第25章
概率初步
25.2
用列举法求概率
学习要求
1、会通过列举法分析随机事件可能出现的结果，求出“结果发生的可能性相等”的随机事件的概率．
2、能运用列表法和树状图法计算一些事件发生的概率．
知识点一：直接列举法求概率
例1．把1枚质地均匀的普通硬币重复掷两次，落地后出现一次正面一次反面的概率是（ ）
A．1
B．
C．
D．
变式1．从长度分别为2、3、4、5的4条线段中任取3条，能构成钝角三角形的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2．小红上学要经过两个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3．学校组织初三数学备课组全体教师去外校听课，安排了两辆车，按1～2编号，程、李两位教师可任意选坐一辆车．
（1）用画树状图的方法或列表法列出所有可能的结果；
（2）求程、李两位教师同坐2号车的概率．
变式4．在2017年“KFC”乒乓球赛进校园活动中，某校甲、乙两队进行决赛，比赛规则规定：两队之间进行3局比赛，3局比赛必须全部打完，只要赢2局的队为获胜队，假如甲、乙两队之间每局比赛输赢的机会相同，且乙队已经赢得了第1局比赛．
（1）列表或画树状图表示乙队所有比赛结果的可能性；
（2）求乙队获胜的概率．
知识点二：列表法求概率
例2．如图1，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面并分别标有数字1，2，3，4．
如图2，正方形ABCD顶点处各有一个圈．跳圈游戏的规则为：游戏者每掷一次骰子，骰子着地一面上的数字是几，就沿正方形的边顺时针方向连续跳几个边长．
如：若从圈A起跳，第一次掷得3，就顺时针连续跳3个边长，落到圈D；若第二次掷得2，就从D开始顺时针连续跳2个边长，落到圈B；…
设游戏者从圈A起跳．
（1）嘉嘉随机掷一次骰子，求落回到圈A的概率P1；
（2）淇淇随机掷两次骰子，用列表法求最后落回到圈A的概率P2，并指出她与嘉嘉落回到圈A的可能性一样吗？
变式1．将A，B两男选手和C、D两女选手随机分成甲、乙两组参加乒乓球比赛，每组2人．
（1）求男女混合选手在甲组的概率；
（2）求两个女选手在同一组的概率．
变式2．现有三张反面朝上的扑克牌：红桃2、红桃3、黑桃4．把牌洗匀后第一次抽取一张，记好花色和数字后将牌放回，重新洗匀第二次再抽取一张．
（1）求两次抽得相同花色的概率；
（2）求两次抽得的数字和是奇数的概率．
（提示：三张扑克牌可以分别简记为红2、红3、黑4）
变式3．班主任老师让同学们为班会活动设计一个抽奖方案，拟使中奖概率为60%．
（1）小明的设计方案：在一个不透明的盒子中，放入10个球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到黄球则表示中奖，否则不中奖．如果小明的设计符合老师要求，则盒子中黄球应有
个，白球应有
个；
（2）小兵的设计方案：在一个不透明的盒子中，放入4个黄球和1个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出2个球，摸到的2个球都是黄球则表示中奖，否则不中奖．该设计方案是否符合老师的要求？试说明理由．
变式4．一个不透明的布袋里装有3个完全相同的小球，每个球上面分别标有数字﹣1、0、1，小明先从布袋中随机抽取一个小球，然后放回搅匀，再从布袋中随机抽取一个小球，求第一次得到的数与第二次得到的数绝对值相等的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）．
变式5．有2个信封A、B，信封A装有四张卡片上分别写有1、2、3、4，信封B装有三张卡片分别写有5、6、7，每张卡片除了数字没有任何区别．从这两个信封中随机抽取两张卡片．
（1）请你用列表法或画树状图的方法描述所有可能的结果；
（2）把卡片上的两个数相加，求“得到的和是3的倍数”的概率．
变式6．五?一期间，某商场开展购物抽奖活动，在不透明的抽奖箱中有4个分别标有数字1、2、3、4的小球，每个小球除数字外其余都相同．顾客随机抽取一个小球，不放回，再随机摸取一个小球，若两次摸出球的数字之和为“7”，则抽中一等奖，请用画树状图（或列表）的方法，求顾客抽中一等奖的概率．
变式7．在不透明的布袋中装有1个白球，2个红球，它们除颜色外其余完全相同．
（1）从袋中任意摸出两个球，试用树状图或表格列出所有等可能的结果，并求摸出的球恰好是两个红球的概率；
（2）若在布袋中再添加x个白球，充分搅匀，从中摸出一个球，使摸到白球的概率为，求添加的白球个数x．
知识点三：画树状图求概率
例3．不透明的袋子里装有2个红球和1个白球，这些球除了颜色外都相同．从中任意摸一个，放回摇匀，再从中摸一个，则两次摸到球的颜色相同的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1．如图，现分别旋转两个标准的转盘，则转盘所转到的两个数字之积为奇数的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2．一个不透明的口袋中有3个小球，上面分别标有数字1，2，3，每个小球除数字外其他都相同，甲先从口袋中随机摸出一个小球，记下数字后放回；乙再从口袋中随机摸出一个小球记下数字，用画树状图（或列表）的方法，求摸出的两个小球上的数字之和为偶数的概率．
变式3．我校开展“文明小卫士”活动，从学生会“督查部”的3名学生（2男1女）中随机选两名进行督查．
（1）请补全如下的树状图；
（2）求恰好选中两名男学生的概率．
变式4．甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有3个分别标有数字1，2，3的小球，乙口袋中装有2个分别标有数字4，5的小球，它们的形状、大小完全相同，现随机从甲口袋中摸出一个小球记下数字，再从乙口袋中摸出一个小球记下数字．
（1）请用列表或树状图的方法（只选其中一种），表示出两次所得数字可能出现的所有结果；
（2）求出两个数字之和能被3整除的概率．
变式5．如图，转盘A的三个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，转盘B的四个扇形面积相等，分别有数字1，2，3，4．转动A、B转盘各一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的两个数字相乘（当指针落在四个扇形的交线上时，重新转动转盘）．
（1）用树状图或列表法列出所有可能出现的结果；
（2）求两个数字的积为奇数的概率．
变式6．在四张背面完全相同的纸牌A、B、C、D，其中正面分别画有四个不同的几何图形（如图），小华将这4张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸一张．
（1）用树状图（或列表法）表示两次摸牌所有可能出现的结果（纸牌可用A、B、C、D表示）；
（2）求摸出两张纸牌牌面上所画几何图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的概率．
变式7．某超市为了答谢顾客，凡在本超市购物的顾客，均可凭购物小票参与抽奖活动，奖品是三种瓶装饮料，它们分别是：绿茶（500ml）、红茶（500ml）和可乐（600ml），抽奖规则如下：①如图，是一个材质均匀可自由转动的转盘，转盘被等分成五个扇形区域，每个区域上分别写有“可”、“绿”、“乐”、“茶”、“红”字样；②参与一次抽奖活动的顾客可进行两次“有效随机转动”（当转动转盘，转盘停止后，可获得指针所指区域的字样，我们称这次转动为一次“有效随机转动”）；③假设顾客转动转盘，转盘停止后，指针指向两区域的边界，顾客可以再转动转盘，直到转动为一次“有效随机转动”；④当顾客完成一次抽奖活动后，记下两次指针所指区域的两个字，只要这两个字和奖品名称的两个字相同（与字的顺序无关），便可获得相应奖品一瓶；不相同时，不能获得任何奖品．
根据以上规则，回答下列问题：
（1）求一次“有效随机转动”可获得“乐”字的概率；
（2）有一名顾客凭本超市的购物小票，参与了一次抽奖活动，请你用列表或树状图等方法，求该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶可乐的概率．
变式8．已知不等式组
（1）求不等式组的解集，并写出它的所有整数解；
（2）在不等式组的所有整数解中任取两个不同的整数相乘，请用画树状图或列表的方法求积为正数的概率．
变式9．某单位A，B，C，D四人随机分成两组赴北京，上海学习，每组两人．
（1）求A去北京的概率；
（2）用列表法（或树状图法）求A，B都去北京的概率；
（3）求A，B分在同一组的概率．
变式10．小明参加某个智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关．第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）．
（1）如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是 ．
（2）如果小明将“求助”留在第二题使用，请用树状图或者列表来分析小明顺利通关的概率．
变式11．交通信号灯（俗称红绿灯），至今已有一百多年的历史了．“红灯停，绿灯行”是我们日常生活中必须遵守的交通规则，这样才能保障交通的顺畅和行人的安全，下面这个问题你能解决吗？
小刚每天骑自行车上学都要经过三个安装有红灯和绿灯的路口，假如每个路口红灯和绿灯亮的时间相同，那么，小刚从家随时出发去学校，他至少遇到一次红灯的概率是多少？不遇红灯的概率是多少？（请用树形图分析）
变式12．一个不透明的袋子中，装有红黑两种颜色的小球（除颜色不同外其他都相同），其中一个红球，两个分别标有A、B黑球．
（1）小李第一次从口袋中摸出一个球，并且不放回，第二次又从口袋中摸出一个球，则小李两次都摸出黑球的概率是多少？试用树状图或列表法加以说明；
（2）小张第一次从口袋中摸出一个球，摸到红球不放回，摸到黑球放回．第二次又从口袋中摸出一个球，则小张第二次摸到黑球的概率是多少？试用树状图或列表法加以说明．
拓展点一：游戏中的公平性问题
例4．足球比赛前，裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方的场地与首先发球者，其主要原因是（ ）
A．让比赛更富有情趣
B．让比赛更具有神秘色彩
C．体现比赛的公平性
D．让比赛更有挑战性
变式1．甲乙两人玩一个游戏，判定这个游戏公平不公平的标准是（ ）
A．游戏的规则由甲方确定
B．游戏的规则由乙方确定
C．游戏的规则由甲乙双方商定
D．游戏双方要各有50%赢的机会
变式2．（2014?玉林一模）小明和小亮玩一种游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，现将标有数字的一面朝下，小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和，如果和为奇数，则小明胜；若和为偶数则小亮胜．获胜概率大的是（ ）
A．小明
B．小亮
C．一样
D．无法确定
变式3．小玲与小丽两人各掷一个正方体骰子，规定两人掷的点数和为偶数，则小玲胜；点数和为奇数，则小丽胜，下列说法正确的是（ ）
A．此规则有利于小玲
B．此规则有利于小丽
C．此规则对两人是公平的
D．无法判断
变式4．把一个可以自由转动的均匀转盘3等分，并在各个扇形内分别标上数字（如图），小明和小亮用图中的转盘做游戏；分别转动转盘两次，若两次数字之积是偶数，小明获胜，否则小亮获胜．你认为游戏是否公平？请说明理由．
变式5．把大小和形状完全相同的6张卡片分成两组，每组3张，分别标上1、2、3，将这两组卡片分别放入两个盒（记为A盒、B盒）中搅匀，再从两个盒子中各随机抽取一张．
（1）从A盒中抽取一张卡片，数字为奇数的概率是多少？
（2）若取出的两张卡片数字之和为奇数，则小明胜；若取出的两张卡片数字之和为偶数，则小亮胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由．
变式6．四张质地相同的卡片如图所示．将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上．
（1）随机抽取一张卡片，求恰好抽到数字2的概率；
（2）小贝和小晶想用以上四张卡片做游戏，游戏规则如图所示．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
变式7．小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成三个面积相同的扇形）做游戏．同时转动两个转盘，如果所得颜色能配成紫色，那么小明获胜；如果所得颜色相同，那么小亮获胜，这个游戏对双方是否公平？请说明理由．
变式8．在一个口袋中有3个完全相同的小球，把它们分别标号1、2、3．小李先随机地摸出一个小球，小张再随机地摸出一个小球．记小李摸出球的标号为x，小张摸出的球标号为y．小李和小张在此基础上共同协商一个游戏规则：当x＞y时小李获胜，否则小张获胜．
①若小李摸出的球不放回，求小李获胜的概率；
②若小李摸出的球放回后小张再随机摸球，问他们制定的游戏规则公平吗？请说明理由．
变式9．如图在圆盘的圆周上均匀的分布着0﹣9的10个数，箭头固定并指向0，圆盘可以任意旋转，记Pk（k=1，2…9）表示箭头落在0﹣k之间的概率．如P3=．
（1）求当k=8时的概率P8．
（2）若规定，k取到奇数时，甲同学获胜，k取到偶数时，乙同学获胜，这样的规定是否公平？请说明理由．
（3）请你设计一个规定，能公平的选出两位同学去参加某项活动．并说明你的规定是符合要求的．
变式10．小红和小慧玩纸牌游戏．如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，小红先从中抽出一张，小慧从剩余的3张牌中也抽出一张．小慧说：抽出的两张牌的数字若都是偶数，你获胜；若一奇一偶，我获胜．
（1）请用树状图表示出两人抽牌可能出现的所有结果；
（2）若按小慧说的规则进行游戏，这个游戏公平吗？请说明理由．
变式11．为从小明和小刚中选出一人去观看元旦文艺汇演，现设计了如下游戏，规则是：把四个完全相同的乒乓球标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明去；否则小刚去．请用树状图或列表法说明这个游戏是否公平．
变式12．如图，小英和小丽用两个转盘做“配紫色”游戏，配成紫色小英得1分，否则小丽得1分，这个游戏对双方公平吗？（红色+蓝色=紫色）用树状图或表格求右面两个转盘配成紫色的概率．
变式13．假期，六盘水市教育局组织部分教师分别到A、B、C、D四个地方进行新课程培训，教育局按定额购买了前往四地的车票．如图1是未制作完成的车票种类和数量的条形统计图，请根据统计图回答下列问题：
（1）若去C地的车票占全部车票的30%，则去C地的车票数量是
张，补全统计图．
（2）若教育局采用随机抽取的方式分发车票，每人一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么余老师抽到去B地的概率是多少？
（3）若有一张去A地的车票，张老师和李老师都想要，决定采取旋转转盘的方式来确定．其中甲转盘被分成四等份且标有数字1、2、3、4，乙转盘分成三等份且标有数字7、8、9，如图2所示．具体规定是：同时转动两个转盘，当指针指向的两个数字之和是偶数时，票给李老师，否则票给张老师（指针指在线上重转）．试用“列表法”或“树状图”的方法分析这个规定对双方是否公平．
易错点：分析事件的可能结果时易重复或者遗漏
例5．一个盒子装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，现从中任取2个球，则取到的是一个红球、一个白球的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1．在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的5个小球，其中红球3个，黑球2个．
（1）先从袋中取出m（m＞1）个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A，填空：若A为必然事件，则m的值为
，若A为随机事件，则m的取值为
；
（2）若从袋中随机摸出2个球，正好红球、黑球各1个，求这个事件的概率．
变式2．在一个不透明的袋子中，放入了2个红球和m个白球，已知从中摸出一个球是红球的概率为0.4．
（1）求m的值；
（2）如果从中一次摸出2个球，求至少有一个是红球的概率，请用画树状图或列表的方法进行分析．
变式3．不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色不同外，其它都一样），其中红球2个，蓝球1个，现在从中任意摸出一个红球的概率为．
（1）求袋中黄球的个数；
（2）第一次摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，请用树状图或列表法求两次摸出的都是红球的概率．
变式4．袋中装有除颜色外完全相同的2个红球和1个绿球．
（1）现从袋中摸出1个球后放回，混合均匀后再摸出1个球．请用画树状图或列表的方法，求第一次摸到绿球，第二次摸到红球的概率；
（2）先从袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，则两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率是多少？请直接写出结果．第25章
概率初步
25.2
用列举法求概率
学习要求
1、会通过列举法分析随机事件可能出现的结果，求出“结果发生的可能性相等”的随机事件的概率．
2、能运用列表法和树状图法计算一些事件发生的概率．
知识点一：直接列举法求概率
例1．把1枚质地均匀的普通硬币重复掷两次，落地后出现一次正面一次反面的概率是（ ）
A．1
B．
C．
D．
【考点】X6：列表法与树状图法．
【专题】11
：计算题．
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出一次正面一次反面的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：列表如下：
正
反
正
（正，正）
（反，正）
反
（正，反）
（反，反）
所有等可能的情况有4种，其中一次正面一次反面的情况数为2种，
则P==．
故选B．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
变式1．从长度分别为2、3、4、5的4条线段中任取3条，能构成钝角三角形的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】X6：列表法与树状图法；K6：三角形三边关系．
【分析】先根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边判断出有几个符合条件的三角形，然后再根据概率公式求解即可．
【解答】解：可能的结果有4种：2，3，4；2，3，5；2，4，5；3，4，5．
其中，可以构成钝角三角形的有2种情形：2，3，4；2，4，5．
∴能组成三角形的概率为2÷4=，
故选B．
【点评】考查了概率的求法即三角形的三边关系，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
变式2．小红上学要经过两个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】X6：列表法与树状图法．
【分析】列举出所有情况，看每个路口都是绿灯的情况数占总情况数的多少即可．
【解答】解：共4种情况，有1种情况每个路口都是绿灯，所以概率为．
故选：A．
【点评】考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；得到每个路口都是绿灯的情况数是解决本题的关键．
变式3．学校组织初三数学备课组全体教师去外校听课，安排了两辆车，按1～2编号，程、李两位教师可任意选坐一辆车．
（1）用画树状图的方法或列表法列出所有可能的结果；
（2）求程、李两位教师同坐2号车的概率．
【考点】X6：列表法与树状图法．
【分析】（1）依据题意列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果即可，
（2）根据概率公式程、李两位教师同坐2号车的概率．
【解答】解：（1）画树形图得：
（2）由（1）可知P（程、李两位教师同坐2号车）=．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
变式4．在2017年“KFC”乒乓球赛进校园活动中，某校甲、乙两队进行决赛，比赛规则规定：两队之间进行3局比赛，3局比赛必须全部打完，只要赢2局的队为获胜队，假如甲、乙两队之间每局比赛输赢的机会相同，且乙队已经赢得了第1局比赛．
（1）列表或画树状图表示乙队所有比赛结果的可能性；
（2）求乙队获胜的概率．
【考点】X6：列表法与树状图法．
【专题】11
：计算题．
【分析】（1）画树状图展示所有4种等可能的结果数；
（2）找出乙队赢满两局的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）画树状图为：
共有4种等可能的结果数；
（2）乙队赢满两局的结果数为3，
乙所以队获胜的概率=．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
知识点二：列表法求概率
例2．如图1，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面并分别标有数字1，2，3，4．
如图2，正方形ABCD顶点处各有一个圈．跳圈游戏的规则为：游戏者每掷一次骰子，骰子着地一面上的数字是几，就沿正方形的边顺时针方向连续跳几个边长．
如：若从圈A起跳，第一次掷得3，就顺时针连续跳3个边长，落到圈D；若第二次掷得2，就从D开始顺时针连续跳2个边长，落到圈B；…
设游戏者从圈A起跳．
（1）嘉嘉随机掷一次骰子，求落回到圈A的概率P1；
（2）淇淇随机掷两次骰子，用列表法求最后落回到圈A的概率P2，并指出她与嘉嘉落回到圈A的可能性一样吗？
【考点】X6：列表法与树状图法；X4：概率公式．
【分析】（1）由共有4种等可能的结果，落回到圈A的只有1种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与最后落回到圈A的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）∵共有4种等可能的结果，落回到圈A的只有1种情况，
∴落回到圈A的概率P1=；
（2）列表得：
1
2
3
4
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
（4，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
（4，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
（4，3）
4
（1，4）
（2，4）
（3，4）
（4，4）
∵共有16种等可能的结果，最后落回到圈A的有（1，3），（2，2）（3，1），（4，4），
∴最后落回到圈A的概率P2==，
∴她与嘉嘉落回到圈A的可能性一样．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意随机掷两次骰子，最后落回到圈A，需要两次和是4的倍数．
变式1．将A，B两男选手和C、D两女选手随机分成甲、乙两组参加乒乓球比赛，每组2人．
（1）求男女混合选手在甲组的概率；
（2）求两个女选手在同一组的概率．
【考点】X6：列表法与树状图法．
【分析】（1）首先根据题意列出表格，然后由树状图求得所有等可能的结果与男女混合选手在甲组的情况，再利用概率公式即可求得答案；
（2）由（1）可求得两个女选手在同一组的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）所有等可能的结果如下：
甲组
乙组
结果
AB
CD
（AB，CD）
AC
BD
（AC，BD）
AD
BC
（AD，BC）
BC
AD
（BC，AD）
BD
AC
（BD，AC）
CD
AB
（CD，AB）
∵共有6种等可能的结果，男女混合选手在甲组的有4种情况，
∴男女混合选手在甲组的概率为：=；
（2）∵两个女选手在同一组的有2种情况，
∴两个女选手在同一组的概率为：=．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
变式2．现有三张反面朝上的扑克牌：红桃2、红桃3、黑桃4．把牌洗匀后第一次抽取一张，记好花色和数字后将牌放回，重新洗匀第二次再抽取一张．
（1）求两次抽得相同花色的概率；
（2）求两次抽得的数字和是奇数的概率．
（提示：三张扑克牌可以分别简记为红2、红3、黑4）
【考点】X6：列表法与树状图法．
【分析】利用列表法将两次抽扑克的情况列举出来，再找出（1）、（2）两种情况下出现的次数，由此即可得出结论．
【解答】解：三张扑克牌可以分别简记为红2、红3、黑4，
共有9种不同结果，如图所示．
（1）∵两次抽得相同花色有5种情况，
∴两次抽得相同花色的概率为．
（2）∵两次抽得的数字和是奇数有4种情况，
∴两次抽得的数字和是奇数的概率为．
【点评】本题考查了列表法与树状图法，解题的关键是根据两次抽扑克的情况列出表格．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练利用列表法求出事件的概率是关键．
变式3．班主任老师让同学们为班会活动设计一个抽奖方案，拟使中奖概率为60%．
（1）小明的设计方案：在一个不透明的盒子中，放入10个球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到黄球则表示中奖，否则不中奖．如果小明的设计符合老师要求，则盒子中黄球应有 6 个，白球应有 4 个；
（2）小兵的设计方案：在一个不透明的盒子中，放入4个黄球和1个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出2个球，摸到的2个球都是黄球则表示中奖，否则不中奖．该设计方案是否符合老师的要求？试说明理由．
【考点】X6：列表法与树状图法；X4：概率公式．
【分析】（1）利用在一个不透明的盒子中，放入10个球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到黄球则表示中奖，即摸到黄球的概率为：60%，
求出黄球个数即可得出答案．
（2）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
【解答】解：（1）∵班主任老师让同学们为班会活动设计一个抽奖方案，拟使中奖概率为60%，
∴在一个不透明的盒子中，放入10个球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到黄球则表示中奖，即摸到黄球的概率为：60%，
设黄球为x个，则：
=60%，
解得：x=6，故白球应有4个，
∴则盒子中黄球应有6个，白球应有4个；
故答案为：6，4；
（2）如下表所示：
黄1
黄2
黄3
黄4
白
黄1
黄1黄2
黄1黄3
黄1黄4
黄1白
黄2
黄2黄1
黄2黄3
黄2黄4
黄2白
黄3
黄1黄3
黄2黄3
黄3黄4
黄3白
黄4
黄1黄4
黄2黄4
黄3黄4
黄4白
白
黄1白
黄2白
黄3白
黄4白
根据表格得到所有情况为20种，摸到的2个球都是黄球的情况一共有12种，
故摸到的2个球都是黄球的概率为：=60%，
故该设计方案符合老师的要求．
【点评】本题考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
变式4．一个不透明的布袋里装有3个完全相同的小球，每个球上面分别标有数字﹣1、0、1，小明先从布袋中随机抽取一个小球，然后放回搅匀，再从布袋中随机抽取一个小球，求第一次得到的数与第二次得到的数绝对值相等的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）．
【考点】X6：列表法与树状图法．
【分析】根据题意画出树状图，然后根据概率公式列式进行计算即可得解．
【解答】解：树状图如下：
所有可能出现的结果共有9种，其中满足条件的结果有5种
∴P（所得的两数的绝对值相等）=．
或列表格如下：
第一次第二次
﹣1
0
1
﹣1
（﹣1，﹣1）
（﹣1，0）
（﹣1，1）
0
（0，﹣1）
（0，0）
（0，1）
1
（1，﹣1）
（1，0）
（1，1）
所有可能出现的结果共有9种，其中满足条件的结果有5种，
∴P（所得的两数的绝对值相等）=，．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
变式5．有2个信封A、B，信封A装有四张卡片上分别写有1、2、3、4，信封B装有三张卡片分别写有5、6、7，每张卡片除了数字没有任何区别．从这两个信封中随机抽取两张卡片．
（1）请你用列表法或画树状图的方法描述所有可能的结果；
（2）把卡片上的两个数相加，求“得到的和是3的倍数”的概率．
【考点】X6：列表法与树状图法．
【分析】（1）利用列表法展示所有12种等可能性的结果数；
（2）找出所得的两个数字之和为3的倍数的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】解：（1）列表如下：
A盘B盘
1
2
3
4
5
1，5
2，5
3，5
4，5
6
1，6
2，6
3，6
4，6
7
1，7
2，7
3，7
4，7
由上表可知一次共有12中不同结果；
（2）由（1）得到共有12种等可能性的结果数，其中“所得的两个数字之和为3的倍数”（记为事件A）的结果有4个，
所以所求的概率P（A）==．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果数，再找出某事件所占有的结果数，然后根据概率公式计算这个事件的概率．
变式6．五?一期间，某商场开展购物抽奖活动，在不透明的抽奖箱中有4个分别标有数字1、2、3、4的小球，每个小球除数字外其余都相同．顾客随机抽取一个小球，不放回，再随机摸取一个小球，若两次摸出球的数字之和为“7”，则抽中一等奖，请用画树状图（或列表）的方法，求顾客抽中一等奖的概率．
【考点】X6：列表法与树状图法．
【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与顾客抽中一等奖的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：列表得：
第一次结果第二次
1
2
3
4
1
﹣
3
4
5
2
3
﹣
5
6
3
4
5
﹣
7
4
5
6
7
﹣
∵共有12种等可能的结果，顾客抽中一等奖的有2种情况，
∴P（顾客抽中一等奖）=．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
变式7．在不透明的布袋中装有1个白球，2个红球，它们除颜色外其余完全相同．
（1）从袋中任意摸出两个球，试用树状图或表格列出所有等可能的结果，并求摸出的球恰好是两个红球的概率；
（2）若在布袋中再添加x个白球，充分搅匀，从中摸出一个球，使摸到白球的概率为，求添加的白球个数x．
【考点】X6：列表法与树状图法；X4：概率公式．
【专题】11
：计算题．
【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数，找出恰好是两个红球的情况数，即可求出所求的概率；
（2）根据概率公式列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果．
【解答】解：（1）列表如下：
白
红
红
白
﹣﹣﹣
（红，白）
（红，白）
红
（白，红）
﹣﹣﹣
（红，红）
红
（白，红）
（红，红）
﹣﹣﹣
所有等可能的情况有6种，其中恰好为两个红球的情况有2种，
则P（两个红球）=；
（2）根据题意得：=，
解得：x=2，
经检验是分式方程的解，
则添加白球的个数x=2．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
知识点三：画树状图求概率
例3．不透明的袋子里装有2个红球和1个白球，这些球除了颜色外都相同．从中任意摸一个，放回摇匀，再从中摸一个，则两次摸到球的颜色相同的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】X6：列表法与树状图法．
【分析】列举出所有情况，看两次摸到球的情况占总情况的多少即可．
【解答】解：易得共有3×3=9种可能，两次摸到球的颜色相同的有5种，所以概率是．
故选B．
【点评】如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
变式1．如图，现分别旋转两个标准的转盘，则转盘所转到的两个数字之积为奇数的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】X6：列表法与树状图法．
【分析】列表将所有等可能的结果列举出来利用概率公式求解即可．
【解答】解：列表得：
根据题意分析可得：共6种情况；为奇数的2种．
故P（奇数）==．
【点评】此题考查的是列表法与树状图法．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
变式2．一个不透明的口袋中有3个小球，上面分别标有数字1，2，3，每个小球除数字外其他都相同，甲先从口袋中随机摸出一个小球，记下数字后放回；乙再从口袋中随机摸出一个小球记下数字，用画树状图（或列表）的方法，求摸出的两个小球上的数字之和为偶数的概率．
【考点】X6：列表法与树状图法．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与摸出的两个小球上的数字之和为偶数的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，摸出的两个小球上的数字之和为偶数的有5种情况，
∴摸出的两个小球上的数字之和为偶数的概率为：．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
变式3．我校开展“文明小卫士”活动，从学生会“督查部”的3名学生（2男1女）中随机选两名进行督查．
（1）请补全如下的树状图；
（2）求恰好选中两名男学生的概率．
【考点】X6：列表法与树状图法．
【分析】（1）首先根据题意补全树状图；
（2）由（1）中的树状图可求得所有等可能的结果与恰好选中两名男学生的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）补全如下的树状图：
（2）∵共有6种等可能的结果，恰好选中两名男学生的有2种情况，
∴P（恰好选中两名男学生）==．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
变式4．甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有3个分别标有数字1，2，3的小球，乙口袋中装有2个分别标有数字4，5的小球，它们的形状、大小完全相同，现随机从甲口袋中摸出一个小球记下数字，再从乙口袋中摸出一个小球记下数字．
（1）请用列表或树状图的方法（只选其中一种），表示出两次所得数字可能出现的所有结果；
（2）求出两个数字之和能被3整除的概率．
【考点】X6：列表法与树状图法；X4：概率公式．
【分析】先根据题意画树状图，再根据所得结果计算两个数字之和能被3整除的概率．
【解答】解：（1）树状图如下：
（2）∵共6种情况，两个数字之和能被3整除的情况数有2种，
∴两个数字之和能被3整除的概率为，
即P（两个数字之和能被3整除）=．
【点评】本题主要考查了列表法与树状图法，解决问题的关键是掌握概率的计算公式．随机事件A的概率P（A）等于事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
变式5．如图，转盘A的三个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，转盘B的四个扇形面积相等，分别有数字1，2，3，4．转动A、B转盘各一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的两个数字相乘（当指针落在四个扇形的交线上时，重新转动转盘）．
（1）用树状图或列表法列出所有可能出现的结果；
（2）求两个数字的积为奇数的概率．
【考点】X6：列表法与树状图法．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
（2）由两个数字的积为奇数的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）画树状图得：
则共有12种等可能的结果；
（2）∵两个数字的积为奇数的4种情况，
∴两个数字的积为奇数的概率为：=．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
变式6．在四张背面完全相同的纸牌A、B、C、D，其中正面分别画有四个不同的几何图形（如图），小华将这4张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸一张．
（1）用树状图（或列表法）表示两次摸牌所有可能出现的结果（纸牌可用A、B、C、D表示）；
（2）求摸出两张纸牌牌面上所画几何图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的概率．
【考点】X6：列表法与树状图法．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
（2）由既是轴对称图形又是中心对称图形的有4种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解（1）画树状图得：
则共有16种等可能的结果；
（2）∵既是中心对称又是轴对称图形的只有B、C，
∴既是轴对称图形又是中心对称图形的有4种情况，
∴既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为：=．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及轴对称图形与中心对称图形的性质．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
变式7．某超市为了答谢顾客，凡在本超市购物的顾客，均可凭购物小票参与抽奖活动，奖品是三种瓶装饮料，它们分别是：绿茶（500ml）、红茶（500ml）和可乐（600ml），抽奖规则如下：①如图，是一个材质均匀可自由转动的转盘，转盘被等分成五个扇形区域，每个区域上分别写有“可”、“绿”、“乐”、“茶”、“红”字样；②参与一次抽奖活动的顾客可进行两次“有效随机转动”（当转动转盘，转盘停止后，可获得指针所指区域的字样，我们称这次转动为一次“有效随机转动”）；③假设顾客转动转盘，转盘停止后，指针指向两区域的边界，顾客可以再转动转盘，直到转动为一次“有效随机转动”；④当顾客完成一次抽奖活动后，记下两次指针所指区域的两个字，只要这两个字和奖品名称的两个字相同（与字的顺序无关），便可获得相应奖品一瓶；不相同时，不能获得任何奖品．
根据以上规则，回答下列问题：
（1）求一次“有效随机转动”可获得“乐”字的概率；
（2）有一名顾客凭本超市的购物小票，参与了一次抽奖活动，请你用列表或树状图等方法，求该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶可乐的概率．
【考点】X6：列表法与树状图法；X4：概率公式．
【分析】（1）由转盘被等分成五个扇形区域，每个区域上分别写有“可”、“绿”、“乐”、“茶”、“红”字样；直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶可乐的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）∵转盘被等分成五个扇形区域，每个区域上分别写有“可”、“绿”、“乐”、“茶”、“红”字样；
∴一次“有效随机转动”可获得“乐”字的概率为：；
（2）画树状图得：
∵共有25种等可能的结果，该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶可乐的有2种情况，
∴该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶可乐的概率为：．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意此题是放回实验；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
变式8．已知不等式组
（1）求不等式组的解集，并写出它的所有整数解；
（2）在不等式组的所有整数解中任取两个不同的整数相乘，请用画树状图或列表的方法求积为正数的概率．
【考点】X6：列表法与树状图法；CB：解一元一次不等式组；CC：一元一次不等式组的整数解．
【分析】（1）首先分别解不等式①②，然后求得不等式组的解集，继而求得它的所有整数解；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与积为正数的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）由①得：x＞﹣2，
由②得：x≤2，
∴不等式组的解集为：﹣2＜x≤2，
∴它的所有整数解为：﹣1，0，1，2；
（2）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，积为正数的有2种情况，
∴积为正数的概率为：=．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及不等式组的整数解．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
变式9．某单位A，B，C，D四人随机分成两组赴北京，上海学习，每组两人．
（1）求A去北京的概率；
（2）用列表法（或树状图法）求A，B都去北京的概率；
（3）求A，B分在同一组的概率．
【考点】X6：列表法与树状图法．
【分析】（1）由某单位A，B，C，D四人随机分成两组赴北京，上海学习，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与A，B都去北京的情况，再利用概率公式即可求得答案；
（3）由（2）可求得A，B分在同一组的情况，然后直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）∵某单位A，B，C，D四人随机分成两组赴北京，上海学习，
∴A去北京的概率为：；
（2）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，A，B都去北京的有2种情况，
∴A，B都去北京的概率为：=；
（3）由（2）得：A，B分在同一组的有4种情况，
∴A，B分在同一组的概率为：=．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
变式10．小明参加某个智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关．第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）．
（1）如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是 ．
（2）如果小明将“求助”留在第二题使用，请用树状图或者列表来分析小明顺利通关的概率．
【考点】X6：列表法与树状图法．
【分析】（1）由第一道单选题有3个选项，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先分别用A，B，C表示第一道单选题的3个选项，a，b，c表示剩下的第二道单选题的3个选项，然后根据题意画出树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与小明顺利通关的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）∵第一道单选题有3个选项，
∴小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是：；
故答案为：；
（2）分别用A，B，C表示第一道单选题的3个选项，a，b，c表示剩下的第二道单选题的3个选项，
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，小明顺利通关的只有1种情况，
∴小明顺利通关的概率为：．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
变式11．交通信号灯（俗称红绿灯），至今已有一百多年的历史了．“红灯停，绿灯行”是我们日常生活中必须遵守的交通规则，这样才能保障交通的顺畅和行人的安全，下面这个问题你能解决吗？
小刚每天骑自行车上学都要经过三个安装有红灯和绿灯的路口，假如每个路口红灯和绿灯亮的时间相同，那么，小刚从家随时出发去学校，他至少遇到一次红灯的概率是多少？不遇红灯的概率是多少？（请用树形图分析）
【考点】X6：列表法与树状图法．
【分析】用列举法列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可．
【解答】解：A表示红灯，B表示绿灯，根据题意画出树状图，如图所示：
一共有8种可能，则他至少遇到一次红灯的概率是；不遇红灯的概率是．
【点评】此题主要考查了树状图法求概率，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
变式12．一个不透明的袋子中，装有红黑两种颜色的小球（除颜色不同外其他都相同），其中一个红球，两个分别标有A、B黑球．
（1）小李第一次从口袋中摸出一个球，并且不放回，第二次又从口袋中摸出一个球，则小李两次都摸出黑球的概率是多少？试用树状图或列表法加以说明；
（2）小张第一次从口袋中摸出一个球，摸到红球不放回，摸到黑球放回．第二次又从口袋中摸出一个球，则小张第二次摸到黑球的概率是多少？试用树状图或列表法加以说明．
【考点】X6：列表法与树状图法．
【专题】31
：数形结合．
【分析】（1）列举出所有情况，看两次都摸出黑球的情况数占总情况数的多少即可；
（2）列举出所有情况，看小张第二次摸到黑球的情况数占总情况数的多少即可．
【解答】解：（1）共6种情况，两次都摸出黑球的情况数有2种，所以概率为；
（2）共8种情况，第2次摸出黑球的情况数有6种，所以概率为．
【点评】考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；得到所求的情况数是解决本题的关键．
拓展点一：游戏中的公平性问题
例4．足球比赛前，裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方的场地与首先发球者，其主要原因是（ ）
A．让比赛更富有情趣
B．让比赛更具有神秘色彩
C．体现比赛的公平性
D．让比赛更有挑战性
【考点】X7：游戏公平性．
【分析】由正面朝上或朝下的概率均为，可得两个队选择场地与首先发球者的可能性相等，即体现比赛的公平性．
【解答】解：∵一枚硬币只有正反两面，
∴正面朝上或朝下的概率均为，
即两个队选择场地与首先发球者的可能性相等，
∴这种方法公平．
故选C．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
变式1．甲乙两人玩一个游戏，判定这个游戏公平不公平的标准是（ ）
A．游戏的规则由甲方确定
B．游戏的规则由乙方确定
C．游戏的规则由甲乙双方商定
D．游戏双方要各有50%赢的机会
【考点】X7：游戏公平性．
【分析】根据游戏是否公平的取决于游戏双方要各有50%赢的机会，游戏是否公平不在于谁定游戏规则，分别判定即可．
【解答】解：根据游戏是否公平不在于谁定游戏规则，游戏是否公平的取决于游戏双方要各有50%赢的机会，
∴A．游戏的规则由甲方确定，故此选项错误；
B．游戏的规则由乙方确定，故此选项错误；
C．游戏的规则由甲乙双方商定，故此选项错误；
D．游戏双方要各有50%赢的机会，故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
变式2．小明和小亮玩一种游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，现将标有数字的一面朝下，小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和，如果和为奇数，则小明胜；若和为偶数则小亮胜．获胜概率大的是（ ）
A．小明
B．小亮
C．一样
D．无法确定
【考点】X7：游戏公平性；X6：列表法与树状图法．
【分析】列举出所有情况，看两张卡片上的数字之和为偶数的情况占所有情况的多少即可求得小亮赢的概率，进而求得小明赢的概率，比较即可．
【解答】解：列树状图得：
共有9种情况，和为偶数的有5种，所以小亮赢的概率是，那么小明赢的概率是，所以获胜概率大的是小亮．
故选：B．
【点评】此题主要考查了游戏公平性，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，注意本题是放回实验．解决本题的关键是得到相应的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
变式3．小玲与小丽两人各掷一个正方体骰子，规定两人掷的点数和为偶数，则小玲胜；点数和为奇数，则小丽胜，下列说法正确的是（ ）
A．此规则有利于小玲
B．此规则有利于小丽
C．此规则对两人是公平的
D．无法判断
【考点】X7：游戏公平性．
【分析】抛掷两枚均匀的正方体骰子总共有36种情况，一个奇数与一个偶数的和是奇数，故其中和为奇数的情况有3×3+3×3=18，计算出奇数的概率．和不是偶数就是奇数，再计算偶数的概率．
【解答】解：抛掷两枚均匀的正方体骰子，掷得点数之和为偶数的概率是，点数之和为奇数的概率是，所以规则对两人是公平的，
故选C．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
变式4．把一个可以自由转动的均匀转盘3等分，并在各个扇形内分别标上数字（如图），小明和小亮用图中的转盘做游戏；分别转动转盘两次，若两次数字之积是偶数，小明获胜，否则小亮获胜．你认为游戏是否公平？请说明理由．
【考点】X7：游戏公平性．
【分析】利用列表法表示出所有可能，进而分别求出小明和小亮获胜概率，即可得出答案．
【解答】解：此游戏不公平．
理由：
列表如下：
1
2
3
1
（1，1）
（1，2）
（1，3）
2
（2，1）
（2，2）
（2，3）
3
（3，1）
（3，2）
（3，3）
∵两数之积为偶数的一共有4种，
∴小明获胜的概率为：，同理可得出小亮获胜的概率为：，故此游戏不公平．
【点评】此题主要考查了列表法求概率，根据已知得出数据所有情况是解题关键．
变式5．把大小和形状完全相同的6张卡片分成两组，每组3张，分别标上1、2、3，将这两组卡片分别放入两个盒（记为A盒、B盒）中搅匀，再从两个盒子中各随机抽取一张．
（1）从A盒中抽取一张卡片，数字为奇数的概率是多少？
（2）若取出的两张卡片数字之和为奇数，则小明胜；若取出的两张卡片数字之和为偶数，则小亮胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由．
【考点】X7：游戏公平性；X4：概率公式；X6：列表法与树状图法．
【分析】（1）找出1、2、3中的奇数个数，根据概率公式即可得出结论；
（2）分别找出小明获胜与小亮获胜的情况，二者比较后即可得出结论．
【解答】解；（1）∵在1、2、3中为奇数的有1、3，
∴从A盒中抽取一张卡片，数字为奇数的概率为2÷3=．
（2）取出的两张卡片数字之和为奇数的情况有1+2、3+2、2+1、2+3四种；
取出的两张卡片数字之和为偶数的情况有1+1、1+3、2+2、3+1、3+3五种．
∵4＜5，
∴小亮获胜的概率高，此游戏不公平．
【点评】本题考查了游戏公平性以及概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．
变式6．四张质地相同的卡片如图所示．将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上．
（1）随机抽取一张卡片，求恰好抽到数字2的概率；
（2）小贝和小晶想用以上四张卡片做游戏，游戏规则如图所示．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
【考点】X7：游戏公平性；X6：列表法与树状图法．
【分析】（1）根据概率公式即可求解；
（2）利用列表法，求得小贝胜与小晶胜的概率，比较即可游戏是否公平．
【解答】解：（1）P（抽到数字2）==．（2分）
（2）公平．
列表：
2
2
3
6
2
（2，2）
（2，2）
（2，3）
（2，6）
2
（2，2）
（2，2）
（2，3）
（2，6）
3
（3，2）
（3，2）
（3，3）
（3，6）
6
（6，2）
（6，2）
（6，3）
（6，6）
由上表可以看出，可能出现的结果共有16种，它们出现的可能性相同，所有的结果中，满足两位数不超过30的结果有8种．（5分）
所以P（小贝胜）=，P（小晶胜）=．所以游戏公平．（7分）
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
变式7．小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成三个面积相同的扇形）做游戏．同时转动两个转盘，如果所得颜色能配成紫色，那么小明获胜；如果所得颜色相同，那么小亮获胜，这个游戏对双方是否公平？请说明理由．
【考点】X7：游戏公平性．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得小明获胜与小亮获胜的概率，比较概率大小，即可知是否公平．
【解答】解：公平．
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，所得颜色能配成紫色的有2种情况，所得颜色相同的有2种情况，
∴P（小明获胜）=P（小亮获胜）=，
∴这个游戏对双方是公平的．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
变式8．在一个口袋中有3个完全相同的小球，把它们分别标号1、2、3．小李先随机地摸出一个小球，小张再随机地摸出一个小球．记小李摸出球的标号为x，小张摸出的球标号为y．小李和小张在此基础上共同协商一个游戏规则：当x＞y时小李获胜，否则小张获胜．
①若小李摸出的球不放回，求小李获胜的概率；
②若小李摸出的球放回后小张再随机摸球，问他们制定的游戏规则公平吗？请说明理由．
【考点】X7：游戏公平性；X6：列表法与树状图法．
【分析】①根据题意用树状图列出所有问题的可能的结果，进而利用概率公式求出即可；
②根据题意用树状图列出所有问题的可能的结果，进而利用概率公式求出即可．
【解答】解 ①如图1，用树状图列出所有问题的可能的结果：
由树状图可看出共有6种可能，其中小李摸出球的标号大于小张摸出球的标号的可能有3种，
因此，若小李摸出的球不放回，小李获胜的概率为=．
②不公平．
理由：如图2，用树状图列出所有问题的可能的结果：
由树状图可看出共有9种可能，其中小李摸出球的标号大于小张摸出球的标号的可能有3种，
因此，若小明摸出的球放回，小明获胜的概率为=，
所以不公平．
【点评】此题主要考查了游戏公平性，利用已知列举出所有可能是解题关键．
变式9．如图在圆盘的圆周上均匀的分布着0﹣9的10个数，箭头固定并指向0，圆盘可以任意旋转，记Pk（k=1，2…9）表示箭头落在0﹣k之间的概率．如P3=．
（1）求当k=8时的概率P8．
（2）若规定，k取到奇数时，甲同学获胜，k取到偶数时，乙同学获胜，这样的规定是否公平？请说明理由．
（3）请你设计一个规定，能公平的选出两位同学去参加某项活动．并说明你的规定是符合要求的．
【考点】X7：游戏公平性．
【分析】（1）根据P3=，即可得出P8的值；
（2）利用（1）中所求规律得出P1=，P3=，P5=，P7=，P9=，进而得出k取到奇数时，甲同学获胜概率，即可得出乙获胜概率进而得出答案；
（3）利用游戏公平性结合概率公式得出即可．
【解答】解：（1）∵Pk（k=1，2…9），当k=8时符合题意的有8个数，
∴；
（2）k取到奇数时，∵P1=，P3=，P5=，P7=，P9=，
∴，
k取到偶数时，∵P2=，P4=，P6=，P8=，
∴，不公平；
（3）规则：当指针指向奇数则甲获胜，当指针指向偶数则乙获胜．
【点评】此题主要考查了游戏公平性以及概率公式应用，根据题意得出Pk的意义是解题关键．
变式10．小红和小慧玩纸牌游戏．如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，小红先从中抽出一张，小慧从剩余的3张牌中也抽出一张．小慧说：抽出的两张牌的数字若都是偶数，你获胜；若一奇一偶，我获胜．
（1）请用树状图表示出两人抽牌可能出现的所有结果；
（2）若按小慧说的规则进行游戏，这个游戏公平吗？请说明理由．
【考点】X7：游戏公平性；X6：列表法与树状图法．
【专题】32
：分类讨论．
【分析】（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果；
（2）根据概率公式求出该事件的概率．游戏是否公平，求出游戏双方获胜的概率，比较是否相等即可．
【解答】解：（1）根据题意列树状图，如图所示：
（2）不公平，因为两张牌的数字都是偶数的情况有2种，一奇一偶的情况有8种，
所以小慧获胜的概率为=，小红获胜的可能性为=，
小慧获胜的可能性大．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
变式11．为从小明和小刚中选出一人去观看元旦文艺汇演，现设计了如下游戏，规则是：把四个完全相同的乒乓球标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明去；否则小刚去．请用树状图或列表法说明这个游戏是否公平．
【考点】X7：游戏公平性；X6：列表法与树状图法．
【专题】11
：计算题．
【分析】先利用树状图法展示所有12种等可能的结果数，再找出两个球上的数字和为奇数和偶数所占的结果数，然后根据概率公式分别计算出小明去和小刚去的概率，再通过比较概率的大小判断游戏的公平性．
【解答】解：画树状图为：
，
共有12种等可能的结果数，其中两个球上的数字和为奇数占8种，两个球上的数字和为偶数占4种，
所以小明去的概率==，小刚去的概率==，
所以这个游戏不公平．
【点评】本题考查了游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了列表法与树状图法．
变式12．如图，小英和小丽用两个转盘做“配紫色”游戏，配成紫色小英得1分，否则小丽得1分，这个游戏对双方公平吗？（红色+蓝色=紫色）用树状图或表格求右面两个转盘配成紫色的概率．
【考点】X7：游戏公平性；X6：列表法与树状图法．
【分析】游戏是否公平，关键要看是否游戏双方赢的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．
【解答】解：此游戏不公平，
列表得出：
红1
红2
黄1
黄2
蓝1
蓝2
红1
（红1，红1）
（红1，红2）
（红1，黄1）
（红1，黄2）
（红1，蓝1）
（红1，蓝2）
红2
（红2，红1）
（红2，红2）
（红2，黄1）
（红2，黄2）
（红2，蓝1）
（红2，蓝2）
黄1
（黄1，红1）
（黄1，红2）
（黄1，黄1）
（黄1，黄2）
（黄1，蓝1）
（黄1，蓝2）
黄2
（黄2，红1）
（黄2，红2）
（黄2，黄1）
（黄2，黄2）
（黄2，蓝1）
（黄2，蓝2）
蓝1
（蓝1，红1）
（蓝1，红2）
（蓝1，黄1）
（蓝1，黄2）
（蓝1，蓝1）
（蓝1，蓝2）
所有情况有30种，能配成紫色的有6种，
∴两个转盘配成紫色的概率为：=，
则小英获胜的概率为：，则小丽获胜的概率为：，
故此游戏不公平．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
变式13.
假期，六盘水市教育局组织部分教师分别到A、B、C、D四个地方进行新课程培训，教育局按定额购买了前往四地的车票．如图1是未制作完成的车票种类和数量的条形统计图，请根据统计图回答下列问题：
（1）若去C地的车票占全部车票的30%，则去C地的车票数量是 30 张，补全统计图．
（2）若教育局采用随机抽取的方式分发车票，每人一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么余老师抽到去B地的概率是多少？
（3）若有一张去A地的车票，张老师和李老师都想要，决定采取旋转转盘的方式来确定．其中甲转盘被分成四等份且标有数字1、2、3、4，乙转盘分成三等份且标有数字7、8、9，如图2所示．具体规定是：同时转动两个转盘，当指针指向的两个数字之和是偶数时，票给李老师，否则票给张老师（指针指在线上重转）．试用“列表法”或“树状图”的方法分析这个规定对双方是否公平．
【考点】X7：游戏公平性；VB：扇形统计图；VC：条形统计图；X4：概率公式；X6：列表法与树状图法．
【分析】（1）根据去A、B、D的车票总数除以所占的百分比求出总数，再减去去A、B、D的车票总数即可；
（2）用去B地的车票数除以总的车票数即可；
（3）根据题意用列表法分别求出当指针指向的两个数字之和是偶数时的概率，即可求出这个规定对双方是否公平．
【解答】解：（1）根据题意得：
总的车票数是：（20+40+10）÷（1﹣30%）=100，
则去C地的车票数量是100﹣70=30；
故答案为：30．
（2）余老师抽到去B地的概率是=；
（3）根据题意列表如下：
因为两个数字之和是偶数时的概率是=，
所以票给李老师的概率是，
所以这个规定对双方公平．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
易错点：分析事件的可能结果时易重复或者遗漏
例5．一个盒子装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，现从中任取2个球，则取到的是一个红球、一个白球的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】X6：列表法与树状图法．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与取到的是一个红球、一个白球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，取到的是一个红球、一个白球的有12种情况，
∴取到的是一个红球、一个白球的概率为：=．
故选C．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意此题是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
变式1．在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的5个小球，其中红球3个，黑球2个．
（1）先从袋中取出m（m＞1）个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A，填空：若A为必然事件，则m的值为 3 ，若A为随机事件，则m的取值为 2 ；
（2）若从袋中随机摸出2个球，正好红球、黑球各1个，求这个事件的概率．
【考点】X6：列表法与树状图法；X1：随机事件．
【分析】（1）由在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的5个小球，其中红球3个，黑球2个，根据必然事件与随机事件的定义，即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与从袋中随机摸出2个球，正好红球、黑球各1个的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）∵“摸出黑球”为必然事件，
∴m=3，
∵“摸出黑球”为随机事件，且m＞1，
∴m=2；
故答案为：3，2；
（2）画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，从袋中随机摸出2个球，正好红球、黑球各1个的有12种情况，
∴从袋中随机摸出2个球，正好红球、黑球各1个的概率为：=．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
变式2．在一个不透明的袋子中，放入了2个红球和m个白球，已知从中摸出一个球是红球的概率为0.4．
（1）求m的值；
（2）如果从中一次摸出2个球，求至少有一个是红球的概率，请用画树状图或列表的方法进行分析．
【考点】X6：列表法与树状图法；X4：概率公式．
【分析】（1）由概率公式可列方程：=0.4，解此方程即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与至少有一个是红球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）根据题意得：=0.4，
解得：m=3；
经检验：x=3是原分式方程的解；
∴m的值为3；
（2）画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，至少有一个是红球的有14种情况，
∴至少有一个是红球的概率为：=．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意掌握方程思想的应用，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
变式3．不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色不同外，其它都一样），其中红球2个，蓝球1个，现在从中任意摸出一个红球的概率为．
（1）求袋中黄球的个数；
（2）第一次摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，请用树状图或列表法求两次摸出的都是红球的概率．
【考点】X6：列表法与树状图法；X4：概率公式．
【专题】11
：计算题．
【分析】（1）袋中黄球的个数为x个，根据概率公式得到=，然后利用比例性质求出x即可；、
（2）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次摸出的都是红球的结果数，然后根据概率公式计算即可．
【解答】解：（1）设袋中黄球的个数为x个，
根据题意得=，
解得x=1，
所以袋中黄球的个数为1个；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的都是红球的结果数为2，
所以两次摸出的都是红球的概率==．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
变式4．袋中装有除颜色外完全相同的2个红球和1个绿球．
（1）现从袋中摸出1个球后放回，混合均匀后再摸出1个球．请用画树状图或列表的方法，求第一次摸到绿球，第二次摸到红球的概率；
（2）先从袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，则两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率是多少？请直接写出结果．
【考点】X6：列表法与树状图法．
【专题】11
：计算题．
【分析】（1）先画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出第一次摸到绿球，第二次摸到红球的结果数，然后根据概率公式求解；
（2）先画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中第一次摸到绿球，第二次摸到红球的结果数为2，
所以第一次摸到绿球，第二次摸到红球的概率=；
（2）画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的结果数为4，
所以两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率==．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．注意区分第一次摸了放回与不放回．
