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突破1.2
集合间的基本关系重难点突破
一、考情分析
二、经验分享
【知识点一、子集】
1．子集
（1）子集的概念
一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中___________都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作（或），读作“A含于B”（或“B包含A”）．
用Venn图表示AB如图所示：
（2）子集的性质
①任何一个集合是它自身的子集，即．
②传递性，对于集合，，，如果，且，那么．
【知识点二、真子集】
1．真子集的概念
如果集合，但存在元素___________，我们称集合是集合的真子集，记作（或）．
如果集合是集合的真子集，在Venn图中，就把表示的区域画在表示的区域的内部．如图所示：
2．真子集的性质
对于集合，，，如果，，那么．
辨析：子集与真子集的区别：若，则或；若，则．
【知识点三、从子集的角度看集合的相等】
如果集合是集合的___________（），且集合是集合的___________（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作．用Venn图表示如图所示．
【知识点四、空集】
1．空集的概念
我们把___________任何元素的集合叫做空集，记作，并规定：空集是任何集合的子集．
2．空集的性质
（1）空集是任何集合的___________，即；
（2）空集是任何非空集合的___________，即．
注意：空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解．
【知识拓展】
若有限集A中有n个元素,则集合A的子集个数为2n,真子集的个数为2n－1.
2.奇数集：.
三、题型分析
(一)
空集
例1、下列集合中为空集的是
A．
B．
C．
D．
【变式训练1】若集合，则实数的取值范围是
A．
B．
C．
D．，
(二)
集合相等
从集合相等的概念入手，寻找两个集合中元素之间的关系，看一个集合中的元素与另一集合中的哪个元素相等，一般需要分类讨论，在求出参数值后，要注意检验是否满足集合中元素的互异性及是否使有关的代数式有意义．
例2、已知集合，下列结论正确的是
A．
B．
C．
D．
【变式训练1】已知，，若集合，，，，，则的值为
A．
B．
C．1
D．2
【变式训练2】．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝( )
A．1
B．－1[]
C．2
D．－2
(三)
求集合的子集和真子集
（1）从集合关系的定义入手，对两个集合进行分析，
首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A?B，否则A不是B的子集；
其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B?A，否则B不是A的子集；若既有A?B，又有B?A，则A＝B．
（2）确定集合是用列举法还是描述法表示的，对于用列举法表示的集合，可以直接比较它们的元素；
对于用描述法表示的集合，可以对元素性质的表达式进行比较，若表达式不统一，要先将表达式统一，然后再进行判断．也可以利用数轴或Venn图进行快速判断．
例3、已知集合
，，，且
（1）求．
（2）写出集合的所有子集．
【变式训练1】、（2020·河北省石家庄一中高一期末）如果集合，
，则（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2】、（2020·山东省济南一中高一月考）（多选题）下列关系中，正确的有（）
A．
B．
C．
D．
(四)
子集和真子集个数问题
1.有限集子集的确定问题，求解关键有三点：
（1）确定所求集合；（2）注意两个特殊的子集：和自身；
（3）依次按含有一个元素的子集，含有两个元素的子集，含有三个元素的子集……写出子集．就可避免重复和遗漏现象的发生．
【名师点睛】如果有限非空集合中有n个元素，则：
（1）集合的子集个数为；
（2）集合的真子集个数为；
（3）集合的非空子集个数为；
（4）集合的非空真子集个数为．
例4、已知集合，则满足条件的集合的个数为（
）[]
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
【变式训练1】．（2019?马鞍山三模）已知集合A＝{0，1}，B＝{1，2}，则集合C＝{z|z＝x+y，x∈A，y∈B}
的子集个数为（ ）
A．7
B．8
C．15
D．16
【变式训练2】．（2019春?越城区校级月考）已知集合A满足{1，2}?A?{1，2，3，4，5}，则集合A有
个，当集合A中的元素最多时，集合A的真子集有
个．
(五)
根据两个集合之间的关系求参数范围
例5、（2020宿迁期末）（多选题）已知集合，，．若，则实数的值可能是
A．
B．1
C．2
D．5
【变式训练1】、（2020届山东省高考模拟）已知集合，，若，则由实数的所有可能的取值组成的集合为（
）
A．
B．
C．
D．
四、迁移应用
1．（2019?葫芦岛二模）已知集合A＝{﹣2，3，1}，集合B＝{3，m2}，若B?A，则实数m的取值集合为（ ）
A．{1}
B．{}
C．{1，﹣1}
D．{}
2.已知集合，，，，若，则
A．1
B．2
C．
D．
3.已知集合，求集合的真子集．
4.已知集合，．
（1）求集合；
（2）若，求实数的取值范围；
（3）若，求实数的取值范围．
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突破1.2
集合间的基本关系重难点突破
一、考情分析
二、经验分享
【知识点一、子集】
1．子集
（1）子集的概念
一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中___________都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作（或），读作“A含于B”（或“B包含A”）．
用Venn图表示AB如图所示：
（2）子集的性质
①任何一个集合是它自身的子集，即．
②传递性，对于集合，，，如果，且，那么．
【知识点二、真子集】
1．真子集的概念
如果集合，但存在元素___________，我们称集合是集合的真子集，记作（或）．
如果集合是集合的真子集，在Venn图中，就把表示的区域画在表示的区域的内部．如图所示：
2．真子集的性质
对于集合，，，如果，，那么．
辨析：子集与真子集的区别：若，则或；若，则．
【知识点三、从子集的角度看集合的相等】
如果集合是集合的___________（），且集合是集合的___________（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作．用Venn图表示如图所示．
【知识点四、空集】
1．空集的概念
我们把___________任何元素的集合叫做空集，记作，并规定：空集是任何集合的子集．
2．空集的性质
（1）空集是任何集合的___________，即；
（2）空集是任何非空集合的___________，即．
注意：空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解．
【知识拓展】
若有限集A中有n个元素,则集合A的子集个数为2n,真子集的个数为2n－1.
2.奇数集：.
三、题型分析
(一)
空集
例1、下列集合中为空集的是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】{x∈N|x2≤0}＝{0}，不是空集；{x∈R|x2﹣1＝0}＝{﹣1，1}，不是空集；
{x∈R|x2+x+1＝0}，因为方程x2+x+1＝0无实数解，所以集合是空集；
{0}显然不是空集．故选：C．
【变式训练1】若集合，则实数的取值范围是
A．
B．
C．
D．，
【思路分析】根据集合A为空集得到A中方程无解，即根的判别式小于0，即可求出m的范围．
【答案】∵A＝{x|x2﹣2x+m＝0}＝?，∴方程x2﹣2x+m＝0无解，即△＝4﹣4m＜0，
解得：m＞1，则实数m的范围为（1，+∞），故选：C．
【点睛】此题考查了空集的定义，性质及运算，熟练掌握空集的意义是解本题的关键．
(二)
集合相等
从集合相等的概念入手，寻找两个集合中元素之间的关系，看一个集合中的元素与另一集合中的哪个元素相等，一般需要分类讨论，在求出参数值后，要注意检验是否满足集合中元素的互异性及是否使有关的代数式有意义．
例2、已知集合，下列结论正确的是
A．
B．
C．
D．
【思路分析】可求出A＝{x|x≠0}，B＝{y|y≠0}，而C表示点集，从而得出A＝B，从而选A．
【答案】解：A＝{x|x≠0}，B＝{y|y≠0}，C表示曲线y=1/x上的点形成的集合；
∴A＝B．故选：A．
【点睛】考查描述法的定义，以及集合相等的定义．
【变式训练1】已知，，若集合，，，，，则的值为
A．
B．
C．1
D．2
【思路分析】根据两集合相等，对应元素相同，列出方程，求出a与b的值即可
【答案】集合，，，，
∴分母a≠0，∴b＝0，a2＝1，且a2≠a+b，解得a＝﹣1；
∴=．故选：B．
【点睛】本题考查了集合相等的应用问题，也考查了解方程的应用问题，是基础题目
【变式训练2】．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝( )
A．1
B．－1[]
C．2
D．－2
【答案】C
【解析】根据题意，集合{1，a＋b，a}＝，又∵a≠0，∴a＋b＝0，即a＝－b，∴＝－1，b＝1.故a＝－1，b＝1，则b－a＝2.故选C.
(三)
求集合的子集和真子集
（1）从集合关系的定义入手，对两个集合进行分析，
首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A?B，否则A不是B的子集；
其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B?A，否则B不是A的子集；若既有A?B，又有B?A，则A＝B．
（2）确定集合是用列举法还是描述法表示的，对于用列举法表示的集合，可以直接比较它们的元素；
对于用描述法表示的集合，可以对元素性质的表达式进行比较，若表达式不统一，要先将表达式统一，然后再进行判断．也可以利用数轴或Venn图进行快速判断．
例3、已知集合
，，，且
（1）求．
（2）写出集合的所有子集．
【解析】（1）∵﹣3∈A，则﹣3＝a﹣2或﹣3＝2a2+5a．∴a＝﹣1或a=-3/2．
当a＝﹣1时，a﹣2＝﹣3＝2a2+5a，集合A不满足互异性，
∴a＝﹣1（舍去），或a=-3/2．时，经检验，符合题意，
故a=-3/2；
（2）由（1）知A＝{-3/2，﹣3，12}
∴A的子集为：Φ，-3/2{}，{﹣3}，{12}，{-3/2，﹣3}，{﹣3，12}，{-3/2，12}，{-3/2，﹣3，12}．
【点睛】本题考查实数值的求法，考查集合的所有子集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意集体合中元素的性质的合理运用．
【变式训练1】、（2020·河北省石家庄一中高一期末）如果集合，
，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为，则，
则根据集合与集合的关系可知，故选:A
【变式训练2】、（2020·山东省济南一中高一月考）（多选题）下列关系中，正确的有（）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【解析】选项A:由空集是任何非空集合的真子集可知，本选项是正确的；
选项B:
是有理数，故是正确的；
选项C:所有的整数都是有理数，故有，所以本选项是不正确的；
选项D;
由空集是任何集合的子集可知，本选项是不正确的，故本题选AB.
(四)
子集和真子集个数问题
1.有限集子集的确定问题，求解关键有三点：
（1）确定所求集合；（2）注意两个特殊的子集：和自身；
（3）依次按含有一个元素的子集，含有两个元素的子集，含有三个元素的子集……写出子集．就可避免重复和遗漏现象的发生．
【名师点睛】如果有限非空集合中有n个元素，则：
（1）集合的子集个数为；
（2）集合的真子集个数为；
（3）集合的非空子集个数为；
（4）集合的非空真子集个数为．
例4、已知集合，则满足条件的集合的个数为（
）[]
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
【答案】D
【解析】求解一元二次方程，得
，易知.因为，所以根据子集的定义，
集合必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，
原题即求集合的子集个数，即有个，故选D.
【变式训练1】．（2019?马鞍山三模）已知集合A＝{0，1}，B＝{1，2}，则集合C＝{z|z＝x+y，x∈A，y∈B}
的子集个数为（ ）
A．7
B．8
C．15
D．16
【答案】解：依题意，集合A＝{0，1}，B＝{1，2}，则集合C＝{z|z＝x+y，x∈A，y∈B}＝{1，2，3}，
所以集合C有3个元素，所以集合C子集个数为23＝8个．故选：B．
【点睛】本题考查了集合元素个数与子集个数的关系，集合的元素的性质，新定义．属于基础题．
【变式训练2】．（2019春?越城区校级月考）已知集合A满足{1，2}?A?{1，2，3，4，5}，则集合A有 8
个，当集合A中的元素最多时，集合A的真子集有 31 个．
【答案】解：集合A满足{1，2}?A?{1，2，3，4，5}，
所以集合A有：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}．
则集合A有8个，当集合A中的元素最多时为：{1，2，3，4，5}．集合A的真子集有：2n﹣1＝25﹣1＝31个；故答案为：8；31；
【点睛】本题主要考查利用集合子集个数判断集合元素个数的应用，含有n个元素的集合，其子集个数为2n个，真子集为2n﹣1个，注意对a进行讨论，防止漏解．
(五)
根据两个集合之间的关系求参数范围
例5、（2020宿迁期末）已知集合，，．若，则实数的值可能是
A．
B．1
C．2
D．5
【答案】．
【解析】，，故选：．
【变式训练1】、（2020届山东省高考模拟）已知集合，，若，则由实数的所有可能的取值组成的集合为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为集合，，，
若为空集，则方程无解，解得；
若不为空集，则；由解得，所以或，解得或，
综上，由实数的所有可能的取值组成的集合为.故选D
四、迁移应用
1．（2019?葫芦岛二模）已知集合A＝{﹣2，3，1}，集合B＝{3，m2}，若B?A，则实数m的取值集合为（ ）
A．{1}
B．{}
C．{1，﹣1}
D．{}
【答案】解：∵A＝{﹣2，3，1}，B＝{3，m2}，若B?A，则m2＝1∴m＝1或m＝﹣1
实数m的取值集合为{1，﹣1}故选：C．
【点睛】本题主要考查了集合的包含关系的简单应用，属于基础试题
2.已知集合，，，，若，则
A．1
B．2
C．
D．
【思路分析】由已知可得1，2是方程|x2﹣（a+1）x+a＝0得两根，再由根与系数的关系得答案．
【答案】解：∵A＝{1，2}，B＝{x|x2﹣（a+1）x+a＝0，a∈R}，
若A＝B，则1，2是方程|x2﹣（a+1）x+a＝0得两根，则，即a＝2．
故选：B．
【点睛】本题考查集合相等的条件，考查一元二次方程根与系数关系的应用，是基础题．
3.已知集合，求集合的真子集．
【思路分析】根据题意得出方程x2+（b+2）x+b+1＝0有两个等根，求出a，b的值，得到集合B，再将集合B的真子集按含有元素从少到多一一列出即可，勿忘?是任何集合的子集．
【答案】解：∵集合A＝{x|x2+（b+2）x+b+1＝0}＝{a}，
∴方程x2+（b+2）x+b+1＝0有两个等根，∴△＝0，即（b+2）2﹣4（b+1）＝0，∴b＝0，
∴x2+（b+2）x+b+1＝0即x2+2x+1＝0，∴x＝﹣1，
∴集合B＝{x|x2+ax+b＝0}＝{x|x2﹣x＝0}＝{0，1}，集合B的真子集有?，{1}，{0}．
【点睛】本题考查集合的表示法，子集概念，列举法是解决此类问题的方法，属基本题．
4.已知集合，．
（1）求集合；
（2）若，求实数的取值范围；
（3）若，求实数的取值范围．
【思路分析】（1）求出不等式x2﹣5x+4≤0的解集，即求得集合A；
（2）由A?B结合一元二次不等式解集的情况，可得出，解之即可得出实数a的取值范围；
，（3）B?A时，要分两种情况B＝?时与B≠?时讨论，然后再求出两者的并集即可得出实数a的取值范围．
【答案】解：（1）集合A＝{x|x2﹣5x+4≤0}＝[1，4]；
（2）∵A?B，B＝{x|x2﹣2ax+a+2≤0，a∈R}．
∴，解得a≥3，故实数a的取值范围[3，+∞）；
（3）∵B?A，
∴①当B＝?时，此时△＝4a2﹣4a﹣8＜0，解得﹣1＜a＜2，
②当B≠?时，此时△＝4a2﹣4a﹣8＞0，解得a≤﹣1或a≥2，
又解得，所以当B≠?时，实数a的取值范围，
综合①②两种情况得，实数a的取值范围．
【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，解集的结构以及一元二次函数的性质，集合的包含关系，考查了转化的思想，分类讨论的思想，题目计算量不大，第三问是本题的疑点，易错点，易忘记B是空集的情况．
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