第二章
整式的加减
2.1
整式
学习要求:
理解代数式的概念，掌握代数式的基本写法，能按要求列出代数式，会求代数式的值．
2、了解整式的有关概念，会识别单项式系数与次数、多项式的项与系数．
知识点一：用字母表示数
书写格式：
例1．下列代数式中符合书写要求的是（ ）
A．ab2×4
B．
C．
D．6xy2÷3
【分析】本题较为简单，对各选项进行分析，看是否符合代数式正确的书写要求，即可求出答案．
【解答】解：A：ab2×4，正确的写法应为：4ab2，故本项错误．
B：xy为正确的写法，故本项正确．
C：2a2b，正确写法应为a2b，故本项错误．
D：6xy2÷3，应化为最简形式，为2xy2，故本项错误．
故选：B．
【点评】本题考查代数式的书写规则，根据书写规则对各项进行判定即可．
例2．下列代数式书写规范的是（ ）
A．8x2y
B．
C．ax3
D．2m÷n
【分析】根据代数式的书写要求判断各项即可得出正确答案．
【解答】解：选项A正确，
B正确的书写格式是b，
C正确的书写格式是3ax，
D正确的书写格式是．
故选A．
【点评】代数式的书写要求：
（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“?”或者省略不写；
（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；
（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．
变式1．下列写法正确的是（ ）
A．x5
B．4m×n
C．x（x+1）
D．﹣ab
【分析】根据字母与数字相乘或数字与括号相乘时，乘号可省略不写，但数字必须写在前面可分别进行判断．
【解答】解：A、x与5的积表示为5x，所以A选项错误；
B、4m与n的积表示为4mn，所以B选项错误；
C、x与（x+1）的积的表示为x（x+1），所以C选项错误；
D、﹣ab书写正确，所以D选项正确．
故选D．
【点评】本题考查了代数式：用运算符号（指加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式．数的一切运算规律也适用于代数式．单独的一个数或者一个字母也是代数式．
变式2．下列代数式的书写规范的是（ ）
A．m×n
B．7ab÷6
C．2x
D．a2﹣
【分析】字母与字母相乘不用乘号，数字与字母相乘，数字写在字母前面．
【解答】解：（A）m×n=mn，故A错误；
（B）7ab÷6=，故B错误；
（C）2x=x，故C错误；
故选（D）
【点评】本题考查代数书写规范，属于基础题型．
代数式读法;
例1．代数式的意义是（ ）
A．a除以b加1
B．b加1除a
C．b与1的和除以a
D．a除以b与1的和所得的商
【分析】根据代数式的意义，注意表示a除以b与1的和所得的商．
【解答】解：代数式表示a除以b与1的和所得的商．
故应选D．
【点评】注意掌握代数式的意义，注意把运算过程表述清楚．
例2．代数式的意义为（ ）
A．x与y的一半的差
B．x与y的差的一半
C．x减去y除以2的差
D．x与y的的差
【分析】根据代数式的意义可知：x﹣y表示x与y的差，表示x与y的差的一半，据此解答．
【解答】解：代数式的意义为x与y的差的一半．
故选：B．
【点评】本题考查了代数式的知识，解题的关键是将分式的分子与分母用语言叙述出来．
变式1．代数式a﹣b2的意义表述正确的是（ ）
A．a减去b的平方的差
B．a与b差的平方
C．a、b平方的差
D．a的平方与b的平方的差
【分析】说出代数式的意义，实际上就是把代数式用语言叙述出来．叙述时，要求既要表明运算的顺序，又要说出运算的最终结果．
【解答】解：a﹣b2的意义为a减去b的平方的差．
故选：A．
【点评】此题主要考查了代数式的意义，用语言表达代数式的意义，一定要理清代数式中含有的各种运算及其顺序．具体说法没有统一规定，以简明而不引起误会为出发点．
变式2．下面用数学语言叙述代数式﹣b，其中表达正确的是（ ）
A．a与b差的倒数
B．b与a的倒数的差
C．a的倒数与b的差
D．1除以a与b的差
【分析】利用数学语言表述代数式即可．
【解答】解：用数学语言叙述代数式﹣b为a的倒数与b的差，
故选C．
【点评】此题考查了代数式，解决问题的关键是结合实际，根据代数式的特点解答．
变式3．代数式2（y﹣2）的正确含义是（ ）
A．2乘以y减2
B．2与y的积减去2
C．y与2的差的2倍
D．y的2倍减去2
【分析】按照代数式的意义和运算顺序：先运算括号内的，再运算括号外的计算即可判断各项．
【解答】解：代数式2（y﹣2）的正确含义应是y与2的差的2倍．
故选C．
【点评】注意掌握代数式的意义．
变式4．代数式的正确解释是（ ）
A．a与b的倒数的差的平方
B．a的平方与b的倒数的差
C．a的平方与b的差的倒数
D．a与b的差的平方的倒数
【分析】说出代数式的意义，实际上就是把代数式用语言叙述出来．叙述时，要求既要表明运算的顺序，又要说出运算的最终结果．
【解答】解：代数式的正确解释是：a的平方与b的倒数的差；
故选B．
【点评】此题考查了代数式，解决此类问题应结合实际，根据代数式的特点解答．
变式5．设两数为a，b，那么代数式表示（ ）
A．a与b的平方差的5倍除以2
B．a与b的差的平方的5倍除以2
C．a的5倍与b的差的平方的一半
D．a的5倍与b的平方差的一半
【分析】根据代数式即可判断．
【解答】解：故选（B）
【点评】本题考查列代数式，属于基础题型
整式;
例1．对于下列四个式子：①0.1；②；③；④．其中不是整式的是（ ）
A．①
B．②
C．③
D．④
【分析】根据整式的概念对各个式子进行判断即可．
【解答】解：①0.1；②；④是整式，
故选C
【点评】本题考查的是整式的概念，对整式概念的认识，凡分母中含有字母的代数式都不属于整式，在整式范围内用“+”或“﹣”将单项式连起来的就是多项式，不含“+”或“﹣”的整式绝对不是多项式，而单项式注重一个“积”字．
例2．下列代数式：，，2x﹣y，（1﹣20%）x，ab，，，其中是整式的个数是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【分析】整式就是单项式与多项式的统称，依据定义即可判断．
【解答】解：代数式：，，2x﹣y，（1﹣20%）x，ab，，，
其中是整式的有，2x﹣y，（1﹣20%）x，ab，个数是4．
故选：C．
【点评】此题主要考查了整式的有关概念．要能准确的分清什么是整式．整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．单项式是字母和数的乘积，只有乘法，没有加减法．多项式是若干个单项式的和，有加减法．
变式1．下列代数式：（1）mn，（2）m，（3），（4），（5）2m+1，（6），（7），（8）x2+2x+，（9）y3﹣5y+中，整式有（ ）
A．3个
B．4个
C．6个
D．7个
【分析】根据整式的概念可分析判断各个式子．
【解答】解：根据整式的概念可知，整式有：
（1）mn；（2）m；（3）；（5）2m+1；（6）；（8）x2+2x+．共6个．
故选C．
【点评】主要考查了整式的相关概念．要能准确的分清什么是整式．整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．
变式2．下列式子：x2+2，+4，，，﹣5x，0中，整式的个数有（ ）
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
【分析】直接利用单项式和多项式统称为整式，进而判断得出即可．
【解答】解：x2+2，+4，，，﹣5x，0中，整式有x2+2，，﹣5x，0，共4个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了整式的概念，正确把握定义是解题关键．
变式3．在下列式子中：1，2x2y，，，，a+1，，整式共有（ ）
A．5个
B．6个
C．7个
D．8个
【分析】根据单项式和多项式统称整式，可得答案．
【解答】解：1，2x2y，，a+1，是整式，
故选：A．
【点评】本题考查了整式，整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．单项式是字母和数的乘积，只有乘法，没有加减法．多项式是若干个单项式的和，有加减法．
知识点二：单项式
例1．在下列式子，﹣3x，﹣abc，a，0，a﹣b，0.95中，单项式有（ ）
A．7个
B．6个
C．5个
D．4个
【分析】直接利用单项式的定义分析得出答案．
【解答】解：，﹣3x，﹣abc，a，0，a﹣b，0.95中，单项式有，﹣3x，﹣abc，a，0，0.95共6个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了单项式，正确把握单项式的定义是解题关键．
变式．在六个代数式中，是单项式的个数（ ）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【分析】根据单项式是数与字母的乘积，单独一个数或一个字母也是单项式，可得答案．
【解答】解：﹣3，π2﹣1，﹣x2y，﹣是单项式，
故选：C．
【点评】本题考查了单项式，单项式是数与字母的乘积，单独一个数或一个字母也是单项式，注意﹣2﹣2是分式．
例题2．单项式的系数是（ ）
A．
B．π
C．2
D．
【分析】直接利用单项式中的数字因数叫做单项式的系数，进而得出答案．
【解答】解：单项式的系数是：．
故选：D．
【点评】此题主要考查了单项式的定义，正确把握单项式系数的定义是解题关键．
变式．单项式﹣4ab2的系数是（ ）
A．4
B．﹣4
C．3
D．2
【分析】单项式的系数就是所含字母前面的数字，由此即可求解．
【解答】解：单项式﹣4ab2的系数是﹣4，
故选B．
【点评】此题主要考查了单项式的系数的定义，解题的关键是熟练掌握相关的定义即可求解．
例题3．单项式4xy2z3的次数是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【分析】单项式的次数是指各字母的指数之和
【解答】解：该单项式的次数为：1+2+3=6，
故选（D）
【点评】本题考查单项式的概念，解题的关键是正确理解单项式的次数概念，本题属于基础题型．
变式．单项式﹣的次数是（ ）
A．﹣23
B．﹣
C．6
D．3
【分析】单项式中所有字母的指数和叫单项式的次数．
【解答】解：∵2+1=3，
∴单项式﹣的次数是3．
故选D．
【点评】本题主要考查的是单项式的概念，掌握单项式的次数的概念是解题的关键．
例题4．下列关于单项式﹣的说法中，正确的是（ ）
A．系数是﹣，次数是2
B．系数是，次数是2
C．系数是﹣3，次数是3
D．系数是﹣，次数是3
【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
【解答】解：单项式﹣的系数是：﹣，次数是3．
故选D．
【点评】本题考查了单项式的次数和系数，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．
变式1．下列说法正确的是（ ）
A．没有加减运算的代数式是单项式
B．单项式的系数是3，次数是2
C．单项式x既没有系数，也没有次数
D．单项式﹣a2bc的系数是﹣1，次数是4
【分析】根据单项式的概念即可判断．
【解答】解：（A）没有加减运算，但不是单项式，故A错误；
（B）单项式的系数是，次数是3，故B错误；
（C）单项式x的系数和次数都为1，故C错误；
故选（D）
【点评】本题考查单项式的概念，属于基础题型．
变式2．单项式﹣3πxy2z3的系数和次数分别是（ ）
A．﹣3π，5
B．﹣3，6
C．﹣3π，7
D．﹣3π，6
【分析】利用单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，进而得出答案．
【解答】解：单项式﹣3πxy2z3的系数是：﹣3π，次数是：6．
故选：D．
【点评】此题主要考查了单项式的次数与系数，正确把握定义是解题关键．
变式3．如果单项式2anb2c是六次单项式，那么n=（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
【分析】直接利用单项式的次数求法得出n的值．
【解答】解：∵单项式2anb2c是六次单项式，
∴n+2+1=6，
解得：n=3．
故选：D．
【点评】此题主要考查了单项式，正确把握单项式次数求法是解题关键．
知识点三：多项式
例1．在整式ab﹣πr2，，，2.5v中，多项式有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．依此即可求解．
【解答】解：在整式ab﹣πr2，，，2.5v中，多项式有ab﹣πr2，，一共2个．
故选：B．
【点评】此题考查了多项式，关键是熟练掌握多项式的定义．
变式1．下列代数式a、2x2+2xy+y2、、a2﹣、﹣（x+y）中多项式的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】根据多项式的定义即可求出答案．
【解答】解：多项式包括：2x2+2xy+y2、、﹣（x+y）；
故选（C）
【点评】本题考查多项式的概念，属于基础题型．
变式2．有下列代数式4，，，x2﹣2xy+y2，，5m，﹣3xy+1，其中多项式的个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【分析】多项式是指由几个单项式的和
【解答】解：多项式有，x2﹣2xy+y2，﹣3xy+1，
故选（B）
【点评】本题考查多项式的概念，属于基础题型．
例题2．代数式﹣4xy2+xy+1是（ ）
A．二次二项式
B．二次三项式
C．三次二项式
D．三次三项式
【分析】先确定出多项式次数，再确定出多项式的项数，即可得出结论．
【解答】解：代数式﹣4xy2+xy+1是三次三项式．
故选：D．
【点评】此题是多项式，主要考查了多项式的次数和项数，解本题的关键确定出多项式的次数和系数．
变式．多项式4xy2﹣3xy3+12的次数为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．7
【分析】找出多项式各项的次数，找出次数最高项的次数即为多项式的次数．
【解答】解：多项式4xy2﹣3xy3+12的次数为1+3=4．
故选：B．
【点评】此题考查了多项式，解题的关键是弄清多项式次数是多项式中次数最高的项的次数．
例题3．下列说法中正确的是（ ）
A．多项式ax2+bx+c是二次多项式
B．﹣是6次单项式，它的系数是
C．﹣ab2，﹣x都是单项式，也都是整式
D．﹣4a2b，3ab，5是多项式﹣4a2b+3ab﹣5中的项
【分析】直接利用单项式的次数与系数以及多项式的定义、次数与系数分别分析得出答案．
【解答】解：A、多项式ax2+bx+c，当a≠0时是二次多项式，故此选项不合题意；
B、﹣是6次单项式，它的系数是﹣，故此选项不合题意；
C、﹣ab2，﹣x都是单项式，也都是整式，正确，符合题意；
D、﹣4a2b，3ab，﹣5是多项式﹣4a2b+3ab﹣5中的项，故此选项不合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了多项式以及单项式有关定义，正确把握相关定义是解题关键．
变式1．下列说法正确的是（ ）
A．单项式xy的系数是，次数是1
B．单项式﹣πa2b3的系数是﹣，次数是6
C．单项式x2的系数是1，次数是2
D．多项式2x3﹣3x2y2+x﹣1叫三次四项式
【分析】根据多项式与单项式的概念即可判断．
【解答】解：（A）单项式xy的系数是，次数是2，故A不正确，
（B）单项式﹣πa2b3的系数是﹣π，次数是5，故B不正确，
（D）多项式2x3﹣3x2y2+x﹣1叫4次四项式，故D不正确，
故选（C）
【点评】本题考查多项式与单项式的概念，解题的关键是正确理解单项式与多项式的概念，本题属于基础题型．
变式2．多项式﹣x|m|+（m﹣2）x+1是关于x的二次三项式，则m的值是（ ）
A．2
B．﹣2
C．﹣4
D．2或﹣2
【分析】根据题意可得当|m|=2且m﹣2，0时，多项式﹣x|m|+（m﹣2）x+1是关于x的二次三项式，再解即可．
【解答】解：∵多项式﹣x|m|+（m﹣2）x+1是关于x的二次三项式，
∴|m|=2且m﹣2≠0，
解得：m=﹣2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了多项式，关键是掌握多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．
拓展点一：用字母表示数量关系
例题1．x的2倍与y的和的平方用代数式表示为（ ）
A．（2x+y）2
B．2x+y2
C．2x2+y2
D．2（x+y）2
【分析】用x的2倍加上y，然后平方即可．
【解答】解：“x的2倍与y的和的平方”可以表示为：（2x+y）2．
故选A．
【点评】本题考查了列代数式，主要是文字语言转化为数学语言的能力的考查．
例题2．某工厂二月份的产值比一月份的产值增长了x%，三月份的产值又比二月份的产值增长了x%，则三月份的产值比一月份的产值增长了（ ）
A．2x%
B．1+2x%
C．（1+x%）x%
D．（2+x%）x%
【分析】直接利用已知表示出三月份的产值，进而表示出增长率，即可得出答案．
【解答】解：设一月份的产值为a，则二月份的产值为：a（1+x%），
故三月份的产值为：a（1+x%）2，
则三月份的产值比一月份的产值增长了﹣1=（2+x%）x%．
故选：D．
【点评】此题主要考查了列代数式，正确表示出增长率是解题关键．
变式1．小红要购买珠子串成一条手链，黑色珠子每个a元，白色珠子每个b元，要串成如图所示的手链，小红购买珠子应该花费（ ）
A．（3a+4b）元
B．（4a+3b）元
C．4（a+b）元
D．3（a+b）元
【分析】直接利用两种颜色的珠子的价格进而求出手链的价格．
【解答】解：∵黑色珠子每个a元，白色珠子每个b元，
∴要串成如图所示的手链，小红购买珠子应该花费为：3a+4b．
故选：A．
【点评】此题主要考查了列代数式，正确得出各种颜色珠子的数量是解题关键．
变式2．某书每本定价8元，若购书不超过10本，按原价付款；若一次购书10本以上，超过10本部分按八折付款．设一次购书数量为x本（x＞10），则付款金额为（ ）
A．6.4x元
B．（6.4x+80）元
C．（6.4x+16）元
D．（144﹣6.4x）元
【分析】根据购买10本，每本需要8元，一次购买超过10本，则超过部分按八折付款，根据：10本按原价付款数+超过10件的总钱数×0.8，列出代数式式即可得．
【解答】解：设一次购书数量为x本（x＞10），
则付款金额为：8×0.8（x﹣10）+10×8=6.4x+16，
故选：C．
【点评】本题考查了列代数式．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．
变式3．某个工人要完成3000个零件的加工，如果该工人每小时能加工x个零件，那么完成这批零件的加工需要的时间是 小时．
【分析】根据工作总量=工作时间×工作效率，计算即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：完成这批零件的加工需要的时间是小时，
故答案为：
【点评】此题考查了列代数式，弄清题意是解本题的关键．
变式4．一个两位数，个位数字是n，十位数字为m，则这个两位数可表示为 10m+n ．
【分析】m、n分别表示是十位和个位上的数字，根据十位上的数字是m表示10m，再加上个位数字n即可求解．
【解答】解：一个两位数，个位数字是n，十位数字为m，则这个两位数可表示为10m+n．
故答案为：10m+n．
【点评】此题考查列代数式，理解题意，熟记计数方法是解决问题的关键．
变式5．在一次植树活动中，某班共有a名男生每人植树3棵，共有b名女生每人植树2棵，则该班同学一共植树 （3a+2b） 棵．（用含a，b的代数式表示）
【分析】根据题意可以列出相应的代数式，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
该班同学一共植树（3a+2b）棵，
故答案为：（3a+2b）．
【点评】本题考查列代数式，解题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
例题3．用字母表示图中阴影部分的面积．
【分析】（1）读图可得，阴影部分的面积=大长方形的面积﹣小长方形的面积；
（2）阴影部分的面积=正方形的面积﹣扇形的面积．
【解答】解：（1）阴影部分的面积=ab﹣bx；
（2）阴影部分的面积=R2﹣πR2．
【点评】解决问题的关键是读懂图，找到所求的阴影部分的面积和各部分之间的等量关系．
变式．如图，请你求出阴影部分的面积（用含有x的代数式表示）．
【分析】根据图形可以用代数式表示阴影部分的面积，本题得以解决．
【解答】解：由图可得，
阴影部分的面积是：x2+3x+3×2=x2+3x+6，
即阴影部分的面积是x2+3x+6．
【点评】本题考查列代数式，解题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
例题4．请你用实例解释下列代数式的意义：
（1）5a+10b；
（2）3x．
【分析】（1）、（2）根据代数式的表达，可得代数式现实的意义．
【解答】解：（1）5a+10b表示每只笔a元，每本笔记本b元，5只笔与10本笔记本需多少元；
（2）3x表示一辆车行驶xkm/h，3小时行驶多少千米．
【点评】本题考查了代数式，体验了数学的现实意义，数学是为现实服务的．
变式1．说出下列代数式的意义：
（1）2（a+3）；
（2）a2+b2；
（3）．
【分析】说出下列代数式的意义，实际上就是把代数式用语言叙述出来．叙述时，要求既要表明运算的顺序，又要说出运算的最终结果．
【解答】解：（1）2（a+3）的意义是2与（a+3）的积；
（2）a2+b2的意义是a，b的平方的和；
（3）的意义是（n+1）除以（n﹣1）的商．
【点评】用语言表达代数式的意义，一定要理清代数式中含有的各种运算及其顺序．具体说法没有统一规定，以简明而不引起误会为出发点．
变式2．请你用实例解释下列代数式的意义：
（1）5a+10b；
（2）3x；
（3）；
（4）10a3；
（5）（1﹣8%）x；
（6）（x+y）2；
（7）x2+y2；
（8）（x﹣y）2；
（9）x2﹣y2．
【分析】（1）根据代数式的表达，可得代数式现实的意义．
【解答】解：（1）5a+10b表示每只笔a元，每本笔记本b元，5只笔与10本笔记本需多少元；
（2）3x表示一辆车行驶xkm/h，3小时行驶多少千米；
（3）表示甲乙两人相向行驶2千米，甲的速度是akm/h，乙的速度是bkm/h，甲乙两人几小时相遇；
（4）10a3表示正方体的边长为acm，10个正方体的体积是多少；
（5）（1﹣8%）x表示去年支出为x万元，今年下降8%，今年支出多少元；
（6）正方形的边长是（x+y），正方形的面积是多少；
（7）x2+y2表示一个正方形的边长是x，另一个正方形的边长是y，两个正方形的面积是多少；
（8）（x﹣y）2表示一个正方形的边长是（x﹣y），这个正方形的面积；
（9）x2﹣y2表示一个正方形的边长是x，另一个正方形的边长是y，两个正方形的面积相差多少．
【点评】本题考查了代数式，体验了数学的现实意义，数学是为现实服务的．
拓展点二：用概念解决问题
例题1．若多项式4xn+2﹣5x2﹣n+6是关于x的三次多项式，求代数式n3﹣2n+3的值．
【分析】根据多项式的概念可知：该多项式最高次数项为3次，由于含x的项有两个，故需要分情况讨论．
【解答】解：由题意可知：该多项式最高次数项为3次，
当n+2=3时，
此时n=1，
∴n3﹣2n+3=1﹣2+3=2，
当2﹣n=3时，
即n=﹣1，
∴n3﹣2n+3=﹣1+2+3=4，
综上所述，代数式n3﹣2n+3的值为2或4．
【点评】本题考查多项式的概念，解题的关键是根据三次多项式求出n的值，本题考查分类讨论的思想．
变式1．﹣5x2ym+1+xy2﹣3x3﹣6是六次四项式，且3x2ny5﹣m的次数跟它相同
（1）求m，n的值
（2）求多项式的常数项以及各项的系数和．
【分析】根据多项式的概念即可求出n与m的值，然后根据多项式即可判断常数项与各项系数．
【解答】解：（1）由题意可知：该多项式时六次多项式，
∴2+m+1=6，
∴m=3，
∵3x2ny5﹣m的次数也是六次，
∴2n+5﹣m=6，
∴n=2
∴m=3，n=2
（2）该多项式为：﹣5x2y4+xy2﹣3x3﹣6
常数项﹣6，各项系数为：﹣5，1，﹣3，﹣6，
故系数和为：﹣5+1﹣3﹣6=﹣13
【点评】本题考查多项式与单项式的概念，属于基础题型．
变式2．已知多项式（3﹣b）x5+xa+x﹣6是关于x的二次三项式，求a2﹣b2的值．
【分析】由题意可知：3﹣b=0，a=2，代入原式即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：关于x的多项式不能有5次项，且最高次数项为2，
∴3﹣b=0，a=2，
∴a=2，b=3，
∴a2﹣b2=﹣5
【点评】本题考查多项式的概念，涉及代入求值等问题，属于基础题．
例题2．已知多项式xm+1y2+2xy2﹣4x3+1是六次四项式，单项式26x2ny5﹣m的次数与该多项式的次数相同，求（﹣m）3+2n的值．
【分析】利用多项式与单项式的次数与系数的确定方法得出关于m与n的等式进而得出答案．
【解答】解：由于多项式是六次四项式，所以m+1+2=6，
解得：m=3，
单项式26x2ny5﹣m应为26x2ny2，由题意可知：2n+2=6，
解得：n=2，
所以（﹣m）3+2n=（﹣3）3+2×2=﹣23．
【点评】此题主要考查了多项式与单项式的次数，正确得出m，n的值是解题关键．
变式．已知多项式﹣3x2ym+1+x3y﹣3x4﹣1是五次四项式，且单项式3x2ny3﹣m与多项式的次数相同．
（1）求m、n的值；
（2）把这个多项式按x的降幂排列．
【分析】（1）根据已知得出m+1=3，2n+3﹣m=5，求出即可；
（2）按x的指数从大到小排列即可．
【解答】解：（1）∵多项式﹣3x2ym+1+x3y﹣3x4﹣1是五次四项式，且单项式3x2ny3﹣m与多项式的次数相同，
∴m+1=3，2n+3﹣m=5，
解得：m=2，n=2；
（2）按x的降幂排列为﹣3x4+x3y﹣3x2y3﹣1．
【点评】本题考查了多项式和单项式的有关内容，能熟记多项式和单项式的次数定义是解此题的关键．
例题3．若代数式2x2+ax﹣y+b﹣2bx2+3x﹣5y﹣1的值与字母x的取值无关，求a、b的值．
【分析】先将含x和x2的项进行合并，然后令各自的系数为0即可求出a与b的值．
【解答】解：原式=2x2﹣2bx2+ax+3x﹣y+b﹣5y﹣1
=（2﹣2b）x2+（a+3）x﹣6y+b﹣1
由于该代数式的值与x的取值无关，
故2﹣2b=0，a+3=0，
∴a=﹣3，b=1
【点评】本题考查整式运算，解题的关键是将同类项进行合并，然后令其系数为0即可，本题涉及一元一次方程的解法，属于基础题型．
变式1．若多现实mx3﹣2x2+3x﹣2x3+5x2﹣nx+1不含三次项及一次项，请你确定m，n的值，并求出mn+（m﹣n）2016的值．
【分析】先将关于x的多项式合并同类项．由于其不含三次项及一次项，即系数为0，可以先求得m，n，再求出mn+（m﹣n）2016的值．
【解答】解：mx3﹣2x2+3x﹣2x3+5x2﹣nx+1=（m﹣2）x3+3x2+（3﹣n）x+1，
因为不含三次项及一次项的多项式，依题意有
（1）m﹣2=0，m=2；（2）3﹣n=0，n=3．
代入mn+（m﹣n）2016，原式=23+（﹣1）2016=9．
【点评】此题考查了多项式的定义，解答本题必须先合并同类项，否则容易误解为m=0，n=0．
变式2．若关于x、y的多项式x2y﹣（a﹣4）x2+（8b﹣a+2）xy+3x﹣2y﹣7不含二次项，则a101?（﹣b）100的值为多少？
【分析】根据不含二次项，可知二次项系数为0，得：a﹣4=0，8b﹣a+2=0，求出a、b的值代入计算即可．
【解答】解：∵不含二次项，
∴a﹣4=0，8b﹣a+2=0，
∴a=4，b=，
∴a101?（﹣b）100=a100?a?b100=（ab）100?a=×4=4．
【点评】本题考查了多项式的定义及积的乘方的逆运算，明确多项式中的n次项就是对应单项式的次数为n的项，还要掌握积的乘方：（ab）n=anbn，反之也成立．
拓展点三：代数式求值问题
例题1．化简求值：3a+（a﹣2b）﹣（3a﹣6b），其中a=2，b=﹣3．
【分析】原式去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=3a+a﹣b﹣a+2b=2.5a+b，
当a=2，b=﹣3时，原式=5﹣3=2．
【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
变式1．先化等再求值；
（1）5abc﹣2a2b﹣[3abc+2（ab2﹣a2b）]，其中a=﹣，b=﹣1，c=3
（2）3（2x2﹣xy）﹣2（3x2﹣2xy），其中x=﹣2，y=﹣3．
【分析】（1）先去小括号，再去中括号，合并同类项，最后代入求出即可；
（2）先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．
【解答】解：（1）5abc﹣2a2b﹣[3abc+2（ab2﹣a2b）]
=5abc﹣2a2b﹣[3abc+2ab2﹣2a2b]
=5abc﹣2a2b﹣3abc﹣2ab2+2a2b
=2abc﹣2ab2，
当a=﹣，b=﹣1，c=3时，原式=2×（﹣）×（﹣1）×3﹣2×（﹣）×（﹣1）2=4；
（2）3（2x2﹣xy）﹣2（3x2﹣2xy）
=6x2﹣3xy﹣6x2+4xy
=xy，
当x=﹣2，y=﹣3时，原式=（﹣2）×（﹣3）=6．
【点评】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
变式2．先化简，再求值：2x2﹣[3（﹣x2+xy）﹣2y2]﹣2（x2﹣xy+2y2），其中x=，y=﹣1．
【分析】先去小括号，再去中括号，合并同类项，最后代入求出即可．
【解答】解：2x2﹣[3（﹣x2+xy）﹣2y2]﹣2（x2﹣xy+2y2）
=2x2﹣[﹣x2+2xy﹣2y2]﹣（2x2﹣2xy+4y2）
=2x2+x2﹣2xy+2y2﹣2x2+2xy﹣4y2
=x2﹣2y2，
当x=，y=﹣1时，原式=﹣．
【点评】本题考查了整式的加减和求值，能正确根据整式的加减法则进行化简是解此题的关键．
拓展点四：规律探究问题
例题1．观察下列各式：
﹣a，a2，﹣a3，a4，﹣a5，a6，…
（1）写出第2014个和2015个单项式；
（2）写出第n个单项式．
【分析】（1）由单项式的排列规律即可求出第2014个和2015个单项式；
（2）由单项式的排列规律即可求出第n个单项式．
【解答】解：（1）由﹣a，a2，﹣a3，a4，﹣a5，a6，…
可得第n项的表达式为（﹣1）n，
所以第2014个单项式为，第2015个单项式为﹣．
（2）由单项式的特点可得第n个单项式为（﹣1）n．
【点评】本题主要考查了单项式，解题的关键是求出单项式的排列规律．
例题2．仔细观察下列四个等式：
32=2+22+3，42=3+32+4，52=4+42+5，62=5+52+6，…
（1）请你写出第5个等式；
（2）应用这5个等式的规律，用字母表示你发现的规律；
（3）你能验证这个规律的正确性吗？
【分析】（1）寻找规律写出72等于多少即可．
（2）用含有n的式子写出n2等于多少即可．
（3）根据证明恒等式的方法进行证明即可．
【解答】解：（1）72=6+62+7．
（2）n2=（n﹣1）+（n﹣1）2+n，（n是正整数）
（3）证明：右边=n﹣1+n2﹣2n+1+n=n2
左边=n2，
∴左边=右边，
∴结论成立．
【点评】本题考查规律型：数字的变化类问题，解题的关键是从一般到特殊，寻找规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．
变式1．观察下列各题：
1+3=4=22
1+3+5=9=32
1+3+5+7=16=42
1+3+5+7+9=25=52
…
（1）根据上面各式的规律，请直接写出1+3+5+7+9+…+99= 2500=502 ；
（2）请写出第n个式子的表达式 （n+1）2 ．
【分析】（1）由1+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，1+3+5+7+9=25=52，…可以看出连续奇数的和等于数的个数的平方；由此可以写出1+3+5+7+9+…+99；
（2）自然数n（n≥1）表示奇数为2n+1，因此得到一般规律．
【解答】解：（1）1+3+5+7+9+…+99=2500=502；
（2）1+3+5+7+9+…+2n+1=（n+1）2；
故答案为：2500=502；（n+1）2．
【点评】此题主要考查了数字的变化规律，探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法．
变式2．一串数：，，，，，，，，，，…
（1）第800个数是多少？
（2）是第几个数？
（3）前552个数的和是多少？
（4）前n个数的和能否等于106，如果能，试求出n的值，如果不能，试说明理由．
【分析】分母是1的分数有1个，分母是2的分数由3个，分母是3的分数有5个，…分母是n的分数有2n﹣1个；分子都是从1开始到与分母的数字相同连续的自然数，再倒数回到1，由此规律解决问题：
（1）首先要计算第800个数之前最大的平方是：当n=28时，n2=784，第784个数是分母为28的最后一个数，
所以可以找到第800个数；
（2）先找分母是16的最后一个数是第162个数，162=256，再向右数5个即可，因为同一个分母的数除中间为1的数是一个外，其余都是2个，所以倒数第5个数也是，得出结论；
（3）同（1）同理，先计算第552个数之前最大的平方数：当n=23时，n2=529，先计算分母为1至23的所有分数之和：1+2+3+…+23的值，再确定第529到552之间数的和，最后相加即可；
（4）因为分母为n的分数有2n﹣1个，且这2n﹣1个分数相加和为n．所以前分母为n的分数之和=，确定当n为最大时，最接近106时的n=14，即前196个数的和==105，与106还相差1，分母为15的分数能否达到几个分数和为1，来判断．
【解答】解：观察数列，，，，，，，，，，…，
可发现：分母为1的分数有1个，分母为2的数有3个，分母为3的数有5个，
∴可得出：分母为n的分数有2n﹣1个，且这2n﹣1个分数相加和为n．
第12个是分母为1的最后一个，
第22个是分母为2的最后一个，
…
第n2个是分母n的最后一个
（1）∵1+3+5+…+2n﹣1=n2，
∴令n2≤800，
解得：n≤28，
当n=28时，n2=784，
∴第784个数是分母为28的最后一个数，
∴第800个数的分母为29，分子为800﹣784=16，
∴第800个数为．
（2）∵162+5=256+5=261，
172﹣4=289﹣4=285，
∴是第261个数或第285个数．
（3）令n2≤552，
解得：n≤23，
当n=23时，n2=529，
即前529个数的和=1+2+3+…+23=24×11+12=276，
第530至第552个数之间一共有：552﹣530+1=23个数，
第530至第552个数的和为：+++…+==11.5，
∴前552个数的和是：276+11.5=287.5；
（4）分母为n时，前n2个数的和为：，
当n=14时，前142=196个数的和为：=105，
第197个数开始为分母是15的数：++++=1，
105+1=106，
所以存在前n个数的和等于106，此时n=196+5=201．
【点评】此题考查数字的变化规律，难度较大，找出数字之间的联系，得出规律，解决问题．
变式3．请你观察：
=﹣，=﹣；=﹣；…
+=﹣+﹣=1﹣=；
++=﹣+﹣+﹣=1﹣=；…
以上方法称为“裂项相消求和法”
请类比完成：
（1）+++= ；
（2）++++…+= ．
（3）计算：++++的值．
【分析】（1）将已知等式相加后两两相消可得；
（2）根据=﹣裂项相消可得；
（3）根据=﹣裂项相消可得．
【解答】解：（1）原式=﹣+﹣+﹣+﹣=1﹣=，
故答案为：；
（2）原式=﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=，
故答案为：；
（3）原式=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+（﹣）+（﹣）
=（1﹣+﹣+﹣+﹣+﹣）
=×（1﹣）
=×
=．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，根据题意掌握裂项相消的方法是解题的关键．
拓展点五：整式在生活中的实际应用
例题．在沙坪坝住房小区建设中，为了提高业主的宜居环境，某小区规划修建一个广场（平面图形如图所示）
（1）用含m，n
的代数式表示该广场的面积S；
（2）若m，n满足（m﹣6）2+|n﹣5|=0，求出该广场的面积．
【分析】（1）由广场的面积等于大矩形面积减去小矩形面积表示出S即可；
（2）利用非负数的性质求出m与n的值，代入S中计算即可得到结果．
【解答】解：（1）根据题意得：S=2m?2n﹣m（2n﹣0.5n﹣n）=4mn﹣0.5mn=3.5mn；
（2）∵（m﹣6）2+|n﹣5|=0，
∴m=6，n=5，
则S=3.5×6×5=105．
【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
变式．一辆出租车从A地出发，在一条东西走向的街道上往返，每次行驶的路程（记向东为正）记录如下（x＞9且x＜26，单位：km）
第一次
第二次
第三次
第四次
x
x﹣5
2（9﹣x）
（1）说出这辆出租车每次行驶的方向．
（2）求经过连续4次行驶后，这辆出租车所在的位置．
（3）这辆出租车一共行驶了多少路程？
【分析】（1）根据数的符号说明即可；
（2）把路程相加，求出结果，看结果的符号即可判断出答案；
（3）求出每个数的绝对值，相加求出即可．
【解答】（1）解：第一次是向东，第二次是向西，第三次是向东，第四次是向西．
（2）解：x+（﹣x）+（x﹣5）+2（9﹣x）=13﹣x，
∵x＞9且x＜26，
∴13﹣x＞0，
∴经过连续4次行驶后，这辆出租车所在的位置是向东（13﹣x）km．
（3）解：|x|+|﹣x|+|x﹣5|+|2（9﹣x）|=x﹣23，
答：这辆出租车一共行驶了（x﹣23）km的路程．
【点评】本题考查了整式的加减，绝对值等知识点的应用，主要考查学生分析问题和解决问题的能力，用数学解决实际问题，题型较好．
易错点一：分母中含字母的式子一定不是单项式
例题．在式子x+y，0，﹣a，﹣3x2y，，中，单项式共有（ ）
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
【分析】根据单项式的定义作答．数字或字母的积称为单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．单项式不含加减运算，单项式的分母中不含字母．
【解答】解：在式子中，单项式有0，﹣a，﹣3x2y，一共3个．
故选C．
【点评】本题考查了单项式、多项式及分式的概念：
①单项式：数字或字母的积称为单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；
②多项式：几个单项式的和称为多项式；
③分式：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．
变式1．在代数式：，3m﹣3，﹣22，﹣，2πb2中，单项式的个数有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】根据单项式的定义进行解答即可．
【解答】解：：﹣22，﹣，2πb2中是单项式；
是分式；
3m﹣3是多项式．
故选C．
【点评】本题考查的是单项式，熟知数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式是解答此题的关键．
变式2．在式子，2x+5y，0.9，﹣2a，﹣3x2y，中，单项式的个数是（ ）
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
【分析】根据单项式的定义进行解答即可．
【解答】解：0.9是单独的一个数，故是单项式；﹣2a，﹣3x2y是数与字母的积，故是单项式．
故选C．
【点评】本题考查的是单项式，熟知数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式是解答此题的关键．
易错点二：不要忽视省略的字母指数1
例题．单项式﹣的次数是（ ）
A．﹣23
B．﹣
C．6
D．3
【分析】单项式中所有字母的指数和叫单项式的次数．
【解答】解：∵2+1=3，
∴单项式﹣的次数是3．
故选D．
【点评】本题主要考查的是单项式的概念，掌握单项式的次数的概念是解题的关键．
变式1．单项式4xy2z3的次数是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【分析】单项式的次数是指各字母的指数之和
【解答】解：该单项式的次数为：1+2+3=6，
故选（D）
【点评】本题考查单项式的概念，解题的关键是正确理解单项式的次数概念，本题属于基础题型．
变式2．下列关于单项式的说法中，正确的是（ ）
A．系数是3，次数是2
B．系数是，次数是2
C．系数是，次数是3
D．系数是，次数是3
【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
【解答】解：根据单项式系数、次数的定义可知，单项式的系数是，次数是3．
故选D．
【点评】确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．
变式3．下列语句中错误的是（ ）
A．数字0也是单项式
B．单项式﹣a的系数与次数都是1
C．xy是二次单项式
D．﹣的系数是﹣
【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．单独一个数字也是单项式．
【解答】解：单独的一个数字也是单项式，故A正确；
单项式﹣a的系数应是﹣1，次数是1，故B错误；
xy的次数是2，符合单项式的定义，故C正确；
﹣的系数是﹣，故D正确．
故选B．
【点评】确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．注意单项式的系数包括前面的符号．
易错点三：多项式的次数不是所有项的次数之和
例题．多项式1+2xy﹣3xy2的次数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．5
【分析】利用多项式次数的定义判断即可．
【解答】解：多项式1+2xy﹣3xy2的次数为3，
故选C
【点评】此题考查了多项式，熟练掌握多项式次数的定义是解本题的关键．
变式1．下列说法中正确的个数是（ ）
（1）﹣a表示负数；
（2）多项式﹣3a2b+7a2b2﹣2ab+l的次数是3；
（3）单项式﹣的系数为﹣2；
（4）若|x|=﹣x，则x＜0．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【分析】根据小于0的数是负数，可判断（1），根据多项式的次数，可判断（2），根据单项式的系数，可判断（3），根据绝对值，可判断（4）．
【解答】解：（1）小于0的数是负数，故（1）说法错误；
（2）多项式﹣3a2b+7a2b2﹣2ab+l的次数是4，故（2）说法错误；
（3）单项式﹣的系数为﹣，故（3）说法错误；
（4）若|x|=﹣x，x≤0，故（4）说法错误，
故选：A．
【点评】本题考查了多项式，根据定义求解是解题关键．
变式2．关于多项式0.3x2y﹣2x3y2﹣7xy3+1，下列说法错误的是（ ）
A．这个多项式是五次四项式
B．四次项的系数是7
C．常数项是1
D．按y降幂排列为﹣7xy3﹣2x3y2+0.3x2y+1
【分析】根据多项式的概念即可求出答案．
【解答】解：该多项式四次项是﹣7xy3，其系数为﹣7，
故选（B）
【点评】本题考查多项式的性质，属于基础题型．
第二章
整式的加减
2.1
整式
学习要求:
理解代数式的概念，掌握代数式的基本写法，能按要求列出代数式，会求代数式的值．
2、了解整式的有关概念，会识别单项式系数与次数、多项式的项与系数．
知识点一：用字母表示数
书写格式：
例1．下列代数式中符合书写要求的是（ ）
A．ab2×4
B．
C．
D．6xy2÷3
例2．下列代数式书写规范的是（ ）
A．8x2y
B．
C．ax3
D．2m÷n
变式1．下列写法正确的是（ ）
A．x5
B．4m×n
C．x（x+1）
D．﹣ab
变式2．下列代数式的书写规范的是（ ）
A．m×n
B．7ab÷6
C．2x
D．a2﹣
代数式读法：
例1．代数式的意义是（ ）
A．a除以b加1
B．b加1除a
C．b与1的和除以a
D．a除以b与1的和所得的商
例2．代数式的意义为（ ）
A．x与y的一半的差
B．x与y的差的一半
C．x减去y除以2的差
D．x与y的的差
变式1．代数式a﹣b2的意义表述正确的是（ ）
A．a减去b的平方的差
B．a与b差的平方
C．a、b平方的差
D．a的平方与b的平方的差
变式2．下面用数学语言叙述代数式﹣b，其中表达正确的是（ ）
A．a与b差的倒数
B．b与a的倒数的差
C．a的倒数与b的差
D．1除以a与b的差
变式3．代数式2（y﹣2）的正确含义是（ ）
A．2乘以y减2
B．2与y的积减去2
C．y与2的差的2倍
D．y的2倍减去2
变式4．代数式的正确解释是（ ）
A．a与b的倒数的差的平方
B．a的平方与b的倒数的差
C．a的平方与b的差的倒数
D．a与b的差的平方的倒数
变式5．设两数为a，b，那么代数式表示（ ）
A．a与b的平方差的5倍除以2
B．a与b的差的平方的5倍除以2
C．a的5倍与b的差的平方的一半
D．a的5倍与b的平方差的一半
整式：
例1．对于下列四个式子：①0.1；②；③；④．其中不是整式的是（ ）
A．①
B．②
C．③
D．④
例2．下列代数式：，，2x﹣y，（1﹣20%）x，ab，，，其中是整式的个数是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
变式1．下列代数式：（1）mn，（2）m，（3），（4），（5）2m+1，（6），（7），（8）x2+2x+，（9）y3﹣5y+中，整式有（ ）
A．3个
B．4个
C．6个
D．7个
变式2．下列式子：x2+2，+4，，，﹣5x，0中，整式的个数有（ ）
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
变式3．在下列式子中：1，2x2y，，，，a+1，，整式共有（ ）
A．5个
B．6个
C．7个
D．8个
知识点二：单项式
例1．在下列式子，﹣3x，﹣abc，a，0，a﹣b，0.95中，单项式有（ ）
A．7个
B．6个
C．5个
D．4个
变式．在六个代数式中，是单项式的个数（ ）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
例题2．单项式的系数是（ ）
A．
B．π
C．2
D．
变式．单项式﹣4ab2的系数是（ ）
A．4
B．﹣4
C．3
D．2
例题3．单项式4xy2z3的次数是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
变式．单项式﹣的次数是（ ）
A．﹣23
B．﹣
C．6
D．3
例题4．下列关于单项式﹣的说法中，正确的是（ ）
A．系数是﹣，次数是2
B．系数是，次数是2
C．系数是﹣3，次数是3
D．系数是﹣，次数是3
变式1．下列说法正确的是（ ）
A．没有加减运算的代数式是单项式
B．单项式的系数是3，次数是2
C．单项式x既没有系数，也没有次数
D．单项式﹣a2bc的系数是﹣1，次数是4
变式2．单项式﹣3πxy2z3的系数和次数分别是（ ）
A．﹣3π，5
B．﹣3，6
C．﹣3π，7
D．﹣3π，6
变式3．（2016?路北区二模）如果单项式2anb2c是六次单项式，那么n=（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
知识点三：多项式
例1．在整式ab﹣πr2，，，2.5v中，多项式有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
变式1．下列代数式a、2x2+2xy+y2、、a2﹣、﹣（x+y）中多项式的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
变式2．有下列代数式4，，，x2﹣2xy+y2，，5m，﹣3xy+1，其中多项式的个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
例题2．代数式﹣4xy2+xy+1是（ ）
A．二次二项式
B．二次三项式
C．三次二项式
D．三次三项式
变式．多项式4xy2﹣3xy3+12的次数为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．7
例题3．下列说法中正确的是（ ）
A．多项式ax2+bx+c是二次多项式
B．﹣是6次单项式，它的系数是
C．﹣ab2，﹣x都是单项式，也都是整式
D．﹣4a2b，3ab，5是多项式﹣4a2b+3ab﹣5中的项
变式1．下列说法正确的是（ ）
A．单项式xy的系数是，次数是1
B．单项式﹣πa2b3的系数是﹣，次数是6
C．单项式x2的系数是1，次数是2
D．多项式2x3﹣3x2y2+x﹣1叫三次四项式
变式2．多项式﹣x|m|+（m﹣2）x+1是关于x的二次三项式，则m的值是（ ）
A．2
B．﹣2
C．﹣4
D．2或﹣2
拓展点一：用字母表示数量关系
例题1．x的2倍与y的和的平方用代数式表示为（ ）
A．（2x+y）2
B．2x+y2
C．2x2+y2
D．2（x+y）2
例题2．某工厂二月份的产值比一月份的产值增长了x%，三月份的产值又比二月份的产值增长了x%，则三月份的产值比一月份的产值增长了（ ）
A．2x%
B．1+2x%
C．（1+x%）x%
D．（2+x%）x%
变式1．小红要购买珠子串成一条手链，黑色珠子每个a元，白色珠子每个b元，要串成如图所示的手链，小红购买珠子应该花费（ ）
A．（3a+4b）元
B．（4a+3b）元
C．4（a+b）元
D．3（a+b）元
变式2．某书每本定价8元，若购书不超过10本，按原价付款；若一次购书10本以上，超过10本部分按八折付款．设一次购书数量为x本（x＞10），则付款金额为（ ）
A．6.4x元
B．（6.4x+80）元
C．（6.4x+16）元
D．（144﹣6.4x）元
变式3．某个工人要完成3000个零件的加工，如果该工人每小时能加工x个零件，那么完成这批零件的加工需要的时间是 小时．
变式4．一个两位数，个位数字是n，十位数字为m，则这个两位数可表示为
．
变式5．在一次植树活动中，某班共有a名男生每人植树3棵，共有b名女生每人植树2棵，则该班同学一共植树
棵．（用含a，b的代数式表示）
例题3．用字母表示图中阴影部分的面积．
变式．如图，请你求出阴影部分的面积（用含有x的代数式表示）．
例题4．请你用实例解释下列代数式的意义：
（1）5a+10b；
（2）3x．
变式1．说出下列代数式的意义：
（1）2（a+3）；
（2）a2+b2；
（3）．
变式2．请你用实例解释下列代数式的意义：
（1）5a+10b；
（2）3x；
（3）；
（4）10a3；
（5）（1﹣8%）x；
（6）（x+y）2；
（7）x2+y2；
（8）（x﹣y）2；
（9）x2﹣y2．
拓展点二：用概念解决问题
例题1．若多项式4xn+2﹣5x2﹣n+6是关于x的三次多项式，求代数式n3﹣2n+3的值．
变式1．﹣5x2ym+1+xy2﹣3x3﹣6是六次四项式，且3x2ny5﹣m的次数跟它相同
（1）求m，n的值
（2）求多项式的常数项以及各项的系数和．
变式2．已知多项式（3﹣b）x5+xa+x﹣6是关于x的二次三项式，求a2﹣b2的值．
例题2．已知多项式xm+1y2+2xy2﹣4x3+1是六次四项式，单项式26x2ny5﹣m的次数与该多项式的次数相同，求（﹣m）3+2n的值．
变式．已知多项式﹣3x2ym+1+x3y﹣3x4﹣1是五次四项式，且单项式3x2ny3﹣m与多项式的次数相同．
（1）求m、n的值；
（2）把这个多项式按x的降幂排列．
例题3．若代数式2x2+ax﹣y+b﹣2bx2+3x﹣5y﹣1的值与字母x的取值无关，求a、b的值．
变式1．若多现实mx3﹣2x2+3x﹣2x3+5x2﹣nx+1不含三次项及一次项，请你确定m，n的值，并求出mn+（m﹣n）2016的值．
变式2．若关于x、y的多项式x2y﹣（a﹣4）x2+（8b﹣a+2）xy+3x﹣2y﹣7不含二次项，则a101?（﹣b）100的值为多少？
拓展点三：代数式求值问题
例题1．化简求值：3a+（a﹣2b）﹣（3a﹣6b），其中a=2，b=﹣3．
变式1．先化等再求值；
（1）5abc﹣2a2b﹣[3abc+2（ab2﹣a2b）]，其中a=﹣，b=﹣1，c=3
（2）3（2x2﹣xy）﹣2（3x2﹣2xy），其中x=﹣2，y=﹣3．
变式2．先化简，再求值：2x2﹣[3（﹣x2+xy）﹣2y2]﹣2（x2﹣xy+2y2），其中x=，y=﹣1．
拓展点四：规律探究问题
例题1．观察下列各式：
﹣a，a2，﹣a3，a4，﹣a5，a6，…
（1）写出第2014个和2015个单项式；
（2）写出第n个单项式．
例题2．仔细观察下列四个等式：
32=2+22+3，42=3+32+4，52=4+42+5，62=5+52+6，…
（1）请你写出第5个等式；
（2）应用这5个等式的规律，用字母表示你发现的规律；
（3）你能验证这个规律的正确性吗？
变式1．观察下列各题：
1+3=4=22
1+3+5=9=32
1+3+5+7=16=42
1+3+5+7+9=25=52
…
（1）根据上面各式的规律，请直接写出1+3+5+7+9+…+99=
；
（2）请写出第n个式子的表达式
．
变式2．一串数：，，，，，，，，，，…
（1）第800个数是多少？
（2）是第几个数？
（3）前552个数的和是多少？
（4）前n个数的和能否等于106，如果能，试求出n的值，如果不能，试说明理由．
变式3．请你观察：
=﹣，=﹣；=﹣；…
+=﹣+﹣=1﹣=；
++=﹣+﹣+﹣=1﹣=；…
以上方法称为“裂项相消求和法”
请类比完成：
（1）+++=
；
（2）++++…+=
．
（3）计算：++++的值．
拓展点五：整式在生活中的实际应用
例题．在沙坪坝住房小区建设中，为了提高业主的宜居环境，某小区规划修建一个广场（平面图形如图所示）
（1）用含m，n
的代数式表示该广场的面积S；
（2）若m，n满足（m﹣6）2+|n﹣5|=0，求出该广场的面积．
变式．一辆出租车从A地出发，在一条东西走向的街道上往返，每次行驶的路程（记向东为正）记录如下（x＞9且x＜26，单位：km）
第一次
第二次
第三次
第四次
x
x﹣5
2（9﹣x）
（1）说出这辆出租车每次行驶的方向．
（2）求经过连续4次行驶后，这辆出租车所在的位置．
（3）这辆出租车一共行驶了多少路程？
易错点一：分母中含字母的式子一定不是单项式
例题．在式子x+y，0，﹣a，﹣3x2y，，中，单项式共有（ ）
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
变式1．在代数式：，3m﹣3，﹣22，﹣，2πb2中，单项式的个数有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
变式2．在式子，2x+5y，0.9，﹣2a，﹣3x2y，中，单项式的个数是（ ）
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
易错点二：不要忽视省略的字母指数1
例题．单项式﹣的次数是（ ）
A．﹣23
B．﹣
C．6
D．3
变式1．单项式4xy2z3的次数是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
变式2．下列关于单项式的说法中，正确的是（ ）
A．系数是3，次数是2
B．系数是，次数是2
C．系数是，次数是3
D．系数是，次数是3
变式3．下列语句中错误的是（ ）
A．数字0也是单项式
B．单项式﹣a的系数与次数都是1
C．xy是二次单项式
D．﹣的系数是﹣
易错点三：多项式的次数不是所有项的次数之和
例题．多项式1+2xy﹣3xy2的次数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．5
变式1．（2016秋?莒南县期末）下列说法中正确的个数是（ ）
（1）﹣a表示负数；
（2）多项式﹣3a2b+7a2b2﹣2ab+l的次数是3；
（3）单项式﹣的系数为﹣2；
（4）若|x|=﹣x，则x＜0．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
变式2．关于多项式0.3x2y﹣2x3y2﹣7xy3+1，下列说法错误的是（ ）
A．这个多项式是五次四项式
B．四次项的系数是7
C．常数项是1
D．按y降幂排列为﹣7xy3﹣2x3y2+0.3x2y+1
