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突破1.3
集合的基本运算重难点突破
一、考情分析
二、经验分享
【知识点1、并集】
1．并集的概念
一般地，由___________属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：___________（读作“A并B”），即．用Venn图表示如图所示：
（1）
（2）
（3）
由上述图形可知，无论集合A，B是何种关系，恒有意义，图中阴影部分表示并集．
注意：并集概念中的“或”指的是只需满足其中一个条件即可，这与生活中的“或”字含义不同．生活中的“或”字是或此或彼，必居其一，而并集中的“或”字可以是兼有的．
2．并集的性质
对于任意两个集合A，B，根据并集的概念可得：
（1），；
（2）；
（3）；
（4）．
【知识点2、交集】
1．交集的概念
一般地，由___________的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作：___________（读作“A交B”），即．用Venn图表示如图所示：
（1）A与B相交（有公共元素）
（2），则
（3）A与B相离（）
注意：（1）交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合的交集中的元素必须同时是两个集合的元素．（2）定义中的“所有”是指集合A和集合B中全部的公共元素，不能是一部分公共元素．
2．交集的性质
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【知识点3、全集与补集】
1．全集的概念
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念．
说明：“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题来加以选择的．例如：我们常把实数集看作全集，而当我们在整数范围内研究问题时，就把整数集看作全集．
2．补集的概念
对于一个集合A，由全集U中___________集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作，即．用Venn图表示如图所示：
说明：（1）补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是
全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个
概念．
（2）若，则或，二者必居其一．
3．全集与补集的性质
设全集为U，集合A是全集U的一个子集，根据补集的定义可得：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
三、题型分析
重难点1
并集及其运算
例1．（1）已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B＝( )
A．{1}
B．{1,2}
C．{0,1,2,3}
D．{－1,0,1,2,3}
【答案】C
【解析】因为B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}＝{x|－1（2）已知，B3，，则
A.
B.
4，
C.
2，3，4，
D.
3，4，
【答案】D
【解析】，
3，，
3，4，，故选D．
【变式训练1】．（多选题）若集合，，且，则m的值可能为
A.
B.
0
C.
D.
1
【答案】ABD
【解析】集合，当时，当时，
因为，所以，所以或，即或或0．故选ABD．
【变式训练2】．（多选题）已知，，且，则中的元素是（
）
A．-4
B．
1
C．
D．
【答案】ABD
【解析】由已知得：①；②
则，，,故选ABD.
【变式训练3】．（2020·黑龙江省大庆中学高一期末）已知集合，
，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】集合，而，所以，故选C.
【变式训练4】．（2020届山东省泰安市肥城市一模）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜2}，则A∪B＝（
）
A．（﹣1，2）
B．（﹣1，0）
C．（0，1）
D．（1，2）
【答案】A
【解析】由题意得.故选：A.
【变式训练5】．（2020徐州期中模拟）已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】，.故选:B.
重难点2
交集及其运算
例2．（1).（2020·济南市历城第二中学高一期末）设集合，集合，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】集合
，集合
，又集合与集合中的公共元素为，，故选A.
（2).设集合,
，则
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】集合,集合，集合与集合的共同元素为和,
所以由集合交运算定义知,.故选:
A[]
【变式训练1】．集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=(
)
A．–4
B．–2
C．2
D．4
【答案】B
【解析】求解二次不等式可得，求解一次不等式可得.由于，故，解得.故选B．
【变式训练2】．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】，解，得，所以
因为，所以，故选：C.
【变式训练3】．（2019启东市期末）（多选题）已知全集，集合，满足，则下列选项正确的有
A．
B．
C．
D．
【答案】．
【解析】，，，，，
故选：．
【变式训练4】．（（2020·广东省高三月考（理））（多选题）对任意A，BR，记A?B＝{x|x∈A∪B，xA∩B}，并称A?B为集合A，B的对称差.例如，若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A?B＝{1，4}，下列命题中，为真命题的是（
）
A．若A，BR且A?B＝B，则A＝
B．若A，BR且A?B＝，则A＝B
C．若A，BR且A?BA，则AB
D．存在A，BR，使得A?B＝?
E.存在A，BR，使得
【答案】ABD
【解析】根据定义，
A.若，则，，，，∴，A正确；
B.若，则，，，B正确；
C.
若，则，，则，C错；
D.时，，，D正确；
E.由定义，，E错．
故选：ABD．
重难点3
全集与补集及其运算
例3.(1)（2020·湖南省长郡中学高一期末）已知集合U＝{1，3，4，5，7，9}，A＝{1，4，5}，则?UA＝（
）
A．{3，9}
B．{7，9}
C．{5，7，9}
D．{3，7，9}
【答案】D
【解析】因为集合U＝{1,3,4,5,7,9},A＝{1,4,5},所以.故选:D.
(2)．（多选题）已知集合，则中的元素是（
）
A．0
B．2
C．1
D．-2
【答案】AC
【解析】由集合，解得：，
，故答案选AC.
【变式训练1】．（2020·浙江省学军中学高一期中）设集合，，则________．
【答案】
【解析】因为集合，所以，
因为集合，所以故答案为：
【变式训练2】．（2019·广东省增城中学高一期中）设全集，集合，.
（1）求；
（2）若集合，满足，求实数的取值范围.
【答案】（1）或；（2）
【解析】（1）解不等式可得：，又集合，
故
又
从而或
（2）易知集合
由可得：
故有
即所求实数的取值范围是
【变式训练3】．(江苏如皋中学期中)设全集，已知集合，.
（1）求；
（2）记集合，已知集合，若，求实数的取值范围.
【解析】：(1)
因为，，
所以，从而.
(2).由知，所以或.
若，则，解得；若，则，解得
综上所述，所求实数的取值范围是．
重难点4
交集、并集与补集混合运算
例4．（1）已知全集，集合，，则
=（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】∵，∴.故选A.
（2）设集合，，则________．
【答案】
【解析】因为集合，所以，
因为集合，所以故答案为：
【变式训练1】．设集合，.
(1)若，求实数的值;
(2)若，求实数的范围.
【解析】（1）∵∴A?B，又B中最多有两个元素，∴A=B，
∴x=0，﹣4是方程x2+2（a+1）x+a2﹣1=0的两个根，故a=1；
（2）∵A={x|x2+4x=0，x∈R}∴A={0，﹣4}，
∵B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0}，且B?A．
故①B=时，△=4（a+1）2﹣4（a2﹣1）＜0，即a＜﹣1，满足B?A；
②B≠时，当a=﹣1，此时B={0}，满足B?A；
当a＞﹣1时，x=0，﹣4是方程x2+2（a+1）x+a2﹣1=0的两个根，
故a=1；综上所述a=1或a≤﹣1.
【变式训练2】．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－6＜0}，集合B＝{x|x2＋2x－8>0}，集合C＝{x|x2－4ax＋3a2＜0}．
(1)试求实数a的取值范围，使C?(A∩B)；
(2)试求实数a的取值范围，使C?(?UA)∩(?UB)．
【解析】 U＝R，A＝(－2，3)，B＝(－∞，－4)∪(2，＋∞)，故A∩B＝(2，3)，?UA＝
(－∞，－2]∪[3，＋∞)，?UB＝[－4，2]，(?UA)∩(?UB)＝[－4，－2]．
∵x2－4ax＋3a2＜0，即(x－3a)(x－a)＜0，
∴当a＜0时，C＝(3a，a)；当a＝0时，C＝?；当a>0时，C＝(a，3a)．
(1)要使C?(A∩B)，结合数轴知解得1≤a≤2.
(2)类似地，要使C?(?UA)∩(?UB)，必有解得－2≤a≤－.
四、迁移应用
1、（2020·浙江省学军中学高一期末）设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，则A∩B＝（ ）
A．{x|1≤x＜2}
B．{x|0＜x＜2}
C．{x|0＜x≤1}
D．{x|0＜x＜1}
【答案】A
【解析】由集合，，所以.
故选：A.
2、（2020届江苏昆山调研）已知集合，，则______．
【答案】
【解析】由题得，所以．故答案为：．
3、（2020届江苏四校期中联考）已知为实数集，集合，集合，则______．
【答案】
【解析】，，因此，．故答案为：．
4、（2020届江苏盐城中学高三月考）设集合，，若，则______
．
【答案】4
【解析】由题意，集合，，因为，所以，故．故答案为．
5.
设全集为,，．求.
【解析】因为，所以由补集定义知,,
因为，
所以作图如下：
由图可知,.故答案为:或
6.
设全集，集合，.
（1）求；
（2）若集合，满足，求实数取值范围.
【解析】（1）解不等式可得：，
又集合，
故
又
从而或
（2）易知集合
，由可得：
故有
即所求实数的取值范围是
7.
已知全集，集合，.
（1）求；
（2）若集合，满足，，求实数的取值范围.
【解析】（1）由题，或，，或；
（2）由得，则，解得，
由得，则，解得，
∴实数的取值范围为．
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集合的基本运算重难点突破
一、考情分析
二、经验分享
【知识点1、并集】
1．并集的概念
一般地，由___________属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：___________（读作“A并B”），即．用Venn图表示如图所示：
（1）
（2）
（3）
由上述图形可知，无论集合A，B是何种关系，恒有意义，图中阴影部分表示并集．
注意：并集概念中的“或”指的是只需满足其中一个条件即可，这与生活中的“或”字含义不同．生活中的“或”字是或此或彼，必居其一，而并集中的“或”字可以是兼有的．
2．并集的性质
对于任意两个集合A，B，根据并集的概念可得：
（1），；
（2）；
（3）；
（4）．
【知识点2、交集】
1．交集的概念
一般地，由___________的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作：___________（读作“A交B”），即．用Venn图表示如图所示：
（1）A与B相交（有公共元素）
（2），则
（3）A与B相离（）
注意：（1）交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合的交集中的元素必须同时是两个集合的元素．（2）定义中的“所有”是指集合A和集合B中全部的公共元素，不能是一部分公共元素．
2．交集的性质
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【知识点3、全集与补集】
1．全集的概念
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念．
说明：“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题来加以选择的．例如：我们常把实数集看作全集，而当我们在整数范围内研究问题时，就把整数集看作全集．
2．补集的概念
对于一个集合A，由全集U中___________集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作，即．用Venn图表示如图所示：
说明：（1）补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是
全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个
概念．
（2）若，则或，二者必居其一．
3．全集与补集的性质
设全集为U，集合A是全集U的一个子集，根据补集的定义可得：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
三、题型分析
重难点1
并集及其运算
例1．（1）已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B＝( )
A．{1}
B．{1,2}
C．{0,1,2,3}
D．{－1,0,1,2,3}
（2）已知，B3，，则
A.
B.
4，
C.
2，3，4，
D.
3，4，
【变式训练1】．（多选题）若集合，，且，则m的值可能为
A.
B.
0
C.
D.
1
【变式训练2】．（多选题）已知，，且，则中的元素是（
）
A．-4
B．
1
C．
D．
【变式训练3】．（2020·黑龙江省大庆中学高一期末）已知集合，
，则（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4】．（2020届山东省泰安市肥城市一模）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜2}，则A∪B＝（
）
A．（﹣1，2）
B．（﹣1，0）
C．（0，1）
D．（1，2）
【变式训练5】．（2020徐州期中模拟）已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
重难点2
交集及其运算
例2．（1).（2020·济南市历城第二中学高一期末）设集合，集合，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
（2).设集合,
，则
A.
B.
C.
D.
【变式训练1】．集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=(
)
A．–4
B．–2
C．2
D．4
【变式训练2】．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3】．（2019启东市期末）（多选题）已知全集，集合，满足，则下列选项正确的有
A．
B．
C．
D．
【变式训练4】．（（2020·广东省高三月考（理））（多选题）对任意A，BR，记A?B＝{x|x∈A∪B，xA∩B}，并称A?B为集合A，B的对称差.例如，若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A?B＝{1，4}，下列命题中，为真命题的是（
）
A．若A，BR且A?B＝B，则A＝
B．若A，BR且A?B＝，则A＝B
C．若A，BR且A?BA，则AB
D．存在A，BR，使得A?B＝?
E.存在A，BR，使得
重难点3
全集与补集及其运算
例3.(1)（2020·湖南省长郡中学高一期末）已知集合U＝{1，3，4，5，7，9}，A＝{1，4，5}，则?UA＝（
）
A．{3，9}
B．{7，9}
C．{5，7，9}
D．{3，7，9}
(2)．（多选题）已知集合，则中的元素是（
）
A．0
B．2
C．1
D．-2
【变式训练1】．（2020·浙江省学军中学高一期中）设集合，，则________．
【变式训练2】．（2019·广东省增城中学高一期中）设全集，集合，.
（1）求；
（2）若集合，满足，求实数的取值范围.
【变式训练3】．(江苏如皋中学期中)设全集，已知集合，.
（1）求；
（2）记集合，已知集合，若，求实数的取值范围.
重难点4
交集、并集与补集混合运算
例4．（1）已知全集，集合，，则
=（
）
A．
B．
C．
D．
（2）设集合，，则________．
【变式训练1】．设集合，.
(1)若，求实数的值;
(2)若，求实数的范围.
【变式训练2】．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－6＜0}，集合B＝{x|x2＋2x－8>0}，集合C＝{x|x2－4ax＋3a2＜0}．
(1)试求实数a的取值范围，使C?(A∩B)；
(2)试求实数a的取值范围，使C?(?UA)∩(?UB)．
四、迁移应用
1、（2020·浙江省学军中学高一期末）设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，则A∩B＝（ ）
A．{x|1≤x＜2}
B．{x|0＜x＜2}
C．{x|0＜x≤1}
D．{x|0＜x＜1}
2、（2020届江苏昆山调研）已知集合，，则______．
3、（2020届江苏四校期中联考）已知为实数集，集合，集合，则______．
4、（2020届江苏盐城中学高三月考）设集合，，若，则______
．
5.
设全集为,，．求.
6.
设全集，集合，.
（1）求；
（2）若集合，满足，求实数取值范围.
7.
已知全集，集合，.
（1）求；
（2）若集合，满足，，求实数的取值范围.
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