人教版九年级数学上册课件：23.2.1中心对称(共53张PPT)

(共53张PPT)
23.2
中心对称
第1课时
观察下面的图形，你有什么发现？
观察下面的几个图形你有什么发现?
（1）
（2）
（3）
（4）
旋转图形（1）
旋转图形（2）
旋转图形（3）
旋转图形（4）
情景引入:
（1）下面这些图形有什么共同的特征？
（2）你能将这些图形绕其上的一点旋转
1800，使旋转前后的图形完全重合吗？
返回
重
复
返回
重
复
返回
旋
转
返回
旋
转
返回
旋
转
返回
旋
转
中心对称:在平面内，一个图形绕某个点旋转1800，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。
(1)把其中一个图案绕点O旋转180°,你有什么发现?
观
察
(2)线段AC，BD相交于点O，OA=OC，OB=OD．把
△OCD绕点O旋转180°,你有什么发现?
O
C
B
（2）
重合
重合
（1）将等边三角形ABC
绕中心
O
逆时针旋转180°，这两个图形有怎样的位置关系？
新课导入
观
察
A
B
C
O
B′
C′
轴对称
A′
概念
把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称,也称这两个图形成中心对称
A
B
C
A’
C’
B’
O
这个点叫作对称中心
2个图形中的对应点叫做对称点
（2）将等腰梯形ABCD绕中心O逆时针旋转180°，这两个图形有怎样的位置关系？
A
D
B
C
O
A′
B′
C′
D′
轴对称
（3）将圆O
绕圆心
O
顺时针旋转180°，这两个图形有怎样的位置关系？
O
重合
（4）将平行四边形ABCD绕中心O逆时针旋转180°，这两个图形有怎样的位置关系？
A
B
C
D
O
A′
B′
C′
D′
重合
绕中心旋转180°，旋转后的图形与原图的位置关系有什么不同？
有的轴对称，有的重合。
它是轴对称图形吗？
这个图形是否能够通过某种图形运动与自身重合？
不是轴对称图形。
下列图形是否能够通过某种图形运动与自身重合？
探究
线段绕中点旋转180°
旋转后与原图重合
图形绕中心旋转180°
旋转后与原图重合
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称（central
symmetry），这个点叫做对称中心。这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。
知识要点
对
图
称
形
性
轴对称图形
中心对称图形
图形
对称轴条数
图形
对称中心
线段
2条
中点
角
1条
等腰三角形
1条
等边三角形
3条
平行四边形
对角线交点
矩形
2条
对角线交点
菱形
2条
对角线交点
正方形
4条
对角线交点
轴对称图形与中心对称图形的比较
O
B
A
C
D
对称中心是
______，
点O
点A的对称点是
______，
点D的对称点是
______，
点C
点B
小练习
旋转三角板，画关于点O对称的两个三角形。
第一步，画出△ABC；
第二步，以三角板的一个顶点O为中心，把三角板旋
转180°，画出△A′B′C′；
第三步，移开三角板.
探究
下图中△A′B′C′与△ABC关于点O是成中心对称的，你能从图中找到哪些等量关系?
A′
B′
C′
A
B
C
O
（1）OA=OA′、OB=OB′、
OC=OC′
（2）△ABC≌△A′B′C′
你能证明吗？
证明：（1）点A′是点A绕点O旋转180°后得到的，即线段OA绕点O旋转180°得到线段OA′，所以点O在线段AA′上，且OA=OA′，
即点O是线段AA′的中点。
同理，点O也在线段BB′和CC′上，
且OB=OB′，OC=OC′，
即点O是BB′和CC′的中点。
求证：（1）OA=OA′、OB=OB′、
OC=OC′
证明：（1）在△ABC和△A′B′C′中，OA=OA′，OB=OB′，∠AOB=∠A′OB′
∴△AOB≌△A′OB′
∴AB=A′B′
同理：AC=A′C′，BC=B′C′
∴△ABC≌△A′B′C′
求证：（2）△ABC≌△A′B′C′
1.关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分。
2.关于中心对称的两个图形是全等图形。
知识要点
A
B
C
D
F
E
O
点O是平行四边形的对称中心，点A、C关于点O对称，有AO=CO，那么OE=OF吗？
对称中心平分连结两个对称点的线段.
EF经过点O，分别交AB、CD于E、F。
解：∵平行四边形是中心对称图形，O是对称中心.
∴点E、F是关于点O的对称点。
∴OE=OF。
A
B
C
D
F
E
O
例题
A
A′
B′
B
O
A
O
A′
1.
以点O为对称中心作出点A的对称点A′。
2.
以点O为对称中心作出线段AB的对称线段A′B′。
点A′即为所求的点。
线段A′B′即为所求的线段。
例题
线段的中心对称线段的作法
点的中心对称点的作法
3.
以点O为对称中心，画出与△ABC关于点O对称的△A′B′C′。
A′
C′
B′
△A′B′C′即为所求的三角形。
三角形的中心对称三角形的作法
4.
画四边形A′B′C′D′，使它与已知四边形关于O点对称。
A
B
A′
C′
B′
D′
D
O
C
四边形A′B′C′D′即为所求的图形。
四边形的中心对称四边形的作法
5.
画一个与已知四边形ABCD中心对称图形。
（1）以顶点A为对称中心；
（2）以BC边的中点为对称中心。
D
A
B
C
E
F
G
M
D
A
B
C
O
．
N
A′
B′
C′
O
A
B
C
6.
画△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC关于点O成中心对称。
△A′B′C′即为所求的三角形。
拓展资料
广告商标
中心对称的应用
工艺品（如：地毯、挂毯）
车轮
齿轮
电风扇的扇叶
风车
1.
中心对称与轴对称的区别和联系?
轴对称
中心对称
课堂小结
有一条对称轴——直线
图形沿对称轴对折(翻折180°)后重合
对称点的连线被对称轴垂直平分
有一个对称中心——点
图形绕对称中心旋转180°后重合
对称点连线经过对称中心,且被对称中心平分
2.
中心对称的两条基本性质：
（1）关于中心对称的两个图形，对应点所连线都经过对称中心，而且被对称中心所平分。
（2）关于中心对称的两个图形是全等图形及其它们的应用。
1.
△ABC绕点O旋转，使点A旋转到点D处，画出旋转后的三角形，并写出简要作法。
作法：
（1）连结OA、OB、OC、
OD；
（2）分别以OB、OB为边作
∠BOM=∠CON=∠AOD；
（3）分别截取OE=OB，
OF=OC；
（4）依次连结DE、EF、FD；
即：△DEF就是所求作的三角
形，如图所示。
随堂练习
2.
四边形ABCD绕D点旋转180°，请作出旋转后的图案，写出作法并回答。
（1）这两个图形是中心对称图形吗？如果是对称中心是哪一点？如果不是，请说明理由。
（2）如果是中心对称，那么A、B、C、D关于中心的对称点是哪些点。
解：作法：
（1）延长AD，并且使得DA′=AD
（2）同理：BD=B′D，CD=C′D
（3）连结A′B′、B′C′、C′D，则四边形A′B′C′D为所求的四边形，如图所示。
答：（1）根据中心对称的定义便知这两个图形是中心对称图形，对称中心是D点。（2）A、B、C、D关于中心D的对称点是A′、B′、C′、D′，这里的D′与D重合。
3.
已知AD是△ABC的中线，画出以点D为对称中心，与△ABD成中心对称的三角形。
解：（1）延长AD，且使AD=DA′，因为C点关于D的中心对称点是B（C′），B点关于中心D的对称点为C（B′）
（2）连结A′B′、A′C′。
则△A′B′C′为所求作的三角形，如图所示。
4.
已知△ABC和点O，画出△DEF，使△DEF和△ABC关于点O成中心对称。
解：（1）连结AO并延长AO到D，使OD=OA，于是得到点A的对称点D，如图所示。
（2）同样画出点B和点C的对称点E和F。
（3）顺次连结DE、EF、FD。
则△DEF即为所求的三角形。
5.
已知四边形ABCD和点O，画四边形A′B′C′D′，使四边形A′B′C′D′和四边形ABCD关于点O成中心对称（只保留作图痕迹，不要求写出作法）
6.
在△ABC中，∠C=70°，BC=4，AC=4，现将△ABC沿CB方向平移到△A′B′C′的位置。
（1）若平移的距离为3，求△ABC与△A′B′C′重叠部分的面积。
（2）若平移的距离为x（0≤x≤4），求△ABC与△A′B′C′重叠部分的面积y，写出y与x的关系式。
解：（1）∵CC′=3，CB=
4且
AC=BC
∴BC′=C′D=1
∴S△BDC′=
×1×1=
（2）∵CC′=
x，∴BC′=
4－x
∵AC=BC=4
∴DC′=4-x
∴S△BDC′=
（4-x）（4-x）=
7.
等边△ABC内有一点O，说明：OA+OB>OC。
解：如图，把△AOC以A为旋转中心顺时针方向旋转60°后，到△AO′B的位置，则△AOC≌△AO′B。∴AO=AO′，OC=O′B
又∵∠OAO′=60°，∴△AO′O为等边三角形．
∴AO=OO′
在△BOO′中，OO′+OB>BO′
即OA+OB>OC
8.
矩形ABCD中，AB=3，BC=4，若将矩形折叠，使C点和A点重合，求折痕EF的长。
解：连接AF，
∵点C与点A重合，折痕为EF，即EF垂直平分AC。
∴AF=CF，AO=CO，∠FOC=90°，又四边形ABCD为矩形，∠B=90°，AB=CD=3，AD=BC=4
设CF=x，则AF=x，BF=4-x，
由勾股定理，得
∴AC=5，
∵
∴
∴
∵∠FOC=90°
∴
同理
，即