(共23张PPT)
25.7
相似多边形和图形的位似
冀教版九上
第二十五章
图形的相似
新课引入
新课学习
典例精析
测试小结
第二课时
位似图形
学
习
目
标
冀教版九上
1.了解位似图形的概念.
2.会用位似将一个多边形放大或缩小.
3.知道位似图形和相似图形之间的关系.
新课引入
C
B
A
O
A'
B'
C'
已知：△ABC
1.画射线OA,OB,OC;
2.分别在OA,OB,OC上截取A',B',C',使OA'=2OA,OB'=2OB,OC'=2OC;
3.连接A'B',A'C',B'C',得到△A'B'C'.
则△A'B'C'∽△ABC,相似比为2.
小明探究出一种将三角形放大的方法，如下：
想一想：小明这样做有什么道理？
新课引入
C
B
A
O
A'
B'
C'
得到△AOC∽△A'OC'
同理△BOC∽△B'OC',△AOB∽△A'OB'
∴△ABC∽△A'B'C',相似比为1:2.
你还有不同想法吗？请你谈一谈.
利用三角形的中位线
新课引入
在练习本上画任意三角形ABC,用小明的方法画△A'B'C'，使△A'B'C'的边长是△ABC边长的三分之一，要求把点O取在点A处.（比一比，大家的结果一样吗？）
A
C'
B'
C
B
(O)
A
B
C
B'
C'
(O)
第一种
第二种
新课引入
C
B
A
O
A'
B'
C'
A
C'
B'
C
B
(O)
A
B
C
B'
C'
(O)
观察刚刚做过的图形，思考下列问题：
（1）△ABC与△A'B'C'的关系是_____.
(2)对应边的位置关系是____________________.
(3)所有对应点所连的直线____________.
相似
平行或在同一直线上
相交于一点
△ABC与△A'B'C'是位似图形
新课学习
一、位似图形的概念
如果两个图形不仅相似，而且经过每对对应顶点的直线相交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么我们就称这两个图形是位似图形.
对应顶点所在直线的交点称为位似中心.
这时的相似比又称做位似比.
完成课本97页“观察与思考”说明你判断的方法是什么？
1.看是不是相似图形；
2.经过对应点画直线，看是不是相交于一点.
新课学习
位似概念小练习
位似三要素
1.两个图形相似
2.经过每对对应点的直线交于一点
3.对应边平行或在同一直线上
新课学习
C
B
A
O
A'
B'
C'
A
C'
B'
C
B
(O)
A
D'
C'
B'
A'
D
C
B
观察下面的位似图形，思考下列问题：
①位似中心的位置可以在________________.
②AB:A'B'是________
，OA:OA'是____________________________.
③对应点到位似中心的距离之比与相似比的关系是_______.
O
平面上任一位置
位似比
对应点到位似中心的距离之比
相等
新课学习
二、位似图形的作法
完成课本97页“做一做”，并总结位似图形的作法
E
D
C
B
A
●
1.确定位似中心O的位置(如：在形内）;
2.连接OA,OB,OC,OD,OE；
3.分别取它们的中点A',B',C',D',E';
并连接A'B',B'C',C'D',D'E',E'A'
五边形A'B'C'D'E'即为所求.
O
A'
B'
C'
D'
E'
你认为这样做对不对？
不对
A',B',C',D',E'可以在射线OA上，也可以在射线AO上
位似图形可以做两个
新课学习
画位似图形的注意事项
1.先确定位似中心的位置；
2.确定是放大还是缩小，即看清位似比的顺序；
3.根据位似比等于对应点到位似中心的距离之比，确定对应点；
4.一般如没有特殊要求，应作出两个图形.
典例精析
例1.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-3,6），B（-9，-3），以原点O为位似中心,相似比为1:3,把△ABO缩小，则点B的对应点B'的坐标是_________.
x
y
O
B
A
想一想：“图形放缩与坐标变化”中，当坐标怎么变化时，图形形状不变？坐标怎样变化时，图形形状发生变化？
横、纵坐标同时扩大或缩小相同的倍数时，形状不变.
横、纵坐标扩大或缩小的倍数不相等时，形状改变.
给我们什么启发？
典例精析
例1.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-3,6），B（-9，-3），以原点O为位似中心,相似比为1:3,把△ABO缩小，则点B的对应点B'的坐标是____________________.
x
y
O
B
A
分析：根据坐标变化与图形放缩的规律，我们只需将点B的横、纵坐标都除以3即可.但要注意，点B'可以在射线OB上，也可以在射线BO上，即点B'在第三象限或第一象限，要做出两种情况.
成中心对称
（-3，-1）或（3,1）
典例精析
例1.（变式一）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-3,6），B（-9，-3），以原点O为位似中心,在y轴右侧做位似图形，相似比为1:3,把△ABO缩小，则点B的对应点B'的坐标是_________.
x
y
O
B
A
分析：据题目要求，只有点B在第一象限一种情况.
（3,1）
典例精析
例1.（变式二）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-3,6），B（-9，-3），以M(3，0)为位似中心,，相似比为1:3,把△ABO缩小，则点B的对应点B'的坐标是____________________.
分析：①当B'在射线MB上，M经过下3左12到达B,则M到达B'路径是下1左4，因此B'（-1，-1）；
②当B'在射线BM上时，M到达B'的路径是上1右4，因此B'（7,1）.
（-1，-1）或（7,1）
x
y
O
B
A
●
(3，0)
M
典例精析
例2.如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A'B'C'是以O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上.
（1）画出位似中心O;
（2）求出△ABC与△A'B'C'的位似比；
O
●
分析：（1）做经过对应点的直线，其交点即为点O.
(2)利用勾股定理，求出一对对应边的长度即可，注意比的顺序.（或求对应点到位似中心的距离之比，如OA:OA'=6：12=1：2.即位似比为1:2）
典例精析
例2.如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A'B'C'是以O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上.
（3）以点O为位似中心，再画一个△A''B''C''，使它与△ABC的位似比等于2.5:1.
O
●
分析：(3)由于网格的限制，只能画一种.
①O到达A为左6，则O到达A''为左15;
②O到达B为左3上2，则O到达B''为左7.5上5；
③O到达C为左4上4，则O到达C''为左10上10.
A''
B''
C''
巩固练习
1.关于对位似图形的表述，下列命题正确的是________.(填序号）
①相似图行一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比.
②③
巩固练习
2.如图，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，若OC’:CC'=2：3，则△ABC与△A'B'C'的位似比是_________.
5:2
巩固练习
3.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶端O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA'B'C'与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA'B'C'的面积等于矩形OABC面积的四分之一，那么点B'的坐标是_________________.
y
O
B
A
C
4
6
（3,2）或（-3，-2）
巩固练习
4.如图，正方形ABCD与正方形OEFG中，点D和点F的坐标分别为（-3,2）和（-，-1），则这两个正方形的位似中心的坐标为________________.
y
O
B
A
C
G
D
F
E
x
(-1,0)或(5,-2)
一、位似图形
三要素
1.相似.
2.对应点连线交于同一点.
3.对应线段平行或在同一直线上.
回顾与小结
二、画位似图形
注意事项
1.位似比的顺序.（放大还是缩小）
2.作图依据：对应点到位似中心的距离之比等于相似比.
3.可以作两个位似图形.
同学们再见(共27张PPT)
25.7
相似多边形和图形的位似
冀教版九上
第二十五章
图形的相似
新课引入
新课学习
典例精析
测试小结
第一课时
相似多边形
学
习
目
标
冀教版九上
1.了解相似多边形和相似比.
2.会用相似多边形的定义判定两个多边形相似.
3.探究相似多边形的性质，并会运用性质解决问题.
新课引入
故宫太和殿
故宫太和殿模型
看到故宫太和殿和它的模型，给我们以什么样的印象？
大小虽不一样，但形状相同.
新课引入
同一版式型号不同的校服，给我们以什么样的印象？
大小虽不一样，但形状相同.
新课引入
鲜艳的国旗上，金黄色的大五角星和4个小五角星，给我们以什么样的印象？
大小虽不一样，但形状相同.
新课学习
一、相似图形
像这样形状相同的图形叫做相似图形.
生活中你见到过哪些相似图形？
如：同学所用的一幅三角板和老师上课用的三角板、同一底片洗出的不同大小的照片......
新课学习
一、相似多边形
1.定义：一般地，如果两个多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形就叫做相似多边形.
相似多边形的定义有什么用途呢？
2.相似比：相似多边形对应边的比叫做它们的相似比.
新课学习
E
D
C
B
A
A'
B'
C'
D'
E'
定义用于判定
∴五边形ABCDE∽五边形A'B'C'D'E'
新课学习
E
D
C
B
A
A'
B'
C'
D'
E'
定义用于性质
∵五边形ABCDE∽五边形A'B'C'D'E'
新课学习
我们知道，相似三角形具有下列性质
1.对应角相等，对应边成比例；
2.对应中线、对应高、对应角平分线的比等于相似比；
3.周长比等于相似比；
4.面积比等于相似比的平方.
相似多边形也具有这些性质吗？
√
×
？
？
新课学习
E
D
C
B
A
A'
B'
C'
D'
E'
已知：五边形ABCDE∽五边形A'B'C'D'E'，相似比为k.求其周长比.
探究一：相似多边形的周长比是否等于相似比.
利用等比性质
想一想：相似三角形的周长比等于相似比”是怎么证明的？给你什么启发？
新课学习
E
D
C
B
A
A'
B'
C'
D'
E'
解：∵五边形ABCDE∽五边形A'B'C'D'E'
结论：相似多边形的周长比等于相似比
其他多边形也可以用此方法得到结论
新课学习
E
D
C
B
A
A'
B'
C'
D'
E'
已知：五边形ABCDE∽五边形A'B'C'D'E'，相似比为k.求其面积比.
探究二：相似多边形的面积比是否等于相似比的平方.
想一想：多边形的问题常常转化为三角形的问题，你会转化吗？
新课学习
E
D
C
B
A
A'
B'
C'
D'
E'
解：连接AC,AD,A'C',A'D'
解：∵五边形ABCDE∽五边形A'B'C'D'E'
∴△ABC∽△A'B'C'
同理△ACD∽△A'C'D',
△ADE∽△A'D'E'
等比性质
结论：相似多边形的面积比等于相似比的平方
新课学习
二、相似多边形的性质
相似多边形的
1.对应边成比例，对应角相等.
2.周长比等于相似比.
3.面积比等于相似比的平方.
性质小练习
如图，五边形ABCDE∽五边形A'B'C'D'E'，完成下列问题：
E
D
C
B
A
15
21
130°
A'
E'
D'
C'
B'
10
145°
(1)
C'D'=____.
(2)∠A=_____.
(3)若五边形ABCDE的周长为90，则五边形A'B'C'D'E'的周长=_____.
(4)若五边形A'B'C'D'E'D的面积为180，则五边形ABCDE的面积=_____.
14
85°
60
270
新课学习
三、相似多边形的判定
对应角相等，对应边成比例的两个多边形是相似多边形.
注意：相似多边形只有一种判定方法
想一想：矩形和正方形相似吗？
想一想：菱形和正方形相似吗？
不一定，两者符合对应角相等，但其对应边不一定成比例
不一定，两者符合对应边成比例，但其对应角不一定相等
判定小练习
观察图中的两个多边形，先直观判断它们是不是相似多边形，再验证你的结论.
D
C
B
A
A'
B'
C'
D'
相似
如：网格中易求线段长，则可用三边对应成比例，证明△ABC∽△A'B'C'及△ADC∽△A'B'C'，相似比为1：2.且两对全等三角形的对应角相等.
进而推出四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的对应边成比例，对应角相等.因此两者相似.
典例精析
例1.如图，已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E,沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点.
若四边形EFDC与矩形ABCD相似.求AD的长.
A
B
C
D
E
F
①
②
③
想一想：分析已知条件的用法，找到解题思路.
①
②
③
相等的边、直角
相等的边、相等的角
比例线段
典例精析
A
B
C
D
E
F
解：∵四边形ABCD是矩形
∴CD=AB=1
由折叠可得，AF=AB=1
∵四边形EFDC∽矩形ABCD
典例精析
例2.分析下列观点的对错.
(1)将边长为3,4,5的三角形按如图所示的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似.
1
1
1
1
2
3
4
分析：由已知中对应边的间距均为1，可得对应边是平行的.
因此∠1=∠2,∠3=∠4.
∴∠1+∠3=∠2+∠4
同样的方法可证出另两个对应角也是相等的
∴新三角形与原三角形相似.
典例精析
(2)将邻边为3和5的矩形按如图所示的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似.
1
1
1
1
分析：两个矩形的角都是相等的，只需计算对应边是否成比例.
对应边不成比例
∴新矩形与原矩形不相似.
课堂小测
1.下列说法：
①凡是正方形都相似；②凡等腰三角形都相似；③凡等腰直角三角形都相似；④有一个底角相等的两个等腰三角形相似；⑤两个相似多边形的面积比为4:9，则周长比为16:81.
其中正确的有________(只填序号）
①③④
课堂小测
2.现有大小相同的正方形纸片若干张，小明想用其中的3张拼成一个如图所示的长方形，小芳也想拼一个与它形状相同但比它大的长方形，则她最少要用_____张正方形纸片（每个正方形纸片不得剪开）.
12
课堂小测
3.如图，取一张长为a,宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a,b应满足的条件是（
）.
第一次对折
第二次对折
a
b
B
一、相似多边形的性质
相似多边形的
1.对应边成比例，对应角相等.
2.周长比等于相似比.
3.面积比等于相似比的平方.
回顾与小结
二、相似多边形的判定
只能用定义判定
同学们再见
