
探究二
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一元二次函数的最值
探究一
探究二
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2.当自变量x的取值范围为闭区间[m,n]时,其最值在m,n,-
三者所对应的函数值中取得,最值情况如下:
当a>0时,抛物线开口向上,
①若-
∈[m,n](如下图①,②),顶点取最小值,离对称轴较远点处取得最大值.
②若-
?[m,n](如下图③,④),函数在区间内单调,较远端点处取得最大值,较近端点处取得最小值.
当a<0时,仍是在顶点处或者端点处来取得最值,至于是最大值还是最小值,就受对称轴x=-
与区间[m,n]的相对位置的影响了.
探究一
探究二
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典例当x为何值时,函数y=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-an)2取最小值.
探究一
探究二
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1.将抛物线y=(x-2)2+1向左平移2个单位长度,得到的新抛物线的顶点坐标是( )
A.(4,1)
B.(0,1)
C.(2,3)
D.(2,-1)
2.一元二次函数y=-x2+2x-5,当x取全体实数时,有( )
A.最大值-5
B.最小值-5
C.最大值-4
D.最小值-4
答案:B
解析:∵二次函数解析式为y=(x-2)2+1,
∴顶点坐标(2,1),向左平移2个单位长度,得到的点是(0,1).
答案:C
解析:配方,得y=-(x-1)2-4,所以当x=-1时,ymax=-4.
探究一
探究二
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3.对于一元二次函数y=-4x2+8x-3,
(1)指出图象的开口方向、对称轴方程、顶点坐标;
(2)画出它的图象,并说明其图象由y=-4x2的图象经过怎样平移得来.
解:(1)函数y=-4x2+8x-3=-4(x-1)2+1图象的开口向下;对称轴方程为x=1;顶点坐标为(1,1);
(2)图象如图所示,其图象由y=-4x2的图象向右平移1个单位长度得到y=-4(x-1)2的图象,再将y=-4(x-1)2的图象向上平移1个单位长度而得.(共37张PPT)
4.2 一元二次不等式及其解法
4.3 一元二次不等式的应用
激趣诱思
知识点拨
某摩托车生产企业上年度生产摩托车投入成本1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1
000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本,若每辆车投入成本增加的比例为x(0
激趣诱思
知识点拨
一、一元二次不等式的概念
1.定义:一般地,形如ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0,或ax2+bx+c≥0或ax2+bx+c≤0,(其中x为未知数,a,b,c均为常数,且a≠0)的不等式叫做一元二次不等式.
2.使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的 叫作这个一元二次不等式的解集.?
名师点析1.一元二次不等式中的“一元”是指不等式中所要求解的未知数,并且这个未知数是唯一的,但这并不是说,不等式中不能含有其他字母,若含有其他字母,则把其他字母看成常数.
2.一元二次不等式中的“二次”是指所要求解的未知数的最高次数必须是2,且最高次项的系数不为0.
集合
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知识点拨
微练习
下面哪些不等式是一元二次不等式:
(1)x2>0;(2)-x-x2≤5;
(3)x3+5x-6>0;
(4)3x2-x+y<0;
(5)ax2+bx+c>0.
解:(1)是;(2)是;
(3)不是,因为x的最高次为3次;
(4)不是,它含有两个未知数;
(5)不是,因为a=0时,不符合一元二次不等式的定义.
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知识点拨
二、一元二次不等式的解法
一元二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系如下表:
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知识点拨
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知识点拨
名师点析一元二次不等式ax2+bx-c>0(a>0)的求解方法,如图.
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知识点拨
微技巧
解一元二次不等式的口诀:
先看开口再看根,函数图象是根本;横轴上方y为正,根间根外想谨慎.
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知识点拨
微练习
(1)不等式x2-2x>0的解集为( )
A.{x|x>0}
B.{x|x<2}
C.{x|0D.{x|x<0或x>2}
答案:D
解析:解方程x2-2x=0,得两根x1=0,x2=2,画出y=x2-2x的图象.如图,观察图象得原不等式解集为{x|x<0或x>2}.
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(2)求不等式-x2+2x-3>0的解集.
解:不等式可化为x2-2x+3<0.因为Δ=-8<0,所以方程x2-2x+3=0无实数根.
画出二次函数y=x2-2x+3的图象(如图).
观察图象得原不等式的解集为?.
探究一
探究二
探究三
探究四
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一元二次不等式的求解
例1解下列不等式:
(1)2x2-3x-2>0;
(2)-3x2+6x-2>0;
(3)4x2-4x+1≤0;
(4)x2-2x+2>0.
分析先求出对应一元二次方程的解,再结合对应的二次函数的图象写出不等式的解集.
探究一
探究二
探究三
探究四
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解:(1)因为方程2x2-3x-2=0的判别式Δ=9+4×2×2=25>0,所以该方程的解是x1=-
,x2=2.
因为该函数的图象是开口向上的抛物线,
探究一
探究二
探究三
探究四
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(4)因为x2-2x+2=0的判别式Δ=4-4×1×2=-4<0,所以方程x2-2x+2=0无解.又因为函数y=x2-2x+2的图象是开口向上的抛物线,所以原不等式的解集为R.
探究一
探究二
探究三
探究四
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反思感悟
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)化标准.通过对不等式的变形,使不等式的右侧为0,使二次项系数为正.
(2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解,若不能分解,则计算对应方程的判别式.
(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根.
(4)画图像.根据一元二次方程根的情况画出对应的一元二次函数的图像.
(5)写解集.根据图象写出不等式的解集.
探究一
探究二
探究三
探究四
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变式训练1解下列不等式:
(1)4x2-20x<-25;
(2)(x-3)(x-7)<0;
(3)-3x2+5x-4<0;
(4)x(1-x)≥x(2x-3)+1.
探究一
探究二
探究三
探究四
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解:(1)不等式可化为4x2-20x+25<0,由于Δ=0,且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线,所以不等式的解集是?.
(2)由题意知不等式对应方程的两个根是3和7,且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线,故不等式的解集是{x|3(3)不等式-3x2+5x-4<0可化为3x2-5x+4>0,由于判别式
Δ=25-48=-23<0,函数y=3x2-5x+4的图象开口向上,所以不等式的解集是R.
(4)不等式x(1-x)≥x(2x-3)+1可化为3x2-4x+1≤0.因为方程
探究一
探究二
探究三
探究四
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已知不等式的解集求参数值
例2求实数a,b的值,使得关于x的不等式ax2+bx+a2-1≤0的解集分别为:
(1)[-1,2];
(2)(-∞,-1]∪[2,+∞);
(3)[-1,+∞).
分析根据解一元二次不等式的方法,逆向分析与思考,得出不等式对应方程解的情况,利用根与系数的关系进行求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
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探究一
探究二
探究三
探究四
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反思感悟
1.一元二次不等式的解集的端点就是对应的一元二次方程的根,要充分利用这个关系解题.
2.不等式解集的形式与二次项系数有直接的关系,对于关于x的一元二次不等式a(x-x1)(x-x2)>0(x10时,其解集是{x|xx2},当a<0时,其解集是{x|x1探究一
探究二
探究三
探究四
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变式训练2已知关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为(1,2),求关于x的不等式bx2+ax+1>0的解集.
解:∵关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为(1,2),
∴1,2是关于x的方程x2+ax+b=0的两根.
探究一
探究二
探究三
探究四
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含参数的一元二次不等式的解法
例3解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.
分析先对二次项的系数进行讨论,再按不等式的解法求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
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反思感悟
解含参数的一元二次不等式,与解不含参数的一元二次不等式的基本思路是一致的,但要注意分类讨论思想的运用.
(1)若二次项系数含有参数,需对二次项系数等于0与不等于0进行讨论,对于不等于0的情况再按大于0或小于0进行讨论.
(2)若不等式对应的一元二次方程根的情况不确定,需对其判别式Δ进行讨论.
(3)若求出的根中含有参数,则应对两根的大小关系进行讨论.
探究一
探究二
探究三
探究四
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变式训练3解关于x的不等式x2+3ax-4a2<0(a∈R).
解:由于x2+3ax-4a2<0可化为(x-a)(x+4a)<0,且方程(x-a)(x+4a)=0的两个根分别是a和-4a.
当a=-4a,即a=0时,不等式的解集为?;
当a>-4a,即a>0时,解不等式为-4a当a<-4a,即a<0时,解不等式为a综上所述,当a=0时,不等式的解集为?;
当a>0时,不等式的解集为{x|-4a当a<0时,不等式的解集为{x|a探究一
探究二
探究三
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一元二次不等式的实际应用
例4行驶中的汽车,在刹车时由于惯性作用,要继续往前滑行一段距离才能停下,这段距离叫作刹车距离.在某种路面上,某种型号汽车的刹车距离s(单位:m)与汽车的车速v(单位:km/h)满足下列关
(1)求n的值;
(2)要使刹车距离不超过12.6
m,则行驶的最大速度是多少?
分析(1)根据两个刹车距离的范围建立不等式组,并结合n∈N求得n的值;(2)由s≤12.6解出v的取值范围,从而得到行驶的最大速度.
探究一
探究二
探究三
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反思感悟
用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤
1.理解题意,搞清量与量之间的关系.
2.建立相应的不等关系,把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题.
3.解一元二次不等式,得到实际问题的解.
探究一
探究二
探究三
探究四
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延伸探究本例中,条件不变,若该型号的汽车在某一限速为80
km/h的路段发生了交通事故,交警进行现场勘查,测得该车的刹车距离超过了25.65
m,试问该车是否超速行驶?
探究一
探究二
探究三
探究四
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分式不等式与简单高次不等式的解法
一、分式不等式的解法
解分式不等式总的指导原则是利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式(组)求解.
其基本的情况列表如下:
探究一
探究二
探究三
探究四
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探究一
探究二
探究三
探究四
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A.(-2,2)
B.(-2,2]
C.(-2,0)
D.(0,2)
A.(-∞,-1)∪(-1,2]
B.[-1,2]
C.(-∞,-1)∪[2,+∞)
D.(-1,2]
探究一
探究二
探究三
探究四
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答案:(1)A (2)D
点评如果分式不等式是大于等于零或小于等于零时,变形为整式不等式时要注意分母不为0.
探究一
探究二
探究三
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二、简单高次不等式的解法
不等式中未知数的最高次数高于2,这样的不等式称为高次不等式.
解决这一类不等式的基本方法是:在解y<0(或>0)时,将多项式分解成若干个不可约因式的积,根据实数运算法则,把它等价转化为两个或多个不等式(组)(由各因式的符号所有可能的组合决定).于是原不等式的解集就是各不等式解集的并集.但这一方法在因式较多时比较烦琐.此时通常采用下面的方法:
(1)将不等式化为标准形式:一端为0,另一端为一次因式(因式中x的系数为正)或二次不可分解因式的积.
(2)求出各因式的实数根,并在数轴上依次标出.
(3)自最右端上方起,用曲线自右至左依次由各根穿过数轴,遇到奇次重根要一次穿过,遇到偶次重根要穿而不过.
(4)记数轴上方为正,下方为负,根据不等式的符号写出解集.这种方法叫穿根法.
探究一
探究二
探究三
探究四
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典例2解不等式:x3+2x2-x-2>0.
解:原不等式可化为(x+1)(x-1)(x+2)>0.将方程(x+1)(x-1)(x+2)=0的各个根-2,-1,1标在数轴上,并用穿根法依次通过每一个根.如图:
所以,原不等式的解集为{x|-21}.
注意
(1)对于数轴穿根法求解高次不等式,分解因式后x或x2的系数须为正数;(2)要注意准确考察各根是否在解集内.
探究一
探究二
探究三
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1.不等式x2-9<0的解集为( )
A.{x|x<-3}
B.{x|x<3}
C.{x|x<-3,或x>3}
D.{x|-32.若不等式4x2+ax+4>0的解集为R,则实数a的取值范围是( )
A.(-16,0)
B.(-16,0]
C.(-∞,0)
D.(-8,8)
答案:D
解析:由x2-9<0,可得x2<9,解得-3答案:D
解析:∵不等式4x2+ax+4>0的解集为R,∴Δ=a2-4×4×4<0,解得-8探究一
探究二
探究三
探究四
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3.已知关于x的不等式x2-ax+b≤0的解集为[2,3],则a+b= .?
答案:11
解析:∵关于x的不等式x2-ax+b≤0的解集为[2,3],
探究一
探究二
探究三
探究四
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4.某地年销售木材约20万m3,每立方米的价格为2
400元.为了减少木材消耗,决定按销售收入的t%征收木材税,这样木材的年销售量减少
t万m3.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元,则t的取值范围是 .?
令y≥900,即60(8t-t2)≥900,解得3≤t≤5.
故t的取值范围是[3,5].
答案:
[3,5]
探究一
探究二
探究三
探究四
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5.解关于x的不等式:x2+(1-a)x-a<0.
解:方程x2+(1-a)x-a=0的解为x1=-1,x2=a.
函数y=x2+(1-a)x-a的图象开口向上,所以
当a<-1时,原不等式的解集为{x|a当a=-1时,原不等式的解集为?;
当a>-1时,原不等式的解集为{x|-1