第25章
概率初步
25.3
用频率估计概率
学习要求
1、会根据一个随机事件发生的频率估计这个事件发生的概率，学会用试验估计某事件出现的概率的操作过程．
2、当调查估计某事件发生的概率比较困难时，会转化成某种“替代”实际调查的简易方法．
知识点一：利用频率估计概率
例1．在同样的条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表，由表估计该麦种的发芽概率是（ ）
试验种子数n（粒）
50
200
500
1000
3000
发芽频数m
45
188
476
951
2850
发芽频率
0.9
0.94
0.952
0.951
0.95
A．0.8
B．0.9
C．0.95
D．1
【考点】X8：利用频率估计概率．
【分析】根据5批次种子粒数从50粒增加到3000粒时，种子发芽的频率趋近于0.95，所以估计种子发芽的概率为0.95．
【解答】解：∵种子粒数3000粒时，种子发芽的频率趋近于0.95，
∴估计种子发芽的概率为0.95．
故选C．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
变式1．某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
实验次数
100
200
300
500
800
1000
2000
频率
0.365
0.328
0.330
0.334
0.336
0.332
0.333
A．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
C．抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5
D．抛一枚硬币，出现反面的概率
【考点】X8：利用频率估计概率．
【分析】根据利用频率估计概率得到实验的概率在0.33左右，再分别计算出四个选项中的概率，然后进行判断．
【解答】解：A、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为，不符合题意；
B、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率是，符合题意；
C、抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5的概率为，不符合题意；
D、抛一枚硬币，出现反面的概率为，不符合题意，
故选B．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
变式2．在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个．小颖做摸球实验．她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后放回，不断重复上述过程，多次试验后，得到表中的数据数据，并得出了四个结论，其中正确的是（ ）
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数m
70
128
171
302
481
599
1806
摸到白球的频率
0.75
0.64
0.57
0.604
0.601
0.599
0.602
A．试验1500次摸到白球的频率比试验800次的更接近0.6
B．从该盒子中任意摸出一个小球，摸到白球的概率为0.6
C．当试验次数n为2000时，摸到白球的次数m一定等于1200
D．这个盒子中的白球定有28个
【考点】X8：利用频率估计概率．
【分析】观察表格发现：随着试验次数的逐渐增多，摸到白球的频率越来越接近0.6，据此求解即可．
【解答】解：观察表格发现：随着试验次数的逐渐增多，摸到白球的频率越来越接近0.6，
故选B．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×相应频率．
变式3．某林业部门要查某种幼树在一定条件的移植成活率．在同样条件下，大量地对这种幼树进行移植，并统计成活情况，计算成活的频率．如下表：
移植总数（n）
成活数（m）
成活的频率（）
10
8
0.80
50
47
0.94
270
235
0.870
400
369
0.923
750
662
0.883
1500
1335
0.89
3500
3203
0.915
7000
6335
0.905
9000
8073
0.897
14000
12628
0.902
所以可以估计这种幼树移植成活的概率为（ ）
A．0.1
B．0.2
C．0.8
D．0.9
【考点】X8：利用频率估计概率．
【分析】对于不同批次的幼树移植成活率往往误差会比较大，为了减少误差，我们经常采用多批次计算求平均数的方法．
【解答】解：=（0.80+0.94+0.870+0.923+0.883+0.89+0.915+0.905+0.897+0.902）÷10≈0.9，
∴这种幼树移植成活率的概率约为0.9．
故选D．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比
变式4．在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小李做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数m
63
124
178
302
481
599
1803
摸到白球的频率
0.63
0.62
0.593
0.604
0.601
0.599
0.601
（1）请估计：当实验次数为5000次时，摸到白球的频率将会接近 0.6 ；（精确到0.1）
（2）假如你摸一次，你摸到白球的概率P（摸到白球）= 0.6 ；
（3）试验估算这个不透明的盒子里黑球有多少只？
【考点】X8：利用频率估计概率．
【分析】（1）计算出其平均值即可；
（2）概率接近于（1）得到的频率；
（3）白球个数=球的总数×得到的白球的概率，让球的总数减去白球的个数即为黑球的个数．
【解答】解：（1）∵摸到白球的频率为（0.65+0.62+0.593+0.604+0.601+0.599+0.601）÷7≈0.6，
∴当实验次数为5000次时，摸到白球的频率将会接近0.6．
（2）∵摸到白球的频率为0.6，
∴假如你摸一次，你摸到白球的概率P（白球）=0.6．
（3）盒子里黑颜色的球有40×（1﹣0.6）=16．
【点评】本题比较容易，考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×相应频率．
变式5．某射击运动员在相同条件下的射击160次，其成绩记录如下：
设计次数
20
40
60
80
100
120
140
160
射中九环以上的次数
15
33
63
79
97
111
130
射中九环以上的频率
0.75
0.83
0.80
0.79
0.79
0.79
0.81
（1）根据上表中的信息将两个空格的数据补全（射中9环以上的次数为整数，频率精确到0.01）；
（2）根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率（精确到0.1），并简述理由．
【考点】X8：利用频率估计概率；W7：方差．
【专题】32
：分类讨论．
【分析】根据频数的计算方法计算即可．
【解答】解：（1）48，0.81；
（2）P（射中9环以上）=0.8
从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.8附近，所以这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是0.8．
【点评】本题比较容易，考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
变式6．小明和小亮做游戏，他们利用地上的图案（如图），蒙上眼睛在一定距离处向该图案内掷小石子，掷中阴影区域小明赢，否则小亮赢，掷到圈外不算．下表是游戏中统计的二组数据．
掷中圈内的区域次数m
100
150
200
500
800
1000
落在”阴影”区域的次数n
73
114
151
374
601
750
落在”阴影”区域的频率
0.73
0.76
0.755
0.748
0.751
0.75
（1）估计石子落在“阴影”区域的概率约为多少；
（2）小明、小亮获胜的机会分别约为多大？
（3）若圆的半径为1，试估计地上该图案（不包括圆）的面积．
【考点】X8：利用频率估计概率．
【分析】（1）大量试验时，频率可估计概率；
（2）根据概率的大小进行判断；
（3）利用概率，求出圆的面积比上总面积的值，计算出阴影部分面积．
【解答】解：（1）1000次时，本组实验次数最多，频率可代表概率，石子落在“阴影”区域的概率约为0.75．
（2）投到阴影部分的概率大，小明赢的概率大．
（3）圆的面积为π，=0.25，
解得，s总=4π，
s阴影=4π﹣π=3π．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
知识点二：概率与频率的关系
例2.在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（ ）
A．频率就是概率
B．频率与试验次数无关
C．概率是随机的，与频率无关
D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
【考点】X8：利用频率估计概率．
【专题】1
：常规题型．
【分析】根据大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率解答．
【解答】解：∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率，
∴D选项说法正确．
故选：D．
【点评】本题考查了利用频率估计概率的知识，大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率．
变式1．甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图，则符合这一结果的实验可能是（ ）
A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率
B．抛一枚硬币，出现正面的概率
C．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率
D．任意写一个整数，它能被2整除的概率
【考点】X8：利用频率估计概率．
【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．
【解答】解：A、掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故此选项错误；
B、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项错误；
C、从一装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率是：=≈0.33；故此选项正确；
D、任意写出一个整数，能被2整除的概率为，故此选项错误．
故选：C．
【点评】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．
变式2．有两个可以自由转动的质地均匀转盘A、B都被分成了3个全等的扇形，在每一扇形内均标有不同的自然数，如图所示．转动转盘A、B，两个转盘停止后观察两个指针所指扇形内的数字（若指针停在扇形的边线上，当作指向下方的扇形）．
（1）小明同学转动转盘A，小华同学转动转盘B，他们都转了30次，结果如下：
指针停靠的扇形内的数字
1
2
3
4
5
6
出现的次数
x
18
6
5
10
15
（i）求出表中x的值．
（ii）计算A盘中“指针停靠的扇形内的数字为2”的频率；
（2）小明转动A盘一次，指针停靠的扇形内的数字作为十位数字，小华转动B盘一次，指针停靠的扇形内的数字作为个位数字，用列表或画树状图的方法求出“所得的两位数为5的倍数”（记为事件A）的概率．
【考点】X8：利用频率估计概率；X6：列表法与树状图法．
【分析】（1）（i）根据表所给的数据得用30减去2、3出现的次数，即可求出x；
（ii）根据数字为2的扇形与整个圆的面积之比即可求出；
（2）根据题意列表即可求出所得的两位数为5的倍数的概率．
【解答】解：（1）
（i）根据表所给的数据得：x=30﹣18﹣6=6；
（ii）∴A盘中“指针停靠的扇形内的数字为2”的频率是：=；
（2）列表如下：
AB
1
2
3
4
14
24
34
5
15
25
35
6
16
26
36
所以所得的两位数为5的倍数”（记为事件A）的概率是：P（A）=；
【点评】此题考查了利用频率估计概率；解题的关键是要熟悉列表法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．
变式3．某商场设立一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：
转动转盘的次数n
100
150
200
500
800
1000
落在“三等奖”的次数m
68
105
141
345
564
701
落在“三等奖”的频率
0.68
0.70
0.71
0.69
（1）计算并完成表格；
（2）画出获得“三等奖”频率的折线统计图；
（3）假如你去转动该转盘一次，根据这次实验的结果，我们可以估计出现“三等奖”的概率大约是 0.70 ．
【考点】X8：利用频率估计概率；V9：频数（率）分布折线图．
【分析】（1）根据频率公式可以计算空格要填的数据；
（2）根据（1）中所求，得出获得“三等奖”频率的折线统计图即可；
（3）根据计算出的频率求出平均值即为转盘的次数n很大概率的接近值．．
【解答】解：（1）≈0.71，≈0.70；
（2）如图所示：
（3）当转动转盘的次数n很大时，概率将会接近（0.68+0.70+0.71+0.69+0.71+0.70）÷6≈0.70．
故答案为：0.70．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．部分的具体数目=总体数目×相应频率．频率接近于理论上概率的值．
变式4．某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：
射击次数n
20
50
100
200
500
1000
击中靶心频数m
19
44
91
179
454
905
击中靶心频率m/n
（1）计算并填写表中击中靶心的频率；（结果保留三位小数）
（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率估计值是多少？（结果保留两位小数）
【考点】X8：利用频率估计概率．
【分析】（1）根据表格中所给的样本容量和频数，求比值算出击中靶心的频率，填入表中．
（2）用频率来估计概率，频率一般都在0.90左右摆动，所以估计概率为0.90，这是概率与频率之间的关系，即用频率值来估计概率值．
【解答】解：（1）进球的频率分别为=0.950、=0.880、=0.910、=0.895、=0.908、=0.905，
（2）由于击中靶心的频率都在0.90左右摆动，故这个射手射击一次，击中靶心的概率约是0.90．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
拓展点一：试验元素个数的确定问题
例3．在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值约为（ ）
A．12
B．15
C．18
D．21
【考点】X8：利用频率估计概率．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【解答】解：由题意可得，×100%=20%，
解得，a=15．
故选：B．
【点评】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
变式1．在一个不透明的纸箱中放入m个除颜色外其他都完全相同的球，这些球中有4个红球，每次将球摇匀后任意摸出一个球，记下颜色再放回纸箱中，通过大量的重复摸球实验后发现摸到红球的频率稳定在，因此可以估算出m的值大约是（ ）
A．8
B．12
C．16
D．20
【考点】X8：利用频率估计概率．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出等式解答．
【解答】解：根据题意得，=，
解得，m=20．
故选D．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
变式2．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的乒乓球共有20个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．小明通过多次摸球实验后发现其中投到红色、黑色球的频率稳定在5%和15%，则口袋中白色球的个数很可能是（ ）
A．3个
B．4个
C．10个
D．16个
【考点】X8：利用频率估计概率．
【专题】11
：计算题．
【分析】利用频率估计概率，可得到摸到红色、黑色球的概率为5%和15%，则摸到白球的概率为80%，然后根据概率公式可计算出口袋中白色球的个数．
【解答】解：根据题意得摸到红色、黑色球的概率为5%和15%，
所以摸到白球的概率为80%，
因为20×80%=16（个），
所以可估计袋中白色球的个数为16个．
故选D．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
变式3．某人把50粒黄豆染色后与一袋黄豆充分混匀，接着抓出100黄豆，数出其中有10粒黄豆被染色，则这袋黄豆原来有（ ）
A．10粒
B．160粒
C．450粒
D．500粒
【考点】X8：利用频率估计概率．
【专题】11
：计算题．
【分析】黄豆的频率为，利用大量反复试验时，频率接近于概率，可得，即可求出原黄豆的数量．
【解答】解：设原黄豆数为x，则
染色黄豆的概率为
解得x=450．
故选C．
【点评】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
变式4．一个不透明的袋子中装有若干个白球和红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验，将求搅均匀后从张任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，不断重复，获得数据如下
摸球次数n
200
300
400
1000
1600
2000
摸到白球的频数m
116
192
232
590
968
1202
摸到白球的频率
（1）计算并填写表中摸到白球的频率；
（2）当摸球次数很大时，摸到的白球的频率估计值是多少？
（3）若已知袋中有白球24个，试估计袋中红球的个数．
【考点】X8：利用频率估计概率．
【分析】（1）用摸到白球的次数除以摸球的总次数即可求得摸到白球的频率；
（2）大量重复试验下摸球的频率可以估计摸球的概率，据此求解；
（3）利用估计的概率和概率公式求得袋中红球的个数即可．
【解答】解：（1）填表如下：
摸球次数n
200
300
400
1000
1600
2000
摸到白球的频数m
116
192
232
590
968
1202
摸到白球的频率
0.58
0.64
0.58
0.59
0.61
0.60
（2）观察表格发现随着摸球次数的增多频率逐渐稳定在0.60附近，
故摸到白球的频率估计值为0.60；
（3）设袋中有红球x个，
根据题意得：=0.6，
解得：x=16．
答：袋中有红球16个．
【点评】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中某个事件发生的频率能估计概率．
变式5．根据表格完成问题．
每批实验粒数n
1
1
40
100
200
1000
2000
2500
3000
发芽粒数m
1
0
32
90
168
961
1920
2400
2883
发芽的频率
1
0
0.8
0.9
0.84
0.961
0.96
0.96
0.961
（1）将表格填写完整．
（2）估计播种1粒该麦种，其发芽的概率约是多少？
（3）若实际需要15000棵麦苗，则需要多少粒麦种？
【考点】X8：利用频率估计概率．
【分析】（1）根据发芽粒数除以实验总数=发芽频率直接计算即可；
（2）看发芽频率逐渐稳定到哪个常数附近，概率就为多少；
（3）用实际需要的麦苗数除以发芽的频率即可求得所需麦子数．
【解答】解：（1）
每批实验粒数n
1
1
40
100
200
1000
2000
2500
3000
发芽粒数m
1
0
32
90
168
961
1920
2400
2883
发芽的频率
1
0
0.8
0.9
0.84
0.961
0.96
0.96
0.961
（2）发芽的频率逐渐稳定到常数0.96附近，故发芽的概率为0.96；
（3）15000÷0.96=15625，
答：若实际需要15000棵麦苗，则需要15625粒麦种．
【点评】本题考查了用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中，事件发生的频率可以估计概率．
变式6．一个不透明的袋中放进若干个白球，现在想要知道这些白球的数目，小明用了如下的方法：将20个与袋中白球大小、质量相同均相同的红球放入袋中，将红球与袋中的白球充分搅匀后，再从袋中随机摸球，每次共摸10个球放回，共摸20次，求出红球与10的比值，然后计算出平均值，得到摸到红球的概率是8%，求原来袋中约有多少个白球．
【考点】X8：利用频率估计概率．
【分析】根据口袋中加入20个白球，利用红球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可．
【解答】解：设袋子中有x个白球，根据题意得：
=8%，
解得：x=230．
答：袋子中原来有白球230个．
【点评】此题主要考查了用样本估计总体，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等是解决问题的关键．
拓展点二：模拟实验
例4．盒子里装有6张扑克牌，其中有3张红桃，2张梅花，1张方块，从中任意摸一张，猜想摸到方块的概率是多少？请你与同学用实验的方法加以验证．
【考点】X9：模拟实验．
【分析】根据概率公式计算列式即可得解．
【解答】解：∵盒子里装有6张扑克牌，其中有3张红桃，2张梅花，1张方块，
∴从中任意摸一张，摸到方块的概率是：．
【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
变式1．一枚硬币抛起后落地时，“正面朝上”的机会有多大？
（1）写出你的猜测；
（2）一位同学在做这个实验时说：“我只做了10次实验，就得到了正面朝上的概率约为30%．”你认为他说的对吗？为什么？
（3）还有一位同学在做这个实验中觉得用硬币麻烦，改用可乐瓶盖做这个实验，你认为他的做法科学吗？为什么？
【考点】X9：模拟实验；X8：利用频率估计概率．
【分析】（1）根据出现正面向上与向下的机会均等，即可得出“正面朝上”的概率；
（2）根据模拟实验次数越多越准确，据此回答；
（3）根据实验材料必须质地均匀，而且出现机会均等的条件分析得出即可．
【解答】解：（1）正面向上的概率为；
（2）不对，
因为试验次数较小，事件出现的频率与事件出现的机会有比较大的差距，不能据此估计事件发生的机会；
（3）不科学，
因为实验的条件不同，硬币质地均匀，出现正面与反面的机会是均等的，而可乐瓶盖质地不均匀，实验条件不一样．
【点评】此题主要考查了模拟实验的意义，正确理解模拟实验的意义是解题关键．
变式2．摸球试验：
一个袋子里有8个黑球和若干个白球，从袋中随机摸出1球，记下其颜色，再把它放回袋中，不断重复上述的过程．
（1）若共摸球200次，其中有57次摸到黑球，你能估计摸出黑球的概率是多少吗？你能估计袋中大约有多少个白球吗？
（2）若从袋中一次摸球20个，其中黑球数占，你能估计袋中大约有多少个白球吗？
（3）打开口袋，数数袋中白球的个数，你们的估计值和实际情况一致吗？为什么？
（4）将各组的数据汇总，并根据这个数据估计袋中的白球数，看看估计结果又如何？
（5）为了使估计结果较为准确，应该注意些什么？
【考点】X9：模拟实验．
【分析】（1）用概率公式求解概率，求得白球的概率，然后乘以摸球次数就可以求得白球数目；
（2）用摸球20个摸得的黑球的概率，求得白球的个数；
（3）实际情况可能用计算有出入，因为这是估算；
（4）把（1）和（2）的抽查作为一次即可求解；
（5）是随机抽样，且样本容量越大，则与实际情况越接近．
【解答】解：（1）摸出黑球的概率是：，则球的总个数是8÷≈28，
则估计袋中大约有白球28﹣8=20（个）；
（2）袋子中球的总个数是：8÷=32（个），
则白球的个数是：32﹣8=24（个）；
（3）估计值和实际情况不一定一致，因为抽查具有随机性；
（4）摸球20个，其中黑球数占，则有5个黑球．
则球的总个数是：8÷≈28，则白球的个数是：28﹣8=20（个）；
（5）抽取的次数要尽量多，且抽取时是随机抽样．
【点评】本题考查了概率的意义，概率描述事件发生的机会的大小，理解样本容量越大，则与实际情况越接近是关键．
变式3．某商场进行有奖促销活动，转盘分为5个扇形区域，分别是特等奖、一等奖、二等奖、三等奖及不获奖，制作转盘时，将获奖扇形区域圆心角分配如下表：
奖次
特等奖
一等奖
二等奖
三等奖
圆心角
10°
20°
30°
90°
如果不用转盘，请设计一种等效试验方案．（要求写清楚替代工具和试验规则）
【考点】X9：模拟实验．
【分析】根据扇形圆心角度数可得出各种奖项所占比例，进而利用抽签方式得出等效试验方案．
【解答】解：由题意可得出：
可采取“抓阄”或“抽签”等方法替代，如在1个不透明的箱子里放进36个除标号不同外，其他均不一样的乒乓球，
其中1个标“特”，2个标“一”，3个标“二”，9个标“三”，其余不标数字，
摸出标有哪个奖次的乒乓球，则获相应的等级的奖品．
【点评】此题主要考查了模拟实验，替代实验的设计方案很多，但要抓住问题的实质，即各奖项发生的概率要保持不变．
变式4．某彩民在上期的体彩中，一次买了100注，结果有一注中了二等奖，三注中了四等奖，该彩民高兴地说：“这期彩票的中奖率真高，竟高达4%”．请对这一事件做简单的评述．
【考点】X8：利用频率估计概率．
【分析】用频率来估计概率的前提条件是实验的次数要足够大，若实验的次数不够大则不能说明频率值接近概率．
【解答】解：该彩民的说法错误．他只购买了1次彩票就断定中奖率为4%，由于实验次数不是足够大，因此频率与机会就可能不完全相符，只有当实验次数足够大（即他买彩票的次数足够多时），才能说明频率值接近概率．
【点评】用到的知识点为：在用频率估计概率时实验的次数要足够大．只有在大量的实验下所得到的频率值才能接近概率．
变式5．小明与同学想知道每6个人中有两个人生肖相同的概率，他们想设计一个模拟实验来估计6个人中恰有两个人生肖相同的概率，你能帮他们设计这个模拟方案吗？
【考点】X9：模拟实验．
【分析】一年有生肖有12种可以用12等分的转盘表示，6个人用6张小纸片表示，研究纸盘掷到转盘同一部分的概率即可．
【解答】解：方案：有从1到6共6张小卡片表示6个人，这些卡片出数字不同外，其它都相同，12生肖可以用12等分的转盘表示，转动转盘，向转盘上掷卡片，研究纸片掷到同一部分的概率．
【点评】本题考查了模拟实验求概率，通过模拟实验可以便于实验，容易实验．
变式6．现有3个45°的角，2个90°的角，从中任取3个角一定能构成等腰直角三角形吗？实验一下，看看构成等腰直角三角形的概率有多大．
【考点】X9：模拟实验；KW：等腰直角三角形；X6：列表法与树状图法．
【分析】设3个45°角的序号为1、2、3，2个直角的序号为4、5，通过列举法找出抽三个角的情况，再根据等腰直角三角形的性质找出符合能构成等腰直角三角形的情况，由此求出概率即可．
【解答】解：设3个45°角的序号为1、2、3，2个直角的序号为4、5，
则在5个角中任取3个角有：123，124，125，134，135，145，234，235，245，345十种情况，
其中能构成等腰直角三角形的有：124，125，134，135，234，235六种情况．
故构成等腰直角三角形的概率为：6÷10=0.6．
【点评】本题考查了列举法求概率以及等腰直角三角形，解题的关键是熟练掌握列举法求事件的概率的方法．
变式7．在研究抛两枚硬币，出现都是正面朝上的概率问题时，假如你的手上没有硬币，怎么办？请设计出一种试验方案代替它．
【考点】X9：模拟实验．
【分析】根据均匀的硬币的特点选择实物进行模拟试验即可．
【解答】解：可以利用摸数量相同的两种颜色的球；一种代表正面，一种代表反面，则正面朝上的概率是，故可以替代硬币．
【点评】此题主要考查了模拟实验，解决本题的关键是选择的物体符合硬币的只有两种情况且两种情况出现的机会均等这个条件．
变式8．柜子里有5双鞋，从中取出一只，请预测取出的是右脚穿的鞋的概率，并举出一个模拟实验方案．
【考点】X9：模拟实验．
【分析】因为左右脚穿的鞋的数目相同，5双鞋中右脚穿的鞋有5只，根据概率公式解答即可．
【解答】解：5双鞋就是10只，其中右脚的有5只，所以取出一只鞋是右脚鞋的概率是=．
模拟实验方案为：取十张大小、形状相同、质地均匀的硬纸片，背面分别写上1﹣10，任取一张，抽到是偶数的概率．
【点评】此题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
变式9．现有4个一元一次不等式：①x＜1；②x＜2；③x＞4；④x＜﹣1．
（1）从中任取两个不等式，构成的不等式组的解集可能是x＞4吗？
（2）从中任取两个不等式，构成的不等式的解集是x＜﹣1的机会有多大？请给予分析并计算概率．
（3）如果用编有号码、大小相同的小球做代替物对题（2）中所得的答案进行验证，请你设计一个模拟的实验方案．
【考点】X9：模拟实验；C3：不等式的解集；X6：列表法与树状图法．
【分析】（1）根据不等式组的解集求解方法：大大取大可知构成的不等式组的解集不可能是x＞4；
（2）用列表法或画树形图发的到所有可能的情况，即可求出构成的不等式组的解集是x＜﹣1的机会有多大．
（3）设计的模拟实验不唯一，只要事件的概率为即可．
【解答】解：（1）∵4＞2＞1＞﹣1，
∴从中任取两个不等到式，构成的不等式组的解集不可能是x＞4；
（2）列表如下：
1
2
3
4
1
（2，1）
（3，1）
（4，1）
2
（1，2）
（3，2）
（4，2）
3
（1，3）
（2，3）
（4，3）
4
（1，4）
（2，4）
（3，4）
所有等可能的情况有12种，其中构成的不等式组的解集是x＜﹣1有2种，所以其概率为=；
（3）如：在一个不透明的口袋中，有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4，随机地摸取一个小球记下标号后不放回，再随机地摸取一个小球记下标号，则两次摸取的小球标号都是2的概率．
【点评】本题考查了用列表法与树状图法以及模拟实验，模拟实验是用卡片、小球编号等形式代替实物进行实验，或用计算机编号等进行实验，目的在于省时、省力，但能达到同样的效果．
易错点：把随机事件的实验频率等同为随机事件的概率
例5．均匀的正四面体的各面依次标有1，2，3，4四个数字．小明做了60次投掷试验，结果统计如下：
朝下数字
1
2
3
4
出现的次数
16
20
14
10
（1）计算上述试验中“4朝下”的频率是多少？
（2）“根据试验结果，投掷一次正四面体，出现2朝下的概率是”的说法正确吗？为什么？
【考点】X8：利用频率估计概率．
【分析】（1）根据试验中“4朝下”的总次数除以总数即可得出答案；
（2）根据在60次试验中，“2朝下”的频率为并不能说明“2朝下”这一事件发生的概率为，即可得出答案．
【解答】解：（1）根据图表中数据可以得出：
“4朝下”的频率：；
答：上述试验中“4朝下”的频率是：；
（2）这种说法是错误的．在60次试验中，“2朝下”的频率为并不能说明“2朝下”这一事件发生的概率为．
只有当试验的总次数很大时，事件发生的频率才会稳定在相应的事件发生的概率附近．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，正确区分频率与概率的定义是解题关键．
变式1．小明同学的爸爸这几天迷上了体育彩票，该体育彩票每注是一个七位的数码，如能与开奖结果完全一致，则获特等奖；如有相连的6位数码正确，则获一等奖；如有相连的5位数码正确，则获二等奖……以此类推，小明爸爸昨天一次买了10注这种彩票，结果中了一注一等奖，他高兴地说：“这种体育彩票好，因为中奖率高，中一等奖的概率是10%！”小明的爸爸的说法正确吗？
【解答】不正确。第25章
概率初步
25.3
用频率估计概率
学习要求
1、会根据一个随机事件发生的频率估计这个事件发生的概率，学会用试验估计某事件出现的概率的操作过程．
2、当调查估计某事件发生的概率比较困难时，会转化成某种“替代”实际调查的简易方法．
知识点一：利用频率估计概率
例1．在同样的条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表，由表估计该麦种的发芽概率是（ ）
试验种子数n（粒）
50
200
500
1000
3000
发芽频数m
45
188
476
951
2850
发芽频率
0.9
0.94
0.952
0.951
0.95
A．0.8
B．0.9
C．0.95
D．1
变式1．某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
实验次数
100
200
300
500
800
1000
2000
频率
0.365
0.328
0.330
0.334
0.336
0.332
0.333
A．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
C．抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5
D．抛一枚硬币，出现反面的概率
变式2．在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个．小颖做摸球实验．她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后放回，不断重复上述过程，多次试验后，得到表中的数据数据，并得出了四个结论，其中正确的是（ ）
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数m
70
128
171
302
481
599
1806
摸到白球的频率
0.75
0.64
0.57
0.604
0.601
0.599
0.602
A．试验1500次摸到白球的频率比试验800次的更接近0.6
B．从该盒子中任意摸出一个小球，摸到白球的概率为0.6
C．当试验次数n为2000时，摸到白球的次数m一定等于1200
D．这个盒子中的白球定有28个
变式3．某林业部门要查某种幼树在一定条件的移植成活率．在同样条件下，大量地对这种幼树进行移植，并统计成活情况，计算成活的频率．如下表：
移植总数（n）
成活数（m）
成活的频率（）
10
8
0.80
50
47
0.94
270
235
0.870
400
369
0.923
750
662
0.883
1500
1335
0.89
3500
3203
0.915
7000
6335
0.905
9000
8073
0.897
14000
12628
0.902
所以可以估计这种幼树移植成活的概率为（ ）
A．0.1
B．0.2
C．0.8
D．0.9
变式4．在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小李做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数m
63
124
178
302
481
599
1803
摸到白球的频率
0.63
0.62
0.593
0.604
0.601
0.599
0.601
（1）请估计：当实验次数为5000次时，摸到白球的频率将会接近
；（精确到0.1）
（2）假如你摸一次，你摸到白球的概率P（摸到白球）=
；
（3）试验估算这个不透明的盒子里黑球有多少只？
变式5．某射击运动员在相同条件下的射击160次，其成绩记录如下：
设计次数
20
40
60
80
100
120
140
160
射中九环以上的次数
15
33
63
79
97
111
130
射中九环以上的频率
0.75
0.83
0.80
0.79
0.79
0.79
0.81
（1）根据上表中的信息将两个空格的数据补全（射中9环以上的次数为整数，频率精确到0.01）；
（2）根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率（精确到0.1），并简述理由．
变式6．小明和小亮做游戏，他们利用地上的图案（如图），蒙上眼睛在一定距离处向该图案内掷小石子，掷中阴影区域小明赢，否则小亮赢，掷到圈外不算．下表是游戏中统计的二组数据．
掷中圈内的区域次数m
100
150
200
500
800
1000
落在”阴影”区域的次数n
73
114
151
374
601
750
落在”阴影”区域的频率
0.73
0.76
0.755
0.748
0.751
0.75
（1）估计石子落在“阴影”区域的概率约为多少；
（2）小明、小亮获胜的机会分别约为多大？
（3）若圆的半径为1，试估计地上该图案（不包括圆）的面积．
知识点二：概率与频率的关系
例2．在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（ ）
A．频率就是概率
B．频率与试验次数无关
C．概率是随机的，与频率无关
D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
变式1．甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图，则符合这一结果的实验可能是（ ）
A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率
B．抛一枚硬币，出现正面的概率
C．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率
D．任意写一个整数，它能被2整除的概率
变式2．有两个可以自由转动的质地均匀转盘A、B都被分成了3个全等的扇形，在每一扇形内均标有不同的自然数，如图所示．转动转盘A、B，两个转盘停止后观察两个指针所指扇形内的数字（若指针停在扇形的边线上，当作指向下方的扇形）．
（1）小明同学转动转盘A，小华同学转动转盘B，他们都转了30次，结果如下：
指针停靠的扇形内的数字
1
2
3
4
5
6
出现的次数
x
18
6
5
10
15
（i）求出表中x的值．
（ii）计算A盘中“指针停靠的扇形内的数字为2”的频率；
（2）小明转动A盘一次，指针停靠的扇形内的数字作为十位数字，小华转动B盘一次，指针停靠的扇形内的数字作为个位数字，用列表或画树状图的方法求出“所得的两位数为5的倍数”（记为事件A）的概率．
变式3．某商场设立一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：
转动转盘的次数n
100
150
200
500
800
1000
落在“三等奖”的次数m
68
105
141
345
564
701
落在“三等奖”的频率
0.68
0.70
0.71
0.69
（1）计算并完成表格；
（2）画出获得“三等奖”频率的折线统计图；
（3）假如你去转动该转盘一次，根据这次实验的结果，我们可以估计出现“三等奖”的概率大约是
．
变式4．某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：
射击次数n
20
50
100
200
500
1000
击中靶心频数m
19
44
91
179
454
905
击中靶心频率m/n
（1）计算并填写表中击中靶心的频率；（结果保留三位小数）
（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率估计值是多少？（结果保留两位小数）
拓展点一：试验元素个数的确定问题
例3．在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值约为（ ）
A．12
B．15
C．18
D．21
变式1．在一个不透明的纸箱中放入m个除颜色外其他都完全相同的球，这些球中有4个红球，每次将球摇匀后任意摸出一个球，记下颜色再放回纸箱中，通过大量的重复摸球实验后发现摸到红球的频率稳定在，因此可以估算出m的值大约是（ ）
A．8
B．12
C．16
D．20
变式2．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的乒乓球共有20个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．小明通过多次摸球实验后发现其中投到红色、黑色球的频率稳定在5%和15%，则口袋中白色球的个数很可能是（ ）
A．3个
B．4个
C．10个
D．16个
变式3．某人把50粒黄豆染色后与一袋黄豆充分混匀，接着抓出100黄豆，数出其中有10粒黄豆被染色，则这袋黄豆原来有（ ）
A．10粒
B．160粒
C．450粒
D．500粒
变式4．一个不透明的袋子中装有若干个白球和红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验，将求搅均匀后从张任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，不断重复，获得数据如下
摸球次数n
200
300
400
1000
1600
2000
摸到白球的频数m
116
192
232
590
968
1202
摸到白球的频率
（1）计算并填写表中摸到白球的频率；
（2）当摸球次数很大时，摸到的白球的频率估计值是多少？
（3）若已知袋中有白球24个，试估计袋中红球的个数．
变式5．根据表格完成问题．
每批实验粒数n
1
1
40
100
200
1000
2000
2500
3000
发芽粒数m
1
32
168
961
2883
发芽的频率
1
0
0.9
0.96
0.96
（1）将表格填写完整．
（2）估计播种1粒该麦种，其发芽的概率约是多少？
（3）若实际需要15000棵麦苗，则需要多少粒麦种？
变式6．一个不透明的袋中放进若干个白球，现在想要知道这些白球的数目，小明用了如下的方法：将20个与袋中白球大小、质量相同均相同的红球放入袋中，将红球与袋中的白球充分搅匀后，再从袋中随机摸球，每次共摸10个球放回，共摸20次，求出红球与10的比值，然后计算出平均值，得到摸到红球的概率是8%，求原来袋中约有多少个白球．
拓展点二：模拟实验
例4．盒子里装有6张扑克牌，其中有3张红桃，2张梅花，1张方块，从中任意摸一张，猜想摸到方块的概率是多少？请你与同学用实验的方法加以验证．
变式1．一枚硬币抛起后落地时，“正面朝上”的机会有多大？
（1）写出你的猜测；
（2）一位同学在做这个实验时说：“我只做了10次实验，就得到了正面朝上的概率约为30%．”你认为他说的对吗？为什么？
（3）还有一位同学在做这个实验中觉得用硬币麻烦，改用可乐瓶盖做这个实验，你认为他的做法科学吗？为什么？
变式2．摸球试验：
一个袋子里有8个黑球和若干个白球，从袋中随机摸出1球，记下其颜色，再把它放回袋中，不断重复上述的过程．
（1）若共摸球200次，其中有57次摸到黑球，你能估计摸出黑球的概率是多少吗？你能估计袋中大约有多少个白球吗？
（2）若从袋中一次摸球20个，其中黑球数占，你能估计袋中大约有多少个白球吗？
（3）打开口袋，数数袋中白球的个数，你们的估计值和实际情况一致吗？为什么？
（4）将各组的数据汇总，并根据这个数据估计袋中的白球数，看看估计结果又如何？
（5）为了使估计结果较为准确，应该注意些什么？
变式3．某商场进行有奖促销活动，转盘分为5个扇形区域，分别是特等奖、一等奖、二等奖、三等奖及不获奖，制作转盘时，将获奖扇形区域圆心角分配如下表：
奖次
特等奖
一等奖
二等奖
三等奖
圆心角
10°
20°
30°
90°
如果不用转盘，请设计一种等效试验方案．（要求写清楚替代工具和试验规则）
变式4．某彩民在上期的体彩中，一次买了100注，结果有一注中了二等奖，三注中了四等奖，该彩民高兴地说：“这期彩票的中奖率真高，竟高达4%”．请对这一事件做简单的评述．
变式5．小明与同学想知道每6个人中有两个人生肖相同的概率，他们想设计一个模拟实验来估计6个人中恰有两个人生肖相同的概率，你能帮他们设计这个模拟方案吗？
变式6．现有3个45°的角，2个90°的角，从中任取3个角一定能构成等腰直角三角形吗？实验一下，看看构成等腰直角三角形的概率有多大．
变式7．在研究抛两枚硬币，出现都是正面朝上的概率问题时，假如你的手上没有硬币，怎么办？请设计出一种试验方案代替它．
变式8．柜子里有5双鞋，从中取出一只，请预测取出的是右脚穿的鞋的概率，并举出一个模拟实验方案．
变式9．现有4个一元一次不等式：①x＜1；②x＜2；③x＞4；④x＜﹣1．
（1）从中任取两个不等式，构成的不等式组的解集可能是x＞4吗？
（2）从中任取两个不等式，构成的不等式的解集是x＜﹣1的机会有多大？请给予分析并计算概率．
（3）如果用编有号码、大小相同的小球做代替物对题（2）中所得的答案进行验证，请你设计一个模拟的实验方案．
易错点：把随机事件的实验频率等同为随机事件的概率
例5．均匀的正四面体的各面依次标有1，2，3，4四个数字．小明做了60次投掷试验，结果统计如下：
朝下数字
1
2
3
4
出现的次数
16
20
14
10
（1）计算上述试验中“4朝下”的频率是多少？
（2）“根据试验结果，投掷一次正四面体，出现2朝下的概率是”的说法正确吗？为什么？
变式1．小明同学的爸爸这几天迷上了体育彩票，该体育彩票每注是一个七位的数码，如能与开奖结果完全一致，则获特等奖；如有相连的6位数码正确，则获一等奖；如有相连的5位数码正确，则获二等奖……以此类推，小明爸爸昨天一次买了10注这种彩票，结果中了一注一等奖，他高兴地说：“这种体育彩票好，因为中奖率高，中一等奖的概率是10%！”小明的爸爸的说法正确吗？
