(共21张PPT)
25.6
相似三角形的应用
冀教版九上
第二十五章
图形的相似
新课引入
新课学习
典例精析
测试小结
第二课时
新课引入
小明和妈妈散步来到小河的南岸
妈妈：这条小河会有多宽呢？可惜咱们不能到河的对岸量一量.
小明：我可以用刚学的相似三角形的知识测出来.
小明是怎么做的呢？
新课学习
探究一：测量小河的宽度
要求：
1.选择合适的工具；
2.画出示意图，说出方案.
构造合适的相似三角形
新课学习
我们来看看小明的做法：在河的对岸（北岸）找一个参照点A，在河的南岸找一个参照点C,从C点沿正西方向走到点B处，使点B恰好在点A的正南方向；再从点B沿正南方向走到点D,然后从点D向正东方向走到点E,使点E、C、A在同一条直线上.测量BC,DE,BD,的长度即可求出河宽AB.
C
A
B
D
E
若小明测得BC=40米，BD=10米，DE=50米，你能求出河宽吗？
A型
新课学习
我们先转化为一个数学问题：
已知：如图，在Rt△ADE中，∠D=90°,点B在AD上，BC∥DE交AE于点C,BC=40米，BD=10米，DE=50米.求AB.
C
A
B
D
E
解：∵BC∥DE
∴△ABC∽△ADE
解得，AB=40
你有不同的做法吗？来吧，展示！
新课学习
换个方法：在河的对岸（北岸）找一个参照点A，在河的南岸找一个参照点C,从C点沿正西方向走到点B处，使点B恰好在点A的正南方向；从点C沿正东方向走到点D,然后从点D向正南方向走到点E,使点E、C、A在同一条直线上.
C
A
B
D
E
测量哪些线段长度可求出河宽AB？
测量BC,CD,DE的长度，可求出河宽AB.
若测得BC=30米，CD=15米，DE=20米，你能求出河宽吗？
8型
新课学习
C
A
B
D
E
转化为一个数学问题：已知：如图，在△ABC中和△EDC中，∠B=∠D=90°,点B,C,D在同一条直线上，点A,C,E在同一条直线上，BC=30米，CD=15米，DE=20米.求AB.
解：∵∠B=∠D=90°,∠ACB=∠ECD
∴△ABC∽△EDC
解得，AB=40
当BC与DC具备什么关系时，会更简便？
BC=DC时，
两个三角形全等，DE=AB.
新课学习
探究一：(拓展）测量小河两岸任意两点间的距离
原来的A型和8型还可以用吗？
A
C
新课学习
测量小河两岸任意两点间(如AC)的距离时，A型和8型仍可用
A
C
B
D
E
A
C
B
D
E
此时，A型中应测量哪些线段长？
此时，8型中应测量哪些线段长？
BC,DE,CE
BC,CD,CE
总结提升
测量无法直接到达的两点之间的距离时（如小河的宽度）
C
A
B
D
E
C
A
B
D
E
1.构造相似三角形；（A型和8型是比较常用的）
2.利用相似三角形的对应边成比例求出线段的长度.（将不能直接测量的线段长转化为可直接测量的线段的长）
巩固练习
如图，在一条小河的北岸A处有一古塔，南岸C处有一观景台，小明从点C沿正西方向走到点B,使点B恰好位于点A的正南方向上，然后向南走到点E，再从点E向东走到点D，使得D,C,A三点恰在一条直线上，量得EF=100m,BE=40m,DC=50m.求古塔与观景台之间的距离AC.
C
A
B
E
D
F
100
40
50
分析：由勾股定理，求出DF=30m
①由△ABC∽△AED,得
②或由△CDF∽△ADE,得
新课学习
探究二：在三角形内截取一个最大的三角形
A
B
C
D
如图，△ABC是一块铁板余料，已知BC=120mm,高AD=80mm.要用这块余料裁出一个正方形材料，怎样裁正方形的边长最大？并求出最大边长.
新课学习
A
B
C
D
如图，使正方形的两个顶点E，F在BC上，另两个顶点H,G分别在AB,AC上，此时的正方形EFGH是最大的.
H
G
E
F
思考：已知中的正方形给我们提供什么信息？
①相等的边
②直角
③平行
A型相似
结合图形和已知，你想到解题思路了吗？
新课学习
A
B
C
D
已知：如图，在△ABC中，BC=120mm,高AD=80mm.在△ABC内裁一个正方形EFGH,使正方形的两个顶点E，F在BC上，另两个顶点H,G分别在AB,AC上，求正方形EFGH的边长。
H
G
E
F
解：设HG与AD交于点K
∵四边形EFGH是正方形
∴HG∥BC
设正方形的边长为x
则HG=x,AK=80-x
K
解得，x=48
∴正方形的边长为48mm.
相似三角形的对应高的比等于相似比
新课学习
A
B
C
D
P
Q
N
M
探究二：(拓展）三角形的内接矩形（4个顶点均在三角形的边上）
如图，△ABC是一块材料的余料，已知BC=12cm,高AD=9cm.把它加工成矩形零件如图，要使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB,AC上，且矩形的长与宽的比为3:2，求这个矩形零件的边长.
思考：和探究二的解题思路一样吗？
一样
新课学习
分析：仍用△APQ∽△ABC后“相似三角形的对应高的比等于相似比”
A
B
C
D
P
Q
N
M
E
设矩形的长为3x,宽为2x
变式练习
小明和几位同学做手的影子的游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关.因此他们认为，可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置.于是，他们做了以下尝试.
A
B
C
D
A'
D'
N
M
(1)如图，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，边长AB为30cm,在其正上方有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子A'B,D'C的长度和为6cm,则灯泡离地面的高度为______.
180cm
变式练习
A
B
C
D
A'
D'
N
M
(2)不改变灯泡的位置，将两个边长为30cm的正方形框架按如图所示摆放，此时横向影子A'B,D'C的长度和为______.
12cm
变式练习
(3)有n个边长为a的正方形按如图所示摆放，测得横向影子A'B,D'C的长度和为b，则灯泡离地面的距离为______.
A
B
C
D
A'
D'
N
M
一、测量不可直接到达的两点之间的距离
二、三角形的内接矩形
回顾与小结
多用A型和8型
相似三角形的对应高的比等于相似比
同学们再见(共22张PPT)
25.6
相似三角形的应用
冀教版九上
第二十五章
图形的相似
新课引入
新课学习
典例精析
测试小结
第一课时
新课引入
学校里高高耸立的旗杆上悬挂着五星红旗，你一定想知道旗杆的高度，怎样测量和计算旗杆的高度呢？
新课学习
探究一：测量旗杆的高度
工具：2米的标杆、镜子、卷尺
要求：1.选择合适的工具，不必都选；
2.画出示意图，说出方案.
新课学习
①小芳的方案：使用工具:卷尺
在阳光下的某一时刻，测量身高为1.6米的小丽的影长为2米，同时测得旗杆的影长为15米，依据“同一时刻物长与影长成比例”，计算出旗杆的高度.
解得，旗杆的高度为12米.
本质是“相似三角形的对应边成比例”
O
A
C
B
E
D
太阳光线
分析：△CED∽△ABO
新课学习
②小明的方案：使用工具:2米的标杆、卷尺
在阳光下的某一时刻，将一根标杆CD竖立在旗杆的影子上，使标杆的影子BD落在旗杆的影子BO上，且它们影子的顶端重合。测量BD的长度是2.5米，OD的长度12.5米.可求出旗杆AO的长.
O
A
D
C
B
把小明的方案转化为我们熟悉的数学问题
已知:如图，CD⊥BO于点D,AO⊥BO于点O,CD=2米，BD=2.5米，OD=12.5米.求AO的长.
新课学习
O
A
D
C
B
已知:如图，CD⊥BO于点D,AO⊥BO于点O,CD=2米，BD=2.5米，OD=12.5米.求AO的长.
解:∵CD⊥BO,AO⊥BO
∴△CBD∽ABO
解得
AO=12
∴旗杆的高度为12米.
构造基本型A型，利用相似三角形的对应边成比例求线段的长度
新课学习
思考：
1.小明的方案有什么局限性？
2.可以不用标杆CD吗？
对天气有要求，有阳光才能实施
可以，将标杆CD换做一个同学.
新课学习
③小红的方案：使用工具:2米的标杆、卷尺
让小明站在点B处，在小明和旗杆之间竖立一根长2米的标杆CD,让小明的眼睛E、标杆的顶端C、旗杆的顶端A在同一条直线上，测量小明的眼睛E距地面1.6米，小明距标杆1米，标杆距旗杆25米.利用相似的知识可求出旗杆AO的高..
B
O
A
D
C
E
把小红的方案转化为我们熟悉的数学问题
已知:如图，CD⊥BO于点D,AO⊥BO于点O,BE⊥BO于点B，BE=1.6米，CD=2米，BD=1米，OD=25米.求AO的长.
A
新课学习
B
O
A
D
C
E
已知:如图，CD⊥BO于点D,AO⊥BO于点O,BE⊥BO于点B，BE=1.6米，CD=2米，BD=1米，OD=25米.求AO的长.
思考：图中没有三角形，如果想用相似三角形的知识解决问题，我们需要怎么做？
添加合适的辅助线
F
M
如：过点E作EF⊥AO于点F,EF交CD于点M
图中出现一个基本型——A型.
O
A
D
C
E
N
或延长AE、OB相交于点N
则图形中出现了两个A型
B
新课学习
O
A
D
C
E
F
M
B
解：过点E作EF⊥AO于点F,EF于CD相交于点M
由题意可得，CM∥AF
∴△CENM∽△AEF
解得
AF=10.4
∴AO=AF+OF=10.4+1.6=12
∴旗杆的高度为12米.
构造基本型A型，利用相似三角形的对应边成比例求线段的长度
新课学习
思考：
1.小明的方案有什么优越性？
不受天气的限制，不管什么天气都可以实施.
2.可以不用标杆CD吗？
可以.
如：把标杆CD换做一个站着的同学
BE处是一个蹲着的同学
新课学习
●
A
O
B
E
D
④小华的方案：使用工具:镜子、卷尺
让小丽站在点B处，在小丽和旗杆之间放一个平面镜,小丽适当调整自己的位置，以保证可以在镜子里看到旗杆的顶端，测量小丽的身高为1.6米，小丽距镜子2米，旗杆距镜子15米.利用相似的知识可求出旗杆AO的高..
把小红的方案转化为我们熟悉的数学问题
已知:如图，BE⊥BO于B,AO⊥BO于点O,BE=1.6米，BD=2米，OD=15米.求AO的长.
新课学习
●
A
O
B
E
D
解:∵CD⊥BO,AO⊥BO
∴∠EBD=∠AOD=90°
由平面镜知识，可得
∠EDB=∠AOD
∴△EBO∽△AOD
解得
AO=12
∴旗杆的高度为12米.
我们还可以用什么来替代平面镜？
如：下雨后的小水洼
新课学习
探究一给我们的启示：
有的物体的高度，没有办法直接测量，则可利用已有的或构造的相似三角形，根据“相似三角形的对应边成比例”，求出物体的高度
新课引入
探究二：测量空心圆柱的内径（内径：内部的直径）
有些空心圆柱型的机械零件或容器的内径是不能直接测量的，往往用交叉卡钳进行测量.
A
B
D
C
O
将这个实际问题转化为一个数学问题
如图所示是一个容器，它的外径为a,内径AB未知。现用卡钳去测量，若OC:OA=1：m,CD=b,求这个零件的内径为多少？
新课引入
A
B
D
C
O
已知：在△AOB和△COD中，OC:OA=OD:OB=1：m,CD=b,求AB的长。
∠COD=∠AOB
∴△COD∽△AOB
解得，AB=mb.
∴这个容器的内径是mb.
新课学习
A
A'
B
B'
探究三：如图，是“小孔成像”试验示意图.已知蜡烛与光屏之间的距离为
，具有“小孔”的纸板放在什么位置时，蜡烛火焰的高度AB是它的像A'B'的高度的一半？
O
将这个实际问题转化为一个数学问题
C
D
①AB与A'B'的关系是平行
②AB与A'B'的之间的距离是
从题中提取关键信息
③AB是A'B'的一半
新课学习
A
A'
B
B'
O
C
D
解：过点O作OC⊥AB于点C,延长CO交A'B'于点D
则CD=
∵AB∥A'B'
∴△OAB∽△OA'B'
已知：AB∥A'B'，AA'与BB'相交与点O,AB与A'B'之间的距离是
，
，求O到AB的距离.
（相似三角形的对应高的比等于相似比）
巩固练习
1.如图，小明用自制的直角三角板DEF测量树的高度AB,他调整自己的位置，使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一条直线上，已知纸板的两条直角边DE=40cm,EF=20cm,测得边DF离地面的高度AC=1.5米，CD=8米.则树高AB=____.
B
A
C
D
E
F
5.5米
巩固练习
2.如图，一位同学想利用树影测量树高AB,他在某一时刻测得高为1米的竹竿影长0.9米，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全留在地面上，有一部分影子在墙上CD处，他先测得留在墙上的影高CD为1.2米，又测得地面部分的影长BC为2.7米.则树高AB=_____.
B
A
D
C
4.2米
1.将实际问题转化为数学问题
2.构造相似三角形
3.利用相似三角形的对应边成比例求出线段长
相似三角形的应用的步骤
最常应用于求不易直接测量的物体的长度
同学们再见
